学易金卷：高一数学下学期第三次月考01（人教A版，范围：必修第二册第六～九章）

**基本信息** 聚焦人教A版必修第二册第六章至第九章，以航天知识竞赛、3D打印等真实情境为载体，通过复数、向量、统计与立体几何的综合考查，发展数学眼光、思维与语言，适配高一月考能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数几何意义、分层抽样、向量运算、统计量计算|第9题结合航天竞赛频率分布直方图考查数据分析，第5题3D打印棱台表面积体现应用意识| |填空题|3/15|分位数、复数运算、棱台体积与外接球|第14题正四棱台外接球表面积综合空间想象与运算能力| |解答题|5/77|复数方程、向量夹角、统计案例、解三角形、立体几何翻折|第19题矩形翻折问题层层递进，考查面面垂直证明、点面距离及二面角，凸显逻辑推理与直观想象|

2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为（   ） A．400 B．500 C．600 D．800 3．设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 4．下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（    ） A．该队员得分的平均数是10 B．该队员得分的极差是27 C．该队员得分的第四十百分位数是7 D．该队员得分的方差是48.4 5．乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（    ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A． B． C． D． 6．已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四面体中，，为棱的中点，且，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 10．已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为2 B．当时，求与夹角为 C．若在方向上的投影向量的模为，则或 D．若与夹角为钝角，则的取值范围是 11．如图，在三棱锥中，，为的中点，点是棱上的中点，则（   ） A．与平面所成的角为 B．异面直线与所成角的正弦值为 C．二面角的余弦值为 D．点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数__________. 13．已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为__________. 14．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 16．（15分） 已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 17．（15分） 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 18．（17分） 在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 19．（17分） 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为（   ） A．400 B．500 C．600 D．800 3．设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 4．下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（    ） A．该队员得分的平均数是10 B．该队员得分的极差是27 C．该队员得分的第四十百分位数是7 D．该队员得分的方差是48.4 5．乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（    ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A． B． C． D． 6．已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四面体中，，为棱的中点，且，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 10．已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为2 B．当时，求与夹角为 C．若在方向上的投影向量的模为，则或 D．若与夹角为钝角，则的取值范围是 11．如图，在三棱锥中，，为的中点，点是棱上的中点，则（   ） A．与平面所成的角为 B．异面直线与所成角的正弦值为 C．二面角的余弦值为 D．点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数__________. 13．已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为__________. 14．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 16．（15分） 已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 17．（15分） 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 18．（17分） 在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 19．（17分） 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．【答案】B 【解析】因为， 所以在复平面对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 2．某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为（   ） A．400 B．500 C．600 D．800 2．【答案】C 【解析】容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则抽到的男生有30人， 则该校高三男生人数为． 故选：C． 3．设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 3．【答案】C 【解析】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 4．下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（    ） A．该队员得分的平均数是10 B．该队员得分的极差是27 C．该队员得分的第四十百分位数是7 D．该队员得分的方差是48.4 4．【答案】D 【解析】该队员得分的平均数是，故A正确； 极差是，故B正确； ，所以第百分位数是，故C正确； 方差是，故D错误. 故选：D. 5．乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（    ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A． B． C． D． 5．【答案】B 【解析】如图，盘子侧面等腰梯形的高为，底面面积为， 侧面六个等腰梯形的面积之和为， 所以每个盘子需要刷涂料的面积， 所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料. 故选:B. 6．已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．【答案】C 【解析】由，可得 又 所以解得： 所以 又所以 所以与的夹角为． 故选：C. 7．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．【答案】D 【解析】因为， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又，所以， 又， 所以， 所以 ， 所以当，即时，取得最大值，且. 故选：D. 8．如图，在四面体中，，为棱的中点，且，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】因为点为的中点，且，所以， 又因为，可得， 取的中点，连接，如图所示，则，且， 因为，所以，所以为二面角的平面角，, 在中，， 由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 9．【答案】ABD 【解析】对于A，由频率分布直方图可得， 解得，故A正确； 对于B，成绩在内的人数为人，B正确； 对于C，90分以上的频率为，故估计有的学生获一等奖，故C错误； 对于D，上四分位数即为第百分位数， 而前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故名学生成绩的上四分位数为分， 故选：ABD. 10．已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为2 B．当时，求与夹角为 C．若在方向上的投影向量的模为，则或 D．若与夹角为钝角，则的取值范围是 10．【答案】BC 【解析】对于A，向量，且，所以，则，故A错误； 对于B，时，，则，所以与的夹角为，故B正确； 对于C，由已知在方向上的投影向量的模为， 所以，解得或，故C正确； 对于D，若与夹角为钝角，则且与不共线， 所以且，故D错误. 故选：BC. 11．如图，在三棱锥中，，为的中点，点是棱上的中点，则（   ） A．与平面所成的角为 B．异面直线与所成角的正弦值为 C．二面角的余弦值为 D．点到平面的距离为 11．【答案】ACD 【解析】在三棱锥中，由，为的中点，得, 由，得点在平面上的射影到三顶点的距离相等， 即点在平面上的射影为点，因此平面， 对于A，是与平面所成的角，而为正三角形，则，A正确； 对于B，由点是的中点，得，则是异面直线与所成的角， 而，，则，B错误； 对于C，取中点，连接，则， 是二面角的平面角，，C正确； 对于D，由选项C，得平面，而平面，则平面平面， 在平面内过点作于，而平面平面， 则平面，， 因此点到平面的距离为，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数__________. 12．【答案】7 【解析】样本数据由小到大排序为：5，5，6，6，8，8，9，10，11，14，共10个， 又，则样本数据的分位数为． 故答案为：7． 13．已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为__________. 13．【答案】 【解析】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为：. 14．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为__________． 14．【答案】 【解析】已知，，则上底面积，下底面积，体积 ， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 15．（13分） 【解析】（1）由题可得，，且， 由得或，由，得， 故． （2）当时，， 代入关于的方程，得， 整理得，， 因为为实数，所以， 解得，故实数的值分别为4，13. 16．（15分） 已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 16．（15分） 【解析】（1）由题意可得， 因为， 所以. （2）， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 17．（15分） 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 17．（15分） 【解析】（1）由频率之和为结合频率分布直方图， 可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． （2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 18．（17分） 在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 18．（17分） 【解析】（1）由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即； （2）由题设，则， 所以， 所以三角形周长为； （3）由（1）知，则，而，得， 所以， 而，故， 则的范围为. 19．（17分） 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 19．（17分） 【解析】（1）由题意知，所以， 即，所以， 又在矩形中，且平面， 所以平面， 而平面，故平面平面． （2）由可得，又由（1）知平面， 所以， 设点到平面的距离为，则， 又，所以，即． （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面平面，故， 因为平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角， 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故， 又，则，所以， 故二面角的余弦值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C D B C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．7 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题可得，，且， 由得或，由，得， 故．（5分） （2）当时，， 代入关于的方程，得， 整理得，，（8分） 因为为实数，所以， 解得，故实数的值分别为4，13.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意可得，（2分） 因为， 所以.（5分） （2）， 因为，所以，（8分） 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由频率之和为结合频率分布直方图， 可得， 解得， 样本成绩的平均数约为．（4分） （2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）．（9分） （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即；（3分） （2）由题设，则，（5分） 所以， 所以三角形周长为；（8分） （3）由（1）知，则，而，得， 所以，（13分） 而，故， 则的范围为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题意知，所以， 即，所以， 又在矩形中，且平面， 所以平面， 而平面，故平面平面．（3分） （2）由可得，又由（1）知平面， 所以，（5分） 设点到平面的距离为，则， 又，所以，即．（8分） （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面平面，故， 因为平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角，（13分） 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故，（15分） 又，则，所以， 故二面角的余弦值为．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）