精品解析：江苏扬州市仪征市2025～2026学年第二学期期中试卷 八年级 数学

2025~2026学年第二学期期中试卷八年级数学 （总分：150分 时间：120分钟） 友情提醒：所有学生解答应填写到本学科考试所提供的网络阅卷答题纸上，否则一律无效，答题纸保证卷面整洁，无涂损，不得折叠． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 2. 年某市有名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，随机取名考生的数学成绩进行分析，则在该抽样中，样本指的是（ ） A. 所抽取的名考生的数学成绩 B. 名考生的数学成绩 C. D. 名考生 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对小米某型号手机电池待机时间的调查 B. 对“神舟二十二号”飞船零部件安全性的调查 C. 对全国中学生观看电影《飞驰人生3》情况的调查 D. 对中央电视台2026年春节联欢晚会满意度的调查 4. 下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 猴子捞月 B. 水涨船高 C. 守株待兔 D. 旭日东升 6. 同学们总结梳理四边形的知识时，好学小组中的4位同学分别提出了自己的想法，下面的说法中，正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是正方形 B. 一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 7. 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 8. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　） A. 2 B. C. D. 3 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 等腰梯形有_____条对称轴． 10. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 11. 在最近天内，某市空气质量为优的天数为天，则空气质量为优的频率是____． 12. 有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列____． 13. 在平行四边形中，，则_____． 14. 如图是某市连续5天的天气情况，最大的日温差是________℃． 15. 若，，则____． 16. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接，若，则______． 17. 若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 18. 如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______________． 三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 利用因式分解计算下列各题： （1）； （2）． 21. 某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 （1）______，______； （2）估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） （3）若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 22. 环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，结果如下（每组含起点值，不含终点值）： 请解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中C组对应的扇形圆心角的度数是______°； （3）若城区共有400个噪声测量点，请估计该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数． 23. 如图，已知，用两种方法作出的中线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，不写作法． 24. 如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，，求平行四边形面积． 25. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 26. 阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值； （3）试比较多项式与的大小关系． 27. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： （1）①当点与点重合时，点的坐标为________； ②用含的代数式表示点的坐标为________； （2）的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 28. 综合与实践：平行四边形纸片的折叠 （1）探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． （2）探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． （3）探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期中试卷八年级数学 （总分：150分 时间：120分钟） 友情提醒：所有学生解答应填写到本学科考试所提供的网络阅卷答题纸上，否则一律无效，答题纸保证卷面整洁，无涂损，不得折叠． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：平行四边形，是中心对称图形，而不是轴对称图形，故A符合题意； 矩形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故B不符合题意； 菱形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故C不符合题意； 正方形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2. 年某市有名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，随机取名考生的数学成绩进行分析，则在该抽样中，样本指的是（ ） A. 所抽取的名考生的数学成绩 B. 名考生的数学成绩 C. D. 名考生 【答案】A 【解析】 【分析】明确研究对象，区分总体、样本、样本容量的定义即可． 【详解】解：统计中，研究对象是本次调查要考察的指标，本题研究指标是考生的数学成绩， 因为总体是名考生的数学成绩，样本是从总体中抽取的部分个体的对应研究指标，本次抽样抽取名考生的数学成绩进行分析， 所以样本为：所抽取的名考生的数学成绩． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对小米某型号手机电池待机时间的调查 B. 对“神舟二十二号”飞船零部件安全性的调查 C. 对全国中学生观看电影《飞驰人生3》情况的调查 D. 对中央电视台2026年春节联欢晚会满意度的调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据考察对象的特征灵活选择，一般来说，具有破坏性，范围较大，普查意义不大的调查选择抽样调查，精确度要求高，事关重大的调查选用普查，据此逐一分析选项即可求解． 【详解】解：∵ 对小米某型号手机电池待机时间的调查具有破坏性，∴选项A适合抽样调查； ∵ 对“神舟二十二号”飞船零部件安全性的调查精确度要求高，事关飞行安全，必须逐一检查，∴选项B适合采用全面调查，符合题意； ∵ 对全国中学生观看电影《飞驰人生3》情况的调查范围广，人数多，∴选项C适合抽样调查； ∵ 对中央电视台2026年春节联欢晚会满意度的调查范围大，普查成本高意义不大，∴D选项适合抽样调查． 4. 下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左边到右边的变形是否是因式分解，只需根据定义来确定即可． 【详解】解：A、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等号右边不是积的形式，不符合题意； C、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 5. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 猴子捞月 B. 水涨船高 C. 守株待兔 D. 旭日东升 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可求解． 【详解】解∶A、猴子捞月是不可能事件，故本选项不符合题意； B、水涨船高是必然事件，故本选项不符合题意； C、守株待兔是随机事件，故本选项符合题意； D、旭日东升是必然事件，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 6. 同学们总结梳理四边形的知识时，好学小组中的4位同学分别提出了自己的想法，下面的说法中，正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是正方形 B. 一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，需根据各图形的判定条件逐一分析选项，即可作答． 【详解】解：A. 四个角相等的四边形是矩形，而正方形还需四条边相等，故A选项不符合题意． B. 一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形满足此条件但不是平行四边形，故B选项不符合题意． C. 邻边相等的平行四边形满足菱形的定义（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），故C选项符合题意． D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，而矩形需对角线相等，故D选项不符合题意． 故选：C． 7. 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 8. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可得，为对角线的垂直平分线， ，， ． ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 等腰梯形有_____条对称轴． 【答案】1##一 【解析】 【分析】根据轴对称图形对称轴的定义，结合等腰梯形的性质即可确定其对称轴的数量． 【详解】解：等腰梯形沿上下两底中点所在的直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，不存在其他满足条件的直线，因此等腰梯形只有条对称轴． 10. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果． 【详解】解： 菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积 ． 11. 在最近天内，某市空气质量为优的天数为天，则空气质量为优的频率是____． 【答案】 【解析】 【分析】频率的计算公式为． 【详解】解：由题意可得，空气质量为优的频率是． 12. 有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列____． 【答案】 ①② 【解析】 【分析】先判断两个事件的类型，得到两个事件发生的概率范围，再比较概率大小，即可完成排序. 【详解】解：事件①“明天会下雨”是随机事件，随机事件发生的概率满足； 一年共有12个月份，事件②“13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月”是必然事件，必然事件发生的概率为； ∴，按发生的可能性从小到大排列为. 13. 在平行四边形中，，则_____． 【答案】##80度 【解析】 【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等、邻角互补是解题的关键． 14. 如图是某市连续5天的天气情况，最大的日温差是________℃． 【答案】10 【解析】 【分析】根据图象找出气温差距最大的一天，然后计算温差即可． 【详解】由图可得气温差距最大的一天为5月28日， 温差为：25-15=10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了有理数减法的实际应用，根据图象找出温差最大的一天是解题关键． 15. 若，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式，将已知条件代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：， 将，代入得． 16. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，根据矩形的对角线相等且互相平分得到，再由，得到，由此可证明是的中位线，则． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即点F为中点， 又∵点E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 17. 若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 【答案】 2或4 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征，能利用平方差公式分解的多项式是两个平方项的差，由此可知所求指数需为正偶数，结合题意确定符合条件的数即可． 【详解】平方差公式的形式为 ，多项式能分解需要满足是两个平方项的差， 已知多项式为 ，其中 已是平方项， 因此 需为平方项，即满足 ，可得 为正偶数， 根据题意， 是不大于 的正整数， 因此符合条件的正偶数为 和 ． 18. 如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______________． 【答案】5 【解析】 【分析】先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，在延长线上截取，连接，则有，然后可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5． 三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 利用因式分解计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 （1）______，______； （2）估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） （3）若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 【答案】（1）0.94，950 （2）0.95 （3）76000 【解析】 【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式频率优秀数量抽取作业数量求，根据优秀数量抽取作业数量优秀频率求． （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． （3）用全市中学生数量乘以估计的优秀概率，得到优秀作业数量． 【小问1详解】 解：，， ∴，． 故答案为，； 【小问2详解】 解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 故答案为：； 【小问3详解】 解：全市有名中学生，优秀概率约， ∴全市优秀作业数量约为． 故答案为： ． 22. 环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，结果如下（每组含起点值，不含终点值）： 请解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中C组对应的扇形圆心角的度数是______°； （3）若城区共有400个噪声测量点，请估计该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数． 【答案】（1）见解析 （2）108 （3）该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数有260个． 【解析】 【分析】（1）先由B组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他组的频数可得C组频数，即可补全频数分布直方图； （2）用360°乘以C组频数所占比例即可； （3）用总个数乘以样本中噪声声级低于70dB的测量点的个数所占比例即可． 【小问1详解】 解：∵样本容量为10÷25%=40， ∴C组频数为：40-（4+10+6+8）=12， 补全频数分布直方图如图： ； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是360°×=108°， 故答案为：108； 【小问3详解】 解：估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为400×=260（个）． 答：该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数有260个． 【点睛】本题主要考查扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布直方图，解题的关键是结合频数分布表和扇形统计图得出样本容量及样本估计总体． 23. 如图，已知，用两种方法作出的中线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，不写作法． 【答案】 如图1，如图2， 为所求． 【解析】 【分析】本题考查中线的定义和利用尺规作图，作一条线段的垂直平分线和作一条线段等于已知线段．根据中线的定义：连接一个顶点和它对边的中点的连线段叫做三角形的中线．即找到对边中点即可．第一种方法：作的垂直平分线即可，原理是垂直平分线垂直且平分其所在直线段；第二种方法：分别以B、C点为圆心，、为半径画弧，连接A点和两弧的交点，即可，原理：平行四边形的对角线互相平分． 【详解】略 24. 如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，，求平行四边形面积． 【答案】（1） 证明：∵，交于点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定． （1）依据，即可得出，再根据，即可得到，进而判定四边形是平行四边形； （2）依据是等腰直角三角形，即可得到的长，再根据的面积，即可得出的面积，进而由平行四边形面积得出结果． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积=， 平行四边形面积． 25. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 26. 阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值； （3）试比较多项式与的大小关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）仿照例题配方法，先凑完全平方，再用平方差公式分解； （）对等式分组配方，利用平方的非负性求即可解答； （）用做差法比较大小，对差配方判断符号即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∵任意实数的平方非负，两个非负数的和为， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解： ， ∵对任意实数，， ∴， 即， 结论：． 27. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： （1）①当点与点重合时，点的坐标为________； ②用含的代数式表示点的坐标为________； （2）的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）①；② （2）不变，定值为，理由见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）①过点作轴于点，通过论证即可得出结论； ②过点作轴于，过点作于点，通过论证即可得出结论； （2）过点作轴于，可得，进而利用即可得出结论； （3）过点作轴于，由（2）的结论得，推出，再分3种情况讨论：、、，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：①当与重合时，如图，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②过点作轴于，过点作于点， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：不变，理由如下： 过点作轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，定值为； 【小问3详解】 解：过点作轴于， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴分3种情况讨论： 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得， ∴； 综上：或或． 28. 综合与实践：平行四边形纸片的折叠 （1）探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． （2）探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． （3）探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证； （3）勾股定理求得，同（1）的方法证明，在中，勾股定理求得，进而求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形，，， ， ∴，，， ∵，， 在中，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $