内蒙古呼和浩特市北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年下学期九三年级周测试卷（四）数学学科

**基本信息** 本卷以传统文化（武术轴对称图形）、科技前沿（大语言模型参数量）、生活实践（健身器材采购、喷水池设计）为情境，覆盖几何直观、运算能力、数据意识等核心素养，梯度分布合理，适配初三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称图形、三视图、圆的性质|结合武术动作考查几何直观，尺规作图题强化推理意识| |填空题|4/12|三角函数应用、因式分解、反比例函数|梯子安全高度题培养应用意识，菱形性质题提升空间观念| |解答题|6/64|统计图表分析、分式方程、抛物线模型、矩形折叠|喷水池设计题（第17题）体现模型意识，矩形折叠综合题（第18题）考查创新思维与推理能力|

2026年内蒙古自治区中考数学模拟试卷 真题模拟.基础提升 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（四） 数 学 学 科 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。 1.武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是(    ) A. B. C. D. 3.如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点若，，则的大小是(    ) A. B. C. D. 4.如图，是半径为的的一条弦，点在上，过点作的垂线交于点，，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 5.是一款采用混合专家架构的大语言模型，凭借其庞大的参数量，在自然语言处理领域展现出强大的能力截止年月，它的参数量已经高达亿，将亿用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 6.如图，小明在学习用尺规作一个角等于已知角时，作了，在作图痕迹中弧是(    ) A. 以点为圆心，长为半径的弧 B. 以点为圆心，长为半径的弧 C. 以点为圆心，长为半径的弧 D. 以点 为圆心，长为半径的弧 7.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点为圆心，长为半径画弧交射线于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是   结果精确到，参考数据， 10.分解因式：          ． 11.已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值          ． 12.如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接若，则的长为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简：． 14.本小题分某市中考体育实行必考加选考制度，为了解九年级学生的选考倾向，某区对本区各校九年级学生的体育选考科目进行抽样调查本次选考科目分为四项项目：跳绳；项目：足球；项目：立定跳远；项目：篮球，要求每名学生必须选择且只能选择其中一项调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题： 在这次抽样调查中，一共调查了______ 名学生，请将条形统计图补充完整； 扇形统计图中______ ，所对的圆心角为______ 度； 该区各校共有名九年级学生，若该区计划为选考科目是球类的学生购置专用球，按抽样调查的比例估计，该区需要购置多少个专用球？ 结合本次抽样调查结果，为该区九年级体育教学安排提出一条合理的建议． 15.本小题分随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低元，用元购买甲型健身器材的数量和用元购买乙型健身器材的数量相同． 求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． 该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 16.本小题分如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接． 求证：与相切； 若，，求的长． 17.本小题分 阅读以下材料，完成课题研究任务： 【研究课题】设计公园喷水池 【素材】某公园计划修建一个如图所示的喷水池，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合，如图，为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，且离池面的高度为． 【素材】距离池面的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流． 【任务解决】 小张同学设计的水池半径为，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求； 为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？ 18.本小题分 在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． 如图，求证：； 如图，当为的中点，，时，求的长； 如图，连接，当，分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 绝密★启用前 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（四） 数 学 学 科 评 分 标 准 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C C B D B B 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9. 10. 11. 12.   三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13解：原式.............................................................3分 .............................................................5分 原式 .............................................................3分 ．.............................................................5分 根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质进行计算即可； 先把括号里的化成分母是的分式，先算括号里面的，再把被除数和除数的分子分解因式，除法化成乘法，然后化简即可． 本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质． 14.解：名  样本中选考科目是“足球”的人数为人，  补全条形统计图如下：    故答案为：； .............................................................2分 ，  即；    故答案为：，； .............................................................5分 个  答：该区需要购置个专用球．.............................................................7分  学生选足球的人数比较多，可以制定专业的训练计划，提高学生成绩．答案不唯一，合理即可 根据项目的人数乘以百分比求出学生的总人数，进而求出项目的人数，即可解答；  根据项目的人数除以学生的总人数，即可求出的值，进而求出项目所对的圆心角即可；  先求出专用球的百分比，再乘以该区各校九年级学生总人数，即可解答；  结合题意解答即可． 本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 15.【小题】 解：设甲型健身器材价格为元，则乙型健身器材的价格为 元， 根据题意，得 ，.............................................................3分 解得 ， 经检验， 是原方程的根． 此时 ， 答：甲型健身器材价格为元，则乙型健身器材的价格为元．............................................5分 【小题】 解：根据题意，甲型健身器材买了 台，则购买乙型健身器材数量为 台，且 即 ，且为正整数， 根据题意，得 ，.............................................................7分 由 ，得 随的增大而减小， 故当 时， 取得最小值，且最小值为 元， 故购买甲型健身器材台，购买乙型健身器材台时，费用最低，最低费用元 ............................................................10分 【解析】 设甲型健身器材价格为元，则乙型健身器材的价格为 元，根据题意，得 ，解方程即可．  根据题意，甲型健身器材买了 台，则购买乙型健身器材数量为 台，且 ，根据题意，得 ，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 16.【答案】【小题】 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切；.............................................................6分 【小题】 解：如图，连接交于点， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ，， ．.............................................................12分 【解析】  连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； 由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 17.【答案】【小题】 解：符合要求．理由如下： 由题意可得，函数图象的顶点坐标为， 可设函数解析式为， 函数图象过点，，解得， 函数解析式为， 令，则，解得或舍去， 水池的半径至少为，小张同学设计的水池符合要求．.............................................................6分 【小题】 令，则，解得或舍去， 为了不影响水流，小水池的半径不能超过．.............................................................12分 18.【答案】【小题】 证明：如图， 四边形是矩形， ， ， 点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上， ， ， ， .............................................................5分 【小题】 四边形是矩形，  为的中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得：， ， ， ， ， 即， ， ， .............................................................9分 【小题】 理由如下：如图，延长交于点，连接， 点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上， 垂直平分， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ．.............................................................13分 【解析】  根据矩形的性质和折叠的性质得到两角相等，结合直角证明；  设，在中，利用勾股定理建立方程求解；利用相似三角形的性质求出的值，从而求得的长；  延长交于点，连接，设，用分别表示出与即可得出两者的数量关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $