5.3.2 函数的极值与最大（小）值第3课时教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 能利用导数求闭区间上可导函数的最大值、最小值，体会导数与函数单调性、极值、最值的内在联系；能运用导数解决生活中简单的优化问题，提升数学建模、数学运算等核心素养. 课标分析 本节课是人教A版2019选择性必修第二册《一元函数的导数及应用》的核心内容，是导数在研究函数性质中的综合应用环节.课标要求不仅注重学生对导数求函数最值方法的掌握，更强调学生能体会导数的工具性价值，将函数的单调性、极值与最值建立逻辑关联，同时能将实际生活中的优化问题转化为数学函数问题，通过导数求解并回归实际解答.这一要求既承接了前两课时导数研究函数单调性、极值的知识，又为后续更复杂的导数应用、数学建模问题奠定基础，是培养学生用数学方法解决实际问题的重要载体，契合高中数学核心素养中数学运算、逻辑推理、数学建模的培养目标. 2、 教材分析 “函数的极值与最大（小）值（第3课时）”是导数应用的关键内容，在一元函数的导数及应用知识体系中起到综合运用、学以致用的作用.它建立在导数的运算、利用导数研究函数单调性和极值的基础之上，将导数的工具性作用从单纯的函数性质研究延伸到实际问题解决.通过本节课的学习，学生能完善导数研究函数的知识链条，掌握利用导数求闭区间上函数最值的方法，同时学会将实际优化问题转化为函数最值问题，体会数学与生活的联系.本节课的内容不仅是数学知识的综合应用，更是培养学生数学建模、逻辑推理和数学运算素养的重要素材，为后续学习更复杂的导数应用、不等式证明、数列研究等内容奠定基础. 3、 学情分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了导数的定义、运算公式及法则，能利用导数研究函数的单调性和极值，初步具备了用导数分析函数性质的思维能力.学生已有的代数运算、函数图象分析能力，为学习利用导数求函数最值提供了知识支撑.然而，学生在将极值与最值进行区分时可能存在困难，对闭区间上函数最值的求解步骤掌握不够严谨；同时，将实际生活中的优化问题转化为数学函数模型，确定函数的定义域和目标函数，对学生的数学建模能力要求较高，学生可能在审题建模、结合实际意义分析最值结果等环节遇到障碍.但学生已有的导数知识基础和初步的建模意识，为本节课的学习提供了可能，教师应通过实例引导、步骤梳理、合作探究等方式，帮助学生突破难点，提升知识应用能力. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学运算素养：熟练掌握闭区间上可导函数最大值、最小值的求解步骤，能准确利用导数计算函数的极值和最值，提高运算的准确性和严谨性，培养规范的运算习惯. 1. 逻辑推理素养：理解函数极值与最值的区别和联系，能通过导数的符号变化分析函数的单调性、极值，进而推导出闭区间上函数的最值，培养逻辑推理和分析论证能力. 1. 数学建模素养：能将生活中的优化问题（如利润最大、用料最省、效率最高等）转化为函数最值的数学模型，明确定义域，利用导数求解并结合实际意义解释结果，提升数学建模意识和实践能力. 1. 直观想象素养：借助函数图象直观分析单调性、极值与最值的关系，通过图象理解导数在研究函数性质中的作用，增强利用图形思考和解决数学问题的能力. 1. 数学抽象素养：通过对实际优化问题的分析，抽象出函数最值的数学本质，体会导数作为工具解决一类数学问题和实际问题的共性方法，提升从具体到抽象的思维能力. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：闭区间上可导函数最大值、最小值的求解方法；利用导数解决实际生活中的简单优化问题. 1. 难点：区分函数的极值与最值；将实际优化问题转化为数学函数模型，结合实际意义确定函数的定义域并分析最值结果. 六、教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题，请学生口答并说明解题思路： (1) 函数在区间上的极小值为______，极大值为______.（答案：；） (2) 函数在区间上的最大值为______，最小值为______.（答案：；） (3) 已知某函数在闭区间上可导，其最值一定出现在______或______处.（答案：极值点；区间端点） 对回答正确的学生给予肯定，对回答错误的学生引导其分析错误原因（如混淆极值与最值、忽略区间端点），进行纠正. 环节二：引入课题 1. 请学生回顾相关知识，随机提问： 利用导数研究函数单调性的方法：若在区间内，则在上单调递增；若，则在上单调递减. 函数极值的定义：设函数在点附近有定义，若对附近的所有点，都有，则是的极大值；若都有，则是的极小值. 求函数极值的步骤：求导→求的根→判断根两侧的符号→确定极值. 1. 对学生的回答进行点评，强调极值是函数的局部性质，为引入函数的最值（整体性质）做铺垫. 环节三：合作探究 1. 闭区间上函数的最值与极值的关系（5分钟） 提出问题：我们知道极值是函数的局部性质，那么在闭区间上的可导函数，其最大值和最小值（整体性质）与极值有什么关系？ 引导学生结合函数图象（如在的图象）分析，得出结论： 闭区间上的可导函数，其图象是一条连续不断的曲线，函数的最值出现在极值点或区间端点处. 进一步梳理闭区间上可导函数最值的求解步骤： ① 求函数在区间内的导数； ② 求的根，判断根两侧的符号，求出函数在内的所有极值； ③ 计算函数在区间端点、处的函数值、； ④ 比较极值与端点函数值的大小，最大的数为最大值，最小的数为最小值. 通过简单例子验证步骤：如求在上的最值，让学生初步应用步骤解题. 2. 利用导数画函数大致图象（5分钟） 提出问题：如何利用导数的相关知识，画出函数的大致图象，进而更直观地分析函数的最值？ 引导学生结合前课时知识，类比探究，梳理画函数大致图象的步骤： ① 求函数的定义域； ② 求导数，并求的零点； ③ 用零点将定义域划分为若干区间，列表给出在各区间的正负，确定的单调性和极值； ④ 确定函数图象经过的特殊点（如与坐标轴的交点、端点），分析图象的变化趋势； ⑤ 画出函数的大致图象. 以例题为例，带领学生分步完成： ① 定义域：； ② ，令，得； ③ 列表分析： 单调递减 极小值 单调递增 ④ 特殊点：当时，；当时，；时，；时，； ⑤ 结合以上信息画出大致图象. 3. 导数解决实际优化问题的思路（5分钟） 提出问题：生活中经常遇到利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，如何利用导数解决这类问题？ 组织学生分组讨论，结合生活实例（如饮料瓶利润问题），引导学生抽象出解决实际优化问题的基本步骤： ① 审题建模：分析实际问题中的数量关系，设出变量，确定目标函数和函数的定义域（定义域需结合实际意义确定）； ② 求导求解：求目标函数的导数，求出函数的极值点，结合闭区间最值的求解方法，求出目标函数的最值； ③ 回归实际：将数学上的最值结果转化为实际问题的答案，结合实际意义验证结果的合理性. 强调关键要点：目标函数的确定是建模的核心，定义域的实际限制是求解的关键，避免忽略实际意义导致结果错误. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 给出例题，让学生独立完成，教师巡视指导，及时纠正错误. 例1 求下列函数在给定闭区间上的最大值和最小值： (1) ， 解：，令，得或. 计算极值：，. 计算端点值：，. 比较得：最大值为，最小值为. (2) ， 解：，令，得. 计算极值：. 计算端点值：，. 比较得：最大值为，最小值为. 例2 判断下列说法的正误（对的打√，错的打×）： (1) 函数的极大值一定是函数的最大值（×） (2) 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值（√） (3) 若函数在闭区间上只有一个极值点，则该极值点一定是最值点（√） (4) 利用导数求函数最值时，无需考虑区间端点的函数值（×） 2. 综合练习（7分钟） 讲解例题，引导学生分析题目，展示解题思路和过程，强调解题要点. 例3 （实际优化问题：饮料瓶利润问题）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分（为瓶子的半径，单位：），已知每出售的饮料制造商可获得分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是（球的体积公式，）. (1) 求每瓶饮料的利润（单位：分）关于瓶子半径的函数解析式，并确定定义域； (2) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (3) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：(1) 饮料的体积，饮料的利润为， 则利润，定义域为. (2) 求导得， 令，得（舍去）. 列表分析上的单调性： 单调递减 极小值 单调递增 计算端点值：， 极小值：. 因为函数在上单调递增，所以当时，利润最大. (3) 由(2)的分析，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，利润取得极小值，也是区间上的最小值，此时利润为负，说明饮料利润不足以覆盖瓶子成本. 例4 （实际优化问题：用料最省）用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为（），为使所用材料最省，求圆的直径应为多少？ 解：设圆的直径为，则半圆的半径为，设矩形的高为. 图形面积：，解得（）. 所用铁丝的长度（目标函数）：， 代入得：（）. 求导得：， 令，得，解得（，舍去负根）. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取得极小值，也是最小值，即用料最省. 答：圆的直径应为时，所用材料最省. 小试牛刀： 1. 设函数 ，若当 时，，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 1. 为自然对数的底数，定义在 上的函数 满足 ，其中 为 的导函数，若 ，则 的解集为（ ） A. B. C. D. 1. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是 ，且用料最省，则水桶的底面半径为________. 1. 某厂生产某种产品 件的总成本：，产品单价的平方与产品件数 成反比，生产 100 件这样的产品的单价为 50 元. 要使总利润最大，则产量应定为________件. 1. 已知函数 . (1) 若函数 有两个不同的极值点，求实数 的取值范围； (2) 当 时，若关于 的方程 存在三个不同的实数根，求实数 的取值范围. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容，随机提问： (1) 闭区间上可导函数最值的求解步骤； (2) 利用导数画函数大致图象的步骤； (3) 利用导数解决实际优化问题的基本思路. 1. 教师进行补充和完善，强调核心要点： (1) 极值是局部性质，最值是整体性质，闭区间上函数最值必在极值点或端点处； (2) 解决实际优化问题的关键是建模（确定目标函数和定义域）和回归实际（验证结果合理性）； (3) 导数是研究函数性质、解决实际优化问题的重要工具，体会导数的工具性价值. 帮助学生构建知识体系，梳理导数从运算到性质研究再到实际应用的知识链条. 环节六：布置作业 1. 布置作业： 书面作业：完成课本P97练习题及课时达标检测，巩固利用导数求函数最值及解决实际优化问题的方法； 拓展作业：寻找生活中1-2个可以用导数解决的优化问题（如购物优惠、工程用料、利润计算等），尝试建立函数模型并求解. 2. 预习引导：引导学生预习后续内容，思考导数在不等式证明、数列中的应用，为后续学习做准备. 授课人个案修改记录： 教学反思 在教学过程中，要注重引导学生区分函数的极值与最值，通过函数图象直观帮助学生理解二者的关系，梳理严谨的解题步骤，避免学生忽略区间端点或实际定义域的限制.对于实际优化问题，要多让学生参与审题、建模的过程，通过小组讨论引导学生找到数量关系，确定目标函数，突破建模的难点.教学中要加强对学生解题过程的指导，及时发现并纠正学生在求导、判断单调性、分析实际意义等方面的问题.鼓励学生积极参与课堂探究和练习，培养学生的数学建模、数学运算和逻辑推理素养，关注学生对导数工具性价值的理解，以便在后续教学中进行针对性的强化和提升. 学科网（北京）股份有限公司 $