精品解析：山东临沂市沂水县2025-2026学年下学期九年级阶段性作业 数 学

山东临沂市沂水县2025-2026学年下学期九年级阶段性作业数学 2026.04 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)，共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分. 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（ ） A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 4. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．已知温水温度，水流速度；开水温度，水流速度．小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）．小明同学的接水时间为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，两点在抛物线上．下面结论：①当时，；②当时，；③当且时，则；④当时，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 10. 已知（为整数），则的值是___________． 11. 不等式组的解集为______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 14. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 16. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． （1）求小球到达斜面底端时的速度； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 17. 如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，，求的长． 18. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩 ，分米，一件连衣裙挂在点 处（点与点 重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点 到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点 的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 19. 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，） 组别 类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 20. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 21. 在平行四边形中，过点作于点 ，用纸片做一个三角形，使得．将三角形纸片和平行四边形进行如下操作：①将三角形纸片置于平行四边形内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图1所示；②连接，过点作直线交射线于点，如图2所示；③在边上取一点，分别连接，如图3所示． 请解决下列问题： （1）如图1，求证：； （2）如图2，求证：； （3）如图3，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东临沂市沂水县2025-2026学年下学期九年级阶段性作业数学 2026.04 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)，共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分. 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（ ） A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法中（ ）与（整数位数减 ）的确定是解题的关键． 先根据1马赫的速度算出25马赫的速度，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：计算25马赫的速度：（米/秒） 用科学记数法表示：（米/秒）, 故选：B． 4. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从正面看到的是主视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： ， 故选：． 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 6. 某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积 开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．已知温水温度，水流速度；开水温度，水流速度．小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）．小明同学的接水时间为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据总体积和题给热传递等量关系列方程组，求解后计算总接水时间即可得到结果． 【详解】解：设小明接温水的时间为，接开水的时间为， 根据题意列方程组： 整理第二个方程得 ，即 ，变形得 ， 将代入第一个方程： 化简得：， 解得 ， 将代入，得， ∴方程组的解为， 总接水时间为 ． 故选：A． 7. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得 关于的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设 关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：， 关于的函数解析式为， 当时，则， 当时，则， 压强由加压到，则气体体积压缩了； 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 8. 如图，在中，，分别以点为圆心、 的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 在平面直角坐标系中，两点在抛物线上．下面结论：①当时，；②当时，；③当且时，则；④当时，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先整理抛物线解析式，得到抛物线开口方向，抛物线与轴交点，再根据二次函数的性质逐一判断结论正误即可． 【详解】解：整理抛物线解析式得，且 ∵， ∴抛物线开口向上，与轴交点为和， 对称轴为直线可得性质： 当或时，， 当时，， 开口向上时对称轴左侧（），随增大而减小； ①当时，由性质得，①正确； ②当时，若，则，②错误； ③∵，∴，又，∴，由性质得，③正确； ④∵，时随增大而减小，∴，④正确． 综上，正确结论共3个． 故选：C． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 10. 已知（为整数），则的值是___________． 【答案】 1 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再推导得到的取值范围，结合已知不等式即可确定整数的值． 【详解】解：因为， 所以，即， 不等式各项同时减 ，得， 即， 又因为，且为整数， 所以． 故答案为： ． 11. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，．动点 ，分别在边，上，且，以为边作等边，使点 始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交 于点 ，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点 在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点 与点 重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交 于点 ， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点 在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点 与点 重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点 的轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 【答案】（1）如图，为所作的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由(1)知： 在和中 ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据证明得到，进一步可得结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到． 16. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． （1）求小球到达斜面底端时的速度； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出速度随时间变化的正比例函数解析式，再代入到达斜面底端的时间，即可求出此时的速度； （2）先根据小球在水平面上的匀减速运动，求出速度随时间变化的一次函数解析式，再令速度为0，求出小球停止的总时间，减去斜面运动时间，即可得到水平面上的运动时长． 【小问1详解】 解：设小球在斜面上滚动时的速度函数为， 已知当时，，代入得： ，解得， 因此，斜面上的速度函数为， 小球到达斜面底端时，对应时间为，代入得： ， 即小球到达斜面底端时的速度为； 【小问2详解】 设小球在水平面上滚动时的速度函数为， 已知两点：点，以及时，代入得方程组： ，解得，， 因此，水平面上的速度函数为：， 小球停止时速度，代入得： ，解得， 小球从斜面底端到停止的时长为：． 17. 如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、 ，若． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，，求 的长． 【答案】（1） 解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 18. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点， ，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩 ，分米，一件连衣裙挂在点 处（点 与点 重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点 到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点 的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】（1）14分米 （2）2分米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； 【小问2详解】 如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 19. 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，） 组别 类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 【答案】 （1）不赞同， 理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．若组数为5，则组距为4，是合适的．若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律． （2）补全直方图如图： ； （3）试验田中长势良好的玉米株数为，占比； 对照田中长势良好的玉米株数占比为； 所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田； （4）从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．综合以上信息，试验田长势好于对照田． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，统计图，利用方差作决策： （1）根据分组方法，求出最大值与最小值的差，进而求出组数为5和组数为10的组距，进行判断即可； （2）根据分布表补全直方图，利用360度乘以D组所占的百分比，求出圆心角的度数即可； （3）求出试验田和对照田中长势良好的玉米株数所占的比例，进行分析即可； （4）利用相关数据进行说明即可。 【详解】解：（1）略 （2）D组对应的圆心角为 （3）略 （4）略 20. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形 ，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 21. 在平行四边形 中，过点作于点 ，用纸片做一个三角形，使得．将三角形纸片和平行四边形 进行如下操作：①将三角形纸片置于平行四边形 内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图1所示；②连接，过点作直线交射线于点，如图2所示；③在边上取一点，分别连接，如图3所示． 请解决下列问题： （1）如图1，求证：； （2）如图2，求证：； （3）如图3，若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，即， ∴，， ∴，； ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，则可证明，得到，由全等三角形的性质可推出，则可证明，得到，即可证明； （2）先证明，再由全等三角形的性质得到，，即，则可证明，，证明是等腰直角三角形，，则可证明，进而可证明； （3）过点D作于点T，证明，解直角三角形得到，则可求出，；证明，可求出，则，据此可得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点D作于点T， ∴； 由（1）可得，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $