专题10定义 命题 证明复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期.

专题10定义 命题 证明复习讲义（苏科版） 高效复习◆重点 1.定义辨析：精准识别定义，明确其准确性、，能区分“定义”与“普通命题”。 2.命题应用：（1）判断语句是否为命题；（2）规范改写命题为“如果……那么……”形式，准确提取题设与结论；（3）区分真假命题，掌握假命题的反例举法；（4）理解互逆命题、互逆定理的概念，能判断两个命题是否为互逆命题。 3.证明规范：牢记证明5大步骤，核心掌握“每步推理必有依据”（标注公理、定理、定义），规范书写“已知”“求证”，杜绝步骤跳跃、循环证明。 4逻辑关联：明确“定义→命题→证明”的内在逻辑——定义是命题的基础，证明是验证真命题的手段，假命题无需证明，举反例即可否定；了解互逆命题与原命题的关系。 核心题型◆归纳题型 题型1判断是否是命题 题型2写出命题的题设与结论 题型3判断命题真假 题型4举例说明假（真）命题 题型5写出命题的逆命题 题型6写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型7以代数为背景的推理与论证 题型8互逆定理 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点01定义 1.含义：对一个概念的本质特征或术语意义的明确描述是定义。 2.核心要点： （1） 准确性：表述清晰严谨，无模糊标准。 例如：“胖的人”不能作为“肥胖”的定义。 （2） 规范性：数学中约定俗成的固定表述，不可随意修改。 例如“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形”。 知识点02命题 1. 含义：判断一件事情的语句是命题。 核心：特征是“判断性”，要么肯定、要么否定。疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 2.核心结构：每个命题由题设（条件）和结论两部分组成，可改写为“如果……，那么……”的形式： 题设：“如果”后接的内容，是命题成立的前提； 结论：“那么”后接的内容，是由题设推出的结果。 3.提示：未直接用“如果……那么……”表述的命题，需在不改变原意的前提下改写，再提取题设与结论（如“对顶角相等”改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”）。 3.命题分类（按真假性） 类型 定义 示例 真命题 题设成立时，结论一定成立的正确命题。 1.两直线平行，同位角相等；2.等式两边加同一个数，等式仍成立。 假命题 题设成立时，结论不一定成立的错误命题。 1.相等的角是对顶角；2.若a²=b²，则a=b。 4.易错提醒： （1）假命题也是命题，只是判断错误，并非“不是命题”。 （2）改写命题不可改变原意，避免颠倒题设与结论。 例如：不可将“等腰三角形两底角相等”改写为“如果两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”。 知识点03互逆命题与互逆定理 1.互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。 补充说明：① 原命题：我们把其中一个命题叫做原命题；② 逆命题：另一个命题叫做原命题的逆命题；③ 任何一个命题都有逆命题，但原命题为真命题时，其逆命题不一定为真命题。 2.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理。其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 补充说明：① 互逆定理一定是互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理。 只有逆命题为真命题时，才可称为互逆定理； 3.易错提醒：原命题与逆命题的真假性相互独立，不能根据原命题的真假判断逆命题的真假；只有经过证明为真的逆命题，才能与原定理构成互逆定理。 知识点04证明 1.含义：依据已知真命题（如：公理、定理、定义），通过逻辑推理，验证一个命题是否为真命题的过程是证明。 核心：验证命题真假——真命题需证明，假命题只需举反例。 2.证明依据： （1）公理：长期实践检验、公认正确，无需证明可直接使用. 例如：“两点确定一条直线”“两点之间，线段最短”。 （2） 定理：经证明为真命题，可作为后续证明的依据. 例如“对顶角相等”“三角形内角和为180°”。 （3） 定义：已学各类概念的规范定义. 例如“直角三角形的定义”“平行线的定义”。 3.证明的规范步骤： （1）审题：明确命题的题设与结论，分清已知条件和待证明的结论； （2）画图：根据题意画出图形（如需），标注字母及已知条件，贴合命题要求； （3）写已知、求证：用规范数学语言，明确表述题设（已知）和结论（求证）； （4）推理证明：从“已知”出发，每一步推理均标注依据，逐步推导至结论； 得出结论：用“∴”引出求证结果，确保推理闭环。 4.反例的作用：证明假命题的关键，只需找出“满足题设但不满足结论”的例子即可。 例如：证明“相等的角是对顶角”为假命题，反例：等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角）。 题型解析◆精准备考 题型1判断是否是命题 1．下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 【答案】D 【分析】定义是对某一名称或术语的含义作出明确规定的语句，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：、两直线平行，同位角相等是平行线的性质定理，不是定义； 、同角的余角相等是经过证明的定理，不是定义； 、垂线段最短是基本事实，不是定义； 、有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，对直角三角形的含义作出了明确规定，属于定义． 2．判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；（       ） ②画一个角等于已知角；（       ） ③两直线平行，同位角相等；（       ） ④a，b两条直线平行吗？（       ） 【答案】是，不是，是，不是 【分析】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题是可以用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，分析每个句子是否符合这一定义即可． 【详解】解：①“对顶角相等”是陈述句，且可以判断真假（真），因此是命题； ②“画一个角等于已知角”是动作描述，不是陈述句，无法判断真假，因此不是命题； ③“两直线平行，同位角相等”是陈述句，且可以判断真假（真），因此是命题； ④“a，b两条直线平行吗？”是疑问句，不是陈述句，无法判断真假，因此不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 3．在讨论“内错角相等”是不是命题时，甲认为：这不是命题，因为这句话是错误的．乙认为：这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，你认为谁的说法是正确的？ 【答案】乙的说法正确 【分析】本题考查命题的定义，判断命题的真假． 根据命题的定义判断即可． 【详解】解：乙的说法正确．判断某一语句是不是命题要抓住两条：①命题是一个完整的句子，通常是陈述句，疑问句和祈使句都不是命题；②命题要对某件事情作出肯定或否定的判断． “内错角相等”满足上述两个条件，是假命题． 因此乙的说法正确． 题型2写出命题的题设与结论 1．对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 【答案】D 【分析】先将命题改写为“如果那么”的形式，明确题设与结论，再结合平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：将命题“同位角相等”改写为“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”由此可得题设为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等” ∵只有两直线平行时，同位角才相等，原命题未限定平行条件，因此原命题是假命题， 又∵定理是经过证明的真命题，原命题为假命题，因此它不是定理，再逐项判断选项： 、题设应为两个角是同位角，本选项错误； 、结论应为“这两个角相等”，本选项错误； 、原命题是假命题，本选项错误； 、原命题是假命题，因此不是定理，本选项正确． 2．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 【答案】如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 【分析】先找出该命题的条件与结论，再将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设为两个角相等，结论为这两个角的余角相等，因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 3．如图，给出如下三个关系：①；②；③．选择其中两个作为条件，剩余一个作为结论，组成一个真命题． (1)你组合的命题条件为_____，结论为__________；（填字号即可） (2)请你证明这个命题． 【答案】(1)①②，③或①③，②或②③，① (2)见解析 【分析】（1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的判定和性质，即可证得． 【详解】（1）解：组合的命题为条件①②；结论③或条件①③；结论②或条件②③；结论① （2）解：条件①②；结论③，证明如下： ， ， ， ， ； 条件①③；结论②，证明如下： ， ， ， ， ； 条件②③；结论①，证明如下： ， ， ； ， ． 题型3判断命题真假 1．下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．在同一平面内，如果，，那么 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据对顶角定义，同一平面内直线的位置关系，平行线的性质，平行公理的推论逐一判断选项． 【详解】解：A 选项：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行形成的同位角相等但不是对顶角，因此 A 是假命题； B 选项：∵在同一平面内，，，∴，因此 B 是假命题； C 选项：只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，选项未说明两条直线平行，因此 C 是假命题； D 选项：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，∵，∴，因此 D 是真命题． 2．下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 【答案】3 【分析】根据对顶角的性质，平行线的判定与性质，逐个判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题未说明两条直线平行，是假命题； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题； ④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，是真命题． 综上，真命题共有个． 3．回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】(1)1；两直线平行，内错角相等；1；等量代换；；；内错角相等，两直线平行 (2)两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，证明，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据互逆命题的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2） 解：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” 是互逆的真命题． 题型4举例说明假（真）命题 1．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．，B．，C．， D．， 【答案】C 【详解】解：选项A：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项B：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项C：，，满足，但，不满足结论，是符合要求的反例； 选项D：，，满足，且，满足结论，不是反例． 2．请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 3．定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． (1)验证：判断数对是否为异差数对； (2)推理证明：当时，数对一定是异差数对； (3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 【答案】(1)数对是异差数对． (2)见解析． (3)该命题是假命题．反例不唯一，例如异差数对满足条件，但，不满足． 【分析】（1）代入数值计算，根据异差数对的定义验证判断即可． （2）由得出，进而得出，即可证明． （3）由（2）可知原命题不成立，然后举反例即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴数对是异差数对． （2）证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 即数对一定是异差数对． （3）解：该命题是假命题． 由（2）的结论可知，当时，数对也可以是异差数对，因此原命题不成立． 举反例：数对是异差数对，其中，，满足是异差数对，但，不满足，原命题是假命题． 题型5写出命题的逆命题 1．已知下列命题①若，，则；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先分别写出每个命题的逆命题，再逐一判断原命题与逆命题的真假，统计出两者均为真命题的个数． 【详解】解：①原命题：若，，则．原命题为真命题． 逆命题若，则，． 反例：，，，但，逆命题为假命题． ②原命题：若，则． 反例：，，，但，原命题为假命题． ③原命题：两直线平行，同位角相等．原命题为真命题． 逆命题：同位角相等，两直线平行．逆命题为真命题． ④原命题：对顶角相等．原命题为真命题． 逆命题：相等的角是对顶角．反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角，逆命题为假命题． 综上，原命题与逆命题均为真命题的个数是． 2．命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“等腰三角形的两底角相等”中， 题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它有两个角相等”， 交换题设和结论，得到逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 3．如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：∵，， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴ （ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 写出本题所用到的互逆命题： ． 【答案】见详解 【分析】利用平行线的性质和等量代换可得出结论． 【详解】证明：∵，， 又∵（已知）， ∴（等角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 写出本题所用到的互逆命题： 内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 ． 题型6写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 2．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 3．求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题中的证明举例，熟练掌握知识点是解题的关键． 先写出已知，求证，再证明即可． 【详解】解：已知：是两个连续的自然数． 求证：是偶数． 证明：当n是奇数时，就是偶数，所以是偶数． 当n是偶数时，是偶数． 综上所述，是偶数． 即两个连续自然数的积是偶数． 题型7以代数为背景的推理与论证 1．为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【解析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论． 【详解】解： 第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位， 第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位， 第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐， 第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人， 重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐， 重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人． 故选：B． 【点睛】本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是______． 【答案】 【分析】本题考查的是数字类的逻辑推理，利用规则进行列表，从而可得答案. 【详解】解：五人依次记为，从开始报数： 如下表： （小明） （小华） 第一轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第二轮 拍手 报数 报数 拍手 报数 第三轮 报数 拍手 拍手 报数 拍手 第四轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第五轮 拍手 报数 拍手 拍手 报数 第六轮 报数 拍手 报数 报数 报数 ∵小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．” ∴游戏结束时对应的数字是； 故答案为： 3．桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________． 【答案】或 【分析】本题考查推理与论证，认真分析题干描述的过程得勺子在最左边或最右边，然后再分类讨论，即可作答． 【详解】解：根据题意，若完成上述三个步骤后，勺子的位置未发生改变， 则勺子在最左边或最右边， 当勺子在最左边时，则筷子在勺子的右边，杯子在最右边； 当勺子在最右边时，则杯子在勺子的左边，筷子在最左边； ∴三样物品的初始摆放位置从左到右依次是或， 故答案为：或． 题型8互逆定理 1．下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 【答案】A 【详解】解：真命题的逆命题不一定是真命题，例如，对顶角相等是真命题，其逆命题为相等的角是对顶角是假命题，故A是真命题； 对顶角相等的逆命题不成立，即没有逆定理，故B是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C是假命题； “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故D是假命题． 2．定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”，但相等的角不一定是对顶角，因此逆命题不成立，故没有逆定理． 【详解】解：定理“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 然而，相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角； 或者，两直线平行时同位角相等，但它们也不是对顶角． 因此，逆命题不成立，所以原定理没有逆定理． 故答案为：没有． 3．写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 【答案】“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”．原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题；如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，进行求解即可． 【详解】解：“相等的角是内错角”这个命题的逆命题是：“内错角相等”．原命题：相等的角不一定是内错角，是假命题；内错角也不一定是相等的，也是假命题；原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【点睛】本题主要考查了逆命题与互逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列语句中，假命题有（   ） （1）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（2）不相等的两个角一定不是对顶角；（3）直角的补角必是直角；（4）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（6）两角之和为，这两个角一定是邻补角；（7）若则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，判断为真的命题就是真命题，判断为假的命题就是假命题． 根据平行线的基本事实，平行线的性质和判定等，逐项判断，即可求解． 【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题； （2）不相等的两个角一定不是对顶角，是真命题； （3）直角的补角必是直角，是真命题； （4）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； （5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； （6）两角之和为，这两个角不一定是邻补角，原命题是假命题； （7）若则，是真命题． 假命题有4个． 故选：C 2．下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 【答案】B 【分析】命题的定义为：判断一件事情的语句叫做命题．根据定义判断语句是否对一件事情作出判断即可得到结果． 【详解】解：选项A、画一条线段是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项B、对顶角相等，对对顶角的大小关系作出了明确判断，符合命题的定义． 选项C、过点作直线的垂线是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项D、今天天气好吗？是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题． 3．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查命题的组成，命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果，掌握命题题设与结论的区分方法是解题关键． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”可改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”． ∴该命题的题设是“同位角相等”． 4．下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角一定互补 C．垂线段一定最短 D．两点之间线段最短 【答案】D 【分析】根据对顶角的概念，同旁内角的性质，垂线段的性质，两点之间线段最短的基本事实，逐一判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如角平分线平分得到的两个角相等，但不是对顶角，因此该命题是假命题，故A不符合题意； B、∵只有两条平行线被第三条直线所截得到的同旁内角才互补， ∴“同旁内角一定互补”缺少前提条件，该命题是假命题，故B不符合题意； C、∵“垂线段最短”的前提是“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，原命题缺少前提， ∴C选项的命题是假命题，故C不符合题意； D、两点之间线段最短，是平面几何的基本事实，该命题是真命题，故D符合题意． 5．下列命题是假命题的是（   ） A．平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂线段最短 C．同位角相等 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判断，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，根据相关基本性质逐一判断即可. 【详解】解： A选项 平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行线基本性质，是真命题； B选项 垂线段最短，符合垂线的性质，是真命题； C选项 只有两直线平行时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，结论不成立，是假命题； D选项 两点之间，线段最短，符合线段的基本性质，是真命题； 6．下列说法正确的是（   ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．原命题与逆命题同为真命题或同为假命题 D．定理的逆命题是真命题 【答案】A 【分析】根据命题，逆命题，定理，逆定理的基本概念，根据相关概念逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：根据定义，交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 任意命题都可以写成“如果…那么…”的形式，都能交换题设和结论得到逆命题，故每个命题都有逆命题，选项A正确． 定理是经过证明的真命题，只有定理的逆命题也是真命题时，原定理才有逆定理；若逆命题为假，原定理没有逆定理，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，原定理没有逆定理，因此B错误． 原命题的真假和逆命题的真假没有必然关系，原命题为真时逆命题可以为假，例如“对顶角相等”原命题为真，逆命题为假，因此原命题与逆命题不一定同真同假，C错误． 定理的逆命题既可能是真命题也可能是假命题，因此D错误． 二、填空题 7．“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 8．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 9．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 10．袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5，黑色球上标有数字6，红色球上标的数字看不清．现从袋中拿出8个球，其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数．已知8个球上的数字和是39，那么红色球上标的数字是___________；拿出黑色球的个数是___________． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了逻辑推理，先确定红色球个数的可能取值，再分类讨论是解题的关键；分别讨论红色球的个数，再根据黄色球和黑色球个数的限制条件列出所有可能组合，最后通过数字和计算红色球的数字并验证是否为整数即可． 【详解】解：黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数， 红色球只可能有4、5、6个， 若红色球6个，则黄色球1个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球5个，黄色球1个，黑色球2个，   则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球5个，黄色球2个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球4个，黄色球1个，黑色球3个， 则红色球标的数字为： ； 若红色球4个，黄色球2个，黑色球2个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球4个，黄色球3个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 红色球上标的数字是4；拿出黑色球的个数是3． 故答案为：4，3． 11．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 12．“互逆定理”是指两个定理之间的关系，其中一个定理是另一个定理的_________． 【答案】逆定理 【分析】本题考查了互逆定理．互逆定理是指两个定理之间，一个定理的题设和结论是另一个定理的结论和题设． 【详解】解：在初中数学中，互逆定理描述的是两个定理互为逆定理的关系，即第一个定理的题设是第二个定理的结论，第一个定理的结论是第二个定理的题设． 因此，其中一个定理是另一个定理的逆定理． 故答案为：逆定理． 三、解答题 13．如图，已知，直线交于点平分，平分，试说明：． (1)将此题的条件与结论用一般的命题形式叙述出来； (2)你能进一步总结平行线中“三线八角”的平分线之间的关系吗？ 【答案】(1)如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直 (2)能，见解析 【分析】（1）根据题意一般的命题形式叙述出来； （2）根据平行线的性质以及角平分线的定义，证明或，即可得出结论． 【详解】（1）解：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． （2）平行线中“三线八角”的平分线互相垂直，理由如下， 如图，过点作 ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即， 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ ∴平行线中“三线八角”的平分线互相垂直或平行 14．判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 【答案】真命题，证明见解析 【分析】根据不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变 ,可得， ，由此即可判断命题的真假性． 【详解】证明： ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ 因此原命题是真命题． 15．请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 【答案】(1)例如，两个的角相等，但它们不是直角． (2)例如，，，则，但，． (3)例如，，，则，但不是钝角． 【分析】本题考查举反例证明假命题的方法．对于每个命题，需要找出一个实例满足条件但不满足结论，从而说明命题不成立．反例需基于初中数学知识，如角的概念、有理数运算等． （1）根据原命题举出反例即可求解； （2）根据原命题举出反例即可求解； （3）根据原命题举出反例即可求解． 【详解】（1）解：两个角相等时，不一定都是直角， 例如，两个的角，它们相等，但都是锐角，不是直角． ∴命题“相等的角是直角”是假命题． （2）解：∵如果，和可能互为相反数， 例如，，，此时，但，． ∴命题“如果，那么，”是假命题． （3）解：如果，可能不是钝角， 例如，（锐角），，则，但是锐角，不是钝角． ∴命题“如果，那么是钝角”是假命题． 16．写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假． 【答案】逆命题：同位角相等，两直线平行；真命题 【分析】本题主要考查的是写出一个命题的逆命题的方法的知识点，简单概括为条件和结论互相交换位置就是互逆命题的联系，此命题和逆命题都是常见的平行线的判定和性质，都是真命题． 【详解】解：∵原命题的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”， ∴交换题设和结论得到逆命题：“同位角相等，两直线平行”， 这个逆命题是真命题，是平行线的判定定理． 故答案为：逆命题：同位角相等，两直线平行；真命题． 17．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 18．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10定义 命题 证明复习讲义（苏科版） 高效复习◆重点 1.定义辨析：精准识别定义，明确其准确性、，能区分“定义”与“普通命题”。 2.命题应用：（1）判断语句是否为命题；（2）规范改写命题为“如果……那么……”形式，准确提取题设与结论；（3）区分真假命题，掌握假命题的反例举法；（4）理解互逆命题、互逆定理的概念，能判断两个命题是否为互逆命题。 3.证明规范：牢记证明5大步骤，核心掌握“每步推理必有依据”.（标注公理、定理、定义），规范书写“已知”“求证”，杜绝步骤跳跃、循环证明。 4逻辑关联：明确“定义→命题→证明”的内在逻辑——定义是命题的基础，证明是验证真命题的手段，假命题无需证明，举反例即可否定；了解互逆命题与原命题的关系。 核心题型◆归纳题型 题型1判断是否是命题 题型2写出命题的题设与结论 题型3判断命题真假 题型4举例说明假（真）命题 题型5写出命题的逆命题 题型6写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型7以代数为背景的推理与论证 题型8互逆定理 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点01定义 1.含义：对一个概念的本质特征或术语意义的明确描述是定义。 2.核心要点： （1） 准确性：表述清晰严谨，无模糊标准。 例如：“胖的人”不能作为“肥胖”的定义。 （2） 规范性：数学中约定俗成的固定表述，不可随意修改。 例如“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形”。 知识点02命题 1. 含义：判断一件事情的语句是命题。 核心：特征是“判断性”，要么肯定、要么否定。疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 2.核心结构：每个命题由题设（条件）和结论两部分组成，可改写为“如果……，那么……”的形式： 题设：“如果”后接的内容，是命题成立的前提； 结论：“那么”后接的内容，是由题设推出的结果。 3.提示：未直接用“如果……那么……”表述的命题，需在不改变原意的前提下改写，再提取题设与结论（如“对顶角相等”改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”）。 3.命题分类（按真假性） 类型 定义 示例 真命题 题设成立时，结论一定成立的正确命题。 1.两直线平行，同位角相等；2.等式两边加同一个数，等式仍成立。 假命题 题设成立时，结论不一定成立的错误命题。 1.相等的角是对顶角；2.若a²=b²，则a=b。 4.易错提醒： （1）假命题也是命题，只是判断错误，并非“不是命题”。 （2）改写命题不可改变原意，避免颠倒题设与结论。 例如：不可将“等腰三角形两底角相等”改写为“如果两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”。 知识点03互逆命题与互逆定理 1.互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。 补充说明：① 原命题：我们把其中一个命题叫做原命题；② 逆命题：另一个命题叫做原命题的逆命题；③ 任何一个命题都有逆命题，但原命题为真命题时，其逆命题不一定为真命题。 2.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理。其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 补充说明：① 互逆定理一定是互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理。 只有逆命题为真命题时，才可称为互逆定理； 3.易错提醒：原命题与逆命题的真假性相互独立，不能根据原命题的真假判断逆命题的真假；只有经过证明为真的逆命题，才能与原定理构成互逆定理。 知识点04证明 1.含义：依据已知真命题（如：公理、定理、定义），通过逻辑推理，验证一个命题是否为真命题的过程是证明。 核心：验证命题真假——真命题需证明，假命题只需举反例。 2.证明依据： （1）公理：长期实践检验、公认正确，无需证明可直接使用. 例如：“两点确定一条直线”“两点之间，线段最短”。 （2） 定理：经证明为真命题，可作为后续证明的依据. 例如“对顶角相等”“三角形内角和为180°”。 （3） 定义：已学各类概念的规范定义. 例如“直角三角形的定义”“平行线的定义”。 3.证明的规范步骤： （1）审题：明确命题的题设与结论，分清已知条件和待证明的结论； （2）画图：根据题意画出图形（如需），标注字母及已知条件，贴合命题要求； （3）写已知、求证：用规范数学语言，明确表述题设（已知）和结论（求证）； （4）推理证明：从“已知”出发，每一步推理均标注依据，逐步推导至结论； 得出结论：用“∴”引出求证结果，确保推理闭环。 4.反例的作用：证明假命题的关键，只需找出“满足题设但不满足结论”的例子即可。 例如：证明“相等的角是对顶角”为假命题，反例：等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角）。 题型解析◆精准备考 题型1判断是否是命题 1．下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 2．判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；（       ） ②画一个角等于已知角；（       ） ③两直线平行，同位角相等；（       ） ④a，b两条直线平行吗？（       ） 3．在讨论“内错角相等”是不是命题时，甲认为：这不是命题，因为这句话是错误的．乙认为：这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，你认为谁的说法是正确的？ 题型2写出命题的题设与结论 1．对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 2．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 3．如图，给出如下三个关系：①；②；③．选择其中两个作为条件，剩余一个作为结论，组成一个真命题． (1)你组合的命题条件为_____，结论为__________；（填字号即可） (2)请你证明这个命题． 题型3判断命题真假 1．下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．在同一平面内，如果，，那么 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．如果，那么 2．下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 3．回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 题型4举例说明假（真）命题 1．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．，B．，C．， D．， 2．请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 3．定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． (1)验证：判断数对是否为异差数对； (2)推理证明：当时，数对一定是异差数对； (3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 题型5写出命题的逆命题 1．已知下列命题①若，，则；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________． 3．如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：∵，， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴ （ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 写出本题所用到的互逆命题： ． 题型6写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 2．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 3．求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 题型7以代数为背景的推理与论证 1．为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 2．数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是______． 3．桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________． 题型8互逆定理 1．下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 2．定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 3．写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列语句中，假命题有（   ） （1）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（2）不相等的两个角一定不是对顶角；（3）直角的补角必是直角；（4）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（6）两角之和为，这两个角一定是邻补角；（7）若则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 3．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 4．下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角一定互补 C．垂线段一定最短 D．两点之间线段最短 5．下列命题是假命题的是（   ） A．平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂线段最短 C．同位角相等 D．两点之间，线段最短 6．下列说法正确的是（   ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．原命题与逆命题同为真命题或同为假命题 D．定理的逆命题是真命题 二、填空题 7．“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 8．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 9．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 10．袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5，黑色球上标有数字6，红色球上标的数字看不清．现从袋中拿出8个球，其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数．已知8个球上的数字和是39，那么红色球上标的数字是___________；拿出黑色球的个数是___________． 11．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 12．“互逆定理”是指两个定理之间的关系，其中一个定理是另一个定理的_________． 三、解答题 13．如图，已知，直线交于点平分，平分，试说明：． (1)将此题的条件与结论用一般的命题形式叙述出来； (2)你能进一步总结平行线中“三线八角”的平分线之间的关系吗？ 14．判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 15．请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 16．写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假． 17．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 18．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 学科网（北京）股份有限公司 $