精品解析：山东菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二下学期4月第三次定时训练数学试题

2024级高二第三次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数求导即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 2. 如图，从（图中不能折返回）不同的走法有（ ） A. 8种 B. 6种 C. 4种 D. 2种 【答案】A 【解析】 【分析】由图及分类，分步计数原理可得不同走法. 【详解】分为两类，不经过点有2种走法，经过点有种走法，共种走法. 故选：. 3. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，则， 所以， 因为， ， 所以的图象在处的切线方程为，即． 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 6. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可. 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 7. 若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，令，利用导数说明函数的单调性，画出的图象，依题意与有两个交点，即可得解. 【详解】令，则，则， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又当时，当时， 所以的图象如下所示： 依题意与有两个交点，则，则. 故选：D 8. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，再利用为奇函数求出的值，从而将原不等式转化为关于的不等式进行求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，，， 即，即， 故． 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的有（    ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据常数的导数为零，判断选项A；利用幂函数的求导法则求导判断选项B；利用对数函数的求导法则求导判断选项C；利用指数函数的求导法则求导判断选项D． 【详解】是常数，，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：CD． 10. 有三名男生､两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有（ ） A. 如果两名女生必须相邻，那么有48种不同排法 B. 如果三名男生均不相邻，那么有12种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有48种不同排法 D. 如果三名男生不能连排在一起，那么有108种不同的排法 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，利用捆绑法即可计算；对B，利用插空法即可计算；对C，先排男生在两端即可；对D，根据正难则反的原则计算即可. 【详解】对于A，将这两名女生捆绑，作为一个＂元素＂与剩下的三名男生进行全排列， 此时共有种不同的排法，故A正确； 对于B，先对三名男生进行全排列，再将女生插入三名男生所形成的中间2个空中，此时共有种不同的排法，故B正确； 对于C，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时共有种不同的排法，故C错误； 对于D，5个人排成一排的全排列有种，三名男生连排在一起的排法有种， 所以如果三名男生不能连排在一起，此时有种不同的排法，故D错误． 故选：AB． 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的定义求解． 【详解】因为，所以， 所以 ． 13. 的展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理求出展开项的通项公式求指定项的系数即可. 【详解】的二项展开式的通项公式为：， 因为， 故的展开式中含项为： 其系数为. 故答案为：. 14. 已知函数，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数进行求导，根据三角函数周期性并求出其单调性，得出函数极值，即可求得其最小值. 【详解】由，得， 因为，所以当时，0；当时，， 又满足，所以为的一个周期， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因为，所以当时，的最小值为. 即当时，的最小值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r（cm）是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm． （1）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 【答案】（1）瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最大 （2）瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的 【解析】 【分析】先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论． 【小问1详解】 由于瓶子的半径为， 所以每瓶饮料的利润是，． 令，解得（舍去）． 所以当时，；当时，． 当时，，它表示在区间上单调递增，即半径越大，利润越高； 当时，，它表示在区间上单调递减，即半径越大，利润越低． 又， 故半径为时，能使每瓶饮料的利润最大． 【小问2详解】 由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以当时，有最小值，其值为， 故瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的. 16. （1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 【答案】（1）15；（2）90；（3）1560 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用部分平均分组列式计算. （2）利用分步乘法计数原理及组合计数问题列式计算. （3）按分组，再分配给4个人即可. 【详解】（1）无序部分均匀分组问题：共有（种）分法； （2）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （3）第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 由加法原理，知共有480+1080=1560种不同分法 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用组合数的计算公式，化简得，即可求解； （2）求得二项展开式的通项，得到为正数，为负数，分别令和，即可求得的值． （3）由（1）得到，两边求导，再令，即可求解. 【小问1详解】 解：由组合数的计算公式，可得， 即，解得或（舍去）． 【小问2详解】 解：二项式展开式的通项公式为， 由 二项式展开式中的系数为, 当为偶数时，；当为奇数时， 令，可得， 令，可得，即， 所以． 【小问3详解】 解：由（1）知，可得 两边求导得 可得， 令，代入得， 所以． 18. 已知函数 （1）若函数在处有极值为10，求的值； （2）对任意在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点和极值得到方程组，求出或，分别检验后，得到满足要求，得到答案； （2）在任意恒成立，将其看作关于的一次函数，得到在恒成立，令，求出最小值，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 又函数在处有极值为10， 或， 当时，， 令，则或， 当时，，当或时，， 故在上单调递减，在，上单调递增，且， 满足函数在处有极值为10，满足题意；此时. 当时，，则函数无极值点，不成立， 综上，； 【小问2详解】 对任意在区间上单调递增， 在任意恒成立， 记， 在上单调递增， 在恒成立， 令，开口向上， 函数对称轴为， . 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围. （3）若，其中，，都有，证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时， 在单调递减，在单调递增. （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导后，根据以及不同情况下导数的正负，即可得到不同情况下函数的单调性； （2）根据（1）中所求函数单调性，在时，根据判断不满足题意；在时，求解，即可求得参数的范围； （3）根据题意，，通过（2）中所求可知的最小值，以及求导得到的最小值，根据两者的大小关系，即可证明. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 当时，，在上单调递减； 当时，令，解得； 在上，， 单调递减；在上，， 单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时， 在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，单调递减，，不符合题意，舍去； 当时，； 令，， ， 单调递增； 又因为，所以，即； 综上， 的取值范围. 【小问3详解】 因为，都有，所以； 因为，由（1）知，； 因为，则 ， 在上，， 单调递减；在上，， 单调递增； 所以 ；注意到； 所以,即，又因为单调递增，所以>0； 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第三次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，从（图中不能折返回）不同的走法有（ ） A. 8种 B. 6种 C. 4种 D. 2种 3. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 6. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的有（    ） A. B. C. D. 10. 有三名男生､两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有（ ） A. 如果两名女生必须相邻，那么有48种不同排法 B. 如果三名男生均不相邻，那么有12种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有48种不同排法 D. 如果三名男生不能连排在一起，那么有108种不同的排法 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则___________． 13. 的展开式中的系数为______. 14. 已知函数，则的最小值为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r（cm）是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm． （1）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 16. （1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 已知函数 （1）若函数在处有极值为10，求的值； （2）对任意在区间上单调递增，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围. （3）若，其中，，都有，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $