专题01幂的运算14大题型（期中复习专项训练）2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（苏科版）

专题01 幂的运算 （期中复习专项训练，全章14大题型） 题型导览 题型1 同底数幂的乘法及其逆用 题型8 科学记数法 题型2 幂的乘方及其逆用 题型9 幂运算中的化简求值 题型3 积的乘方及其逆用 题型10 利用幂的运算比较大小 题型4 同底数幂的除法及其逆用 题型11 幂的运算中用x表示y题型 题型5 幂的混合运算 题型12幂的运算值为1的分类讨论题型 题型6 零指数幂 题型13 幂的有规律计算问题 题型7 负整数指数幂 题型14 幂的新定义运算 题型汇总 题型1 同底数幂的乘法及其逆用 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，掌握同底数幂的乘法法则即可求解． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∵是同底数幂的乘法运算， ∴． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 3．已知，则的值是（   ） A．4 B．6 C．10 D．16 【答案】D 【详解】解：∵,， ∴ . 4．已知：，，则的值为____． 【答案】 12 【详解】解：． 5．若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2 幂的乘方及其逆用 6．化简，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方运算法则，运用对应法则计算即可得到结果． 【详解】解： 7．已知，那么的值是___________． 【答案】16 【分析】将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 把，代入得： 原式． 8．已知，，则的值是（    ） A．6 B．13 C．31 D．108 【答案】D 【详解】解：． 9．已知，则可以用m，n表示成__________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则，将所求式子变形后，代入已知条件即可求解. 【详解】解：∵,， ∴ . 10．按要求解答下面各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由得到，然后将利用幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算转化为，然后代入求解； （2）利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法法则得到，然后比较指数求出，然后利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则将化简为，然后代入求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得 ∴ ． 题型3 积的乘方及其逆用 11．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式． 12．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：. 13．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 14．计算： __________． 【答案】8 【分析】观察原式的指数特征，可将拆分为，再利用积的乘方的逆运算进行简便计算． 【详解】解： ． 15．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂相乘及积的乘方运算，再合并同类项即可； （2）根据积的乘方逆运算进行化简求值． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型4 同底数幂的除法及其逆用 16．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 17．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，将所求式子变形后，代入已知条件即可求解． 【详解】解：． 18．若，则_______． 【答案】 【分析】本题利用幂的乘方和同底数幂的除法运算法则，将所求式子变形为含已知条件的形式，再代入数值计算即可． 【详解】解： 将代入得 原式 19．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式； （2）． 20．计算： (1)若，，求； (2)已知，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方与同底数幂的除法进行计算即可求解； （2）根据已知可得，进而逆用幂的乘方与同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 题型5 幂的混合运算 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 24．化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 25．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0.2 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算幂的乘除法． （2）利用积的逆运算求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型6 零指数幂 26．计算的结果是（    ） A．0 B． C．1 D．5 【答案】C 【详解】解：∵根据零指数幂运算法则，得． 27．（    ） A．2026 B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵任何非零数的次幂等于， ∴ ， ∴． 28．如果，那么的值不能取（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】把各选项m的值分别代入验证即可． 【详解】解：A．把代入得，不符合题意； B．把代入得，不符合题意； C．把代入得，不符合题意． D．把代入得，符合题意． 29．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，，比较即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴． 30．已知有意义，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 题型7 负整数指数幂 31．的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：． 32．下列各数中是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. ，不是负数，不符合题意； B. ，不是负数，不符合题意； C. ，是负数，符合题意；     D. ，不是负数，不符合题意； 33．若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘方、负整数指数幂和零指数幂计算后，比较即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵ ∴ 34．计算：____． 【答案】 / 【详解】． 35．比较大小：________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据乘方运算法则和负整数指数幂运算法则分别计算两个数的值，再根据有理数大小比较法则判断大小． 【详解】解：，， ∵， ∴ 题型8 科学记数法 36．根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法和同底数幂的乘法运算，解题思路为将芯片总数转化为科学记数法，再计算总运算次数，化简得到标准科学记数法形式即可． 【详解】解：∵万，单芯片每秒运算次数为次， ∴ 总运算次数为：． 37．2026年3月10日，某新型火星探测器在酒泉卫星发射中心成功发射，开启对火星卫星火卫一的探测任务．已知火卫一与火星的最近距离约为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度约为，则火卫一与火星的最近距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倍数关系列出算式，将结果整理为标准科学记数法即可得到答案． 【详解】解：∵ 火卫一与火星的最近距离为地球同步卫星轨道高度的倍，地球同步卫星轨道高度为 ∴所求距离为：． 38．计算：______（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和科学记数法，先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘法，最后将结果化为标准科学记数法形式． 【详解】解： 由于科学记数法要求系数 满足 ，   . 故答案为： ． 39．若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是________米．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查路程问题及科学记数法等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其知识点；根据距离公式，距离等于速度乘以时间，将速度和时间用科学记数法表示后相乘，并化简为标准的科学记数法形式. 【详解】解：火箭飞行的距离为速度乘以时间，即 由于科学记数法要求数字部分在1到10之间，因此将15表示为 ， 故答案为：. 40．某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作25秒可执行的运算次数用科学记数法表示为_________次． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，幂的运算，先计算芯片工作25秒的总运算次数，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：芯片每秒执行100亿次运算，即次运算， ∴工作25秒，总运算次数为， ∴， 故答案为：． 题型9 幂运算中的化简求值 41．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查整式的运算相关知识点，解题的关键在于熟练掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方．运用幂的运算法则对原式进行化简，然后将的值代入即可求解． 【详解】解：化简： 当时，原式． 42．（1）先化简，再求值：，其中 （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）根据非负数的性质求出，再将代入，利用幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ， 当时，原式； （2）∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法运算，代数式求值，先进行乘方运算，再进行乘法运算，然后把，，代入到结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵，，， ∴原式． 44．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方的逆运算法则得到，再代值求解即可． 【详解】解：原式， ． ∵，， ∴原式． 45．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；3 【分析】本题考查的是幂的运算，掌握积的乘方和幂的乘方法则、同底数幂的除法法则是解题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方法则和同底数幂的除法法则把原式化简，代入已知数据计算即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 题型10 利用幂的运算比较大小 46．已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 故选：D． 47．阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ________________________． 【答案】 d a c b 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，根据题意可得，， ，，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ∵， ∴， 故答案为：d；a；c；b． 48．阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， 且， ， 即； （2）解：，，， 且， ， 即． 49．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 50．某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，结合即可比较； （2）根据题意可知，，结合，再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得，，再结合即可比较； 【详解】（1）解：，且， ，即； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， 又， ， 即． 故答案为：． 题型11 幂的运算中用x表示y题型 51．（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 【答案】（1） （2）32 （3） 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方以及幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算求解即可； （2）通过幂的乘方运算以及幂的乘方逆运算将原式变形为，即可代入求解； （3）通过同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 即． 52．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 【答案】(1)x的值为3 (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算将变形为再计算即可； （2）由题意得，将变形为，再代入化简即可； （3）根据幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算将变形为，再代入即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为3． （2）解：∵，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：∵，， ∴． 53．阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算， （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义分别计算、的值，即可求解； （3）由题意得，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案． 【详解】（1）解： 故答案为：，3． （2）解：依题意，，、 ∴； （3）解：根据题意得： ，， ， ． 54．（1）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方法则的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法法则解答即可； （2）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴ ． 55．求值： (1)已知，，求的值；（用含a、b的代数式表示） (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法法则解答即可； （2）逆用同底数幂的乘法法则，逆用幂的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 题型12幂的运算值为1的分类讨论题型 56．如果，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂成立的条件求解即可，任何不等于0的数的零次幂都等于1，零指数幂的底数不能为0． 【详解】解：∵， ， ． 57．如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如，； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． (1)若，则 ； (2)若，求x的值． 【答案】(1)1； (2)，2或0 【分析】（1）根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； 【详解】（1）解：， 因为底数为3， 所以， 解得； （2）解： 若底数为1，即，解得，则， 若底数为，即，解得，则， 若底数不为零的零指数幂，即，解得，则， 所以x的值为，2或0． 58．【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 59．我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据题意可得，据此可得答案； （2）分三种情况：，，，分别求出对应情况下x的值，结合进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 综上所述，x的值为或或． 60．本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)如果，求出的值； (3)如果，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)3 (3)或或 【分析】（1）直接利用例题的方法计算； （2）利用例题方法得出，解方程即可； （3）分类讨论，指数相等时，时，时，分别计算即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为；； （2）解：， ， ， ， 解得：， ； （3）解：， 当时，； 当时， ； 当时，． 或或． 【点睛】本题主要考查同底数幂除法,熟练掌握同底数幂除法的运算法则是解题的关键． 题型13 幂的有规律计算问题 61．若按一定规律排列的单项式为，，，，，…，则第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，单项式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意知，可推导一般性规律为：第n个单项式为，然后作答即可． 【详解】解： 第1项：， 第2项：， 第3项：， 第4项：， 第5项：， 第n项为． 故选A． 62．探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律； 提出猜想：根据得到的规律即可得到答案； 验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案； 应用规律：根据发现的规律进行计算即可． 【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 提出猜想：根据发现的规律可得：； 故答案为：； 验证规律：； 应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）． 63．阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 64．阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是找出规律，进行简便计算． （1）根据积的乘方的逆运算直接求解即可得到答案； （2）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案； （3）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故答案为：； （3）解：             ． 65．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．    (1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________ (2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示， 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 周长 6 10 16 x y 若按此规律继续作长方形，则________，________； (3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________． 【答案】(1)21 (2)26；42； (3) 【分析】（1）根据题干中的规律求解即可； （2）分别表示出①-③中周长的计算方法，发现规律求解即可； （3）根据题意得出这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和，利用同底数幂的乘法即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得：第6个正方形的边长为：3+5=8， 第7个正方形的边长为：5+8=13，第8个正方形的边长为：8+13=21， 故答案为：21； （2）①的周长为， ②的周长为， ③的周长为， ∴④的周长为， 第⑤个的周长为：； 故答案为：26；42； （3）根据题意得：这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和， ∴x、y、z满足的关系式为：； 故答案为：． 【点睛】题目主要考查数字规律探索，同底数幂的乘法，理解题意，找出相应规律是解题关键． 题型14 幂的新定义运算 66．定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究、整式的运算，可先推导虚数单位的幂次的周期性，再利用周期性分组求和，最后计算剩余项的和得到结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即每4个连续的的幂次和为0． ∵，即原式包含506组完整的4项，剩余最后两项和． ∵的幂次周期为4， ∴，， ∴原式， 故选：C 67．在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到____．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是根据新定义进行转换； 根据幂记号的定义，将已知条件转化为指数形式，再代入求解. 【详解】解：由已知，，根据定义得：； 同理，，得 ； 则：， 又∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为： . 68．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 69．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 70．如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算 （期中复习专项训练，全章14大题型） 题型导览 题型1 同底数幂的乘法及其逆用 题型8 科学记数法 题型2 幂的乘方及其逆用 题型9 幂运算中的化简求值 题型3 积的乘方及其逆用 题型10 利用幂的运算比较大小 题型4 同底数幂的除法及其逆用 题型11 幂的运算中用x表示y题型 题型5 幂的混合运算 题型12幂的运算值为1的分类讨论题型 题型6 零指数幂 题型13 幂的有规律计算问题 题型7 负整数指数幂 题型14 幂的新定义运算 题型汇总 题型1 同底数幂的乘法及其逆用 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．已知，则的值是（   ） A．4 B．6 C．10 D．16 4．已知：，，则的值为____． 5．若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 题型2 幂的乘方及其逆用 6．化简，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，那么的值是___________． 8．已知，，则的值是（    ） A．6 B．13 C．31 D．108 9．已知，则可以用m，n表示成__________． 10．按要求解答下面各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求． 题型3 积的乘方及其逆用 11．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 12．计算（   ） A． B． C． D． 13．计算：________． 14．计算： __________． 15．计算 (1) (2) 题型4 同底数幂的除法及其逆用 16．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 17．若，，则（   ） A． B． C． D． 18．若，则_______． 19．计算下列各题： (1)； (2)． 20．计算： (1)若，，求； (2)已知，求值． 题型5 幂的混合运算 21．计算： (1)； (2)． 22．计算： (1)； (2) 23．计算： (1)； (2)． 24．化简：． 25．计算： (1) (2) 题型6 零指数幂 26．计算的结果是（    ） A．0 B． C．1 D．5 27．（    ） A．2026 B． C． D．1 28．如果，那么的值不能取（    ） A． B．1 C．3 D．4 29．若，，，则（    ） A． B． C． D． 30．已知有意义，则a的取值范围是________． 题型7 负整数指数幂 31．的值等于（   ） A． B．3 C． D． 32．下列各数中是负数的是（   ） A． B． C． D． 33．若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 34．计算：____． 35．比较大小：________（填“”、“”或“”） 题型8 科学记数法 36．根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 37．2026年3月10日，某新型火星探测器在酒泉卫星发射中心成功发射，开启对火星卫星火卫一的探测任务．已知火卫一与火星的最近距离约为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度约为，则火卫一与火星的最近距离约为（   ） A． B． C． D． 38．计算：______（用科学记数法表示）． 39．若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是________米．（用科学记数法表示） 40．某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作25秒可执行的运算次数用科学记数法表示为_________次． 题型9 幂运算中的化简求值 41．先化简，再求值：，其中． 42．（1）先化简，再求值：，其中 （2）若，求的值． 43．先化简，再求值：，其中，，． 44．先化简，再求值：，其中，． 45．先化简，再求值：，其中，． 题型10 利用幂的运算比较大小 46．已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 47．阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ________________________． 48．阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 49．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 50．某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 题型11 幂的运算中用x表示y题型 51．（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 52．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 53．阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 54．（1）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知，求的值． 55．求值： (1)已知，，求的值；（用含a、b的代数式表示） (2)已知，，求的值． 题型12幂的运算值为1的分类讨论题型 56．如果，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 57．如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如，； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． (1)若，则 ； (2)若，求x的值． 58．【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 59．我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． 60．本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)如果，求出的值； (3)如果，请直接写出的值． 题型13 幂的有规律计算问题 61．若按一定规律排列的单项式为，，，，，…，则第个单项式为（   ） A． B． C． D． 62．探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 63．阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 64．阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 65．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．    (1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________ (2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示， 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 周长 6 10 16 x y 若按此规律继续作长方形，则________，________； (3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________． 题型14 幂的新定义运算 66．定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 67．在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到____．（用含、的代数式表示） 68．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 69．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 70．如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $