10.1.3 古典概型 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.3　古典概型 一、必备知识基础练 1.(探究点一)下列试验是古典概型的是(　　) A.抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子,正面向上的点数 B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径 C.抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面或反面出现的情况 D.某人射击中靶或不中靶 2.(探究点二(角度1))某工厂从三名男工人和两名女工人中选出两人参加技能大赛,则这两名工人恰好都是男工人的概率为(　　) A. B. C. D. 3.(探究点二(角度1))从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　) A. B. C. D. 4.(探究点二(角度2))某商场举行抽奖活动,从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中,每次取出后放回,连续取2次,取出的2个小球号码之和等于5中一等奖,等于4中二等奖,等于3中三等奖.那么中奖的概率是(　　) A. B. C. D. 5.(探究点二(角度1))某中学举行党史学习教育知识竞赛,甲队有A,B,C,D,E,F共6名选手,其中4名男生2名女生,按照比赛规则,比赛时现场从中随机抽出2名选手答题,则至少有1名女同学被选中的概率是(　　) A. B. C. D. 6.(探究点二(角度1))我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和,例如:8=3+5,在不超过14的质数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为(　　) A. B. C. D. 7.(探究点二(角度1))将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面朝上的概率是　　　　　.  8.(探究点二(角度2))从分别写有1,2,3,4的4张卡片中无放回地随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为　　　　　.  9.(探究点二(角度1))甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率. (2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率. 10.(探究点三)某市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂,涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、亲子阅读等丰富的活动.公益课堂共开设24期,近200名少年儿童受益.从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查(满分100分),将问卷调查结果按[68,72),[72,76),[76,80),[80,84),[84,88),[88,92),[92,96),[96,100]分成八组,并绘制成频率分布直方图,如图所示. (1)求a的值,并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表); (2)若从样本中问卷调查结果在[88,92)和[96,100]内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童,求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率. 二、关键能力提升练 11.算盘起源于中国,是中国传统的计算工具.现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横一梁,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下五珠,上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的两枚算珠,则表示的数字大于50的概率为(　　) 图1 图2 A. B. C. D. 12.《史记》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马劣于齐王的上等马,优于齐王的中等马,田忌的中等马劣于齐王的中等马,优于齐王的下等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现两人进行赛马比赛,比赛规则为:每匹马只能用一次,每场比赛双方各出一匹马,共比赛三场.每场比赛中胜者得1分,否则得0分.若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马,则比赛结束时,田忌得2分的概率为(　　) A. B. C. D. 13.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是(　　) A.任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是 B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16 C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是 D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16 14.(2025甘肃兰州高一期末)将一枚六个面点数分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使得一元二次方程x2-ax+b2=0有相等的实数解的概率为　　　　　.  15.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213),若a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率为　　　　.  16.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为　　　　　.  17.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下: ①若xy≤3,则奖励玩具一个; ②若xy≥8,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率; (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. 三、学科素养创新练 18.(多选题)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*),若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 19.某药厂测试一种新药的疗效,随机选择1 200名志愿者服用此药,结果如下: 治疗效果 病情好转 疗效不明显 病情恶化 人数 800 200 200 现拟采用分层随机抽样的方法从服用此药的1 200名志愿者中抽取6人组成样本,并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会,求抽取的3人病情都未恶化的概率. 参考答案 1.C　只有C具有古典概型两个特征. 2.C　三名男工人记为A,B,C,两名女工人记为a,b,试验的样本空间Ω={AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共10个样本点, 选出的两人恰好都是男工人的事件M={AB,AC,BC},共3个样本点,所以选出的这两名工人恰好都是男工人的概率P(M)=. 故选C. 3.B　从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率是. 4.C　从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中,每次取出后放回,连续取2次的样本点共有4×4=16个, 取出的2个小球号码之和等于5的样本点有(2,3),(3,2),共2个, 取出的2个小球号码之和等于4的样本点有(1,3),(2,2),(3,1),共3个, 取出的2个小球号码之和等于3的样本点有(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共4个, 所以中奖的概率是.故选C. 5.D　现场选2名选手,共有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)15种情况,不妨设A,B,C,D四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况共6个,则至少有一名女同学被选中的概率为. 故选D. 6.D　不超过14的质数有2,3,5,7,11,13,共6个数,在这6个数中随机选取两个不同的数,可用列举法得出共15种选法,两个数的和等于14的共有(3,11),共有1种选法,所以其和等于14的概率为. 7.　试验共有8个基本结果:(正,正,正),(反,正,正),(正,反,正),(正,正,反),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,反),(反,反,反),其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个,故所求的概率是. 8.　从分别写有1,2,3,4的4张卡片中无放回地随机抽取2张,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),12种情况. 2张卡片上的数字之积是4的倍数有(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),6种情况. 所求概率为P=. 9.解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点. 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果. 设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果, 所以选出的2名教师性别相同的概率为P=. (2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15种结果. 设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果, 所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=. 10.解(1)由题意得4×(0.010+0.020+0.050+0.050+0.075+0.020+a+0.010)=1,解得a=0.015. 估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数为4×(70×0.010+74×0.020+78×0.050+82×0.050+86×0.075+90×0.020+94×0.015+98×0.010)=83.28. (2)依题意可得在[88,92)内抽取的人数为0.020×4×50=4, 设所抽取的人为a,b,c,d, 在[96,100]内抽取的人数为0.010×4×50=2,设所抽取的人为A,B, 则从中随机抽取2名少年儿童的样本空间Ω={ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB},共15个样本点, 其中随机抽取的这2名少年儿童在同一组包含的样本点是ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB,共7个. 故随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率为. 11.B　拨动图1算盘中的两枚算珠,有两类办法, 第一类,只在一个档拨动两枚算珠,共有4种方法,表示的数字分别为2,6,20,60; 第二类,在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法,表示的数字分别为11,15,51,55. 所以表示不同整数的个数为8, 其中表示的数字大于50的有51,55,60,共3个, 所以表示的数字大于50的概率为.故选B. 12.C　设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上、中、下三个等次的马分别为A,B,C,双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛,所有的可能为 Aa,Bb,Cc,田忌得0分; Aa,Bc,Cb,田忌得1分; Ba,Ab,Cc,田忌得1分; Ba,Ac,Cb,田忌得1分; Ca,Ab,Bc,田忌得2分; Ca,Ac,Bb,田忌得1分. 田忌得2分的概率为P=. 故选C. 13.ACD　记4件产品分别为1,2,3,a,其中1,2,3表示正品,a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=,A正确;在B中,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;在C中,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确. 14.　若一元二次方程x2-ax+b2=0有两个相等的实数解,则a2-4b2=0,即a=2b.一个骰子连续抛掷两次,得到的点数依次为a,b,记为(a,b),则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个样本点,其中满足题意的有(2,1),(4,2),(6,3),共3个样本点.故使得一元二次方程x2-ax+b2=0有两个相等的实数解的概率为. 15.　a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为123,132,213,231,312,321,共6个数,其中是“凹数”的有213,312,共2个数,故所求概率为P=. 16.　从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}. “A1和B1全被选中”有2个样本点(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),所以“A1和B1不全被选中”共有10个样本点,则A1和B1不全被选中的概率为. 17.解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},即样本点的总数为16,记A=“xy≤3”,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为. (2)记B=“xy≥8”,C=“3<xy<8”, 则事件B包含的样本点共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)=. 事件C包含的样本点共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=. 因为,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 18.BC　由题意,该试验的样本空间Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共12个样本点,则事件A3:点P(m,n)落在直线x+y=3上,包含其中(2,1),共1个样本点,所以P(A3)=;事件A4:点P(m,n)落在直线x+y=4上,包含其中(2,2),(3,1),共2个样本点,所以P(A4)=;事件A5:点P(m,n)落在直线x+y=5上,包含其中(2,3),(3,2),(4,1),共3个样本点,所以P(A5)=;事件A6:点P(m,n)落在直线x+y=6上,包含其中(2,4),(3,3),(4,2),共3个样本点,所以P(A6)=;事件A7:点P(m,n)落在直线x+y=7上,包含其中(3,4),(4,3),共2个样本点,所以P(A7)=;事件A8:点P(m,n)落在直线x+y=8上,包含其中(4,4),共1个样本点,所以P(A8)=.综上可得,当k=5或6时,P(Ak)max=P(A5)=P(A6)=. 19.解采用分层随机抽样的方法,从病情好转的志愿者中抽4人,从疗效不明显及病情恶化的志愿者中各取1人组成6个人的样本. 将6人中病情恶化的1人用符号A代替,其余5人分别用1,2,3,4,5代替, 则从6人中任意抽取3人的样本点表示如下:(A,1,2),(A,1,3),(A,1,4),(A,1,5),(A,2,3),(A,2,4),(A,2,5),(A,3,4),(A,3,5),(A,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),共20个样本点. 其中没有抽到病情恶化的志愿者的样本点为(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),共10个样本点,因此抽取的3人中没有病情恶化的志愿者的概率为. 9 $