24.3 数据的四分位数（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十四章 数据的分析 24.3 数据的四分位数 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.了解百分位数，并借助百分位数认识四分位数． 2.会计算四分位数，能够画出箱线图． 3.了解四分位数与箱线图的关系，能够借助箱线图分析数据的分布信息． 我们想知道：数据里偏低的一半、中间部分、偏高的一半分别处在什么范围？如何快速划分数据层次、对比整体分布差异？ 同学们，前面我们已经学习了平均数、中位数、众数，用来描述一组数据的集中趋势；也学习了方差，用来反映数据的离散波动程度。 但在实际生活中，只知道数据的平均水平和波动大小，往往不够全面。 比如：班级全体同学的数学测试成绩、全市居民月收入、运动员多场比赛得分，同样的平均数、差不多的方差，不同分段的数据占比、高低数据的分界情况却完全不同。 集中趋势和离散程度都是数据分布某一方面的特征。为了获取数据更多的信息，人们还关心数据整体的分布情况。本节我们将学习用四分位数大致刻画一组数据的分布情况。 所以想要完整读懂一组数据、看清它的整体排布规律，我们需要新的统计量来划分数据区间、拆分数据层次。今天这节课，我们就一起来认识四分位数，学会用它分析数据的整体分布。 某银行有A和B两个理财产品经营团队.近三年，这两个团队分别负责经营12项理财产品，收益率(单位:%)如下: 如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品? 问题 A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 我们可以用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营水平，通过计算，可以得到A和B两个团队产品收益率的平均数和方差分别为 A≈3.862，s2A≈1.327，B≈3.863， s2B≈0.117。 可以看出，团队B的产品收益率的平均数稍大于团队A，但差别不大;团队A的产品收益率的方差明显大于团队B.即团队B的产品收益率的稳定性要好于团队A.因此，如果你是稳健型投资者，那么应该选择团队B经营的理财产品;如果你是激进型投资者，那么应该选择团队A经营的理财产品. 思考 如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？ 平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出投资客户关心的这些信息．因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量. 一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份. 将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数．相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息. 由于每个团队的产品收益率的数据个数不多，我们可以用三个特殊的百分位数来刻画.如图所示，把团队A的产品收益率按从小到大的顺序排列，容易得到这组数据的中位数为3.915，这个值把所有数据分成2等份，所有数据中小于这个值的占50%，称3.915为这组数据的50%分位数. 在3.915左侧和右侧的数据中，还可以分别得到它们各自的中位数3.195和4.44，所有数据中小于这两个值的分别占25%和75%，称3.195和4.44分别为这组数据的25%分位数和75%分位数. 由于3.195，3.915，4.44这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数(quartile)，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数(中位数)、第三四分位数分别记为 第一四分位数又称下四分位数，第三四分位数又称上四分位数. 2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.89，6.44 3.915 4.44 3.195 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 由团队A产品收益率的三个四分位数，可以大致看出其产品收益率的分布情况.其产品收益率小于3.195%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.915%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.44%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.195%至4.44%之间的项目数占总数的50%. 3.89 3.635 4.125 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 类似地，如图，可以得到团队B产品收益率的三个四分位数3.635, 3.89,4.125.. 3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44 由团队B产品收益率的三个四分位数可以知道，其产品收益率小于3.635%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.89%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.635%至4.125%之间的项目数占总数的50%. 为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图(boxplot).团队A产品收益率的箱线图如下图所示，它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段(称为须线)构成.箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数(中位数)，箱体的右端竖线表示第三四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距.由箱线图，容易看出产品收益率分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中的范围、分布是否对称等. 从图中你还能看出哪些分布信息? 箱线图也可以按竖直方向画.为了便于比较两个团队 产品收益率的分布特征，把两个箱线图按竖直方向并列 画在同一幅图中，如图24.3-5所示.从图24.3-5中可以发 现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等(表示中位 数的水平线段差不多高)，但团队A的产品收益率波动明 显比团队B的大(团队A的箱体和须线比团队B的长)，这 与用平均数、方差比较的结果是一致的.从箱线图中，还可以看出分布的一些其他特征，例如，团队B的产品收益率分布比团队A的更对称(中位数对应的水平线段在箱子的中间位置)，团队A有约25%的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约25%的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等. 类似地，可以画出团队B产品收益率的箱线图，如图24.3-4所示. 与直方图、条形图比较箱线图在表示数据方面有什么特点? 归纳 按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位数:先找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数;然后找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数.利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况。 教材P179 例题 例 根据第173页表24.2-5中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点. 解:将表中两地的气温(单位:°C)分别按从小到大的顺序排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 甲、乙两地气温各有13个数据.甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为 乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别为 在同一幅图中画出两地气温的箱线图，如图24.3-6所示. 可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温 的波动明显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙 地的最高温度，约有25%时刻的气温低于乙地的最低温度. 方法技巧 箱线图能较为全面的反映数据的分布情况： 1.箱体长度：箱体越长，中间50%的数据越分散，箱体越短，中间50%的数据越集中. 2. 须线长度： 须线越长，说明数据在两端分布越广，数据整体离散程度高；须线越短，说明数据在两端分布越集中，离散程度低. 3.上须线显著长于下须线：存在偏大的值；下须线显著长于上须线：存在偏小的值；须线长度基本对称：数据在两端均匀分布. 在某场女排决赛中A队战胜B队获得冠军. 图24.3－2反映了两队队员拦网高度情况，请比较两队拦网高度情况. 解：整体水平：A 队拦网高度的中位数高于B 队, 说明A 队队员拦网高度的中间水平比B 队高; 离散程度:A 队拦网高度的四分位距(箱子长度)小于B 队, 说明A 队队员拦网高度的中间50% 的数据离散程度比B 队小, 即B 队拦网高度数据在中间部分的差异更大. 变式训练 教材P180 练习 课内练习 1.某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示. (1)这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？(2)请分析这个月空气质量的特点. 解：(1)这个月空气质量指数的最大值是110，最小值是30，第一四分位数是40，第二四分位数是50，第三四分位数是80. (2)从箱线图上可以看出这个月空气质量指数在80以下的占比达到75%，说明这个月该城市整体空气质量较好. 2. 计算第 149 页“问题 1”中每组数据的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较两个小组的跳绳成绩特点. 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 解：将数据按照从小到大的顺序排列 甲组 143 156 182 185 194 乙组 141 148 170 199 242 Q2 Q1 = 149.5 Q1 = 144.5 Q3 = 189.5 Q3 = 220.5 在同一幅图中画出两组跳绳成绩的箱线图，如图所示.甲组的跳绳成绩比乙组的稳定,甲组跳绳成绩的中位数大于乙组跳绳成绩的中位数.乙组跳绳成绩的波动明显 比甲组的大. 3.任何一组数据的四分位数，是否都恰好能把这组数据分成四等份？举例说明. 解：四分位数并不总是能将数据分成四等份，特别是当数据的数量不是4的倍数时.但在理论上，四分位数的目标是尽量接近这种划分. 基础巩固题 知识点1 四分位数 1.【2025安徽芜湖期中】九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165， 182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是( ) C A.102.5 B.168 C.124 D.150 【解析】将这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为93，112，136， 145，155，165，171，182，则这组数据的第一四分位数是第2个数与第3个数的平 均数，即 ．故选C. 关键点拨 熟练掌握四分位数的概念是解题的关键. 2.【2025福建三明质检】现有一组数据106，113，96，98，100，102，104，111， 则这组数据的下四分位数是( ) B A.113 B.99 C.102 D.98 【解析】将数据按从小到大的顺序排列为96，98，100，102，104，106，111， 113， 这组数据的下四分位数为 .故选B. 19 3.【2025山东德州期末】在数据处理过程中，会用到一种百分位数法，百分位数是一 表示和的中位数，那么所有数据中小于或等于的占，小于或等于 的 占．这样，，， 这三个数值把所有数据分为个数相等的四个部分， 因此，称为四分位数．请求出数据，，，，，， ， ，，，，的_______，_______， ______． 3.195 3.915 4.44 【解析】将数据从小到大排序为，，，，，， ， ，，，，，，组数据为 ， ，，，，，组数据为，，，， ， ，，，故答案为 ， ， ． 20 知识点2 箱线图 4. 【2025安徽芜湖质检】第九届亚洲冬 季运动会于2025年2月7日至2月14日在黑龙江 哈尔滨举行.某校举办了一次“冬季运动会” 知识竞赛,已知一班和二班人数相等，此次竞 赛中两班成绩的箱线图如图所示（注：箱体中 部的“×”表示平均值，“ ”为异常值，即 C A.一班成绩比二班成绩集中 B.一班成绩的上四分位数是80分 C.一班有同学的成绩超过140分 D.一班的平均分高于二班的平均分 明显偏离样本的个别值），则下列说法正确的是( ) 【解析】由题图可得二班成绩比一班成绩集中，一班成绩的下四分位数是80分， 一班有同学的成绩超过140分，一班的平均分低于二班的平均分，故选项A、B、D 错误，选项C正确.故选C. 21 能力提升题 5.某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图(如图)，根据该图判断 下列说法错误的是(　　) A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高 C 6.已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26．经计算，该组数据的中位数是16，上四分位数是20，则x＝________，y＝________． 15 18 7.已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩的箱线图如图所示． (1)图中虚线分别对应甲班和乙班的哪个四分位数：__________，____________； 中位数 上四分位数 解：甲班成绩处于中等偏下的人的成绩比处于中等偏上的人的成绩更分散． (2)图中甲班的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ 由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班成绩的上四分位数是128，同时，甲班成绩的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． (3)由此图估计甲、乙两班中平均分较高的班级是哪个． 23 将其中三人的成绩画成箱线图： (1)则A表示的是________的成绩， B表示的是________的成绩， C表示的是________的成绩． 8.在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四人的成绩如图1所示． 甲 乙 丁 图1 解：箱线图A，C是对称的，我们可以大体估计平均数约等于中位数，但是不能精确比较它们的大小；箱线图B不对称，因此无法比较平均数和中位数的大小． (2)根据箱线图A，你能比较出这组数据的平均数和中位数的大小吗？根据箱线图B，C呢？ 24 数据的 四分位数 百分位数 四分位数 箱线图 三个四分位数及最大值、最小值 25%分位数，50%分位数，75%分位数 一组数据按从小到大的顺序排列，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数 课堂小结 教科书第180页练习 第1,2,3题 布置作业 $