专题02 一次函数、反比例函数的综合问题（压轴题专练，10大题型+强化训练）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题02 一次函数、反比例函数的综合问题 命题预测 一次函数与反比例函数的压轴题，是近几年江苏地区考查的重点压轴内容之一，热度很高，尤其是最值、旋转、与二次函数、三角函数结合的考查方式，预计2026年中考仍是重点考查对象；考生需要多训练相关的题型，建立起解决此类型题目的数学思维，尤其是辅助线的添加和常考模型，一定要多做多记。 高频考法 1.一次函数中的动点问题 2.一次函数中的最值问题 3.一次函数中的旋转问题 4.一次函数中的新定义问题 5.一次函数与反比例函数综合 6.一次函数与二次函数综合 7.反比例函数的k值意义 8.一次函数、反比例函数中多结论问题 9.反比例函数与几何图形综合 10.反比例函数的新定义问题 典例·靶向·突破 题型01 一次函数中的动点问题 1．（2025·江苏苏州·一模）如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v1的速度沿折线A−B−C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v2的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图像为折线MN−NF和曲线FG（图②），已知，ON=3，NH=1，点G的坐标为(6，0)． (1)点P与点Q的速度之比的值为______；的值为______； (2)如果 OM=2． ①求线段NF所在直线的函数表达式； ②是否存在某个时刻t，使得若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 __________； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ____________________． 题型02 一次函数中的最值问题 3．（2025·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上一动点，点B是直线上一动点，，，则的最大值是___________． 4．（2025·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，已知，，则面积的最小值是___________． 题型03 一次函数中的旋转问题 5．（2026·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号） (2)设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标． 6．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，点是轴上一点，已知点（不与点重合），将点绕点逆时针方向旋转得到点，则称点、互为和谐点，把其中一个点叫做另一个点的和谐点．如图，已知点、，点在一次函数的图象上．若在线段上存在点的和谐点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 一次函数中的新定义问题 7．（2026·江苏盐城·模拟预测）平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 8．（2025·江苏盐城·二模）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“2倍函数”．该点称为该函数的“2倍点”．例如：“2倍函数”，其“2倍点”为． (1)函数__________“2倍函数”；（填“是”或“不是”） (2)请直接写出函数的图像上“2倍点”的坐标___________； (3)若关于x的函数的图像上有两个“2倍点”，求m的取值范围； (4)若关于x的函数的图像上存在唯一的“2倍点”，且当时，n的最小值为k，请求出k的值． 题型05 一次函数与反比例函数综合 9．（2026·江苏宿迁·二模）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，点是线段上一个动点（与、两点不重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，、与反比例函数图象分别交于点、． (1)求点的坐标； (2)求的最小值． 10．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，点（点在点的左侧）．连接，过点作轴，垂足为，与交于点． (1)若已知点的坐标为． ①求的值； ②点的坐标为_____，_____； (2)当时，请直接写出线段的长． 题型06 一次函数与二次函数综合 11．（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 12．（2026·江苏宿迁·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； (3)直线．经过点，点为该直线上一动点，当有且只有一点满足时，求直线的函数表达式． 题型07 反比例函数的k值意义 13．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 14．（2026·江苏宿迁·一模）如图所示，已知双曲线（）和（），直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，，则（   ） A． B． C． D． 题型08 一次函数、反比例函数中多结论问题 15．（2026·江苏无锡·一模）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于原点成中心对称，则称函数和存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数与函数存在奇对称点； ②函数与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数与函数的“奇对称值”，则或； ④若函数与函数存在奇对称点，则． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③④ 16．（2026·江苏连云港·一模）如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，连接与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 题型09 反比例函数与几何图形综合 17．（2026·江苏扬州·一模）已知点在反比例函数的图象上，以、为邻边作矩形，使点、在轴上方，且，与轴的夹角为．与轴相交于点，若，则过点的反比例函数解析式为________． 18．（2025·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，B，直线AO与该双曲线在第三象限的交点为C，以AC为斜边作，直角顶点D落在第二象限．若平分，的面积为4，则________． 题型10 反比例函数的新定义问题 19．（2025·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系xOy中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则． (1)已知两点，则______； (2)已知点M在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求； (3)已知两点，如果直线AB上存在点C，使得，请直接写出点C的坐标． 20．（2025·江苏泰州·二模）定义：在平面直角坐标系中，若点变换得到点，则称点Q是点P的“变换点”．例如，点的“变换点”是点． (1)下列点的“变换点”在x轴上的是______． ，，； (2)已知，点D的“变换点”是点E． ①若点D在反比例函数的图像上，试判断的形状，并说明理由； ②某一次函数的图像记为L，若点D在L上，点E在一次函数的图像上，求L的函数表达式； (3)点F是二次函数图像上一点，若存在点F的“变换点”G在一次函数的图像上，直接写出m的取值范围． 21．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数（），若（t为常数，），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“2型相关量”，则 ； 【探究】 (2)已知g是（）的“t型相关量”． ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而减小，试比较t与k的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数（），若，亦称g为y的“t型相关量”．当时，二次函数的“t型相关量”g的最大值为3，请直接写出t的值． 22．（2026·江苏南通·二模）已知函数与，当满足时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是______． 23．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E． (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标． 24．（2025·江苏无锡·二模）如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A、与y轴交于点B，，点E在线段上，点F在A右侧的x轴上，且，则 ______；连接，则的最小值＝__________   ． 25．（2025·江苏泰州·三模）如图1，抛物线与一次函数交于两点，连接，． (1)当，时，求两点的坐标； (2)若，作，垂足为，则点到轴距离的最大值为______； (3)如图2，若，设直线与y轴交于点，过点作轴垂线交延长线于点，交轴于点． ①求证：； ②连接，交于点，请判断直线与抛物线是否有除以外的公共点，并说明理由． 26．（2025·江苏盐城·二模）定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则____． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行，画图分析．求点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 27．（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别相交于点A、B，的圆心的坐标为，半径为1，点是直线上的一个动点，直线与相切于点，则线段长度的最小值为__________． 28．（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 29．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，点，在反比例函数图像上，为等腰直角三角形，四边形为矩形，则______． 30．（2026·江苏泰州·一模）如图，点A在双曲线（k是常数，，x0）上，点C在双曲线上，连接交x轴于点B，点D在x轴上，若，，且的面积为1，则的面积为____． 31．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上． (1)求，，的值． (2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值． (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值． 32．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B在x轴正半轴上，，将绕点O逆时针旋转，当点A的对应点落在函数的图象上时，设点B的对应点的坐标是，则__． 33．（2025·江苏宿迁·三模）定义：在平面直角坐标系中，点的“神秘点”为，当时，点的坐标为，当时，点N的坐标为． 例如：点的“神秘点”坐标为，点的“神秘点”坐标为． (1)点的“神秘点”坐标为 ； (2)点的“神秘点”在的图象上，求的值； (3)如图，直线与坐标轴分别交于点，，记直线上的所有点的“神秘点”组成一个新图形为． ①点在直线上，求当时点对应的“神秘点”的坐标； ②当抛物线 与图形有2个交点时，求的取值范围． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数、反比例函数的综合问题 命题预测 一次函数与反比例函数的压轴题，是近几年江苏地区考查的重点压轴内容之一，热度很高，尤其是最值、旋转、与二次函数、三角函数结合的考查方式，预计2026年中考仍是重点考查对象；考生需要多训练相关的题型，建立起解决此类型题目的数学思维，尤其是辅助线的添加和常考模型，一定要多做多记。 高频考法 1.一次函数中的动点问题 2.一次函数中的最值问题 3.一次函数中的旋转问题 4.一次函数中的新定义问题 5.一次函数与反比例函数综合 6.一次函数与二次函数综合 7.反比例函数的k值意义 8.一次函数、反比例函数中多结论问题 9.反比例函数与几何图形综合 10.反比例函数的新定义问题 典例·靶向·突破 题型01 一次函数中的动点问题 1．（2025·江苏苏州·一模）如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v1的速度沿折线A−B−C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v2的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图像为折线MN−NF和曲线FG（图②），已知，ON=3，NH=1，点G的坐标为(6，0)． (1)点P与点Q的速度之比的值为______；的值为______； (2)如果 OM=2． ①求线段NF所在直线的函数表达式； ②是否存在某个时刻t，使得若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2)①直线NF的解析式为S=x-2(3＜x≤4)；②x的取值范围是0≤x≤2或4≤x≤5． 【分析】（1）由图象可知：t=3时，Q与E重合，t=4时，P与B重合，t=6时，P与C重合，据此求解即可； （2）①t=0时，P与A重合，Q与D重合，求得AD=BC=DE=2，AB=CD=2AD=4，当t=4时，DQ=，求得F(4，)，利用待定系数法即可求解； ②分情况讨论，当Q在DE上，P在AB上时，当Q在CE上，P在AB上时，当Q在CE上，P在BC上时，分别求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵ON=3，HN=1，G(6，0)， ∴N(3，0)，H(4，0)， 由图象可知：t=3时，Q与E重合，t=4时，P与B重合，t=6时，P与C重合； ∴Q的速度v2=，P的速度v1=； 四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC， ∵E为CD的中点， ∴DE=CD=AB， ∴， ∵P从A到B用了4秒，从B到C用了2秒， ∴AB=4 v1，BC=2 v1， ∴AB=2BC， ∴AB：AD=2； 故答案为：，2； （2）解：①∵OM=2， ∴M(0，2)， 由题知：t=0时，P与A重合，Q与D重合， ∴S△EPQ=AD·DE=2， ∵AB：AD=2， ∴AD=DE=AB， ∴AD2=2， ∴AD=BC=DE=2，AB=CD=2AD=4， ∴v2=， 当t=4时，DQ=v2t=×4=， ∴QE=DQ-DE=，此时P与B重合， ∴S△EPQ=EQ·BC=××2=， ∴F(4，)； 设直线NF的解析式为S=kx+b(k≠0)， 将N(3，0)和F(4，)代入，得 ， 解得， ∴直线NF的解析式为S=x-2(3＜x≤4)； ②存在，分情况讨论如下： 当Q在DE上，P在AB上时， ∵直线MN经过M(0，2)和N(3，0)， 同理求得直线MN的解析式为S=x+2(0≤x≤3)； 当S=时，x+2=2， ∴x=2， ∵S随x的增大而减小， ∴当0≤x≤2时，S≥； 当Q在CE上，P在AB上时， 直线NF的解析式为S=x-2(3＜x≤4)， 由F(4，)知：当x=4时，S=； 当Q在CE上，P在BC上时， S△EPQ=EQ·CP， ∵DQ= v2t=t， ∴EQ=DQ-DE=t-2， ∵v1===1， ∴AB+BP= v1t=t， ∵AB+BC=4+2=6， ∴CP=6-t， ∴S=(t-2)(6-t)=-t2+3t-6(4＜x≤6) ， 当S=时，-t2+3t-6=， ∴t1=4，t2=5， 由图象知：当4＜x≤5时，S≥； 综上所述，S≥时，x的取值范围是0≤x≤2或4≤x≤5． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 __________； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ____________________． 【答案】 且或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）当时，直线的函数表达式为，进而与直线l1的函数表达式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）当直线过点时，将点B的坐标代入函数表达式得：，解得：；当直线过点时，同理可得：，进而求解． 【详解】解：（1）当时，直线的函数表达式为， 由， 解得：， ∴． 故答案为：； （2）令，则， ∴， ∵， 当时，，即直线必过点； 当直线过点时， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：； 当直线过点时， 同理可得：； ∵两条直线相交于点C，则， 综上，k的取值范围为：且或． 故答案为：且或． 题型02 一次函数中的最值问题 3．（2025·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上一动点，点B是直线上一动点，，，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，一次函数与几何综合，难度大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先解求出，作的外接圆，记为，连接，取的中点，根据正比例函数确定，由圆周角定理得到，则为等腰直角三角形，，由勾股定理得，而，由，得到当点三点共线时，取得最大值为． 【详解】解：∵，， ∴， 作的外接圆，记为，连接，取的中点， ∵点B是直线上一动点， ∴设， ∴点的水平距离与铅锤距离均为， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵的中点为点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，取得最大值为， 故答案为：． 4．（2025·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，已知，，则面积的最小值是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的几何综合，解题的关键是理解当的面积最小时，最小． 先利用两点之间的距离公式得出，再根据当的面积最小时，最小，利用三角形的面积得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 此时，中，长度确定，设的高为， ∴， ∴当的面积最小时，最小， 设直线为：，则， 解得：， ∴直线为：， 令，则，令，则， 则直线与坐标轴交点是， ∴， ∴， 要使最小，则点到直线距离最小， 设直线向上平移t个单位后的解析式为， ∵点是反比例函数图象上的点， ∴联立和可得， 令， 解得：或， 由图可知，点在第一象限会使最小， ∴， 即， 过点E作， 则直线与反比例函数的最小距离， 即的面积最小值． 故答案为：2． 题型03 一次函数中的旋转问题 5．（2026·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号） (2)设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标． 【答案】(1)③④ (2)的值为或或或0 (3) 【分析】（1）在中，令得，方程无解，可知的图象上不存在“平衡点”；同理可得的图象上不存在“平衡点”， 和的图象上存在“平衡点”； （2）在中，令得，在中，令得，当时，，可得，，，分三种情况列方程可得答案； （3）设，求出抛物线的顶点为，而点关于的对称点为，可得旋转后的抛物线解析式为，令得，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知有两个相等实数根，故，，从而得的坐标为． 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得，方程无解， 的图象上不存在“平衡点”； 在中，令得，方程无解， 的图象上不存在“平衡点”； 在中，令得， 可得， ， 则方程有解， 的图象上存在“平衡点”； 在中，令得， 可得 ， 则方程有解， 的图象上存在“平衡点”； 故存在“集团平衡点”的函数是③④； （2）解：在中，令得， 解得或， ， ； 在中，令得， 解得， ， 当时，， ，，， 若，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时，重合，舍去）； 的值为或或或0； （3）解：设， ， 抛物线的顶点为， 点关于的对称点为， 旋转后的抛物线解析式为， 在中，令得： ， ， 旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， 有两个相等实数根， ，即， ， 的坐标为． 6．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，点是轴上一点，已知点（不与点重合），将点绕点逆时针方向旋转得到点，则称点、互为和谐点，把其中一个点叫做另一个点的和谐点．如图，已知点、，点在一次函数的图象上．若在线段上存在点的和谐点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题属于几何变换的题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转后线段长度不变，解题的关键是学会构造等腰直角三角形解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．如图1，B、P为和谐点，设，为等腰直角三角形，在图2中，A、P为和谐点，设，为等腰直角三角形，分别利用三角形全等求出两图中的值即可得出最后结论． 【详解】解： 如图1，B、P为和谐点，设，为等腰直角三角形， 过点P作轴于H， 将点绕点逆时针方向旋转得到点， ，． ， ，． ． 在和中 ． ，． ，解得． 在图2中，A、P为和谐点，设，为等腰直角三角形，过点P作 轴于H， 将点绕点逆时针方向旋转得到点， ，． ， ，． ． 在和中 ． ，． ，解得． 综上所述：． 故选：B． 题型04 一次函数中的新定义问题 7．（2026·江苏盐城·模拟预测）平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②或 (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义分类讨论，求解即可； （2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将代入，可得x分别为，点P的坐标为或； （3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式． 【详解】（1）解：①由题意得， 过M、P作x轴的平行线，过点N、M作y轴的平行线，如图是点M，N，P的“最佳三点矩形”， ∴矩形的长为，矩形的宽为， ∴矩形的周长为，矩形的面积为； ②∵，点， 当时，， ∵， ∴， 解得， 当时，，此时不存在n值， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴或6． （2）解：①， ∴点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12， ∵点在直线上， 分别将代入，可得x分别为0，1； 结合图象可知：； ②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，则边长为6， 分别将代入，可得x分别为，3； ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点，，的“最佳三点矩形”面积为12时，， ∴矩形的宽为， ∵或， 如图， 设抛物线的解析式为，经过点， ∴ ，解得 ， ∴， 同理抛物线经过点， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式或． 8．（2025·江苏盐城·二模）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“2倍函数”．该点称为该函数的“2倍点”．例如：“2倍函数”，其“2倍点”为． (1)函数__________“2倍函数”；（填“是”或“不是”） (2)请直接写出函数的图像上“2倍点”的坐标___________； (3)若关于x的函数的图像上有两个“2倍点”，求m的取值范围； (4)若关于x的函数的图像上存在唯一的“2倍点”，且当时，n的最小值为k，请求出k的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)且 (4)或 【分析】本题考查了函数解析式与函数图像上点的坐标关系、二次函数根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识并采用分类讨论思想是解题关键． （1）假设是“2倍函数”函数，设出“2倍点”坐标代入函数看是否有解， （2）设出“2倍点”坐标代入函数解方程即可得解； （3）设出“2倍点”坐标代入函数得到一元二次方程，令判别式即可求出的取值范围； （4）设“2倍点”坐标为，代入函数得到一元二次方程，然后令，得到关于的二次函数关系，求出对称轴，根据图像对称轴的位置与的取值范围，分情况进行讨论，不同情况下与取得最小值构成关于未知数的方程，然后分别解方程即可． 【详解】（1）解：假设函数是“2倍函数”，设“2倍点”横坐标为，纵坐标为，代入，得 此方程无解，故函数不是“2倍函数”， 故答案为：不是； （2）解：设函数的图像上的“2倍点”是，代入得 解方程得 故答案为：或； （3）解：设抛物线（），“2倍点”的坐标为， 则 整理得 ∵有两个“2倍点” ∴ 解不等式得： 即m的取值范围是且； （4）解：设函数的“2倍点”的坐标为 则 整理得 ∵存在唯一的一个“2倍点”， ∴ 整理得 则关于的二次函数关系，其图像对称轴为直线 当时，则时， 值最小为 整理得， 解得（舍去）， 当时，则时， 值最小为 整理得 当时，则时， 值最小为 整理得， ，方程无解 综上得k的值为或． 题型05 一次函数与反比例函数综合 9．（2026·江苏宿迁·二模）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，点是线段上一个动点（与、两点不重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，、与反比例函数图象分别交于点、． (1)求点的坐标； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把反比例函数与一次函数的解析式联立起来，解方程即可求出点的坐标； （2）点是线段上一个动点，设点的坐标为，则有点的纵坐标为，点的横坐标为，根据点、在反比例函数上，分别求出点的横坐标和点的纵坐标，即为、的长度，所以可得，再利用二次函数的性质求出的最小值． 【详解】（1）解：解方程， 整理可得：， 解得：，， 点在点左侧， 点的横坐标为， ， 点的坐标为； （2）解：点是线段上一个动点， 设点的坐标为，其中， 点的纵坐标为，点的横坐标为， 点在反比例函数上， ， ， ， 点的横坐标为，点在反比例函数上， 点的纵坐标为， ， ， ， 当取最大值时有最小值， 的最大值为， 的最小值为． 10．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，点（点在点的左侧）．连接，过点作轴，垂足为，与交于点． (1)若已知点的坐标为． ①求的值； ②点的坐标为_____，_____； (2)当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）把点代入，求得，再利用待定系数法求解即可； ②联立一次函数与反比例函数解析式求得的坐标，进而求得的解析式，再求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点A作，垂足为点H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①把点代入， 得． ． 把点代入， 得； ∴ ②联立 解得：或 ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴， 解得： ∴ ∵，轴 ∴的纵坐标为 将代入 ∴ 解得； ∴， ∴ （2）解：如图，过点A作，垂足为点H， 设，则点B坐标为． 轴，， ， ， ， ， ， ， ． 点，点在反比例函数上， ． 解方程，得（不符合题意，舍去），． 线段的长为． 题型06 一次函数与二次函数综合 11．（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点代入抛物线表达式求解即可； ②先求出，设直线交轴于点，证明，求出，再求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解点； （2）找出两个临界位置求解即可． 【详解】（1）解：①对于，当时，； 当时，，解得 ∴， ∵抛物线经过点A， ∴ 解得 ∴二次函数表达式为； ②令， 解得， ∴ 如图，设直线交轴于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 与抛物线联立得， 解得或 ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点为， ∵点向右平移3个单位长度得到点D， ∴， ∴顶点在线段上方， ∴当时，抛物线开口向上，抛物线与线段没有交点； 当时，抛物线经过点时，如图： 则， 解得 此时抛物线与轴交点为，即，在点上方； 当抛物线经过点时，如图： 此时， 解得， ∴要使得抛物线与线段只有一个公共点，实数a的取值范围为． 12．（2026·江苏宿迁·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； (3)直线．经过点，点为该直线上一动点，当有且只有一点满足时，求直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）把，代入，解出即可； （2）求出直线与直线交点M坐标，及，求出，进而求出结论； （3）点P在以为直径的圆上，设其圆心为N，得出直线与相切于点，分两种情况：当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，或当点在x轴下方，且直线与相切于点时，分别求出即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得； （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ， 或； （3）解：， ∴点P在以为直径的圆上，设其圆心为N， ，，， ，的半径为3， ∵直线经过点，有且只有一点满足， ∴直线与相切于点， ∴分两种情况： 当点P在x轴上方，且直线与相切于点P时，连接，作于点H， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 把，代入直线，得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 当点在x轴下方，且直线与相切于点时， 同理，， 同理，得出直线的函数表达式为； 综上，直线的函数表达式为或． 题型07 反比例函数的k值意义 13．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 由条件可知， ， ， 由条件可知， ， 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 14．（2026·江苏宿迁·一模）如图所示，已知双曲线（）和（），直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，作于E，于F．由题意易得，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质及反比例函数k的几何意义进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，作于E，于F． 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且函数（）的图像在第四象限， ∴． 题型08 一次函数、反比例函数中多结论问题 15．（2026·江苏无锡·一模）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于原点成中心对称，则称函数和存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数与函数存在奇对称点； ②函数与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数与函数的“奇对称值”，则或； ④若函数与函数存在奇对称点，则． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据“奇对称点”定义，若在上，在上，则有解即存在奇对称点，奇对称值为，逐个验证四个结论即可． 【详解】解：设在上，由关于原点对称得在上，因此满足，，即，奇对称值为． ① 对，，代入得： ， 解得，方程有解，存在奇对称点，①正确． ② 对，， 代入得：， 整理得， 解得或． 当时，，奇对称值为； 当时，，奇对称值为， 因此奇对称值为或，②错误． ③ 奇对称值为，因此， ，得， 代入得：， 整理得， 解得或． 由，得 ， 当时，； 当时，， 因此或，③正确． ④ ，， 因此，，得 ， 代入条件得：， 整理得． ， 当时，， 当时，， 因此，④正确． 综上所述，①③④正确． 16．（2026·江苏连云港·一模）如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，连接与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】设，则的中点为，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边中线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④． 【详解】解：动点在反比例函数的图象上， 设， 的中点为， 的图象经过点， ，故①正确； ∵轴， 的纵坐标， 把代入得，， ， ， ，故②正确； 如图，过点作轴于， ，，， 过点作轴交函数的图象于点，交轴于点， ， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由， 解得， ， ， ， ， ，故③错误； ，，， 是的中点， ， ， 轴， ， ， 若，则， ， ．故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 【点睛】本题以反比例函数为载体，融合中点坐标、三角形面积、角度推导等考点，通过设参表示各点，逐一验证结论，考查数形结合与代数运算能力，体现函数与几何的综合应用． 题型09 反比例函数与几何图形综合 17．（2026·江苏扬州·一模）已知点在反比例函数的图象上，以、为邻边作矩形，使点、在轴上方，且，与轴的夹角为．与轴相交于点，若，则过点的反比例函数解析式为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过作轴于点,证明，则，设，则，得出，求出，，进而求得，得出点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过作轴于点． ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵点在反比例函数，轴 ∴ 中， 得，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴点B坐标为． 设过点的反比例函数解析式为，代入得出， ∴过点的反比例函数解析式为． 18．（2025·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，B，直线AO与该双曲线在第三象限的交点为C，以AC为斜边作，直角顶点D落在第二象限．若平分，的面积为4，则________． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合． 连接，作轴交x轴于M，交于E，作轴交x轴于N，先证明，再由角相等得到，进而得到，设，，求出，由直线与双曲线相交于点A，B，得到，由根与系数的关系得到，进而求出，即可得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，作轴交x轴于M，交于E，作轴交x轴于N， 由题意可知，O为的中点，即为斜边上的中线， ∴， 即 ∵平分， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵直线与双曲线相交于点A，B， 设，， ∴ ． ∵直线与双曲线相交于点A，B， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：3． 题型10 反比例函数的新定义问题 19．（2025·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系xOy中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则． (1)已知两点，则______； (2)已知点M在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求； (3)已知两点，如果直线AB上存在点C，使得，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)点C的坐标为或 【分析】本题考查了新定义下的两点之间的“直距”定义，考查了绝对值的几何意义，解不等式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“直距”的定义即可得出答案； （2）设点M的坐标为，且，根据“直距”的定义可得，化简，即可求解； （3）设直线的解析式为，可求出直线的解析式为，设点C的坐标为，根据“直距”的定义列出等式，再分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为5． （2）∵点M在反比例函数第一象限的图像上， ∴设点M的坐标为，且． ∵， ∴， 即， 即， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为． 设点C的坐标为， ∴， ①当时，， ∴， 解得，不合题意，舍去． ②当时，， ∴， 解得， ∴C； ③当时，， ∴， 解得， ∴C； 综上所述，点C的坐标为或． 20．（2025·江苏泰州·二模）定义：在平面直角坐标系中，若点变换得到点，则称点Q是点P的“变换点”．例如，点的“变换点”是点． (1)下列点的“变换点”在x轴上的是______． ，，； (2)已知，点D的“变换点”是点E． ①若点D在反比例函数的图像上，试判断的形状，并说明理由； ②某一次函数的图像记为L，若点D在L上，点E在一次函数的图像上，求L的函数表达式； (3)点F是二次函数图像上一点，若存在点F的“变换点”G在一次函数的图像上，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)C (2)①等腰直角三角形，理由见解析；② (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何变换，反比例函数与几何变换，二次函数与几何变换，等腰直角三角形的判定定理，勾股定理及其逆定理，正确理解“变换点”的定义是解题的关键． （1）根据定义分别求出各个点的“变换点”即可得到答案； （2）设，则，利用勾股定理可证明，则由勾股定理的逆运算可得到结论； （3）设，则，则有，可得，根据，得到或，据此根据二次函数的性质求出在或时的函数值取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：的“变换点”为，即，不在x轴上； 的“变换点”为，即，不在x轴上； 的“变换点”为，即，在x轴上； ∴只有的“变换点”在x轴上； （2）解：①的等腰直角三角形，证明如下： 设，则， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴的等腰直角三角形； ②设，则， ∵点E在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∴在直线的图像上，    即L的函数表达式为； （3）解：设，则，即， ∵G在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， 令， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 在中，当时，则当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，； 当时，则当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，； ∵，且或， ∴或． 21．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数（），若（t为常数，），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“2型相关量”，则 ； 【探究】 (2)已知g是（）的“t型相关量”． ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而减小，试比较t与k的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数（），若，亦称g为y的“t型相关量”．当时，二次函数的“t型相关量”g的最大值为3，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①当时，为定值；② (3)或 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）①由题意得：，即可求解；②，根据函数的增减性即可求解； （3）先求出，再分时、时、三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的“2型相关量”， 则； （2）解：①由题意得：， 当时，为定值； ②， 若随的增大而减小，则，即； （3）解：由题意得：， 函数的对称轴为直线，顶点为， 当时，，同理可得：当时，， 当时，时，，则（不合题意的值已舍去）； 当时，当时，，则（舍去）； 当时，顶点处取得最大值，即，则（不合题意的值已舍去）； 综上，或． 22．（2026·江苏南通·二模）已知函数与，当满足时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是______． 【答案】 【分析】整理一次函数解析式可得其恒过定点，确定在上的图象，结合图象找出两个函数存在2个公共点的临界情况，计算得到k的取值范围即可． 【详解】解：整理函数得， 当时，，因此该一次函数恒过定点， 当时，可分段写为： ， 其图象为折线，端点坐标为，，， 当一次函数过点时，将点代入解析式得： ， 解得，此时两个函数仅有1个公共点，不符合要求， 当时，一次函数解析式为，根据函数图象可知，此时两个函数有2个公共点， 根据函数图象可知：当时，两个函数有2个公共点， 因此满足的条件是． 23．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E． (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析 (2)①，；② 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设点，连接交于H，推出，得到点的坐标，即可得解； （2）①由四边形为正方形得到，垂直平分，设点，求出的值，即可得到点和点的坐标，进而求解； ②延长交轴于P，此时点即为所求，设直线的解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，理由如下： 设点， ∵点C关于直线的对称点为点E， ∴，平分， 如图，连接交于H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴于D， ∴轴， ∴， ∵， ∴点E在这个反比例函数的图象上； （2）解：①∵四边形为正方形， ∴，垂直平分， ∴， 设点， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， 代入得， ， 解得； ②∵点在轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴，当且仅当、、三点共线时取等号； 延长交轴于P，此时点P即为符合条件的点； 由①知，，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故当最大时，点P的坐标为． 24．（2025·江苏无锡·二模）如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A、与y轴交于点B，，点E在线段上，点F在A右侧的x轴上，且，则 ______；连接，则的最小值＝__________   ． 【答案】 60 【分析】过点P作轴于点H，连接，求出，，得，；求出，得，，证明，得，∴证明，得，是等边三角形，得,由，得的最小值为． 【详解】解：过点P作轴于点H，连接，则， ∵， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 对， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题，构建方程解决问题． 25．（2025·江苏泰州·三模）如图1，抛物线与一次函数交于两点，连接，． (1)当，时，求两点的坐标； (2)若，作，垂足为，则点到轴距离的最大值为______； (3)如图2，若，设直线与y轴交于点，过点作轴垂线交延长线于点，交轴于点． ①求证：； ②连接，交于点，请判断直线与抛物线是否有除以外的公共点，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①证明见解析；②直线与抛物线只有一个公共点，理由见解析 【分析】（1）当，时，一次函数为，点，分别和，再联立两函数解析式，求解即可； （2）设直线交轴于，取中点，得出，可知点在以为圆心，为半径的圆上，过点作于，由圆上一点到直线的最大距离可知，当过圆心时最大，即点与点重合，此时当最大； （3）①先求出，从而得到，再联立两函数解析式得：，求解得到，，然后用待定系数法求得直线解析式为，从而求得，即可求得，即可得出结论； ②先证明，得到，从而求得，再用待定系数法求得直线解析式为，联立函数解析式得，化简整理得，根据，得出方程有两相等实数根，则直线与抛物线只有一个交点．即可得出答案． 【详解】（1）解：当，时， 一次函数为，点， 把代入， 得，即， ∴， 将代入， 得， 解得：， ∴， 联立， 解得：，， ∴，； （2）解：设直线交轴于，取中点，如图， ∵，， ∴，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 过点作于， 由圆上一点到直线的最大距离可知，当过圆心时最大，即点与点重合， 此时当最大， 即点到轴距离的最大值为； 故答案为：． （3）解：①∵， ∴， 当，， ∴， ∵， ∴， 联立得：， 解得：，， ∴，， 设直线解析式为， 把代入，得 ， ∴， ∴直线解析式为， ∵轴于， ∴点横坐标与点横坐标相同， 把代入， 得， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线解析式为， 联立，得， ∴， 即， ， ∴方程有两相等实数根， ∴直线与抛物线只有一个交点． 即直线与抛物线的公共点个数为个． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，圆上一点与直线的距离，全等三角形的判定与性质，二次函数图象与一次函数图象交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关性质是解题的关键． 26．（2025·江苏盐城·二模）定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则____． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行，画图分析．求点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析，或；（4） 【分析】（1）设，由二次对称点的定义求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）根据二次对称点的定义求解即可； （3）分情况画出图形，结合二次对称点的定义求解即可； （4）连接，令直线交轴于，交轴于，求出，，由勾股定理可得，结合二次对称点的定义，并结合（1）可得：，，，得出垂直平分，，从而可得，进而推出，即在以 圆心，为半径的圆上运动，当直线于相切时，此时，等面积法求出，即可得解． 【详解】解：（1）设， ∵点，点N为点M关于点P的二次对称点， ∴， ∴， ∴； （2）∵点，，点B为点A关于点Q的二次对称点， ∴点关于点的对称点为， ∴点B的坐标为； （3）∵点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行， ∴如图，当轴，轴时， ， 由题意可得，，， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∵，即为的中点， ∴； 如图，当轴，轴时， ， 由题意可得，，， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∵，即为的中点， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （4）如图，连接，令直线交轴于，交轴于， ， 在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， ∵点F为点E关于点的二次对称点， ∴由（1）可得：，，， ∵， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴点在以 圆心，为半径的圆上运动， 当直线于相切时，此时， ∵， ∴， ∴， ∵在运动过程中，一定存在的情形． ∴b的取值范围为． 【点睛】本题考查了点的坐标—轴对称，一次函数的综合，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 27．（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别相交于点A、B，的圆心的坐标为，半径为1，点是直线上的一个动点，直线与相切于点，则线段长度的最小值为__________． 【答案】 【分析】过点M作于点H，轴于点N，交于点C，连结，根据圆的切线的性质及勾股定理，可求得，即当取最小值时，线段的长度取最小值，进一步可知当点P在点H处时，取最小值，此时，线段的长度取最小值；再利用函数的性质及相似三角形的判定与性质，求出的长即可． 【详解】解：过点M作于点H，轴于点N，交于点C，连结， 直线PQ与相切于点， ， ， 当取最小值时，线段的长度取最小值， ， 当点P在点H处时，取最小值，此时，线段的长度取最小值； 令，则， ， ， 令，则， ， 令，则， 解得， ， ，， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 即当点P在点H处时，线段长度取最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合性问题，圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，找出线段长度取最小值时点P的位置是解题的关键． 28．（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，则，由轴，结合反比例函数性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，点，在反比例函数图像上，为等腰直角三角形，四边形为矩形，则______． 【答案】 【分析】令点的坐标为，根据等量关系，证出，可得，，及，易得，代入函数得，令，方程变形为，求解的值即可得出结果． 【详解】解：令点的坐标为， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ∴， ∴点代入函数表达式， 得， 化简得， 即， 令， 上述方程为， 即， 解得或（舍去）， 故， ∴． 30．（2026·江苏泰州·一模）如图，点A在双曲线（k是常数，，x0）上，点C在双曲线上，连接交x轴于点B，点D在x轴上，若，，且的面积为1，则的面积为____． 【答案】/ 【分析】过A点作轴于E点，过C点作轴于F点．设，，则，，，，进而可得，．易证，则可得，得出a与b的关系为，进而可得，又由即可求出的面积． 【详解】解：如图，过A点作轴于E点，过C点作轴于F点， 设，，其中，， 则，，，， ，， ，， 且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 31．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上． (1)求，，的值． (2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值． (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或， (3) 【分析】（1）把代入得到，即．将代入得到．令，则，得到的坐标为，即． （2）设点C的坐标为．根据平行四边形对角线互相平分即两条对角线的中点是同一个点列方程求解即可，注意分情况讨论； （3）过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M．则．设，，则，．再证明，得到，代入后解得，即．再把直线表达式为解得，即可求出直线的表达式为，最后根据有且只有一点，使得，得到直线与只有一个交点，联立以后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴，即． 将代入得， ∴． ∴直线即为． 令，则， ∴． 的坐标为． ∴． 综上所述，． （2）解：设点C的坐标为． 若和为对角线， 根据平行四边形对角线互相平分可得：， 解得 ∴， 把代入得：． 若和为对角线，同理可得，． 若和为对角线，此时点C在第一象限，不符合题意． 故点C的坐标为或，． （3）解：如答图，过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M． ∴． ∴． 设，，则，． ∴，，，， ∵，， ∴， ∴． ∴． 解得， ． ∵点E与点D关于y轴对称， ∴． ∵， ∴直线表达式为． 将代入得， 整理，得． 解得（不合题意，舍去）． ∴，． 直线的表达式为． ∵有且只有一点，使得， ∴直线与只有一个交点， 联立方程组 消去，整理得． ． 解得． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正切，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 32．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B在x轴正半轴上，，将绕点O逆时针旋转，当点A的对应点落在函数的图象上时，设点B的对应点的坐标是，则__． 【答案】 【分析】过作轴于C，过作轴于，先根据旋转性质结合锐角三角函数关系得到，证明得到，则可得，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，由勾股定理求得，进而利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：过作轴于C，过作轴于，则， ∵点坐标是， ， 在中，，则， 由旋转性质得，点在第一象限中， ，又， ， ， ， ∵的坐标是，且在第一象限， ， ， ∵在函数的图象上， ，且， ， ， ， （负舍）， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及旋转性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解直角三角形、完全平方公式等知识，熟练掌握旋转性质和相似三角形的性质是解答的关键． 33．（2025·江苏宿迁·三模）定义：在平面直角坐标系中，点的“神秘点”为，当时，点的坐标为，当时，点N的坐标为． 例如：点的“神秘点”坐标为，点的“神秘点”坐标为． (1)点的“神秘点”坐标为 ； (2)点的“神秘点”在的图象上，求的值； (3)如图，直线与坐标轴分别交于点，，记直线上的所有点的“神秘点”组成一个新图形为． ①点在直线上，求当时点对应的“神秘点”的坐标； ②当抛物线 与图形有2个交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①当时点对应的“神秘点”的坐标为；② 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了“神秘点”的定义，一元二次方程根的判别式，求得的函数关系式是解题的关键． （1）由“神秘点”的定义解答即可； （2）由“神秘点”的定义可求得的“神秘点”，代入函数解析式可求得的值； （3）①先求出直线的解析式，再根据，求出得坐标，进而求出点对应的“神秘点”的坐标； ②先求出点对应的“神秘点”的坐标，点对应的“神秘点”的坐标，进而可得当时和当时，“神秘点”所形成图象的解析式，即新的图形的解析式，联立抛物线和图形成一元二次方程，结合图象位置分别讨论一元二次方程解的数量，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴点的“神秘点”坐标为， 故答案为：． （2）解：当时，点的“神秘点”为， 把代入，得， 解得：； 当时，点的“神秘点”为， 把代入，得， 解得：； ∴综上，． （3）解：①设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 点在直线上，当时，， 解得：，即， ∴点的坐标为， ∵， ∴点对应的“神秘点”的坐标为； ②点对应的“神秘点”的坐标为， 点对应的“神秘点”的坐标为， 当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：， 当时，所有“神秘点”组成的图形是以为端点，过点的一条射线，即：， ∴新的图形是以为端点的两条射线组成的图形， 由和， 得：和， 如图，当抛物线 与图形有1个交点时，方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 如图2，当抛物线 与有1个交点时，方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：， 此时，过点， 由图像可知： 当时，此时当抛物线 与射线有2个交点， 当时，此时当抛物线 与射线有1个交点，射线有1个公共点， 综上所述，当抛物线 与图形有2个交点时，的取值范围为． 2 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