学易金卷：高二数学下学期第三次月考01（人教A版，范围：选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部）

**基本信息** 以苏轼诗集分配（文化传承）、武汉马拉松志愿服务（社会热点）为情境，梯度设计导数、概率统计等核心知识，适配高二选择性必修内容，体现数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/40|二项式定理、导数切线、线性回归|结合“deepseek”调查考概率应用| |多选|3/18|函数极值、条件概率|多选项分层考查逻辑推理| |填空|3/15|回归方程、切线方程、概率计算|父子身高数据渗透数据观念| |解答|5/77|列联表、排列分配、导数综合、概率分布列|18题盐水检测方案设计（创新应用），19题导数零点问题（能力提升）|

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A D D D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．180 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）设事件表示志愿者是“志愿模范队”成员的事件，事件表示志愿者周平均服务时长超过2小时的事件. 由题可知，，，因为每个志愿者被抽到的可能性相等， 根据古典概型的概率公式得，，.（2分） 由条件概率公式可得，则. 故一名志愿者是“志愿模范队”成员的条件下其周平均服务时长超过2小时的概率为.（5分） （2）由题可得如下列联表： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 提出零假设：是否‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关，确定显著性水平.（8分） 可得，由于，拒绝零假设， 故有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法， 若为1，1，3，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种； 若为1，2，2，则有种分组方式，（2分） 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种， 所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案.（5分） （2）先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法， 然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有种，（8分） 则共有种分配方案， 若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的3人每个项目安排1人即可，有种分配方案， 最后共有种分配方案.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）当时，则， 求导得，则，而，（2分） 所以曲线在点处的切线方程为，即.（5分） （2）函数的定义域为，求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，无极值；（8分） 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值， 所以当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）依题意，检测10次才把含盐水的混合样本都检测到，意味着前9次检测出1份含盐水样本和8份清水样本，第10次检测出剩下的1份含盐水样本， 从2份含盐水样本中选1份含盐水样本，组合数为， 从8份清水样本中选8份清水样本，组合数为， 前9次检测的排列数为，总的10次检测的排列数为， 根据古典概型概率计算公式，检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率为：.（3分） （2）依题意，的可能取值为， ， ，（5分） 得的分布列为： 15 20 得的数学期望.（8分） （3）依题意，的可能取值为， ， ，（10分） 得的分布列为： 15 25 得的数学期望.（15分） .（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时，，， 则. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间.（3分） （2）由，得，. 因为当时，恒成立， 所以是在区间上的最小值， 即当时，是的极小值点， 所以，解得. 当时，. 令，则.（5分） 由（1）知， 所以当时， 恒成立， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增. 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，符合题意. 故.（8分） （3）因为，所以， 由（1）知. 又当时，， 所以当时，， 所以当时，在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 故当时，， 此时在区间上无零点，不符合题意，舍去.（13分） 当时，令， 则. 当时，，单调递增. 又，当时，，所以存在，使. 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增.（15分） 因为，当时，， 所以当时，在区间上有唯一零点. 综上，若在区间上存在零点，则的取值范围是.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 1．【答案】B 【解析】二项式的展开式的通项为， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：B. 2．已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．【答案】D 【解析】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 3．设，且，则（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 3．【答案】A 【解析】由对称性质知，且， 又， 所以. 故选：A. 4．相关变量的样本数据如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 a 5 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．当每增加1时，一定增加1.5 B．当每增加13时，一定增加8 C． 与呈负相关 D． 4．【答案】D 【解析】对于A，因为回归直线方程为，故当每增加1时，增加约为 ， 故A错误； 对于B，因为回归直线方程为，故当每增加13时，增加约为， 故B错误； 对于C，因为，故与呈正相关，故C错误； 对于D，，故，故，故， 故D正确； 故选：D. 5．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．【答案】D 【解析】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 6．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 6．【答案】D 【解析】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D. 7．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 7．【答案】C 【解析】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：C. 8．若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．【答案】C 【解析】由于函数在上均单调递增，故均至多有一个零点， 而不等式恒成立， 若，则需恒成立，由于的值域为R，故不恒成立； 故，则有公共零点，设为， 则，即， 故， 令，则， ，由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 则时，；时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为1， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（   ） A． B． C． D． 9．【答案】AC 【解析】∵，∴令得，故选项A正确； 由展开式的通项公式， 令得，所以，故选项B不正确； 令得，故选项C正确； 令得，两式相减得， 故，故选项D不正确. 故选：AC. 10．甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出两球，记表示事件“甲罐取出的球是红球”，记表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”，则（   ） A． B． C． D． 10．【答案】BCD 【解析】A选项，由条件概率知：，选项错误； B选项，由条件概率知：，B选项正确； C选项，， 由全概率公式知：，C选项正确； D选项，由条件概率知：， 又，选项正确. 故选：BCD. 11．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 11．【答案】ACD 【解析】对于A，由题知，，， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，且为，故A正确； 对于B，因为，，且当时，， 且时，， 所以可得草图如下， 有1个零点，则B错误； 对于C，假设，则， 所以，则， 又时，，单调递减，， 所以成立，故C正确； 对于D，若在上恒成立， 则，令，则， 令，则， 故在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，故，故D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知儿子的身高与父亲的身高有关，某兴趣小组统计了5组父子的身高数据，如下表： 父亲身高 166 168 172 178 186 儿子身高 169 175 175 181 若关于的经验回归方程为，则___________． 12．【答案】180 【解析】由题设，， 所以，可得. 故答案为：180. 13．曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数___________. 13．【答案】 【解析】对于，当时，又，所以， 切线斜率为，切点为； 则曲线在处的切线为， 令，则，设切点， 由，解得. 故答案为：. 14．一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________. 14．【答案】 【解析】由题可知，，即，解得， 则X的可能取值为， ，， ，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过2小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 15．（13分） 【解析】（1）设事件表示志愿者是“志愿模范队”成员的事件，事件表示志愿者周平均服务时长超过2小时的事件. 由题可知，，，因为每个志愿者被抽到的可能性相等， 根据古典概型的概率公式得，，. 由条件概率公式可得，则. 故一名志愿者是“志愿模范队”成员的条件下其周平均服务时长超过2小时的概率为. （2）由题可得如下列联表： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 提出零假设：是否‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关，确定显著性水平. 可得，由于，拒绝零假设， 故有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关. 16．（15分） 2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 (1)若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ (2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 16．（15分） 【解析】（1）将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法， 若为1，1，3，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种； 若为1，2，2，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种， 所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案. （2）先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法， 然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有种， 则共有种分配方案， 若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的3人每个项目安排1人即可，有种分配方案， 最后共有种分配方案. 17．（15分） 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 17．（15分） 【解析】（1）当时，则， 求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值， 所以当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值. 18．（17分） 有50杯无色透明的液体，其中有48杯清水与2杯盐水，某学习小组想要快速找出这2杯盐水，他们设计了如下方案：将这50杯液体随机分成10组，每组5杯，将同组内的所有液体取样混合，第一轮对每组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测． (1)若第一轮10份混合样本中有2份含盐水，求检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率； (2)若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为，求的分布列和数学期望； (3)在（2）的条件下，若将这50杯液体改为随机分成5组，每组10杯，采用相同的检测方法，设检测的总次数为，试判断与的大小． 18．（17分） 【解析】（1）依题意，检测10次才把含盐水的混合样本都检测到，意味着前9次检测出1份含盐水样本和8份清水样本，第10次检测出剩下的1份含盐水样本， 从2份含盐水样本中选1份含盐水样本，组合数为， 从8份清水样本中选8份清水样本，组合数为， 前9次检测的排列数为，总的10次检测的排列数为， 根据古典概型概率计算公式，检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率为：. （2）依题意，的可能取值为， ， ， 得的分布列为： 15 20 得的数学期望. （3）依题意，的可能取值为， ， ， 得的分布列为： 15 25 得的数学期望. . 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，恒成立，求的值； (3)若在区间上存在零点，求的取值范围. 19．（17分） 【解析】（1）当时，，， 则. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）由，得，. 因为当时，恒成立， 所以是在区间上的最小值， 即当时，是的极小值点， 所以，解得. 当时，. 令，则. 由（1）知， 所以当时， 恒成立， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增. 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，符合题意. 故. （3）因为，所以， 由（1）知. 又当时，， 所以当时，， 所以当时，在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 故当时，， 此时在区间上无零点，不符合题意，舍去. 当时，令， 则. 当时，，单调递增. 又，当时，，所以存在，使. 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增. 因为，当时，， 所以当时，在区间上有唯一零点. 综上，若在区间上存在零点，则的取值范围是. / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 2．已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．设，且，则（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 4．相关变量的样本数据如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 a 5 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．当每增加1时，一定增加1.5 B．当每增加13时，一定增加8 C． 与呈负相关 D． 5．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 7．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 8．若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（   ） A． B． C． D． 10．甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出两球，记表示事件“甲罐取出的球是红球”，记表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”，则（   ） A． B． C． D． 11．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知儿子的身高与父亲的身高有关，某兴趣小组统计了5组父子的身高数据，如下表： 父亲身高 166 168 172 178 186 儿子身高 169 175 175 181 若关于的经验回归方程为，则___________． 13．曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数___________. 14．一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过2小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 16．（15分） 2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 (1)若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ (2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 17．（15分） 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 18．（17分） 有50杯无色透明的液体，其中有48杯清水与2杯盐水，某学习小组想要快速找出这2杯盐水，他们设计了如下方案：将这50杯液体随机分成10组，每组5杯，将同组内的所有液体取样混合，第一轮对每组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测． (1)若第一轮10份混合样本中有2份含盐水，求检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率； (2)若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为，求的分布列和数学期望； (3)在（2）的条件下，若将这50杯液体改为随机分成5组，每组10杯，采用相同的检测方法，设检测的总次数为，试判断与的大小． 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，恒成立，求的值； (3)若在区间上存在零点，求的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 2．已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．设，且，则（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 4．相关变量的样本数据如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 a 5 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．当每增加1时，一定增加1.5 B．当每增加13时，一定增加8 C． 与呈负相关 D． 5．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 7．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 8．若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（   ） A． B． C． D． 10．甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出两球，记表示事件“甲罐取出的球是红球”，记表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”，则（   ） A． B． C． D． 11．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知儿子的身高与父亲的身高有关，某兴趣小组统计了5组父子的身高数据，如下表： 父亲身高 166 168 172 178 186 儿子身高 169 175 175 181 若关于的经验回归方程为，则___________． 13．曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数___________. 14．一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过2小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 16．（15分） 2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 (1)若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ (2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 17．（15分） 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 18．（17分） 有50杯无色透明的液体，其中有48杯清水与2杯盐水，某学习小组想要快速找出这2杯盐水，他们设计了如下方案：将这50杯液体随机分成10组，每组5杯，将同组内的所有液体取样混合，第一轮对每组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测． (1)若第一轮10份混合样本中有2份含盐水，求检测10次才把含盐水的混合样本都检测到的概率； (2)若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为，求的分布列和数学期望； (3)在（2）的条件下，若将这50杯液体改为随机分成5组，每组10杯，采用相同的检测方法，设检测的总次数为，试判断与的大小． 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，恒成立，求的值； (3)若在区间上存在零点，求的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $