5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 结合函数图象，了解函数极值的概念，理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极值，体会导数的工具性作用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象等核心素养. 课标分析 本节课是人教A版2019选择性必修第二册《一元函数的导数及其应用》的核心内容，是导数在研究函数性质中的重要应用，承接了导数的运算、导数与函数单调性的关系，又为后续学习函数的最大（小）值奠定基础.课标强调借助图象直观理解极值概念，突出导数的工具性，要求学生从“形”的直观感知过渡到“数”的逻辑推理，掌握利用导数求极值的方法，同时在解题过程中培养分类讨论、数形结合的数学思想，符合高中数学对学生核心素养培养的整体要求. 2、 教材分析 函数的极值与最大（小）值（第1课时）”是导数应用的关键内容，在导数知识体系中起到承上启下的作用.它建立在导数的运算、导数与函数单调性的关系基础之上，通过研究函数在某点附近的函数值变化规律，抽象出极值的概念，揭示了导数的符号变化与函数极值的内在联系.本节课的内容不仅是对导数工具性的进一步体现，更是后续学习函数在闭区间上的最值、导数在实际问题中应用的理论基础.极值的概念、求极值的方法以及极值点的判断，既是数学知识体系的重要组成部分，也是培养学生数形结合、逻辑推理和分类讨论思想的良好素材，有助于提升学生的数学核心素养. 3、 学情分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了导数的定义、基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则，并且理解了导数的符号与函数单调性的关系，具备了借助导数研究函数性质的初步能力，也有一定的数形结合思想和逻辑推理基础.然而，极值的概念是函数的局部性质，与学生之前接触的函数最值（整体性质）易混淆，学生对“极值点处导数为0，但导数为0的点不一定是极值点”的逻辑关系理解存在难度；同时，利用导数求含参函数的极值需要进行参数分类讨论，对学生的逻辑思维和分类讨论能力要求较高.但学生已有的导数知识和图象分析能力为学习本节课提供了支撑，教师应通过图象直观引导、问题探究、典例分析等方式，帮助学生突破难点，深化对极值概念和求法的理解. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：通过对具体函数图象的分析，抽象概括出函数极值点和极值的定义，理解极值的局部性特征，提升从具体到抽象的思维能力. 1. 逻辑推理素养：推导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，掌握利用导数判断极值点、求函数极值的步骤，能对含参函数进行分类讨论求极值，培养逻辑推理和论证能力. 1. 直观想象素养：借助函数图象直观分析导数符号变化与函数极值的关系，通过图形理解极值的概念和判断方法，增强利用图形思考和解决数学问题的能力. 1. 数学运算素养：熟练掌握求导运算，能准确求解导数的零点，判断导数在零点两侧的符号，准确计算函数的极值，提高运算的准确性和严谨性. 1. 数学建模素养：体会导数在研究函数性质中的工具性作用，能将函数极值问题转化为导数符号分析问题，感受数学知识的内在联系，提升数学建模意识和问题解决能力. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：函数极值点和极值的概念，函数在某点取得极值的条件，利用导数求可导函数极值的步骤. 1. 难点：理解函数取得极值的必要条件和充分条件（导数为0的点不一定是极值点），含参函数的极值求解与参数分类讨论. 六、教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题，请学生口答并说明理由： (1) 函数在处的导数为______，该点的函数值与附近函数值的关系是______.（答案：；比附近所有函数值都小） (2) 函数在处的导数为______，该点是否为函数单调性的转折点？______.（答案：；不是） (3) 判断：若，则一定是函数的极值点.（答案：错误） 对回答正确的学生给予肯定，对回答错误的学生引导其结合函数图象分析错误原因，进行纠正，为新知探究做铺垫. 环节二：引入课题 1. 请学生回顾导数与函数单调性的关系，随机提问学生： · 若函数在区间内可导，当时，函数在内单调递增；当时，函数在内单调递减. 1. 提问：若函数在处的导数，则函数在该点的单调性会发生什么变化？ 1. 对学生的回答进行点评，引出本节课主题：导数为0的点是函数单调性的“转折点”，这类点对应的函数值具有特殊性质，即函数的极值. 环节三：合作探究 1. 函数极值的概念（6分钟） (1) 提出问题：结合高台跳水问题的函数图象， 观察当时，函数值的特点及导数的符号变化： ① ______；② 当时，______，______；③ 当时，______，______.（答案：；，单调递增；，单调递减） 引导学生发现：该点函数值是附近的最大值，导数为0且两侧导数符号发生改变. (2) 展示函数的图象， 引导学生分析处的函数值特征： · ：比附近函数值都小，，左侧，右侧； · ：比附近函数值都大，，左侧，右侧； · ：导数为0，但两侧导数符号未改变，函数值无上述特征. (3) 抽象概括极值的定义： · 极小值点与极小值：若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且，在附近左侧、右侧，则称为函数的极小值点，为函数的极小值. · 极大值点与极大值：若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且，在附近左侧、右侧，则称为函数的极大值点，为函数的极大值. · 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值. (4) 引导学生思考：极值是函数的局部性质还是整体性质？（答案：局部性质，仅反映某点附近的函数值大小） 2. 函数取得极值的条件（4分钟） (1) 提出问题组，组织学生小组讨论： ① 若是可导函数的极值点，那么一定为0吗？（答案：一定） ② 若，那么一定是的极值点吗？举例说明.（答案：不一定，如，，但不是极值点） ③ 函数在某点取得极值的充要条件是什么？（可导函数） (2) 师生共同总结极值的判定条件： 必要条件：对于可导函数，若是极值点，则（注意：不可导点也可能是极值点，如在处）. 充分条件：函数在处可导，且，同时两侧的符号异号，则是极值点. 结论：是可导函数在处取得极值的必要不充分条件. 3. 利用导数求可导函数极值的步骤（5分钟） (1) 引导学生结合极值的判定条件，类比求函数单调性的步骤，自主归纳求可导函数极值的步骤： 1. 定域：确定函数的定义域； 1. 求导：求导函数； 1. 求零点：解方程，求出导函数的所有零点； 1. 判符号：判断在每个零点两侧的符号变化； 1. 求极值：根据符号变化确定极值点，求出对应极值. · (2) 教师强调：判断符号时，需选取零点两侧的特殊值代入导函数，简洁高效；若零点两侧导数符号不变，则该点不是极值点. 环节四：学以致用 1. 基础练习（4分钟）：求简单函数的极值 例1 求函数的极值. 解： 1. 定义域：； 1. 求导：； 1. 求零点：令，解得或； 1. 判符号： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 1. 求极值：极大值，极小值. 让学生独立完成，教师巡视指导，纠正学生在求导、符号判断中的常见错误. 2. 综合练习（8分钟）：含参函数的极值与极值点判断 例2 判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”，并说明理由. (1) 函数的极大值一定大于极小值；（×，极值是局部性质，如，极大值为，极小值为，但并非所有函数都满足此关系） (2) 函数在定义域内有且只有一个极大值和一个极小值；（×，如有无数个极值点） (3) 若在处不可导，则一定不是极值点；（×，如在处不可导，但是极小值点） (4) 可导函数的极值点一定是导函数的零点.（√，由极值的必要条件可得） 例3 求函数（为常数）的极值. 解： 1. 定义域：； 1. 求导：； 1. 求零点：令，解得（二重根）； 1. 判符号：对任意，，故，即两侧符号未改变； 1. 结论：函数在上单调递增，无极值. 例4 已知函数，在处取得极大值，求的值，并求函数的极小值. 解： 1. 求导：； 1. 由极值条件列方程： · 因是极大值点，故，即； 1. 解方程组：解得； 1. 验证并求极小值： · 此时，； · 符号判断： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 · 极小值. 教师讲解时，强调含参函数求极值的关键是分析导函数零点的个数及零点两侧的符号变化，含参问题需结合参数的取值范围分类讨论；由极值求参数时，需验证所求参数是否满足极值点的充分条件（两侧导数异号），避免漏验. 小试牛刀： 1. 已知函数 ，则（ ） A. 有极小值但无极大值 B. 有极小值 0，但无极大值 C. 有极小值 0，极大值 D. 有极大值 ，但无极小值 1. 函数 的定义域为区间 ，若导函数 在区间 内的图象如图所示，则函数 在区间 内的极小值点有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 1. 函数 的极大值为______ 1. 对任意的 ，函数 不存在极值点的一个充要条件是 ______ 1. 求下列函数的极值： (1) ；(2) 环节五：课堂小结 1. 请学生自主回顾本节课所学内容，同桌间相互交流，梳理知识点： (1) 极值点、极小值、极大值的定义，极值的局部性特征； (2) 可导函数取得极值的必要条件和充分条件； (3) 利用导数求可导函数极值的五步步骤； (4) 含参函数极值求解的关键：参数分类讨论、导函数符号判断. 教师补充完善，强调核心要点：是可导函数极值点的必要不充分条件，求极值的核心是判断导函数在零点两侧的符号变化，数形结合是理解极值概念的重要方法. 环节六：布置作业 1. 布置作业： 书面作业：完成课本P92练习题1、2、3，课时达标检测5，巩固函数极值的概念和求法； 拓展作业：尝试寻找生活中存在“极值”的实际问题，如物体运动的速度极值、利润的局部最大值等，用导数的思想进行简单分析. 2. 预习引导：引导学生预习下一课内容，思考函数的极值与闭区间上的最值有什么联系，如何利用导数求函数在闭区间上的最大值和最小值. 授课人个案修改记录： 教学反思 在教学过程中，要注重借助函数图象引导学生直观感知极值的概念，从“形”到“数”逐步抽象，突破“导数为0的点不一定是极值点”的理解难点.教学中应增加学生自主探究和动手演算的环节，让学生在实践中掌握求极值的步骤，尤其是导函数符号的判断方法.对于含参函数的极值问题，要引导学生明确分类讨论的标准，避免分类混乱.同时，要关注学生在求导运算、方程求解中的计算错误，及时纠正，培养学生严谨的运算习惯.后续教学中，应通过更多实际问题的应用，让学生体会导数的工具性作用，进一步提升学生的逻辑推理和数学运算素养. 学科网（北京）股份有限公司 $