5.3.2函数的极值与最大（小）值 第1课时 教案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2函数的极值与最大(小)值 第1课时 函数的极值 一、教学目标 1.结合函数的图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 2.理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值; 3.通过学习,体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性,掌握极值是函数的局部性质,增强数形结合的意识. 二、教学重难点 重点:求函数的极值 难点:函数的极值与导数的关系. 三、教学过程 (一)创设情境 问题导入:在用导数研究函数的单调性时,发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点处的导数为,那么在这些点处函数有什么性质呢? 师生活动:教师出示跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数图象,如图所示,引导学生观察思考. 思考:(1)当取何值时,跳水运动员距水面的高度最大? (2)函数在此点处的导数是多少呢? (3)此点附近的图象有什么特点? (4)相应地,导数的正负性有什么变化规律? 答:(1)通过观察图,容易发现,当时,运动员距水面的高度最大. 放大函数在附近的图象如下图所示,作出函数图象在左侧某点处的切线,当切点从左侧移动至右侧时,切线斜率由正数变到,再由变到负数. 结合上述过程,根据函数的单调性与导数的关系,得到函数的增减情况与的正负性之间的关系,如下图所示. 由此,可以看出: (2)函数在处的导数; (3), ,; ,, ,,,,. (4),,, 设计意图:利用学生熟悉的跳水运动员跳水的情境,引导学生更深入地思考这一问题,为引出函数的极值作铺垫. (二)探究新知 任务一:函数极值的定义 探究1:对于一般的函数,是否也有同样的性质呢? 师生活动:教师出示函数的图象,并提出问题,学生观察图象思考. 思考:如图,函数在 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,的导数的正负性有什么规律? 答:以,两点为例. 函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小,;而且在点附近的左侧,右侧. 函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大,而且在点附近的左侧右侧. 【概念的形成】函数极值的定义: (1)极小值点与极小值: 若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小,则把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值; (2)极大值点与极大值: 若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大,则叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值. 注意:(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画了函数的局部性质; (2)极值点是横坐标,极值是纵坐标; (3)“在 附近”的含义实际上指的是一个非常小的区间,这个区间的左端点比小,右端点比大,这个区间要多小就可以有多小. 设计意图:通过观察函数的图象,让学生得出函数的极小值与极大值的定义,并让学生对函数的极值有一个直观的理解与认识.结合图象让学生理解函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 探究2:观察下图,找出图中的极值点,并说明哪些为极大值点,哪些为极小值点. 师生活动:学生观察思考,教师点评. 分析:如图所示,以 ,两点为例. 在 附近,当时,函数单调递减,;当时,函数单调递增,即当在的附近从小到大经过时, 先负后正,且连续变化,于是有.此时,在 处,函数取得极小值. 类似地,在 附近,当时,函数单调递增,;当时,函数单调递减, .即当在的附近从小到大经过时, 先正后负,且连续变化,于是有.此时,在 处,函数取得极大值. 思考1:结合上图,如何区分极大值与极小值呢? 答:由图象判断,在某点左右,图象先增后减,在此点处取得极大值;图象先减后增,在此点处取得极小值. 思考2:同一个函数的极大值一定大于极小值吗? 答:不一定,比如上图中,在处取到极大值,在处取到极小值,但处的极小值比处的极大值大. 思考3:现在你能说出上图中的极大值点和极小值点吗? 答:为极大值点; 为极小值点. 思考4:函数在其定义域内的极大值点和极小值点唯一吗? 答:不唯一. 思考5:区间的端点能成为极值点吗?为什么? 答:区间的端点不能成为极值点,因为极值点需要用这点两侧的情况进行刻画,而端点只有一侧. 设计意图:设计递进式的问题,让学生进行分解式思考,有利于学生思维的有序展开,便于对概念的辨析和理解.借助直观图象,进行数学抽象,得到判断极值的一个方法,培养学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养. 任务二:求极值的方法 探究:求函数的极值. 师生活动:教师提出问题,启发学生思考,并示范 解答过程. 解:因为,所以. 令,解得,或. 当变化时,,的变化情况如下表所示. 单调递增 单调递减 单调递增 因此,当时,有极大值,并且极大值为; 当时,有极小值,并且极小值为. 思考1:你能根据研究的函数的性质,画出它的大致图象吗? 师生活动:学生尝试画图象,教师展示. 答: 思考2:你能总结用导数求函数的极值的方法吗? 师生活动:教师请几名同学回答,在此基础上引导学生归纳总结. 总结:用导数求函数极值的方法: 一般地,可按如下方法求函数的极值: 解方程,当时: (1)如果在 附近的左侧,右侧,那么是极大值; (2)如果在 附近的左侧,右侧,那么f()是极小值. 设计意图:通过教师示范解答例题,师生共同总结用导数求函数极值的方法,规范学生的解答过程,让学生养成规范列表的良好习惯. 任务三 可导函数在某点取得极值的条件 探究:导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 师生活动:教师依次提出问题后,让学生思考,然后点评. 思考1:函数在 处的导数是多少? 答:因为,在 ,即函数在 处的导数是. 思考2:是函数的极值点吗? 答:导数值在 左右两侧同号,所以 不是极值点. 如下图所示: 思考3:当时,如何判断是否为的极值点? 答:要判断是否为的极值点,一方面要看是否为,还要看在两侧的符号是否相反. 总结:一般地,函数在一点处的导数值为是函数在这点取极值的必要条件,而非充分条件. 设计意图:利用函数,举例说明导数为的点不一定是极值点,让学生体会到函数在一点处的导数值为是函数在这点取极值的必要条件,而非充分条件. (三)应用举例 例1:求下列函数的极值: ; . 师生活动:教师出示例题,学生独立完成求解过程,教师对学生的完成情况进行点评. 解:. 令,解得,或. 当变化时,,的变化情况如下表所示. 1 3 单调递增 单调递减 单调递增 因此,当时,有极大值,并且极大值为; 当时,有极小值,并且极小值为. 函数的定义域为, . 令,解得1. 当变化时,,的变化情况如下表所示. 1 单调递减 单调递增 因此,当时,有极小值,并且极小值为. 无极大值. 总结:1.求函数的极值时,首先要求函数的定义域,然后求的实数根,当实数根较多时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然; 2.求函数的极值的具体步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求方程的根; (3)用方程的根顺次将函数的定义域划分成若干个区间,并列成表格; (4)由在方程的根左右的符号,来判断在这个根处取极值的情况. 设计意图:通过例题的解答,巩固利用导数求函数极值的方法和过程,加深对极值相关概念的理解,发展学生的数学运算等核心素养. (四)课堂练习 1.如图,这是函数的导函数的图象,则( ) A. 在处取得极大值 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减 D. 是的极小值 【答案】AB 解:由图可知当时,; 当时,; 则在,上单调递减,在,上单调递增, 所以是的极大值点,是极小值点,故 A ,B正确,C错误; 因为不是导函数的零点,所以不是的极值,故 D错误. 故选AB. 2.函数的极小值点为( ) A. B. C. D. 【答案】A 解:因为, 所以在,上单调递增,在上单调递减,故极小值点为. 故选: 3.函数在处有极小值,则的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 解:由题意得,因为在处有极小值, 所以,解得, 所以, 令,解得或, 故函数在和上为增函数, 令,解得, 故函数在上为减函数, 所以在处有极小值,符合题意, 所以, 故选:. 4.设,函数的单调增区间是. 求实数; 求函数的极值. 解:函数的定义域为:, 且, 因为函数的单调增区间是, 所以的解集是. 所以方程的解是,, 由根与系数关系得,. 当时,令,则或, 当变化时,,的 变化情况如下表: 极小值 极大值 当时,有极小值; 当时,有极大值. 设计意图:通过课堂练习,检验学生对本节所学内容的掌握情况. (五)归纳总结 回顾本节课的内容,你都学到了什么? 设计意图:通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网(北京)股份有限公司 $$