第四章 因式分解 单元试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第四章 因式分解（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1； ②x3+x＝x（x2+1）； ③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解； ②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解； ③整式的乘法，故③不是因式分解； ④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；一共2个。 2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：A、是单项式，不符合题意因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意． 3、已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 4、若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得， ， ． 5、把多项式因式分解，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：原式=-3a(-x+)=， 6、任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 【答案】D 【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数， 根据题意，得 ， 当时，，都能成立； 当时，则，则， 故， 故， 故一定能被8整除， 7、下列多项式中①；②；③；④；⑤；⑥．能用公式法分解因式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：①不能用公式法因式分解； ②，可以用完全平方公式分解因式； ③不能用公式法因式分解； ④，能用平方差公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； ⑥不能用公式法因式分解； 综上分析可知，能用公式法分解因式的有3个． 8、如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【详解】解∶左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 9、小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 山东美丽 C. 我爱山东 D. 美我山东 【答案】C 【详解】解： ， 对应“爱”，对应“我”，对应“东”，对应“山”． 四个因式组合为“爱、我、东、山”， 只有C“我爱山东”符合， 10、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数也是“神秘数”( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为整数)的规律， ， A、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”，不符合题意； B、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”， 不符合题意； C、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”，不符合题意； D、令，解得：，是整数， ∴“神秘数”，符合题意； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、多项式m（m﹣3）+2（3﹣m），m2﹣4m+4，m4﹣16中，它们的公因式是__________ ． 【答案】m﹣2 【解答】解：m（m﹣3）+2（3﹣m）＝m（m﹣3）﹣2（m﹣3）＝（m﹣3）（m﹣2）； m2﹣4m+4＝（m﹣2）2； m4﹣16＝m4﹣24＝（m2+4）（m2﹣4）＝（m2+4）（m+2）（m﹣2）． 各项都含有m﹣2， 因此它们的公因式是m﹣2． 12、 因式分解： ____________． 【答案】 【详解】解：， 13、把多项式进行因式分解的结果为，其中m，n均为整数，则的值为______． 【答案】 【详解】解： ， 由题意得：， ， ， 14、计算：______． 【答案】 【详解】解： ； 15、如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】12 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是24，即， ． 16、我国北宋数学家贾宪在1050年左右首先发现了一个奇妙的“三角形”（如下图），这个“三角形”被称为贾宪三角形．通过观察“三角形”，发现第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应各项的系数．根据反映的规律计算：______． 【答案】 【详解】解：原式中的系数分布为， 由贾宪三角形可发现，原式中的系数为展开式中各项的系数， ， 三、解答题：本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、因式分解： ①； ② 【答案】①；② 【详解】①解：； ② 18、已知，，求值． 【答案】54 【详解】原式 把，代入， 原式． 19、已知：，求的值． 【答案】16 【详解】解：由得 所以， 所以， 所以． 20、19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． （1）利用“热门定理”把分解因式． 热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） ； （2） ． 21、阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】（1） （2）4 （3）时，有最小值，最小值是 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ， 时，有最小值，最小值是． 22、数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：_________________（直接列出等式即可）； (2)若，，求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解：__________________．（直接列出等式即可） 【答案】(1) (2)56 (3) 【详解】（1）解：由图可知：； （2）解：，，， ， ； （3）解：如图所示， ． 23、阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）请根据材料A，解答问题：若，，求的值； （2）请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． （3）综合运用： 若实数x满足，求的值． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①设， 原式 ， 故答案为：； ②； 【小问3详解】 设，， ， 实数满足， ， ， ， ， ， ， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 因式分解（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1； ②x3+x＝x（x2+1）； ③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3、已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4、若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5、把多项式因式分解，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6、任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 7、下列多项式中①；②；③；④；⑤；⑥．能用公式法分解因式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8、如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A B. C. D. 9、小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 山东美丽 C. 我爱山东 D. 美我山东 10、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数也是“神秘数”( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、多项式m（m﹣3）+2（3﹣m），m2﹣4m+4，m4﹣16中，它们的公因式是__________ ． 12、 因式分解： ____________． 13、把多项式进行因式分解的结果为，其中m，n均为整数，则的值为______． 14、计算：______． 15、如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是______． 16、我国北宋数学家贾宪在1050年左右首先发现了一个奇妙的“三角形”（如下图），这个“三角形”被称为贾宪三角形．通过观察“三角形”，发现第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应各项的系数．根据反映的规律计算：______． 三、解答题：本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、因式分解： ①； ② 18、已知，，求值． 19、已知：，求的值． 20、19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． （1）利用“热门定理”把分解因式． 热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式：． 21、阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 22、数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：_________________（直接列出等式即可）； (2)若，，求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解：__________________．（直接列出等式即可） 23、阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）请根据材料A，解答问题：若，，求的值； （2）请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． （3）综合运用： 若实数x满足，求的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $