专题01 一元二次方程66道计算题专训（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题01 一元二次方程66道计算题专训 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程的解求参数 1 题型二、直接开方法解一元二次方程 2 题型三、配方解一元二次方程 3 题型四、公式法解一元二次方程 5 题型五、因式分解法解一元二次方程 6 题型六、选用合适的方法解一元二次方程 11 题型七、换元法解一元二次方程 8 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数 9 题型九、一元二次方程根与系数的关系 11 题型十、配方法求最值 11 题型十一、一元二次方程的新定义运算 11 题型一、一元二次方程的解求参数 1．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 2．已知t是方程的一个根，求代数式的值． 3．已知a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 4．已知m是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 5．已知是方程的一个根，求代数式的值． 6．已知是方程的一个根，求的值． 题型二、直接开方法解一元二次方程 7．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 8．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)； (3) (4) 9．求满足条件的x值：． 10．（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 11．解方程：． 12．用直接开方法解下列方程： (1)； (2)． 题型三、配方解一元二次方程 13．小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥． 小明的解答从第_____步开始出错，请写出正确的解答过程． 14．解方程：（用配方法）； (1) (2)． 15．用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 16．用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 17．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 18．在用配方法解方程时，小明的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得，即． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以，． 请回答： (1)小明的解答过程从第________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 题型四、公式法解一元二次方程 19．解方程：． 20．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 21．解方程：． 22．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明解答过程开始出错的是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 23．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 题型五、因式分解法解一元二次方程 25．解方程：． 26．解方程： (1) (2) 27．解方程： (1)； (2)． 28．将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 29．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 30．解方程：． 题型六、选用合适的方法解一元二次方程 31．用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 32．请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 33．用指定方法解下列一元二次方程． (1) （直接开平方法） (2) （配方法） 34．用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 35．按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 36．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 题型七、换元法解一元二次方程 37．【阅读材料】 解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以． 所以原方程有四个根：． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为___________ (2)若，则___________ (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 38．【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 39．我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 40．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．解得． 当时，．∴．∴； 当时，，∴，∴． ∴原方程的解为，，，． 解方程：． 41．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 42．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得，． 当时，，即，∴； 当时，，即，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)方程的解为______； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数 43．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 44．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 45．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 46．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若原方程有一个实数根是，求的值． 47．已知关于x的方程． (1)如果方程的一个根为，求k的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 48．关于的方程． (1)求证：不论为何实数，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值． 题型九、一元二次方程根与系数的关系 49．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 50．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 51．已知一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围． (2)是否存在m的值，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 52．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求方程的另一个根； (2)若该方程有两个相等的实数根，求m的值． 53．已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 54．已知是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若，则的值为___________． 题型十、配方法求最值 55．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． 56．【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例2的步骤，求的最小值； 57．阅读理解并解答： (1)【方法呈现】把一个多项式进行配方，可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则代数式的最小值是______，这时相应的x的值是______； (2)【尝试应用】求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 58．配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为________； (2)求的最小值． 59．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 60．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 题型十一、一元二次方程的新定义运算 61．定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 62．定义新运算“”，对于实数、、有．例如：． (1)若实数满足，求的值； (2)关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 63．定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 64．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 65．我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则______． 66．定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”：________； (2)已知关于x的方程与互为“对称方程”． ①________，_______； ②求方程的解． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程66道计算题专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程的解求参数 1 题型二、直接开方法解一元二次方程 2 题型三、配方解一元二次方程 3 题型四、公式法解一元二次方程 5 题型五、因式分解法解一元二次方程 6 题型六、选用合适的方法解一元二次方程 11 题型七、换元法解一元二次方程 8 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数 9 题型九、一元二次方程根与系数的关系 11 题型十、配方法求最值 11 题型十一、一元二次方程的新定义运算 11 题型一、一元二次方程的解求参数 1．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 2．已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】根据方程根的定义得出，然后化简求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式． 3．已知a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】把代入方程中得，从而可得，再把所求式子去括号后合并同类项，最后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 4．已知m是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】由m是方程的一个根可得，，，然后逐步代入求解即可． 【详解】解：m是方程的一个根， ∴． ∴，， ∵时，方程左边等于1，不等于右边， ∴， 把的两边都除以得，． ∴． 5．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】将代入方程中，得，再化简，得到，最后代入数值6，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 6．已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的定义可得，，再两边同时除以，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，且 ∴， ∴． 题型二、直接开方法解一元二次方程 7．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 8．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时乘以2，接着把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先去括号，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （3）（4）把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得，； （2）解： ， ， ， 解得，； （3）解： ，即或， 解得，； （4）解： ，即或， 解得，． 9．求满足条件的x值：． 【答案】或 【分析】本题主要考查利用开平方法解一元二次方程，根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】解： ， 或， 或． 10．（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，即通过变形将方程化为或的形式，然后通过开平方降次来求解. （1）先把所含未知数的项移到等号的左边，再将系数化为1，然后利用直接开平方求解即可； （2）先将系数化为1，再利用直接开平方求解即可； （3）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 开平方得：， 所以，． （2）解：， ， 开平方得：， 所以，． （3）解：， 开平方，得：或， 所以． 11．解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，利用直接开平方法将方程两边开平方可得，再将此分解为两个方程分别求解即可． 【详解】解：将方程两边开平方得： ， 或， 解得：，． 12．用直接开方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】本题考查用直接开方法解一元二次方程，直接开方法适用于形如或的方程，核心是将方程转化为完全平方等于非负数的形式，再利用平方根的定义求解． （1）先利用平方差公式展开方程左边，将方程转化为的形式，再直接开平方求解； （2）方程两边都是完全平方的形式，直接对两边开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 原方程化为， 移项，合并同类项，得， 直接开平方得； 所以原方程的根为：或． （2）解：， 两边直接开平方得， ①当时，解得； ②当时，解得； 所以原方程的根为：或． 题型三、配方解一元二次方程 13．小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥． 小明的解答从第_____步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】⑤；见解析． 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：小明从第⑤步开始出现了错误；正确的解答过程如下： 由， 移项，得：，即：， 配方，得：，即：， 开方，得：， 解得：． 14．解方程：（用配方法）； (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法的步骤解方程即可； （2）先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 15．用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）（2）把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （3）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （4）先去括号，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可． 【详解】（1）解： ，即， ， 解得，； （2）解： ，即， ， 解得，； （3）解： ， ，， ， 解得，； （4）解： ， ，， ， 解得，． 16．用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】将原方程整理，且将常数项移到方程右边，接下来方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后开方解答即可． 【详解】（1）解：， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （2）解：， 两边都加上36，得， 即， 开方，得， ∴； （3）解：整理，得， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （4）解：整理，得， 两边都加上4，得， 即， 开方，得， ∴． 17．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程整理后利用配方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，； （2）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． 18．在用配方法解方程时，小明的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得，即． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以，． 请回答： (1)小明的解答过程从第________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】（1）观察解题过程可得结论； （2）运用配方法的过程解答即可． 【详解】（1）解：小明的解答过程从第二步开始出现错误； （2）解：， ， ， ， ， ∴， 题型四、公式法解一元二次方程 19．解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ∴，． 20．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． 21．解方程：． 【答案】 【分析】方程运用公式法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即． 22．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明解答过程开始出错的是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)第三步 (2)见解析 【分析】（1）将方程化为一般形式，再根据公式法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：小明的解答是从第三步开始出错的； （2）解：方程化为一般式为， ， ， ， ． 23．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 24．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 题型五、因式分解法解一元二次方程 25．解方程：． 【答案】，． 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解即可求解． 【详解】解： 或， ∴，． 26．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 27．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）将看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得，； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 化简，得， 解得． 28．将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴， ∴原方程的解为，； ②，     ， ∴， ∴原方程的解为，． 29．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得； （2）解：原方程化为一般形式，得． 把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得． 30．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 题型六、选用合适的方法解一元二次方程 31．用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 32．请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； （2）解：， ∵，，， ∴， ， ，； （3）解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，， 即， 直接开方得，， ，． 33．用指定方法解下列一元二次方程． (1) （直接开平方法） (2) （配方法） 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1 ）将常数项移到等号右侧，利用直接开平方法求解即可； （2 ）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）， ， ， ， ∴，； 34．用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）先求出根的判别式，再用公式法计算即可； （2）将常数项移到方程右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即得，直接开方求解即可； （3）将所有项移到方程左边，然后提公因式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解： ，； （3）解： 或 ，． 35．按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程． （1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式的值，继而求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， ， ， 或 解得． 36．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解：方程整理得， ∴，，， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴ ∴，； （4）解： 或 ∴，． 题型七、换元法解一元二次方程 37．【阅读材料】 解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以． 所以原方程有四个根：． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为___________ (2)若，则___________ (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果； （2）设，则原方程可转化为，x的方程得出，即可求解； （3）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 设，则原方程可转化为； （2）解：， 设，则原方程可转化为， 即， ∵， ∴， 即； （3）解：， 设，则原方程可转化为， 解得：， 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 综上所述，原方程的解是，． 38．【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，即可解答； （2）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，求出x的值即可； （3）设，则原方程可化为，求出，得到或，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为 ， ， ， 解得， ∵， ∴； （2）解：设，则原方程可化为 ， 解得， ∵， ∴， 解得； （3）解：原方程可化为， 设，则原方程可化为 解得， ∴或， 即或， 解得，． 39．我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 40．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．解得． 当时，．∴．∴； 当时，，∴，∴． ∴原方程的解为，，，． 解方程：． 【答案】， 【分析】将视为一个整体，然后设，则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为． 解得， 当时，．解得： ； 当时，，此方程无解． 因此原方程的解为，． 41．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 42．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得，． 当时，，即，∴； 当时，，即，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)方程的解为______； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)，，， 【分析】（1）设，则原方程可化为，再根据一元二次方程的解法即可求解； （2）设，则原方程可化为，根据一元二次方程的解法即可求解； （3）设，则原方程可化为，仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为，即， 解得，（舍去）， 当时， ∴， 解得，； （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得，， 又∵， ； （3）解：设，则原方程可化为， 解得，， 当时，，解得，， 当时，，解得，， ∴原方程的解为，，，． 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数 43．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，，据此列式解答即可． 【详解】解：关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，其中，，， ， ． 44．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用以及解一元二次方程．对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得出判别式大于，列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据（1）的结果找出满足条件的最大整数，再将其代入原方程，利用因式分解法求解方程的根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，得； （2）解：由（1）知，则满足条件的最大整数值为， 此时原方程为， 因式分解得， ∴或， 解得，． 45．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，解得，即可作答． （2）理解题意，得出符合条件的最大整数，得，运用公式法进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， ∴m的取值范围是． （2）解：由（1）知，m的取值范围是． ∴符合条件的最大整数， ∴一元二次方程化为， 此时， ∴， ∴或， ∴当m为符合条件的最大整数时，方程的根为或． 46．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若原方程有一个实数根是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程： （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）将代入原方程，解关于的一元二次方程． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． （2）解：将代入原方程， ， 解得，， ， ． 47．已知关于x的方程． (1)如果方程的一个根为，求k的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键； （1）把代入方程即可求得k． （2）根据进行判断； 【详解】（1）解：把代入方程， 得， 解得， （2）证明：是一元二次方程， ， 无论取何实数，总有， ， 方程总有两个不相等的实数根． 48．关于的方程． (1)求证：不论为何实数，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）求出的值，进而即可求证； （）把代入方程计算即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴原方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的一个根为， ∴， 解得． 题型九、一元二次方程根与系数的关系 49．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围； （2）先根据（1）中k的取值范围确定k的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． （2）解：的最大整数为， ， ∴，， 则． 50．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 51．已知一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围． (2)是否存在m的值，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再由，可得关于m的方程，即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根、， ∴ ∴ ∴； （2）解：存在． ∵一元二次方程有两个根，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 52．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求方程的另一个根； (2)若该方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】(1)该方程的另一个根为 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，已知一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合两根之和，进行列式计算，即可作答． （2）根据该方程有两个相等的实数根，得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程，且方程的一个根为， ∴另一个根， ∴另一个根为， （2）解：∵关于x的一元二次方程，且该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 53．已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得； （2）解：∵与是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴ 解方程 得． 54．已知是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得，解得，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． （3）结合，以及，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． ∴ 解得， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得； （3）解：∵是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型十、配方法求最值 55．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，进行计算化简得； （2）把代入进行计算，然后配方，最后分析当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程是“方程” ∴把代入， 得 ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 56．【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例2的步骤，求的最小值； 【答案】(1)9 (2)6 【分析】本题主要考查配方法、完全平方式，熟练掌握配方法及完全平方式是解题的关键； （1）根据完全平方式可进行求解； （2）由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由完全平方公式，可知：， 故答案为9； （2）解：； 由于，所以， 即的最小值为6． 57．阅读理解并解答： (1)【方法呈现】把一个多项式进行配方，可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则代数式的最小值是______，这时相应的x的值是______； (2)【尝试应用】求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 【答案】(1)2， (2)代数式有最大值59，相应的x的值为7 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题干过程，则当时，则，即可作答． （2）模仿题干过程，则，因为，则．当时，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，． 当时，则， 则代数式的最小值是2，这时相应的x的值是， 故答案为：，； （2）解： ， ∵， ∴， ∴． 当时，则， 则代数式的最大值是59，这时相应的x的值是． 58．配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为________； (2)求的最小值． 【答案】(1)2 (2)5 【分析】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则． （1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最大值为2， ∴的最大值为2； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为5 ∴的最小值为5． 59．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 60．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 题型十一、一元二次方程的新定义运算 61．定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，即可求解； （2）把代入，可得得，再把代入进行计算，然后配方，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程是“A方程”， ∴该方程的一个根为， ∴， 解得：； （2）解：∵关于的一元二次方程是“方程”， ∴把代入，得： ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 62．定义新运算“”，对于实数、、有．例如：． (1)若实数满足，求的值； (2)关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， 对于（1），根据新定义可得，再根据因式分解法求解； 对于（2），根据新定义可得一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据，求出解集即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， 即一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得. 63．定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 【答案】(1)该方程不是“邻根方程”，理由见解析 (2)c的值为2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻根方程”定义． （1）根据“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：该方程不是“邻根方程”， 理由如下：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，， ∵， ∴该方程不是邻根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 由条件可知， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴c的值为2． 64．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 65．我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则______． 【答案】(1)方程是倍根方程，理由见解析 (2)1或4 【分析】（1）求解方程，根据定义验证； （2）求解方程，根据定义得关于参数的等式，求解． 【详解】（1）解：方程是倍根方程， 理由如下：由方程，解得，， ∴， ∴方程是倍根方程． （2）解： 解得 ∵是倍根方程， ∴ ∴或4． 【点睛】本题考查一元二次方程求解，新定义的理解；由新定义得到关于参数的等式是解题的关键． 66．定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”：________； (2)已知关于x的方程与互为“对称方程”． ①________，_______； ②求方程的解． 【答案】(1) (2)①，  ②， 【分析】本题考查了解一元二次方程，“对称方程”的定义，熟练掌握“对称方程”的定义是解此题的关键． （1）根据“对称方程”的定义即可得解； （2）①根据“对称方程”的定义即可得解；②将，代入，得，再解方程即可得解． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”； （2）解：①由，移项可得． 由互为“对称方程”的定义可得，，， 解得，． ②将，代入，得， 解方程得，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $