精品解析：山东济南市商河弘德中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题

商河弘德中学高中2024级高二下第二次月考 数学试题 考试时间：2026年5月15日 第I卷（选择题 共58分） 注意事项：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在本卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】 ，即 . 2. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（    ） A. 9种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步计数原理求解. 【详解】四人依次选择电影，每人都有3种选择， 则不同的选择共有种. 故选：D. 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】因为，所以 由，可得， 故选：C. 4. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案. 【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极大值，故满足题意 综上. 故选：B 【点睛】易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案. 5. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义分析运算． 【详解】，则， 设直线l与曲线C的切点，则直线l的斜率， 由于直线斜率为，则，解得， 所以，即切点为， 故，解得． 故选：C. 6. 已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为存在单调递减区间，所以在上有解，分离参数得，利用二次函数求最值得到的取值范围. 【详解】的定义域为，，令，得， 因为在内存在单调递减区间，所以在上有解，所以， 设，则的图象是开口向下的抛物线，所以， 所以，的取值范围是， 故选：C. 7. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求. 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 8. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】A 【解析】 【详解】由图可知，当时，，而，则； 当时，，而，则； 当时，，而，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则有极大值，无极小值. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分布列的性质和期望公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可判断AB选项，可得出的分布列，利用方差公式可判断C选项，利用分布列的性质可判断D选项. 【详解】由分布列的性质和期望公式可得，解得， 所以离散型随机变量的分布列为 故， ，BCD都对，A错. 10. 甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用事件概率判定A；设取黑球事件求出对应概率，借助条件概率公式分别算出两种情况下的条件概率，用全概率公式求得判断C；算出判定B；,最后由贝叶斯公式算出确定D正确. 【详解】对于选项A，由题意可知：，故选项A正确； 对于选项C，因为表示事件“从甲罐取出的球是红球”，设表示事件“从甲罐取出的球是黑球”，可得，， 当事件发生时，乙罐中有个红球，个黑球，故； 当事件发生时，乙罐中有个红球，个黑球，故 所以，故选项C错误； 对于选项B，结合上述分析可得，，故选项B错误； 对于选项D，结合选项C可得，，故选项D正确． 11. [多选]某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 前k天甲午餐总费用的数学期望为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据题意找到递推式，即可判断B，由递推式可求出可判断A，由递推式可求出，从而判断C，根据期望公式，期望的性质以及，即可判断D． 【详解】若甲在第天选择了米饭套餐，那么在第n天有的可能性选择米饭套餐， 甲在第天选择了面食套餐，那么在第n天有的可能性选择米饭套餐， 所以第n天选择米饭套餐的概率，故B正确； 因为甲在第1天选择了米饭套餐，所以，所以，故A正确； 由B选项得，， 所以， 又由题意得，，所以数列是以0.5为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，故C错误； 前k天甲午餐总费用的数学期望为 ，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】对原函数求导，将代入求即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有_______．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【详解】甲、乙排在一起，用捆绑法，先排甲、乙、戊，有种排法，丙、丁不排在一起，用插空法，有种排法，所以共有种． 考点：排列组合公式. 14. 若随机变量，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求代数式的值. 【详解】因为随机变量，可知正态分布曲线的对称轴是， 所以正态分布的对称性可得，故， 故答案为：. 四、解答题：本题共3小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是函数的一个极值点. （1）求函数的单调递增区间； （2）当，求函数的最小值. 【答案】（1）和；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由极值点求出参数，再代入，解不等式求递增区间 （2）求在上的极值，与端点值比较得出最小值. 【详解】（1）由题意 ，则 ，当时，； 当时，；当时，. 所以，函数的单调递增区间为和 （2）当时，的变化情况如下表 x 0 1 2 ＋ 0 － 0 ＋ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 当. 当. 所以当时，函数的最小值为. 【点睛】用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； 16. 已知． （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法分析求解即可； （2）利用二项展开式的通项公式以及组合数运算性质求解即可. 【小问1详解】 当时，，① 当时，，② ①②相加得：， 所以. 【小问2详解】 由题意知分别为展开式中的系数， 由的二项展开式的通项为：， 所以由， 即， 所以， 即， 所以，解得：. 17. 已知函数，曲线在处的切线斜率为2. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义由可计算，由可计算； （2）利用导数求出的单调性，判断的奇偶性，利用奇偶性、单调性解不等式即可. 【小问1详解】 ， 所以， 由题意可得，所以， 所以，所以. 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以在上单调递增， ， 所以为奇函数， ，即， 即， 所以，即， 即，解得， 所以不等式的解集为. 18. 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. （1）求乙得分的分布列和数学期望； （2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 【答案】（1）分布列详见解析，；（2） 【解析】 【分析】（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论． 【详解】（1）设乙答题所得分数为，则的可能取值为，0，15，30， ；； ； 乙得分的分布列如下： X -15 0 15 30 P （2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件． 则， ， 故甲乙两人至少有一人入选的概率． 【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商河弘德中学高中2024级高二下第二次月考 数学试题 考试时间：2026年5月15日 第I卷（选择题 共58分） 注意事项：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在本卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 2. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（    ） A. 9种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 4. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 5. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（ ） A. B. C. D. 10. 甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A. B. C. D. 11. [多选]某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 前k天甲午餐总费用的数学期望为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则______. 13. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有_______．（用数字作答） 14. 若随机变量，且，则_______． 四、解答题：本题共3小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是函数的一个极值点. （1）求函数的单调递增区间； （2）当，求函数的最小值. 16. 已知． （1）求； （2）若，求的值． 17. 已知函数，曲线在处的切线斜率为2. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 18. 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. （1）求乙得分的分布列和数学期望； （2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $