专题07 几何与函数中的最值问题（压轴题专练，7大题型+强化训练）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦江苏中考几何与函数最值核心考点，以模型化方法体系整合7类高频考法，通过递进式典例构建"模型识别-辅助线构造-动态转化"的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段最值|2题|将军饮马对称转化、胡不归构造含30°直角三角形|从静态对称到动态加权线段，融合全等与解直角三角形| |圆相关最值|2题|隐圆轨迹定位（定弦定角）、阿氏圆相似转化|圆的定义与性质为载体，结合三角形中位线实现最值转化| |图形最值|2题|动点轨迹圆化、二次函数参数法求最值|几何图形动态变化中，通过参数表达转化为函数最值问题| |旋转折叠最值|2题|旋转构全等、折叠对称性质|利用图形变换转化线段关系，结合勾股定理与中位线| |函数最值|2题|二次函数顶点式、区间最值分类讨论|代数与几何结合，通过坐标法构建面积与线段表达式| |综合最值|2题|动点几何函数综合、面积比转化|多知识点交叉，培养数学抽象与模型建构能力|

专题07 几何与函数中的最值问题 命题预测 江苏中考最值为核心压轴考点。几何最值常以三角形、四边形、圆为载体，结合动点、折叠、旋转，重点考查将军饮马、垂线段、圆上点最值等模型，融合勾股、相似、三角函数，侧重线段、周长、面积最值求解。函数最值以二次函数为主，结合坐标系几何动点，考查区间最值、面积与线段最值，注重数形结合、方程思想与分类讨论，综合性强，区分度高。 高频考法 1.线段最值（将军饮马、胡不归） 2.圆相关最值（隐圆、阿氏圆） 3.图形最值 4.旋转、折叠类最值 5.二次函数中最值 6.一次函数与反比例函数中的最值 7.动点+几何+函数类最值综合 典例·靶向·突破 题型01 线段最值（将军饮马、胡不归） 1．（2025·江苏扬州·二模）如图，中，，，点为中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，证明为等腰直角三角形，可得，点到距离的最小时，最小，所以垂直时，取最小值，再计算即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，，，点为中点， ，，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 过点作的垂线段，交于点， ，点到距离为的值， ， ， 当点到距离的最小时，最小， 如图，时，最小， ， 此时， ，即点到距离的最小值为， 故选：B． 2．（2025·江苏泰州·二模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 题型02 圆相关最值（隐圆、阿氏圆） 3．（2025·江苏·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】 / / 【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题． 延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 4．（2025·江苏·二模）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ___________． 【答案】 【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解． 【详解】解：如图，取点，连接，． ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（当B、P、T三点共线时取等号） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 题型03 图形最值 5．（2025·江苏宿迁·二模）如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，圆的判定，勾股定理，得到点P的运动轨迹是解题的关键． 在上取点Q，使得，可得，从而证得，得到，因此点P在以点Q为圆心，半径为20的上运动．连接，当点P为与的交点时，取得最小值，此时，根据勾股定理求出，进而即可解答． 【详解】解：在上取点Q，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P在以点Q为圆心，半径为20的上运动． 连接，当点P为与的交点时，取得最小值，此时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：D 6．（2025·江苏苏州·一模）如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：设，则：， ∵均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小为，此时点与点重合，如图：设与交于点，作于点，作于点， 则：， ∴，， ∴为定值， ∴当的长最小时，的周长的值最小， ∵， ∴当时，最小为，此时最小为， ∴的周长的最小值为：； 故选：A． 题型04 旋转、折叠类最值 7．（2025·江苏宿迁·二模）如图，在矩形纸片中，，，点是对称中心，点、分别在边、上，且经过点．将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、的位置，则面积的最大值为____． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，三角形的面积，勾股定理，矩形的性质，平行线分线段成比例，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，连接，交于点，连接，过点作于点．求出的值，可得结论． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点作于点． 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， 当，，共线时，的面积最大，最大值为． 故答案为：． 8．（2025·江苏徐州·二模）菱形中，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转性质，中位线的判定和性质，掌握旋转的性质，数形结合分析是关键．如图所示，延长到点，使得，连接，则是等边三角形，，在中，是线段的中点，是线段的中点，，当取得最大值时，取得最大值，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示，当共线，并经过的直径时，的值最大，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∴， ∴是等边三角形，， 在中，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， ∵将线段绕点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示，当共线，并经过的直径时，的值最大， ∴， ∴， ∴旋转一周的过程中线段的最大值是 故答案为： ． 题型05 二次函数中最值 9．（2025·江苏南通·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，把代入得，故抛物线的解析式为，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，求出，，，，可得，，即得，从而，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，根据面积法求出，故的最小值为，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法． 【详解】解：把代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，、 ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 如图，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于， 在中，令得， 解得或， ， ， 将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点， ，， ， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度， ， ， 的最小值为． 故答案为： 10．（2025·江苏常州·二模）如图，在直角坐标系中，已知：将二次函数 c为常数， 的图像向上平移5个单位后经过点且不论a、c为何值，二次函数 图像总经过一定点R，R点的横坐标大于1．设二次函数图像与直线 的公共点为P、Q（在左侧）． (1)二次函数图像的对称轴为 ； (2)求点R的坐标： (3)设 的面积为S． ①当点P在y轴上时，求S的值： ②当点P在y轴右侧时，直接写出S的取值范围 ． 【答案】(1)直线 (2) (3)①，② 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质； （1）根据二次函数图像的对称轴为直线代入计算即可； （2）先根据平移后经过点，得到，则二次函数解析式为，总经过一定点和，再根据R点的横坐标大于1，得到； （3）先根据铅锤法求出； ①当点P在y轴上时，即，求出二次函数解析式为，与直线联立求出，，则； ②抛物线与直线联立得到，，则，，当点P在y轴右侧时，，解得，据此求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图像的对称轴为直线， 故答案为：直线； （2）解：∵将二次函数 c为常数， 的图像向上平移5个单位后解析式为，平移后经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴不论a、c为何值，二次函数 图像总经过一定点和， ∵不论a、c为何值，二次函数 图像总经过一定点R，R点的横坐标大于1， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， ∴一定在直线下方，抛物线与直线一定有交点 过作轴交于，连接，， ∴， ∴， ∴； ①令，则，直线与y轴交点为， 当点P在y轴上时，即， 把代入得， 解得， ∴二次函数解析式为， 联立，整理得， 解得，， ∴； ②联立，整理得， 解得，， ∴， ∴， ∵当点P在y轴右侧时， ∴， ∴，， 解得， ∴， ∴的值随着的增大而增大， ∴， ∴ ∴， 即， 故答案为：． 题型06 一次函数与反比例函数中的最值 11．（2025·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，已知，，则面积的最小值是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的几何综合，解题的关键是理解当的面积最小时，最小． 先利用两点之间的距离公式得出，再根据当的面积最小时，最小，利用三角形的面积得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 此时，中，长度确定，设的高为， ∴， ∴当的面积最小时，最小， 设直线为：，则， 解得：， ∴直线为：， 令，则，令，则， 则直线与坐标轴交点是， ∴， ∴， 要使最小，则点到直线距离最小， 设直线向上平移t个单位后的解析式为， ∵点是反比例函数图象上的点， ∴联立和可得， 令， 解得：或， 由图可知，点在第一象限会使最小， ∴， 即， 过点E作， 则直线与反比例函数的最小距离， 即的面积最小值． 故答案为：2． 12．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点P为线段上任意一点．在直线上取点E、使，延长到点F，使，分别取、中点M、N，连接，则的最小值是___________．    【答案】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短、用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定和性质．如图，连接、，设交于点J，连接，证明四边形是矩形，推出，求出的最小值即可求解． 【详解】解：连接、，设交于点J，连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小，此时的值最小，且， ∵点J在直线：上， 设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， 故答案为：． 题型07 动点+几何+函数类最值综合 13．（2025·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，三点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点E，连接，若，求点P的坐标． (3)如图2，连接，，，与交于点G，过点作交于点．记，，的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出直线的解析式为，然后可设，则有，，进而根据可建立方程进行求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，作交y轴于N，作轴交于Q，则有，即，设，则，进而根据相似三角形的性质建立函数关系式，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 解得：，（此时B，P重合，不合题意舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ， 作交y轴于N，作轴交于Q，    ∵直线的解析式为，， ∴直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∵， ∴当时，有最小值． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 14．（2025·江苏无锡·二模）已知：二次函数的图像与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点，且． (1)求二次函数表达式； (2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； (3)设是二次函数位于第一象限图像上一点，作于点轴于点．当最大时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的综合、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）先说明抛物线的对称轴为、抛物线的开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的函数值越小列不等式求解即可； （3）先求得，再求出直线解析式为，设，则，进而得到所以、；如图：过G作于I，再根据等腰三角形的性质、矩形的判定与性质可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵函数图象与轴交于两点（A在左侧）， ∴， 将、代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∵， ∴抛物线的开口方向向下， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴， ∴，解得：． （3）解：令，即， ∴，解得：或， ∴． 设直线解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ∵，， ∴， ∴， 如图：过P作轴于D，交于E． ∵， ∴， ∴， 设，则． 所以，则， 如图：过G作于I， ∵， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， 令， ∴抛物线的对称轴为：， ∵抛物线开口方向向下，， ∴当时，取最大值， ∴点P的横坐标为． 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①见解析  ② 【分析】（1）过点E作于点K，即可得到四边形是矩形，然后证明，即可求出的值，然后根据正切的定义求出的度数即可； （2）根据勾股定理求出长，利用（1）的结论求出长，然后证明是等边三角形，根据正弦的定义求出长解答即可； （3）①根据（2）的证明得到，过点M作交于点L，则有，得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可； ②连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到，进而判断，即可得到点Q在与线段夹角为的射线上，然后根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解：过点E作于点K， ∵是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴    ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴    ， 根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 过点M作交于点L， 则，， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ②连接，， ∵，， ∴， 又∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点Q在与线段夹角为的射线上， ∴过点D作于点， 当点Q在时，最小， 这时． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）在平行四边形纸片中，．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、．若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为___________；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是___________． 【答案】 或 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，含角的直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质．若与重合，在上，且，则，由角所对直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，从而可得的面积和平行四边形纸片的面积，相减可得四边形的面积，进而可得与四边形的面积的比；取的中点，的中点，连接，连接，，交于点，取的中点，的中点，连接，连接，，交于点，当过点或当过点时，折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，分别求出每种情况对应的的取值范围即可． 【详解】解：若与重合，在上，且， 则， ， ． ． ， ． 由勾股定理得，． ，． ． ． 与四边形的面积的比为． 若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为， 如图，取的中点，的中点，连接， 四边形是平行四边形， ，． ，，，． 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形． 平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为． 连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合， ∴此时，四边形的面积与四边形的面积的比为， 四边形的面积与四边形的面积的比为． 当时，取最小值，由可知，的最小值为， 作，交延长线于点，则， ， ． ， ． ． ． ，， ． ． ． ． 如图，取的中点，的中点，连接， 四边形是平行四边形， ，． ，，，． 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形． ，，平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为． 连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合， 四边形的面积与四边形的面积的比为，     四边形的面积与四边形的面积的比为． 作，交延长线于点，作于点，则，， ． ． ，， ． ． ． ， ． ． 四边形为矩形． ，． ，， ，． ． ∴折痕长的取值范围是或． 故答案为：；或． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E． (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)25 【分析】（1）过作于过点C作的延长线于，根据旋转的性质得到再证明，可得，最后利用三角形面积公式即可得到结论； （2）延长至， 使得， 连接，连接，证明，可得，从而得出四点共圆，根据圆周角定理可得，最后再利用直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质证明即可得到结论； （3）过点C作延长线于，先求得，再由勾股定理得，最后再求解即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质可得 过作于过点C作的延长线于， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， （2）证明：延长至， 使得， 连接， 为中点 为的中位线 由旋转的性质可得， ，， ， ， 四点共圆， ， ， 连接， 在中，点是的中点， ， 同理可得， 在中，点是的中点， ， 同理可得， ， 四边形是菱形， ， 即， 四边形是平行四边形， ， 又， P，Q，R三点共线； （3）解：过点C作延长线于， 由旋转的性质可得， 由（1）得，由旋转的性质可得， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， 则S的最大值为25． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质及三角形中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（2025·江苏徐州·二模）如图，在中，，．点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，确定当时，线段取最小值，根据等边三角形的性质可得和，过点作于点，交于点，根据勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的三线合一求出的长度，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当时，线段取最小值， ∵线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ∴当时，线段取最小值， 过点作于点，交于点， ， ∴， 由勾股定理得， 根据等腰三角形的三线合一可得，点是中点，且， ， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，线段的最值问题，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作辅助线． 6．（2025·江苏·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【详解】设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为r，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，． 故选：D． 7．（2025·江苏连云港·二模）如图，在平行四边形中，，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点为，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，过点B作于点G，先根据平行四边形的性质，解， 再对运用勾股定理求得，由对称确定点F的轨迹，由，确定当B、F、D三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，过点B作于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，利用勾股定理得， ∵点A与点F关于对称， ∴， ∴点F在以B为圆心，为半径的上， ∵， ∴当B、F、D三点共线时，最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形三边关系确定最值，以及点与圆的位置关系，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，，，，是中位线，角平分线交于点为上一动点（不与重合），作，垂足为，作，交于，在下方作，且．设，，则关于的函数表达式是__________，的最小值是__________． 【答案】 【分析】解直角三角形，求出，，根据三角形中位线定理求出，，则，，根据角平分线的定义、平行线的性质可求出，根据含的直角三角形的性质求出，，然后把，，代入，可求出关于的函数表达式；由，，，可得出，然后证明，得出，可证得，则K在以为直径的圆上，取中点O，连接，，则，，故当C、K、O共线时，取最小值，最小值为，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵是中位线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ 即， 连接、， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴K在以为直径的圆上， 取中点O，连接，， 则，， 当C、K、O共线时，取最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，含的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，圆的概念，点与圆上一点的最值问题等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 9．（2025·江苏常州·一模）如图中，，，，若点为直线下方一点且，则的最大值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，先根据勾股定理得，再根据相似三角形的性质得，进而得，，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，的有最大值，最大值为5． 故答案为：5． 10．（2025·江苏徐州·一模）如图，在Rt中，，，，是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为_______________． 【答案】/ 【分析】由即、易知的长是定值，根据定弦定角可知：点D是在以为直径的圆上运动，取的中点O，的外接圆；连接，当三点在同一条直线上时，取最小值，此时，由此解答即可． 【详解】解：， ， 点D是在以为直径的圆上运动， 如图所示：取的中点O，则的外接圆为；连接， 当三点在同一条直线上时，取最小值，此时， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定取最小值的位置是解题的关键． 11．（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）把点，代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线为，令，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q，交于点E，设（），则，，由，得到，根据二次函数的性质即可求解； （3）设，连接，分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰；②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得． 故答案为：， （2）解：∵，， ∴抛物线为， 令，则， ∴， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴于点Q，交于点E， 设（），则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，为． （3）解：∵点N在抛物线上， ∴设． 连接， ①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G， ∵，， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴ 解得， ∴． ②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H， ∵，， ∴，， 同①同理可得， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 12．（2025·江苏徐州·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点的坐标和的最大值； (3)若是抛物线上的一点，的内切圆的圆心恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，此时， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，三角形的内切圆，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴交于点，证明，列出比例式，转化为二次函数求最值即可； （3）根据三角形的内心为三个内角的角平分线的交点，得到轴为的角平分线，作点关于轴的对称点，则直线与抛物线的交点即为点，求出直线的解析式，与抛物线的解析式进行联立，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）抛物线与轴交于点， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得： ，解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设，则， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时，； （3）的内切圆的圆心恰好落在轴上，则轴为的角平分线， 作点关于轴的对称点，则直线与抛物线的交点即为点， 设直线的关系式为， 将点、代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立抛物线与直线得，解得或， 点的坐标为． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 几何与函数中的最值问题 命题预测 江苏中考最值为核心压轴考点。几何最值常以三角形、四边形、圆为载体，结合动点、折叠、旋转，重点考查将军饮马、垂线段、圆上点最值等模型，融合勾股、相似、三角函数，侧重线段、周长、面积最值求解。函数最值以二次函数为主，结合坐标系几何动点，考查区间最值、面积与线段最值，注重数形结合、方程思想与分类讨论，综合性强，区分度高。 高频考法 1.线段最值（将军饮马、胡不归） 2.圆相关最值（隐圆、阿氏圆） 3.图形最值 4.旋转、折叠类最值 5.二次函数中最值 6.一次函数与反比例函数中的最值 7.动点+几何+函数类最值综合 典例·靶向·突破 题型01 线段最值（将军饮马、胡不归） 1．（2025·江苏扬州·二模）如图，中，，，点为中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·江苏泰州·二模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 题型02 圆相关最值（隐圆、阿氏圆） 3．（2025·江苏·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________． 4．（2025·江苏·二模）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ___________． 题型03 图形最值 5．（2025·江苏宿迁·二模）如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 6．（2025·江苏苏州·一模）如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 题型04 旋转、折叠类最值 7．（2025·江苏宿迁·二模）如图，在矩形纸片中，，，点是对称中心，点、分别在边、上，且经过点．将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、的位置，则面积的最大值为____． 8．（2025·江苏徐州·二模）菱形中，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是___________． 题型05 二次函数中最值 9．（2025·江苏南通·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为____． 10．（2025·江苏常州·二模）如图，在直角坐标系中，已知：将二次函数 c为常数， 的图像向上平移5个单位后经过点且不论a、c为何值，二次函数 图像总经过一定点R，R点的横坐标大于1．设二次函数图像与直线 的公共点为P、Q（在左侧）． (1)二次函数图像的对称轴为 ； (2)求点R的坐标： (3)设 的面积为S． ①当点P在y轴上时，求S的值： ②当点P在y轴右侧时，直接写出S的取值范围 ． 题型06 一次函数与反比例函数中的最值 11．（2025·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，已知，，则面积的最小值是___________． 12．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点P为线段上任意一点．在直线上取点E、使，延长到点F，使，分别取、中点M、N，连接，则的最小值是___________．    题型07 动点+几何+函数类最值综合 13．（2025·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，三点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点E，连接，若，求点P的坐标． (3)如图2，连接，，，与交于点G，过点作交于点．记，，的面积分别为，求的最小值． 14．（2025·江苏无锡·二模）已知：二次函数的图像与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点，且． (1)求二次函数表达式； (2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； (3)设是二次函数位于第一象限图像上一点，作于点轴于点．当最大时，求点的横坐标． 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）在平行四边形纸片中，．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、．若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为___________；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是___________． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E． (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． 5．（2025·江苏徐州·二模）如图，在中，，．点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 7．（2025·江苏连云港·二模）如图，在平行四边形中，，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点为，连接，则的最小值为___________． 8．（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，，，，是中位线，角平分线交于点为上一动点（不与重合），作，垂足为，作，交于，在下方作，且．设，，则关于的函数表达式是__________，的最小值是__________． 9．（2025·江苏常州·一模）如图中，，，，若点为直线下方一点且，则的最大值为______． 10．（2025·江苏徐州·一模）如图，在Rt中，，，，是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为_______________． 11．（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 12．（2025·江苏徐州·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点的坐标和的最大值； (3)若是抛物线上的一点，的内切圆的圆心恰好落在轴上，求点的坐标． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $