数学终极押题猜想（江西专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以江西中考考情为纲，构建“考情分析-方法提炼-真题猜想”三维体系，聚焦分类讨论、数形结合等思维，系统突破高频压轴题型。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |填空题多解题|1原创+12例题|抓关键词分类、尺规作图验证|围绕等腰/直角三角形等多解情形，结合近5年真题趋势构建解题模型| |函数综合（一次/反比例/二次）|3专题共45题|待定系数法、数形结合求交点|从基础函数性质到双函数综合，再到动态几何存在性问题，层层递进| |几何综合（三角形/四边形/圆）|5专题共60题|旋转构造全等、切线证明两大思路|以三角形为基础，融合特殊四边形性质与圆的切线、圆周角定理，形成几何推理链条| |实际应用（方程/统计/解直角三角形）|3专题共40题|建模转化、数据图表分析|从实际问题抽象数学模型，结合统计量计算与三角函数应用，培养应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学终极押题猜想 口考情为骨密押为翼门 月录 押题猜想一填空题多解题小压轴…。 押题猜想二整式和分式化简求值… …21 押题猜想三方程（组）与不等式及其应用 28 押题猜想四统计和概率问题…。 37 押题猜想五一次函数的综合问题… 50 押题猜想六反比例函数的综合问题… ,66 押题猜想七二次函数的综合问题… 82 押题猜想八无刻度作图问题…。 .104 押题猜想九三角形中的综合问题 …114 押题猜想十特殊四边形的综合问题 .140 押题猜想十一圆中的综合问题… .164 押题猜想十二几何图形中的课本再现的综合问题… ,183 押题猜想十三实物图中的解直角三角形综合问题…… ,197 马押题猜想一 填空题多解题小压轴 ● 试题前瞻能力先查· 限时：10min 【原创题】如图，在菱形ABCD中，AB=4V5,∠ABC=60°，AE⊥BC于点E,交BD于点F,若P是菱形 ABCD边上的一动点，当△AFP的面积是4V3时，DP的长为， ●分析有理押题有据·一 (分析地区考点趋势、阐释押题理由、押题依据、押题秘笈等) 近5年江西中考数学填空题最后一题固定考查多解题，这是2013年起创设的独创题型，旨在强化分类 讨论与数形结合思想。考点趋势方面，代数多解多出现在函数与坐标系背景下，如二次函数与坐标轴交点 1/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个数问题、中位数与平均数相等求未知数等；几何多解则主要围绕等腰三角形腰与底不确定、直角三角形 直角顶点不确定、相似三角形对应关系不明、图形变换后位置不确定等情形展开。 押题理由在于该题型位置和分值高度稳定，区分度大，能有效考查学生思维的严谨性。押题依据是近 三年真题风格延续性明显，如2024年仍考查折叠与动点结合的等腰三角形问题。 押题秘笈的关键是：一抓关键词，看到“等腰”“直角”“点在射线上”等立刻警觉；二严守分类标准， 做到不重不漏：三善用尺规作图辅助思考，并务必验证解的合理性，舍去不合题意的解。 ●终极猜想·精练通关。一 1.(2026江西吉安一模)已知点A,B,C分别在从上往下相互平行的直线4，马，马上，与Z之间的距 离是1，马与4之间的距离是2.若ABC是等腰直角三角形，则它的面积是 2.(2026江西九江.一模)如图在平面直角坐标系中，点A,B分别在x,y轴上，A(1,0),B(0,3),点P在第 一 象限内，当△ABP为等腰直角三角形时，OP= B 3.(2025·江西赣州模拟预测)已知ABC是⊙0的内接三角形，且AB=AC,∠ABC=55°，点D是O0上 除A,B,C之外的任意一点，直线CD与直线AB相交于点E,则当△ADC为等腰三角形时，∠AED的度 数可能为 4.(2025江西赣州模拟预测)如图，在半径为3cm的⊙0中，有A,B,C三点在圆上， ∠BAC=759,∠A0B=90°，点P从点B开始以cm/s的速度在劣弧BC上运动，设运动时间为s,以P,B, A,C四点中的三点为顶点的三角形是等腰三角形（非等边三角形）时，t的值为 D 5.(2026江西吉安一模)如图，在直角△ABC中，LACB=90°，∠BAC=30°，AB=2,将直角边AC绕 点A顺时针旋转得到AP,旋转角为α(0°<a≤180°)，连接CP,PB.若△PBC是以BC边为直角边的直 角三角形，则此时线段PB的长为 2/60 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(2026江西宜春.一模)在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点P是折线B-C-D-A上的动点（不与A, B两点重合)，当△ABP为等腰三角形时，此时AP的长为 7.(2025江西抚州二模)在ABC中，AB=AC,∠A=90°，BC=6,D为线段BC上一动点，连接AD ,以AD为边长向右侧作正方形ADEF,过点E作EM⊥BC,垂足为M,当EM长为正整数时，EF的长 为 M B 8.(2025江西赣州一模)在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点P是折线B-C-D-A上的动点（不与 A,B两点重合)，当AP的长为整数时，则BP的长是 9.(2025江西宜春模拟预测)已知OA为O0的半径，AB是00的弦，且AB=4√5，∠0AB=30°，点P 在OO上，若点P到直线AB的距离为2，则∠PAB的度数为 10.(2025江西新余·二模)如图，已知二次函数y=-3x2+6x的图象顶点为A,与x轴交于原点和点B.若 在y轴正半轴上有一点P,使△PAB为直角三角形，则点P的坐标为· B 11.(2025江西赣州模拟预测)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=60°，点0在边AD上，OA的 长为整数，且1<OA<4,以OA为半径，点O为圆心作圆O交菱形ABCD的边CD于点E,则CE的长为 3/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2026江西：模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+12与x轴，y轴分别交于A,B 点，点C是x轴正半轴上一点.设a,B分别是ABC的两个内角，若满足2a+B=90°，则点C的坐标为 B 一押题猜想二整式和分式化简求值 题前瞻能力先查· 限时：10min 原创圈先化简.再求值4Q+2-。之） 3-a a-2 其中a=-2. ◆分析有理押题有据。 近5年江西中考数学真题中，整式与分式的化简求值是“数与式”板块的核心必考内容，每年稳定在 第13题或第14题位置，分值6分。考点趋势上，分式化简求值已连续5年出现，而整式运算则常以混合 形式融入其中，形成了“以分式为主、整式为辅”的考查格局。题目通常给出一个含括号和除法的复杂分式， 要求学生先化简再代入求值，且代入的值往往需要从不等式组解集中选取，或是选择使分式有意义的数， 这增加了对“分母不为零”这一隐含条件的考查力度。 押题理由在于该题型位置稳定、分值明确，且与学生易错点高度相关，能有效考查运算能力和理解能力。 押题依据是近五年真题呈现“年年必考”的规律，且难度和形式高度一致，预测2026年仍会延续这一模式。 押题秘笈是：牢记“先化简、再求值”的顺序，绝不能直接代入；化简时遇到多项式要先因式分解， 通分时注意分子整体加括号；选择代入值时，务必检验是否使原分式分母为零，最后结果必须化为最简形式。 ○终极猜想精练通关。— 1.(2026江西吉安模拟预测)下列实数中，正整数是() 4/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.√5 C.-3 D. 2.(2026江西赣州一模)据统计，2025年一些国家的建筑服务出口同比增长率如下表： 中国 美国 德国 英国 日本 7.7% -1.2% -15.0% -8.0% 28.3% 这一年，上述六国中同比增长率最低的是() A.美国 B.德国 C.英国 D.意大利 3. (2026江西吉安·二模)如图，数轴上点A表示的数为() -3 -1 0 A.-2 B.2 C.-1 D. 4.（2022江西赣州模拟预测)据江西省统计局信息，2020年1~7月，全省进出口总值2363.8亿元，同 比增长26.4%比上半年提高1.3个百分点.将2363.8亿用科学记数法表示为() A.0.23638×10 B.2363.8×108 C.2.3638×102 D.2.3638×10 5.(2026江西萍乡一模)下列运算中正确的是() A.3a-2a=1 B.-a23=a C.(x-y)2=x2-y2 D.(22=8 6.(2026江西上饶一模)观察下图，根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字2025，则n为() A.32 B.45 C.1013 D.1014 7.(2026江西萍乡.一模)因式分解：x2-16= 8.(2026江西南昌一模)“以声音为眼让团圆无界”，截至2026年2月18日，“春晚无障碍版”直点播播放 量达2833.66万次，数2833.66万用科学记数法表示为 9.(2026江西赣州一模)一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是 2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要 元 10.(2026江西上饶三模)将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为25和7 的正方形，则阴影部分的面积是· 5160 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25 11. (2026江西吉安一模)若(Nm=5,√=3，mn<0,则m-n= 12.(2026江西吉安一模)大衍数列：0,2,4,8，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的 推论，已知大衍数列可按如下方式排列：0=1,2=二，4=3子1,8=号，…则大衍数列的第9个数 2 2 2 2 是 13.(2026江西上饶二模)计算与化简 (1)计算： -V3-0+π-3.14)0 (2)化简：a+2(a-2)+a(4-a. 14.(2026江西赣州一模)先化简 x2-2x+1, 再选择一个合适的数代入上式求值， x+1 x+1 15.(2025江西吉安·二模)在化简 x+x-9的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分 x+3'x-3x 运算过程： 小明：原式 x(x-3) x(x+3)1x2-9 (x+3)(x-3)(x+3)(x-3)」x 小红：原式=x.x-9xx2-9 x+3 xx-3 x (1)小明解法的依据是 小红解法的依据是 (填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程. 16.(2025江西南昌·模拟预测)【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发 现了有趣的数学规律： 方框二 方框三 方框 243 4 67 8 9 101 12 13 141516 17 1819 2021 2223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 35 36 37 39 41 42 43 4445464748 6/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方框一：7×14-6×15=8. 方框二：11×18-10×19=8. 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式： 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n,用含n的式子证明你所发现的规律. 马押题猜想三方程（组）与不等式及其应用 题前瞻能力先查。一 限时：10min x+1>-1 【原创题】1.(1)解不等式组： 3(x-2)≤2x-3 x-3y=3 (2)解二元一次方程组： 3x-y=91 2.(2026江西吉安.一模)科技改变生活，某厂家上市了两款新型智能助听眼镜，它将开放式听力技术集 成到眼镜，适合听力为轻度至中度损失的人群某商家获取到相关信息；购进1副甲品牌智能助听眼镜和4 副乙品牌智能助听眼镜共需5200元，购进2副甲品牌智能助听眼镜和3副乙品牌智能助听眼镜共需5400 元. (①)求甲、乙两种品牌智能助听眼镜每副的进货价格. (2)若该商家准备购进甲、乙两种品牌智能助听眼镜共20副，且进货总费用不超过23500元，则至多可购进 甲品牌智能助听眼镜多少副？ ●分析有理押题有据。一 近5年江西中考数学真题中，方程（组）与不等式及其应用是每年必考的核心板块，通常在第14题左 右以解答题形式出现，分值约6-8分。考点趋势上呈现“双线并行”特征：一是纯代数运算线，包括一元二 次方程根的判别式与根与系数关系（如2022年考查判别式求参数值、2021年考查韦达定理）、解不等式组 并在数轴上表示解集（如2021年)、分式方程的应用（如2022年甲、乙采样问题）；二是实际应用线， 常将方程与不等式融合考查，如2024年以书架摆放书籍为背景，既用一元一次方程求数量，又用不等式求 最多可摆书数；2023年植树问题更进阶，先用方程求人数，再用不等式求甲树苗至少购买量；2020年则结 合二元一次方程组与设计方案决策。 押题理由在于该题型位置稳定、与生活实际结合紧密，能综合考查建模与运算能力。押题依据是近五 年真题中“方程与不等式应用”连续出现，且均以“方程定值+不等式定范围”两步递进式结构呈现，预测 2026年仍会延续销量利润、分配方案等生活情境题。 押题秘笈：一是审题时圈出“至少”“不超过”“多于”等词迅速判断不等关系；二是列分式方程后 7/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 务必验根（分母不为零及实际意义）；三是方案决策题需将方程解出的确定值代入不等式，再结合“整数解” 确定最终方案。 ○终极猜想·精练通头 1.(2026江西萍乡一模)若二次根式√x-4有意义，则x的取值范围是() A.x>4 B.x2-4 C.x≥4 D.x<4 2.(2026江西模拟预测)口跨学科物理小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物 体放在天平的左边，右边分别放两个、三个50g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是 () 8i0 A.m>50g B.m<75g C.50g≤m≤75g D.50g<m<75g -x<1 3.(2025江西宜春·三模)不等式组 -1≤0的解集在数轴上表示正确的是() A. B.-L -2-1 01 2 2-1 0123 C. -2-1 012 D.2 02 4.（2026江西吉安模拟预测)若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是() A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a21 5.(2025江西赣州一模)《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度， 如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺.问 井深多少尺？下列说法正确的是() A.设并深为x尺，所列方程为3(x+4)=4(x-1) B.绳子的长是32尺 C设绳子的长为x尺，所列方程为x+4打 D.井深8尺 6.(2025江西九江·模拟预测)《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、 六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的 重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则依题列出的方程组正确的是() [5x+6y=1 5x+6y=1 A. B 5x-y=6y-x 4x+y=5y+x 8/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 [5x+6y=1 5x+6y=1 C. D. 4x-y=5y-x 5x+y=6y-x 7.(2026江西吉安一模)不等式-2x+3<5的解集是 8.(2026江西上饶三模)已知关于x的一元二次方程(a-2)x2-3x+a2-4=0有一个根为x=0,则a= 9.(2026江西九江一模)一元二次方程x2-x-1=0的两根分别为x,x2,则x+x2= 10.(2026江西南昌一模)己知快递员取一件快递的收益比送一件快递的收益多1元，某天该快递员送快 递的件数是取快递件数的2倍，若送、取快递获益相同，则该快递员取一件快递的收益为 元 11.(2026江西九江·一模)小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路 程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百 公里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 x-2>0 12.(2026江西萍乡一模)若关于x的不等式组 有解，则a的取值范围为 x-a≤0 -2x>-6 13。(2026江西南昌一模)解不等式组+1，-并将解集在数轴上表示出来。 3 -5-4-3-2-1012345→ 14.（2026江西九江一模)若x,x2是关于x的一元二次方程x2-4x+k-2=0的两个实数根。 (I)求出实数k的取值范围： (2)若方程的两个实数根满足x+x2-x·x2=1,求k的值. 15.(2026江西上饶三模)为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器 人、机械臂、无人机、智能小车.第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购 巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元， (①)求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元： (②)科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售 价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元.若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为 一组)，那么这次最多能购买巡线机器人多少套？ 16.(2026江西新余一模)清明节假期，某班师生共同到南昌汉代海昏侯国遗址博物馆参观学习，若部分 同学计划花360元请讲解人员进行讲解，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原 来的5 4 9/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 马蹄金造型徽章 青铜当卢书签 (①)求请讲解的同学人数， (②)参观结束后，同学们到文创店购买马蹄金造型徽章和青铜当卢书签，己知马蹄金造型徽章和青铜当卢书 签的单价分别为35元和25元.若请讲解的每名同学都购买了一个马蹄金造型微章或一张青铜当卢书签，且 他们购买的总费用不超过465元，求请讲解的同学最多购买马蹄金造型徽章的个数， 押题猜想四 统计和概率问题 题前瞻·能力先查·一 限时：10min 【原创题】1.“马踏新程·新年有光少年有为”，某班开展马年迎新活动，活动中有个游戏环节，规则为每位 同学只能转动转盘（图1）一次，指针落在面积相等的A,B,C,D的某个区域，对应可得一个有奔马、 福马、萌马、祥云马图案的马卡龙（图2），若指针落在边界位置，则要重新转动，甲、乙两位同学各转动 转盘一次。 A 图1 奔马 福马 图2 萌马 祥云马 (1)事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是 事件； A.随机B.不可能C.必然D.确定性 (②)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的概率. 甲 A B C (AA) (BA) (CA) (DA (AB) (BB) (CB) (DB 10/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (AC) (BC) (cc) (DC) D (AD) (BD) (CD DD 2.今年央视春晚节目《秧B0T》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了 精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随 机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量. 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 个机器人台数/台 4 B型号的智能机器人每天可分 1314151617分拣快递数量/万件 拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数 16 17 20 22 23 量（万件） 机器人台数 1 2 (台) 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数万件 中位数万件 平均数/万件 A型号 14和16 b B型号 a 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中a=,b=；c= (2)若该省共投放市场的A型号智能机器人有80台、B型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两 种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ (3)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化 建议. 。分折有理押题有据·。 11/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 近5年江西中考数学真题中，统计与概率是每年必考的核心板块，通常在第15题左右以解答题形式出现， 分值约8分。考点趋势呈现“统计为主、概率为辅”的格局，其中统计部分侧重于从统计图表（折线图、 扇形图、频数分布直方图)中提取信息，考查平均数、中位数、众数、方差等统计量的计算与分析，如2024 年考查了折线统计图与数据代表值的综合判断，2023年通过视力调查让学生结合中位数或众数比较不同群 体的视力水平；概率部分则几乎固定考查用画树状图法或列表法求两步试验的概率，如2024年新生分班问 题、2023年宣传员选取问题均为两人同时抽取的等可能事件。此外，2025年还新增了抽样调查方式合理性 的判断题，体现了对数据收集环节的重视。押题理由在于该题型位置稳定、与实际生活联系紧密（劳动课程、 视力健康、体重指数等)，能综合考查数据观念与应用意识。押题依据是近五年真题中统计与概率从未缺席， 且解答题均采用“统计图表分析+数据计算+概率求值”的三段式结构，预测2026年仍会延续这一模式。押 题秘笈：一是审图时抓住统计图的关键信息（折线看变化、扇形看比例、直方看分布）；二是求中位数前 务必将数据排序，众数可能不唯一；三是用列表或树状图求概率时务必列出所有等可能结果，并注意“放回” 与“不放回”的区别；四是建议类开放性问题要结合数据特点给出合理回答。 ●终极猜想·精练通关 1.(2026江西上饶三模)学校食堂为了优化午餐供应，希望了解全校学生“最喜欢的午餐菜品”.你认为 以下抽样方法中比较合理的是() A.调查全体走读生 B.调查校篮球队全体队员 C.调查七年级全体学生 D.调查各年级中的部分学生 2.(2026江西上饶一模)为了解某市教育局管辖的8万名初中生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽 样调查方式中最合适的是() A.随机抽取某一所初中的全体学生 B.每个县区各推荐30名学生 C.在市区几所中学的体育课上，随机抽取40名学生 D.将全市所有初中生的学籍信息输入电脑程序，在电脑中随机抽取500名学生 3.(2026江西吉安一模)某校开展“阳光体育”活动，对爱好篮球，排球，足球，羽毛球的学生人数进行 统计，根据统计数据绘制了如图所示的扇形统计图已知爱好排球的有46人，则爱好篮球的人数为() 排球 足球 0% 30% 篮球 羽毛球 25% A.138 B.115 C.161 D.92 4.(2026江西九江一模)如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为() 12/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.月 D. 5.(2026江西吉安模拟预测)班主任将全班50名同学已经学会烹饪菜品的种数绘制成条形统计图（如图， 部分区域被遮盖)，则下面关于学生学会烹饪菜品的种数的统计量中，可以确定的是() 人数 20L 5 10 2 3 45菜品种数 A.平均数、中位数 B.中位数、众数 C.平均数、众数 D.众数、方差 6.(2026江西南昌一模)为塑造学校独特的品牌形象，某校邀请5位专家评委对进入复赛的两幅校徽设 计作品甲、乙进行打分，其中甲作品最终所得平均分为90.8分，方差为0.5；乙作品得分（单位：分）分别 为90,91,91,91，m(整数)，若甲作品最终所得平均分低于乙作品，且5位评委对乙作品的评价相比 甲作品更一致，则m的值为() A.90 B.91 C.92 D.93 7.(2025江西新余模拟预测)数据-3,0,1,2的方差是 8.(2025江西新余·三模)小贤是一名观鸟爱好者，他想用折线统计图反映每年到都阳湖湿地公园过冬的 东方白鹤的数量变化情况，以下是他打乱顺序的统计步骤： ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势； ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录： ③按统计表的数据绘制折线统计图； ④整理每年到公园过冬的东方白鹅的数量，并制成统计表。 正确的统计步骤的顺序应是 9.(2026江西模拟预测)某公众号近期新增了120名粉丝，新增粉丝关注方式的扇形统计图如图所示， 则通过“文章页关注”的粉丝有 名 A搜一搜 B.扫一扫 60B C,文章页关注 369 D.其他 30% 10.(2025江西抚州模拟预测)为了备战中考体育考试，小华和小月练习立定跳远，如图为两人5次立定 跳远成绩（单位：m)的折线统计图，由图可知成绩比较稳定的是 (填“小华”或“小月”)· 13/60 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个成绩（单位：m) 一小华 …小月 1 12345次数 11.(2025江西宜春.一模)有一个数据样本为：1，x,y,z,2,3,3.已知这个样本的众数和平均数都为 2,则这组数据的中位数为 12.(2025江西模拟预测)小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用边长为 4c的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内掷点，通过大量的重复试验，发现点落在不规则图案部 分的频率稳定在0.3附近，请你根据小贤同学的试验数据，得出该不规则图案（恐龙）的面积为 13. (2026江西九江一模)某地下停车场剩下“S50,S51,S52,S53”四个相邻的车位 (1)若一辆小车开进该地下停车场，车子停在“S52”号停车位是事件（填“随机”或必然”或“不可能”）， 概率是 (②)现有甲、乙两位车主同时来到该地下停车场停车，用树状图或列表法求他们停靠的位置恰好相邻的概率. 14.(2026江西萍乡一模)酚酞溶液是初中化学常用的酸碱指示剂，其特性为：遇碱性溶液变红，遇酸性 或中性溶液不变色（仍为无色），某化学实验小组用酚酞溶液检测了编号为甲、乙、丙、丁的四种无色溶液， 结果如下表所示： 溶液编号 甲 乙 丙 丁 酚酞变色 红色 无色 无色 红色 己知这四种溶液中只有酸性和碱性两种类型（无中性溶液）· (1)若从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为 (2)若从这四种溶液中随机选取两种进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好有一种酸性溶液和一种 碱性溶液的概率。 甲 乙 丙 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 14/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 15. (2026江西南昌一模)教师群体的心理健康状况值得特别关注.某区为了解教师心理健康现状，从本 区随机抽取α名教师进行心理健康测评，测评标准如下： 得分区间 0~10分 1120分 21~30分 31~40分 心理健康等级 A:优秀 B:良好 C:一般 D:需要注意 【数据处理】 将收集到的数据整理成以下两幅统计图： α名教师心理健康测评条形统计图a名教师心理健康测评扇形统计图 频数小 76 75 70 65 D 44 c% B 27% C 20b 22% OABC DE等级 【数据应用】 (1)a= ,b= ,C= (2)补全条形统计图： (3)在抽取的教师中，得分为中位数的教师心理健康等级处于 (④)调查发现，心理健康等级为E的教师中，通过单次专业心理干预，约有80%的教师心理获得正向改善， 恢复了健康.若该区共有教师2900名，问心理健康等级为E的教师都经过单次专业心理干预后，约有多少 名教师获得正向改善，恢复了健康？ 16.(2026江西吉安.一模)赣南脐橙因赣南红壤土富含稀土元素，赋予脐橙独特甘甜风味，被列为全国十 一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号.脐橙成熟季，数学小组成员想了解甲、乙两片果园的脐橙质 量，随机从甲、乙两片果园各抽取了20个脐橙，从果径大小、甜度、水分三个方面进行考察，统计结果如 下： 数据处理 甲、乙果园的脐橙果径大小分布表 果径x/cm 等级 甲果园频数 乙果园频数 x<7 小果 2 15/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7≤x<8 中果 8 5 8≤x<9 大果 8 10 x29 特大果 2 1 甲、乙果园的脐橙甜度得分统计图 口甲果园口乙果园 个数 9 8 6 各方面平均分统计表 5 4 2 1 0 8 9 10 得分 果径平均值 甜度平均值 水分平均值 甲 7.95 8.4 8.2 乙 7.9 8.15 8.5 数据应用 (1)乙果园的脐橙果径的中位数落在 区间.（填正确结论的选项） A.x<7B.7≤x<8C.8≤x<9D.x≥9 (②)补全甜度得分统计图，并指出甲果园中甜度得分的众数为 (3)若从甲果园随机摘下600个脐橙，估计大果的数量， (④)若某水果商想选择承包其中一片果园的脐橙，按照果径、甜度、水分分别占比3：3：4计算综合评分，且综 合评分越高越好.请通过计算说明该水果商应该选择哪片果园， 马押题猜想五一次函数的综合问题 题前瞻·能力先查·一 限时：10min 【原创题】为改善环境质量，推动绿色发展，某企业响应政府号召决定购买甲，乙两种型号垃圾处理器共 21台，已知甲型号垃圾处理器的单价为16万元，购买乙型号垃圾处理器所需费用y(万元)与购买数量x(台) 16/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 之间的函数关系如图所示， y(万元) 136 96 46x(台) (I)求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围； (②)已知购买乙型号垃圾处理器的数量不少于甲型号垃圾处理器数量的一半，求购买21台垃圾处理器的最少 费用. —•分析有理押题有据。 近5年江西中考数学真题中，一次函数的综合问题是每年必考的核心大题，通常在解答题倒数第二或第三 题位置出现，分值约8-9分，且呈现逐年加重趋势。考点趋势上呈现出鲜明的“两线并行”格局：一是与反 比例函数深度融合，几乎每年都考查一次函数与反比例函数的“双函数”综合题，如2025年考查了直线与 双曲线交点坐标、三角形面积及图象平移问题，2024年则以等腰直角三角形为背景将两个函数巧妙结合， 2023年同样考查了直线与双曲线的交点及面积计算；二是将一次函数与实际应用问题紧密结合，如行程问 题中的追及相遇、利润最大化中的方案决策等。 押题理由在于该题型位置高度稳定、综合性极强，能同时考查函数图象性质、待定系数法、数形结合思想 和方程思想，是区分度的保障。押题依据是近五年江西中考真题中一次函数从未缺席解答题，且与反比例 函数的“联姻”己成固定模式。 押题秘笈：一是熟练掌握待定系数法求解析式，抓住图象上点的坐标代入即得；二是数形结合读图，关注 函数图象与坐标轴交点、两函数交点、图象平移前后的关键点坐标；三是注意分类讨论，如等腰三角形存 在性问题要分腰和底讨论：四是应用题中务必明确自变量取值范围，并结合实际意义进行取舍。 ●终极猜想精练通头 1.(24-25八年级下·江西宜春期末)一次函数y=3x-1的图像不经过() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(24-25八年级下江西上饶期末)关于一次函数y=-2x+3,下列说法正确的是() A.它的图象与x轴的交点为0,3) B.它的图象经过第二、三、四象限 C.当x<0时，y<0 D.它的图像可看作y=-2x的图象向上平移3个单位长度得到的 3.(25-26八年级上·江西抚州期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+3的图象与x轴、y轴 9 分别相交于点A,B,若点C在y轴上，且满足S.c=2,则点C的坐标为(） 17/60 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A A.(0,0)或(0,6)B.(0,0】 C.(0,0)或(6,0 D.(0,6) 4.(25-26八年级上江西吉安期末)一次函数y=x-k与正比例函数y=k2x(k为常数，且k≠0)，它 们在同一坐标系中的大致图象可能是() 为米。 5.(2025江西景德镇一模)漏壶是一种古代计时器，某小组同学根据漏壶的原理制作了如图所示的液体 漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通.液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中， 实验开始时圆柱容器中己有一部分液体.用x表示漏水时间，y表示圆柱容器的液面高度.下列图象中，适 合表示y与x的对应关系的是() D 6.(25-26八年级上江西景德镇期末)若函数y的图象上存在点P,函数的图象上存在点0，且P,Q 关于y轴对称，则称函数片和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”.下列结论： ①函数y=2x+3与函数⅓=-x+4不具有“对偶关系”； ②函数y,=2x+3与函数=-x+1的对偶值”为-2； ③若1是函数y,=c+3与函数y2=x的“对偶值”，则k=2; ④若函数=-2x+6(-2≤x≤-1)与函数，=x(x>0)具有对偶关系，则3≤b≤号，其中正确个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(2026江西吉安二模)已知点M(xy)和点N(x2,y2)都在直线y=-2x+m(m为常数)上，若 x=x+1,则片 .(填“>”“<”或“=”) 18/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(2025江西·模拟预测)人体心率的增加有一定的限度，这个限度叫作最大心率.设最大心率为y,年龄 为x,它们的关系满足y=220-x,若某同学今年14岁，则该同学今年的最大心率为 9.(2025江西九江一模)如图，平面直角坐标系中，在直线y=x+1和x轴之间由小到大依次画出若千个 等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第刀个 等腰直角三角形的直角边长是 ,y=x+1 10.(2025江西九江·三模)如图，一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A,B.C为第一 象限内的一点，当ABC是等腰直角三角形时，点C的坐标为 11.(2025江西南昌一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,0)，B、C两点分别在x轴、 直线y=?x上运动、若以AB为直角边的4BC为等腰直角三角形，则点C的坐标为 C O A B 12.(2026江西模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=膏+12与x钻。y错分别交于4，B两 点，点C是x轴正半轴上一点.设a,B分别是ABC的两个内角，若满足2a+B=90°，则点C的坐标为 19/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 0 A 13.(2025江西宜春模拟预测)(1)已知直线经过点A(-1,0)与点B(2,3),求这条直线的解析式： (2)如图1为汽车沿直线运动的速度v(m/s)与时间t(s)(0≤1≤40)之间的函数图象.根据对此图象分析、 理解，在图2中画出描述在这段时间内汽车离开出发点的路程s(m)与运动时间t(s)之间的函数图象. 4v/(m/s) A.s/m 20 400 15 300 10 200 100 可102030405015 0i0203040507 图1 图2 4.(2022江西模拟预测)如图，在Rt△4B0中，tan∠AB0=三，0A=6,点4，B分别在，y轴的正 半轴上，AM平分∠BA0交y轴于点M. 珠 B M 0 A x (I)求点M的坐标： (2)求AM所在直线的解析式. 15.(2025·江西·二模)某文体用品商店购进一批普通跳绳和计数跳绳销售，己知销售10根计数跳绳和20根 普通跳绳的利润为200元，销售20根计数跳绳和30根普通跳绳的利润为350元. (1)求每根普通跳绳和每根计数跳绳的销售利润. (2)该商店共购进这两种跳绳200根，其中计数跳绳的进货量不超过普通跳绳的2倍，设购进普通跳绳x根， 这200根跳绳的销售总利润为y元. ①求y关于x的函数解析式 ②该商店购进这两种跳绳各多少个，才能使销售总利润最大？最大总利润是多少元？ 16.(2026江西·模拟预测)新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一 些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售： 20/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠。 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款y元，按方案二购买需付款元，已知 y,y2关于x的函数图象如图所示. 50 O50100 (I)a的值为_-，b的值为_ (②)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围. (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值. 品押题猜想六反比例函数的综合问题 ·题前瞻·能力先查·一 限时：10min 【原创题】如图，反比例函数y=冬(k≠0)的图象经过点42，m和点85，，直线y=x+b经过点 A,C-1,2). ()求一次函数和反比例函数的表达式. (2)连接AB,BC,求ABC的面积. —·分析有理押题有据· 近5年江西中考数学真题中，反比例函数的综合问题是每年必考的核心板块，通常在解答题第19题或 第20题位置出现，分值约8-9分，且呈现出与几何图形深度融合的鲜明趋势。考点趋势上，反比例函数很 少单独考查，而是与矩形、等腰直角三角形、菱形等几何图形紧密结合，考查k的几何意义、点在双曲线 上满足的坐标关系、以及面积计算等问题。例如2024年江西中考以等腰直角三角形为背景，将双曲线与三 角形顶点坐标关联考查；2025年则出现了新定义“不动点函数”的创新题型，将反比例函数与函数性质探 究相结合，体现了从传统计算向数学探究能力考查的转变。 21/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题理由在于该题型位置高度稳定、与几何图形的综合性强，能有效考查数形结合思想和转化思想。 押题依据是近五年江西中考真题中反比例函数与几何图形结合的考查模式从未改变，且2025年创新题型预 示着对函数性质理解的深度要求有所提升。 押题秘笈：一是熟练掌握k的几何意义，过双曲线上一点作坐标轴垂线围成的矩形面积等于k;二是解 决与几何图形综合题时，要善于用坐标表示线段长度，再根据几何条件列方程求解；三是注意对称性，反 比例函数图象关于原点中心对称，常利用此性质求点的坐标；四是要灵活运用待定系数法，将几何条件转 化为点的坐标代入解析式求解。 ○终极猜想精练通关 1.(2025江西模拟预测)若A(a,b)是双曲线y=《(k≠0)上一点，则下列各点，不在该双曲线上的是() A.（-a,-b B.(b,a) C.a-1,b+1 D. 2.(2026江西模拟预测)跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P越小.在下列 图象中，能描述这一变化规律的图象是() PA 3.(2025江西模拟预测)有下列三个判断，其中正确的是() ①点0是原点，射线OB分别交反比例函数y= 2与为=-3的图象于点8，点A,则01<0B, 3 ②点P(0,1在双曲线y=1上. 1 ③双曲线y=。的两支在所在象限内，y随x的增大而减小. 2x A.①② B.②③ C.① D.③ 4.(2026江西上饶三模)“水稻出米率”是指一定重量的稻谷，经过加工后所能得到的米粒重量与稻谷总 重量的比值.如图描述了A,B,C,D四块试验田在丰收时的出米率y与稻谷产量x的情况.则这四块试 验田在这次丰收中，最终产出的米粒重量最多的是() ◆D B 衣 A.A B.B C.C D.D 5.(2025江西二模)海拔不同，大气压不同.某人在某地绘制的大气压与海拔的函数图象如图所示，认 22/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 真观察图中数据，下列说法中正确的是() A大气压kPa 100 80 60 40 汤 0 12345678910111213海拔m A.海拔越高，大气压越大 B.图中曲线是反比例函数的图象 C.当海拔为4km时，大气压约为70kPa D.图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 6.(2025江西抚州二模)若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=口与正比例函数 y=bx在同一平面直角坐标系中的大致图象是() 来衣 7 (2025江西·模拟预测)若点A(a+1,2),B(1,a都在反比例函数y=《图象上，则k的值为 8.(2025江西抚州一模)如图，M为反比例函数y=(k≠0)的图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为 A,△AOM的面积为5，则k的值为 9.(2024江西九江二模)如图，已知点42,1，B2,2),若反比例函数y=(x>0)的图象与线段4B相交， 则k的值可能为 ·(写出一个即可) 23/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 0 10.(2025江西南昌·二模)镜片的屈光力D(单位：屈光度)与焦距∫（单位：米）满足反比例函数关系， 如图，点A在该反比例函数图象上，若某镜片的焦距∫为1米，则它的屈光力D 屈光度. D 00.5 11.(2025江西赣州一模)如图，A、B两点在双曲线y=《(k>)上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂 线段，已知S阴影=1，则S,+S2=(用含k的代数式表示) S2 0 12.(2025江西景德镇模拟预测)在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为-2,0)，(2,0)，过点A引 一条直线交反比例函数y=2的图象于点D,同时，该直线与y轴交于点C,若△4BD与△AOC相似，则 点C的纵坐标可能是 13.(2026江西宜春一模)如图，已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=”的图象交于A1,n), B(-2,-1)两点，与y轴相交于点C. 24/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求一次函数与反比例函数的解析式； 2)若OC=OD,求△ABD的面积. 14.(2026江西九江一模)如图，直线AB:y=3x-4与反比例函数交于点C(2,m),与坐标轴分别交于点 A和B.过点B作x轴的垂线交反比例函数于点D,连接DC并延长交x轴于点E OB E (I)求反比例函数的解析式及点D的坐标 (②)求aBCE的面积 15.(2026江西萍乡一模)如图，直线y=kx+b与反比例函数y=上(k,k≠0)的图像交于点 Am-1,3和B(6,m两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (②)直接写出当x为何值时，上>kx+b: (3)若点C为直线AB下方且在x轴上的一点，当AC⊥BC时，求ABC的面积. 16.(2026江西南昌一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A在反比例函数y=x>0)的图象上，过 点A分别作x,y轴的垂线，垂足为C和B,矩形OCAB的面积为4. 25/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (I)求该反比例函数的解析式： (2)如图2，点D,E分别在边AB,AC上，线段BD和CE的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接 OD,DE,EO. ①当点A的横坐标为4时，求△ODE的面积； ②当点A在该反比例函数的图象上运动时，△ODE的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规 律；若没有发生改变，请说明理由. 号押题猜想七二次函数的综合问题 题前瞻·能力先查。一 限时：10min 【原创题】如图1，垂直于y轴的直线y=k+1与抛物线y=a(x-h)+k(a>0)相交于A,B两点，我们把线 段AB的长度称为抛物线的“碗宽”.例如，当a=1,h=0,k=0时，直线y=1与抛物线y=x相交于A,B 两点，则AB的长度就是抛物线y=x的“碗宽”. y=a(x-h)2+k yk+1 D v=k+1 y=k+1 B(C) 图1 图2 图3 (1)抛物线y=x2的“碗宽”为_；抛物线y=(x-h)+k的碗宽”为_；抛物线y=ax2(a>0)的“碗宽”为_；抛 物线y=a(x-h)+k(a>0)的“碗宽”为_，（后两空均用含a的式子表示） ②痴图2，抛物线C:=x-A广+k的顶点为M,抛物线C:=4〔x-点户+k的顶点为，它们的碗 宽”分别为AB和CD(A,B,C,D从左往右依次排列)的长度. 26/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①如图3，当B,C两点重合时，求M,N两点之间的距离. ②当B,C两点不重合时，M,N两点之间的距离是否发生改变？若没有发生改变，请结合图2说明理由； 若发生了改变，请直接写出MN与BC之间的数量关系. ●分析有理押题有据。一 近5年江西中考数学真题中，二次函数的综合问题是每年压轴题的固定考查内容，通常在解答题最后 题位置出现，分值为12分，属于“每年必考”的核心题型。考点趋势上呈现出“两大方向”并行的格局： 是二次函数与几何图形的综合，包括与等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形等存在性问 题的考查，如己知真题中常见“是否存在点P使△PAC是直角三角形”的探究；二是二次函数与图形变换 的结合，涉及平移、对称后的最值问题，如将军饮马型周长最小、面积最大等问题；此外，近年开始出现 新定义函数与二次函数性质探究的创新题型，如“不动点函数”等，体现了从传统计算向探究能力考查的 转变。 押题理由在于该题型位置高度稳定、综合性极强，能同时考查函数图象性质、代数运算、几何推理和 分类讨论思想，是整张试卷区分度最高的题目。押题依据是近五年江西中考真题中二次函数从未缺席压轴题， 且与几何动点、存在性问题的考查模式己形成稳定风格。 押题秘笈：一是熟练掌握待定系数法求解析式，抓住己知点坐标代入建立方程组；二是动点问题中设 参数表示坐标，根据几何条件列方程求解，注意判别式验证是否存在；三是存在性问题务必分类讨论，如 直角三角形要分三个角分别为直角、等腰三角形要分腰和底；四是面积最值问题常转化为二次函数的顶点 坐标求解，注意自变量取值范围对最值的影响。 一●终极猜想精练通关。 1.(2025江西南昌一模)已知抛物线y=ax2+bx+c上的点A和对称轴1的位置如图所示，则直线 y=ab·x+C不经过的象限为() A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.（2025江西模拟预测)在平面直角坐标系x0y中，已知点M(x1,),N(x2,y2)为抛物线 y=ax-h)+k(a>0)上任意两点，其中x,<x2·若对于x+x2>2,都有片<2，则h的取值范围为（) A.h>1 B.h≤1 C.h>-1 D.h<-1 3.(2025江西·二模)如图，正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+C(c>0)上，点D在y轴上.若 A,C两点的横坐标分别为m,nm>n>0),则下列结论中正确的是() 27/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 A.m-n=1 B.m+n=1 C.m=1 D.m=1 n 4.(2026江西九江一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc<0;②x为任 意实数时，y>0;③2a+b=0;④不等式ax2+(b-1)x+c<0的解集为1<x<3.其中正确的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 5.(2025·江西萍乡·模拟预测)如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运 动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s.若P,Q同时开始运 动，设运动时间为t(s),BPQ的面积为ycm).己知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论正确的是 () 个y/cm2 40-- 1014 图1 图2 A.AE=8cm B.当t=12s时， BPQ是等腰三角形 C.sin∠EBC 5 D.当0<1≤10时，y=0.8t2 6.(24-25九年级下江西抚州月考)如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分） 的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示1m),假山轮 廓所在的抛物线的解析式为片=-之2+9x+48x≥0)，其中OB垂直于水平地面0C,在点B处安装一 40 10 28/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线y,=ax2+bx+c(x≥0)，落水点恰好为点C.下列说法不一定正确 的是() A.假山上的点B到水平地面的距离为4.8m B.水平方向上0C的长度为16m c.-32<2<0 a D.抛物线必=+bx+c与y=一马产+二x+4,8的对称轴相同 10 7.(2025江西宜春模拟预测)二次函数y=x2+12x+10的顶点坐标为 8. (2025江西景德镇模拟预测)已知抛物线y=x2-2x-a的图象与x轴没有交点，直线y=ar-a不经过 第 象限， 9.(2026江西九江一模)若二次函数y=-2x2的图象上有两点A-2,y),B1,y2),则片，的大小关系 是 10.(2025江西吉安·二模)已知二次函数y=ax2-2ax-2关于x轴对称的图象经过点(1,4)，则a的值为 11.(2026江西新余·一模)二次函数y=ax2+br+c(a≠0)的图象如图所示，顶点坐标为1，n)；与x轴的 交点为A-1,0)和点B;与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间（包括端点）.①b-4ac>0;②3a+c<0;③ 点(-2，y), 2为(5，都在抛物线上，则%>方>：④方程ar2+bc+c-n-1=0无实根：回 8 n≤4.其中正确结论是 3 012 12.(2026江西南昌一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知点A的坐标为6,0)，点B在线段OA上 运动，过点B作x轴的垂线交函数y=2+xx>0)的图象于点C,若三条线段OA,OB,AB中，恰有两条 29/60 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 线段长度的比值为2，则线段BC的长为 B 13.（2026江西南昌一模)己知点P(m,n是抛物线y=ax2+bx+c上一点，若n=2m,则我们把点P称为 该抛物线的“二倍点”. (1)【定义理解】 ①若点P是抛物线y=x2上的“二倍点”，则点P的坐标为 ②下列抛物线，没有“二倍点的是 A.y=2x-4)+8B.y=-4x2+2xC.y=-x-1(x-3) (2)【深入探究】 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有1个公共点B(-2,0),且与y轴相交于点C(0,2). ①求该抛物线的解析式： ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二 倍点”的坐标。 14.(2026江西吉安模拟预测)综合与实践 问题提出 某学习小组在综合实践活动中遇到这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，BC=10cm,E为矩形ABCD 边AD上的一点，点P,Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到 点C停止，它们的运动速度都是1cm/s,设点P的运动时间为t(单位：s),BPQ的面积为S(单位： cm)，已知当点P从点B运动到点D时，S与t的函数关系的图象如图2所示. S M N Q→C 0 a b 图1 图2 初步感知 (1)观察图1、图2填空：BE的长为 a的值为 ,b的值为 深入探究 30/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)①当点P在BE上运动时，求S关于t的函数解析式， ②当点P在DC上运动时，S关于t的函数解析式为 应用拓展 (3)若当点P在BE上运动时，某一时刻的运动时间记为4，BPQ的面积记为S;当点P在CD上运动时， 某一时刻的运动时间记为t2,BP9的面积记为S2.是否存在当1-4，=6时，5S,=2S2+92的情形？若存在， 求出的值；若不存在，请说明理由 15.（2026江西赣州一模)己知抛物线L:y=二x2+bx+c的顶点落在直线y=x上，且对称轴为直线 4 x=-3. (1)直接写出抛物线L的解析式为 ②若抛物线七，y三4P+bx+G的顶点也落在直线)=x上，其对称轴为直线x=n,点Am,Pp叭在上上 点B(2n-m,9在L2上，设d=p-q, ①当n=1时，取点B关于直线x=n对称的点C,判断线段AC的中点M是否落在直线y=x上？并说明理由； ②当n=1,-4≤m≤4时，求d的取值范围； ③当d的最小值大于或等于6时，求的取值范围 16.(2026江西上饶三模)已知抛物线C:y=x2+bx+c(x≥0)与y轴交于点M.其中自变量x与函数值 y的部分对应值如下表： 1 2 3 31/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 m -3 -4 (I)①抛物线G的对称轴为直线x= 1m= ②求抛物线C的解析式及点M的坐标； (2)如图，将抛物线C绕点M旋转180°后，得到抛物线C,· ①抛物线C,的解析式为 ②记抛物线C,C,组合得到的新图象为S,图象S与过点M的直线y=kx+n(k≠0)有且仅有一个交点，请 求出k的取值范围 口押题猜想八无刻度作图问题 试题前瞻·能力先查。一 限时：l0min 【原创题】如图，在7×7的正方形网格中，点A,B,C,E均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以 下作图（保留作图痕迹）. B 图1 图2 (I)如图1，过点E作BC的平行线，交AC于点F; (2)如图2，在(1)的条件下，作点A关于EF的对称点A. —·分析有理押题有据。一 近5年江西中考数学真题中，无刻度直尺作图是每年必考的固定题型，通常在解答题第13题或第14 题位置出现，分值6分，且呈现出清晰的变化规律。从近5年真题来看，这一题型分为两大阵地：一是3 次在正方形网格背景下考查，如2020年考查中心对称和旋转作图、2022年考查角平分线和等距直线、2023 年考查构造锐角三角形和垂线段最短问题；二是2次在特殊四边形中直接考查，如2021年在正方形中考查 旋转和平移变换、2024年在菱形中考查作垂线和平行线。值得注意的是，网格题占比更高，且要求仅用无 刻度直尺完成，体现了对学生几何直观与性质运用的深度考查。 押题理由在于该题型是江西中考的特色创制题，自2013年以来从未缺席，题位稳定且分值明确，能有 效考查几何图形性质的灵活运用能力。押题依据则是近5年真题呈现"网格背景为主、特殊四边形为辅"的模 32/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 式，且2025年最新真题延续了在网格中作中点和重心的考查，表明这种趋势具有高度稳定性。 押题秘笈核心在于领悟”无刻度直尺只能连线，所有作图必须依赖已知格点或几何性质"的底层逻辑： 是熟练掌握"8字型"平行线分线段成比例和中点公式，在网格中找线段中点；二是利用矩形对角线互相平分、 菱形对角线垂直平分等特殊四边形性质；三是平移作图遵循”点平移、线跟随"原则，将己知平移量复制到目 标点；四是垂直作图利用网格线的斜率关系；五是圆中问题善于利用垂径定理和圆周角性质。 一●终极猜想·精澎练通关。一 1.(2026江西赣州一模)如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，ABC中， A,B两点为格点，C为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图. 63 B 图1 图2 (I)在图1中，作出ABC的重心P; (2)在图2中，取BC的中点M,连接AM,作△CNM≌△BAM. 2.(2026江西吉安·二模)如图，在3×6的正方形网格中，线段OA是⊙0的半径，A为格点，请仅用无刻 度的直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹） 图 图2 (1)在图1中找到格点P,使得AP是⊙0的切线 (②)如图2，在O0上作点B,使得aAB0是等边三角形. 3.(2026江西南昌一模)如图，点C是O0的直径AB延长线上一点，点D在00上，0D=CD,请仅 用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）· 图1 图2 (1)在图1中，作∠AOE,使∠A0E=3LC; (2)在图2中，作一个角，使之与∠C互余. 4.(2026江西吉安.一模)如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成 33/60 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 作图.（保留作图痕迹） A E D AE F B 图1 图2 (I)在图1中，若点E是AD的中点，作出BC的中点； (②)在图2中，若点F在CD上，且AE=DF,作出以EF为边的正方形 5.(2026江西上饶.一模)如图，在8×8的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，请仅用无刻度直尺按 下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）. 的 图1 图2 (I)在图1中，作ABC的中线CD; (②)在图2中找点O,使得点O为ABC的重心. 6.(2025江西南昌模拟预测)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 点A、B均在格点上.在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法， 要求保留必要的作图痕迹 B B A 图① 图② (I)在图①中以线段AB为边画ABC,使点C在格点上，且tanA=1; (2)如图②中以线段AB为边画△4ABD,tanA=了： 7.(2025江西新余模拟预测)如图是由小正方形组成的6×6网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做 格点，图中A、B、C、D都是格点，E是AB上一点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图. 34/60 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 图1 图2 (I)在图1中，在线段AD上找点F,使得AF=AE; (②)在图2中，在线段CD上找点H,使得四边形BEHC为矩形. 8.(2025江西新余，三模)如图，在正六边形ABCDEF的右侧作正方形BCGH,连接AC,请你仅用无刻 度的直尺完成以下作图， D D 图1 图2 (I)在图1中，在正方形BCGH的内部取点M,使点M与点D关于直线AC对称； (2)在图2中，在正方形BCGH的内部取点P,使AP=AC. 马押题猜想九三角形中的综合问题 题前瞻能力先查。一 限时：10min 【原创题】在△ACD中，∠ACD=90°，AC=CD,AD=12,点B为AD的中点，连接BC,将ABC绕点A顺 时针旋转a0°<a<180)得到△AEF. D D E F 图(1) 图(2) (1)如图(1)，当a=60°时，CF=-: 35/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图(2)，当点D,E,F在一条直线上时，求CF的长； (3)在(2)的条件下，求点C到直线DF的距离， ·分析有理押题有据·一 近5年江西中考数学真题中，三角形中的综合问题是每年必考的核心几何板块，通常在解答题第16题 至第18题位置出现，分值约8-9分，且呈现出显著的综合化趋势。考点趋势上，三角形很少单独考查，而 是与旋转变换、平行四边形、圆等图形深度融合，重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的比例 关系、等腰三角形与直角三角形的分类讨论，以及勾股定理的应用。例如2023年江西中考将旋转与特殊三 角形结合，在平行四边形背景下通过旋转构造出等腰或直角三角形，要求考生分类讨论多种可能情况；2024 年则在圆与三角形的综合题中考查圆周角定理与直角三角形边角关系的灵活运用。 押题理由在于该题型位置稳定、综合性强，能有效考查逻辑推理能力和几何直观素养，是区分度的关 键保障。押题依据是近五年江西中考真题中三角形从未缺席大型解答题，且均以“三角形+图形变换+分类 讨论”的三位一体结构呈现，预测2026年仍会延续这一模式。 押题秘笈：一是旋转问题中要抓住对应边相等、对应角相等这一本质，利用全等或相似建立数量关系； 二是遇到等腰三角形要按腰和底分情况讨论，直角三角形要按直角顶点分情况讨论，做到不重不漏；三是 当条件隐含时，要善于从图形中挖掘相等关系，如公共边、公共角、对顶角、等腰三角形等边对等角等： 四是要灵活运用勾股定理和三角函数建立方程求解，计算后务必检验是否符合题意。 ◆终极猜想·精练通关。一 1.(2025江西景德镇模拟预测)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，若∠A=62°，则 ∠BCD的度数为() A.28 B.31 C.34 D.38 2.(2026江西吉安.一模)图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背EF与地面AB垂 直，小桌板CD与地面AB平行，小桌板支撑杆DF与桌面DC的夹角∠CDF=125°，则座椅靠背EF与小桌 板支撑杆DF形成的夹角∠EFD的度数是() D B 图1 图2 36/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.20 B.25° C.30° D.35 3.(2025江西·二模)将一副三角尺如图放置，顶点C重合，点D在AB上，当CB⊥DE时，∠ACD的度 数是() E D A.10° B.15 C.20° D.30° 4.(2026江西吉安·一模)如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上从点A向点C匀速运动，点E 在边CB上从点C向点B匀速运动，若两点同时开始同速运动，则线段DE的长度是() A.先减小后增大B.先增大后减小C.逐渐增大 D.保持不变 5.(2025江西吉安·二模)如图，在ABC中LACB=90°，AC=6,BC=8,点P为边AB上一动点，连 接CP,若△ACP与△BCP至少有一个为等腰三角形，且满足CP长为整数，则这样的点P个数为() B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.(2023江西吉安·三模)数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通 过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中LADB=∠CBD=30°，∠ABD=LBDC=90°，AB=CD=3, 将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B'CD',分别连接AB',DC'(如图2所示)，下列有关四边形 AB'CD的说法正确的是() B 图1 图2 37/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.先是平行四边形，平移√3个单位长度后是菱形 B.先是平行四边形，平移√3个单位长度后是矩形，再平移3√3个单位长度后是正方形 C.先是平行四边形，平移√个单位长度后是矩形，再平移23个单位长度后是菱形 D.在Rt△BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 7.(2026江西模拟预测)如图，直线a∥b,直线c交直线a于点A,交直线b于点B,CD⊥直线c,若 ∠1=40°，则∠2的度数为 A B D -b 8.(2026江西南昌一模)如图是某晚会表演节目的机器人，图2是从中抽象出的示意图.经测量， ∠BCD=142°，∠ABC=160°，若AB⊥DE,则∠CDE的度数为 B DE 图1 图2 9.(2025江西赣州一模)如图，在ABC中，己知∠BAC=100°，现将边AB绕点A逆时针旋转150°得到 AB',若点B恰好落在BC的延长线上，则∠ACB的度数是 B B 10.(2026江西萍乡.一模)如图，在ABC中，AB=2,将ABC绕点B按逆时针方向旋转30后得到 ABC,则阴影部分的面积为 11.(2026江西吉安模拟预测)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D,P分别为AB,BC上 的动点，将△BDP沿直线DP翻折（点B的对应点为B)，使射线PB恰好经过点A,若△PAB为等腰三角 形，则ADP的度数为 38/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D B 12.(2026江西吉安二模)如图，在Rt△ABC中，ACB=90°，AC=BC=4√2.点M从点A出发，沿 射线AB的方向运动，连接CM.将线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CN,连接MN,BN,若 △BMN的面积等于6，则AM的长为 M 13. (2026江西吉安模拟预测)课本再现 思考我们知道，相似三角形对应高的比等于相似比，那么我们可以通过相似三角形对应 高的比证明：相似三角形的面积比等于相似比的平方， 定理证明 ()为了证明该定理，小明同学画出了以下图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程. 已知：如图1，△ABC∽△4B'C、AD、A'D'分别为两三角形的高，且D= 4Di=k. 求证 S△ABC=k2 SAABC 4 B 图1 定理应用 (2)如图2，在等腰ABC中，AB=AC,D为CB延长线上的一点，过点D作DE1AC于点E,DE与AB 相交于点B,且EF=DF,在线段AF上取点G,使FG=BF,连接GE,若G点=名 BC 3 39/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G F D B 图2 ①味C的值： ②若GE= 4V10 则ABC的面积为 5 14.(2026江西鹰潭.一模)某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程： F 图1 图2 图3 如图1，△ACB和ADE是共顶点的等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°， (I)如图2，当点D在直线BC上时， ①求证：AC⊥CE. ②推断：CE与BD的比值. 问题深入 (②)当点D不在直线BC上时，(1)中的结论还成立吗？请结合图1说明理由. 问题解决 (3)如图3，点O是正方形ABCD的中心，点E在直线BC上运动，连接OE,过点E作EF⊥OE,且 EF=OE,连接OF,CF,正方形ABCD的边BC上是香存在一点M,使MB=5CF恒成立？若存在， 直接写出点M的位置；若不存在，说明理由. 15.（2026江西南昌一模)综合实践 如图1，在ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，某数学兴趣小组将ABC绕着点C顺时针旋转一定角度得 到△A'B'C,直线AA',BB'相交于点D,在它们形成的四个角中，其中一个锐角用a表示，在探究a的度 数及A'D与AD的数量关系时，经历了如下过程： 40/60 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (备用图) (1)【特例感知】 如图2，当A,C,B三点共线时. ①0= ②若DB′=5cm,则AA= (2)【猜想证明】 猜想的度数及A'D与AD的数量关系，并结合图1进行证明. (3)【拓展应用】 如图3，已知AB=6cm,在旋转的过程中，若∠ACA'=120°，求线段B'D的长. 16.(2026江西上饶三模)小超同学在探究矩形中的动点问题时，意识到“反A型”相似是一种有效的解题 手段，为了深入探究，他继续针对相似问题中的“反A型”问题展开综合探究！ D D G B 图1 图2 图3 (I)如图1，在ABC中，AB=6,AC=8;点P,Q分别为边AB,AC上的点. ①若∠APQ=∠C,且点P是AB的三等分点，则AQ=; ②若点P是AB的中点，且∠APQ=∠B,则AQ=; (2)如图2，点D,E分别为等腰直角三角形ABC的两直角边CB,CA上的动点，直角边AC=2且始终满足 DE=DB,以点D为圆心，DE的长为半径画弧并交线段AB于点F,连接EF,DF,若四边形AEDF是 菱形，则CD的长是多少？ (3)当图2中的点D运动到如图3所示的位置时，取BD的中点G,连接EG,若满足∠EDF=∠EGC,则此 时CD的长是多少？ 品押题猜想十 特殊四边形的综合问题 。题前瞻能力先查。一 限时：10min 【原创题】【感知】新定义：如图1，在四边形ABCD中，若在四边形内部存在一点O,连接OA,OB, 41/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0C,0D,满足∠A0D+∠B0C=180,且01=0B =k,则称四边形ABCD为“蝴蝶四边形”，其中点O为 OD OC “蝶心”，k为“蝶比”. 图1 图2 图3 图4 (I)如图2，正方形ABCD (填“是”或“否”)“蝴蝶四边形”，蝶比为 【探究】 (2)如图3，在四边形ABCD中，∠AOD+LB0C=180°，取线段AB中点为点M,延长M0交线段CD于点 N,若满足∠CW0=∠C0B,请判断四边形ABCD是否是以点O为“蝶心”的“蝴蝶四边形”？并说明理由. 【拓展】 (3)如图4，四边形ABCD是“蝴蝶四边形”，点O为“蝶心”，其中LA0D=∠B0C=90°，∠0AD=∠OBC=Q ,过点O作OM⊥AB交AB于点M,延长MO交CD于点N. ①蝴蝶四边形”ABCD的蝶比为 (用含a的代数式表示) ②求证：点N是线段CD的中点. ③请直接写出 AB的值为 (用含a的代数式表示) ON ●分析有理押题有据。 近5年江西中考数学真题中，特殊四边形的综合问题是每年必考的核心几何板块，通常在解答题第18 题至第20题位置出现，分值约8-9分，且呈现出显著的“综合化”与“动态化”趋势。考点趋势上，矩形、 菱形、正方形等特殊四边形很少单独考查，而是与折叠变换、旋转变换、动点问题及三角形全等相似等知 识深度融合，重点考查特殊四边形的判定与性质、折叠前后对应边角相等的转化思想、旋转构造全等三角形、 以及动点状态下的分类讨论与最值问题。例如2025年江西中考以正方形为背景考查了旋转放缩问题，而折 叠类问题则常结合勾股定理求解线段长度，且往往因动点位置不同而产生多解情况。 押题理由在于该题型位置稳定、综合性极强，能同时考查逻辑推理、几何直观和分类讨论能力，是区 分度的关键保障。押题依据是近五年真题中特殊四边形从未缺席大型解答题，且均以“基本图形+图形变换 +分类讨论”的三位一体结构呈现，预测2026年仍会延续折叠或旋转背景下特殊四边形的探究题模式。 押题秘笈：一是折叠问题要抓住“全等变换”本质，找准对应边和对应角，利用勾股定理在直角三角 形中建立方程求解；二是旋转问题要善于发现旋转前后形成的全等或相似三角形，尤其当旋转角为60°或 90°时要联想到等边三角形或等腰直角三角形；三是遇到动点问题要“化动为静”，分析运动路径中的特 殊位置，分类讨论时务必做到不重不漏并验证解的合理性；四是灵活运用面积法、中位线定理等工具搭建 方程，将几何问题转化为代数问题求解。 42/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ○终极猜想·精练通关 1. (2025江西景德镇模拟预测)如图，AC为菱形ABCD的对角线，∠ACD=30,过点D作DE⊥BC, 垂足为点E,则 CE =() AD B A. 3 B. C.3 D.3 3 2 2.(2025江西景德镇一模)中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现了中国人民的智慧和中国深 厚的文化底蕴.如图，小轩家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD,测得AC=18cm,BD=24cm ,则此菱形的周长为() A.120cm B.30cm C.80cm D.60cm 3.(2026江西吉安·二模)如图1，将边长为2的正方形剪成四块图形，这四块图形恰好拼成如图2所示的 图形(E,F,G,H在同一直线上)，则DF的长为() F G 图1 H图2 A. 3 B. C.3-5 D.5 4 4.(2026江西南昌一模)如图，在菱形ABCD中，AB=3,LB=120°，点E是对角线AC上任意一点，连 接DE,将线段DE沿着直线AD翻折，得到线段DF,若△AED是等腰三角形，则E,F两点间的距离不 可能为() 43/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.6 B.3V5 C.3 D.3 5.(2026江西萍乡一模)如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿折线A→D→C的方 向运动，同时动点F以相同的速度沿折线D→C→B的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停 止运动，连接AF,BE交于点G.点H是边CD上的另一动点，连接BH和HG,则BH+HG的最小值为() C H D A.√17 B.25 C.25-1 D.7-1 6.(2023江西吉安·三模)数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通 过平移对特殊四边形进行探究如图1，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3, 将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B'C'D',分别连接AB',DC'(如图2所示)，下列有关四边形 AB'C'D的说法正确的是() 图1 图2 A.先是平行四边形，平移√5个单位长度后是菱形 B.先是平行四边形，平移√5个单位长度后是矩形，再平移3√5个单位长度后是正方形 C.先是平行四边形，平移√个单位长度后是矩形，再平移2个单位长度后是菱形 D.在Rt△BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 7.(2025江西九江模拟预测)如图，等边ADE的顶点E与矩形ABCD的中心重合，若AB=2,则AE的 长为 44/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(2026江西吉安.一模)如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC，,BD相交于点O,且AC=6,过 点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，,连接OE,则OE的长为· A D 9.(2025江西新余模拟预测)如图，菱形ABCD的边长为4，∠B=135°，分别以点A和点B为圆心，大 于AB的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，直线MN交AD于点E,连接CE,则sin∠ECB的值为 D M 10.(2025江西新余·三模)把图1中周长为20的菱形ABCD分成四个全等的直角三角形，将这四个直角 三角形拼成如图2所示的弦图，且弦图中间的小正方形面积为1，则菱形对角线AC与BD的和为 B D 图1 图2 11.(2025江西·中考真题)如图，在矩形ABCD纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB', 折痕与边BC交于点P,当AB'与AB,AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是 D B B P 12.(2025江西南昌·三模)如图，在等边ABC中，AB=4,点D为AC上一点，AD=3,点E是 BC边上的动点，连接DE,以DE为边作正方形DEFG,当DE的长为整数时，正方形DEFG的面积为 45/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13.(2026江西上饶·二模)某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是 该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A,D,F,G四点始终在同一条直线上，图形关于直线AM对 称.如图1，若B,C,D,E四点在同一条直线上，连接MF. G H D E 图1 (1)求∠AMF的度数. (2)判断△MFD的形状，并证明， 14.(2026江西吉安：模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AD∥BC,DE1AB,垂足为E, F,G分别为边AD,DC的中点，连接EF,FG,∠DFG=∠DGF, D G A E (I)求证：四边形ABCD为菱形. (2)若∠A=70°，求∠EFG的度数 15.(2026江西吉安·二模)综合与实践 如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，将四边形沿AE折叠，点B恰好落在射线AC上的点F处. D O G F G B Bi E E 图1 图2 (I)如图1，若四边形ABCD是正方形，延长EF交线段CD于点G,则FG与FC的数量关系是 46/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类比探究 (②)如图2，若四边形ABCD是菱形，延长EF交线段CD于点G,判断(1)中的结论是否仍然成立？若成立， 请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明. 拓展应用 (3)若四边形ABCD是菱形，直线EF交直线CD于点G,AB=2CF=4,请直接写出线段DG的长. 16.(2026江西九江一模)综合与实践 如图1，正方形ABCD的顶点D在直线1上，点C与点C关于直线1对称，直线AC'与直线1交于点E,连 接EC,BE,探究AC'与BE的数量关系. D E 1 图1 图2 图3 备用图 【特例感知】 (I)如图2，当LEDC=30°，EC=2时，∠C'EC= °，C'C=，AC= 【猜想论证】 (2)AE垂直EC吗，请结合图1进行证明， (3)猜想AC'与BE的数量关系，并结合图1进行证明. 【拓展应用】 (4)若正方形ABCD的边长为2，当AE=2AC'时，求线段BE的长. 一押题猜想十一圆中的综合问题 题前瞻能力先查。一 限时：10min 【原创题】(1)【课本再现】如图(1)所示，PA,PB是⊙0的两条切线，切点分别为A,B.则图中的 PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系？请说明理由. 47/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (2)【知识应用】如图(2)所示，PN、PD、DE分别与OO相切于点A、B、C,且DE‖PN,连接 OD、OP,延长PO交OO于点M,交DE于点E,过点M作MN∥OD交PN于N. ①求证：MN是⊙O的切线； ②当0D=6cm,0P=8cm时，求00的半径及图中阴影部分的面积. ·分析有理押题有据。一 近5年江西中考数学真题中，圆的综合问题是每年必考的几何核心板块，通常在解答题第18题至第21 题位置出现，分值约8-10分，且呈现出鲜明的“以切线为核心”的考查趋势。考点趋势上，切线的判定与 性质是绝对重心，几乎每年必考，同时深度融合圆周角定理及其推论（如直径所对圆周角为90°）、垂径 定理构造的直角三角形、相似三角形的比例关系、解直角三角形以及弧长与扇形面积计算等内容。例如2024 年江西中考以翻折为背景，将圆与动点问题结合考查分类讨论；2023年以圆内接四边形为背景，考查切线 的证明与弧长计算；2025年则继续深化圆与相似三角形的综合应用。 押题理由在于该题型位置高度稳定、综合性强，能将几何推理、代数计算与分类讨论思想融为一体， 是区分度的关键保障。押题依据是近五年江西中考真题中的圆的综合题从未缺席解答题，且均以“圆的切 线+三角形相似或全等+解直角三角形”的三位一体结构呈现，预测2026年仍会延续这一模式。 押题秘笈：一是切线证明牢记两大思路一一连半径证垂直（已知直线与圆有交点）或作垂线证半径（不 知交点)；二是见到直径立即联想圆周角90°，构造直角三角形列勾股方程；三是垂径问题抓住“半径、 半弦、弦心距”三边构造直角三角形求解；四是涉及动点或位置不确定时要分类讨论，务必验证解的合理性。 ◆终极猜想精练通关 1.(2025江西模拟预测)已知AB是O0的弦，若⊙0的半径为6cm,则弦AB的长不可能为() A.13cm B.12cm C.10cm D.6cm 2.(2026江西南昌一模)如图，在⊙0中，直径AB与弦CD相交于点P,连接AC,AD,BD,若∠C=20° ,则∠BAD=() 48/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C D A.70° B.60° C.50 D.40° 3.(2026江西九江一模)如图，在O0中，点A是BC的中点，点D在O0上，∠ADC=25°，则∠A0B的 度数为() B A.25° B.45° C.50° D.60° 4.(2025江西赣州二模)阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关 于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，AB,BC为OO的两条弦(AB<BC),点E是ABC的中点，过 点E作ED⊥BC于点D,根据以上条件，下列说法错误的是() B D A.AB+BE=CE B.连接BE、CE,则AB+BE=CE C.CD=BD+AB D.作射线EO交OO于点F,则BF平分∠ABC 5.(2025江西萍乡·二模)如图，正六边形ABCDEF的边长是3，连接AD,P是AD上的动点，连接PB, PC,若PB+PC的值是整数，则点P的位置有() B F A.3处 B.5处 C.7处 D.9处 49/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(2025江西抚州二模)如图，边长为4的正方形ABCD中，半径为1的⊙O在正方形ABCD内平移（⊙ O可以与该正方形ABCD的边相切)，设点B到⊙O上的点的距离为x,且x是整数，则x的值所有情况有 () D B A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 7.(2026江西九江·一模)如图，正六边形ABCDEF内接于O0,⊙0的半径为10，则这个正六边形的边 心距OM的长为 B 8. (2026江西新余·一模)如图，AB,CD为⊙O的直径，点E为AD的中点，连接DE,BC,若 ∠B=36°，则∠CDE的度数为 A D B 9.(2026江西上饶一模)如图，EA,ED是0的切线，切点为A,D,点B,C在⊙0上，若 ∠BAE+∠BCD=236°，则∠E= 10.(2026江西上饶二模)如图，从一个半径为1的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90°的扇形，并将剪下 来的扇形围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径是 50/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.(2025江西吉安二模)《墨子天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美。 如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形A,B,C,D,己知 AB:A,B,=1:2,作四边形A,B,CD的外接圆，则此外接圆的半径为 D D B B 12.(2025江西宜春模拟预测)己知OA为00的半径，AB是00的弦，且AB=4√5，∠0AB=30°，点 P在⊙O上，若点P到直线AB的距离为2，则∠PAB的度数为 13.(2026江西上饶一模)如图，在⊙0中，线段AB过圆心O交⊙0于点E,F,过点A作⊙0的切线， 切点为点C,连接OC并反向延长交OO于点D,连接BD,已知，点O为AB的中点，AB=8,EF=4. (1)试判断BD与O0的位置关系，并说明理由； (2)求图中阴影部分的面积. 14.(2026江西上饶三模)如图，AB是⊙0的弦，点C是00外一点，0C⊥0A,C0交AB于点P,交 O0于点D,直线BC与O0相切，连接OB. A D C B (1)求证：CP=CB; 51/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若∠OBA=30°，OA=3,点E是优弧BD上一动点（不与点B,D重合），连接AE,BE,当△ABE的面 积最大时.求： ①BE的长； ②图中阴影部分的面积。 15.(2026江西萍乡一模)如图，AB为O0的直径，C为O0上的一点，连接AC、BC,点E在AB的延 长线上，且满足∠BCE=∠BAC,过点A作AD⊥CE交EC的延长线于点D,交OO于点F, D F (1)求证：CE为00的切线： (2)求证：BC2=AB·DF; 若AB=0,cos∠DAC,求的长 16.(2026江西南昌一模)如图，在ABC中，AB=AC,点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径画 半圆，分别与AB,BC相交于点D,E,过点E作EF⊥AC,垂足为F 图1 图3 (1)求证：EF是半圆O的切线： 4 (2已知4C=9,an1=3,如图2，当4C与半圆0相切于点G时. ①求半圆O的半径； ②求图中阴影部分的周长. 一押题猜想十二几何图形中的课本再现的综合问题 题前瞻·能力先查· 限时：10min 【原创题】综合与实践 52/60 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 课本再现 如图1，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB是等边三角形，且AB=4. D M 图1 图2 (1)求ABCD的面积. 拓展延伸 (2)如图2，M是AD边上一点，连接OM,过点O作ON⊥OM,与直线AB交于点N,连接MN, ①若OM=3,求ON的长； ②求AOMN面积的最小值. (3)在(2)的条件下，若BV=3,直接写出MN的长. ●分析有理押题有据。 近5年江西中考数学真题中，“课本再现”是几何综合压轴题的固定创制题型，自2021年起在第23 题位置稳定考查，分值12分。该题型以课本定理、例题或习题为蓝本，通过变换条件与图形，要求考生运 用类比、迁移等方式进行探究。考点趋势呈现“定理证明+类比迁移+拓展应用”的三段式结构，如2022年 从三角形内角和定理的拼图证明，迁移到四边形中互余角的处理，再拓展到复杂图形中的线段求值；2023 年、2024年则围绕圆、相似三角形、特殊四边形等核心知识展开。押题理由在于该题型能破除机械刷题， 真正考查“源于教材、高于教材”的迁移能力。押题秘笈：一是深挖教材，吃透每个定理的证明过程与核 心思想；二是建立“原题-变式”的类比思维，找准迁移的对应关系。 ·终极猜想精练通关 1. (2024·江西南昌·模拟预测)课本再现 推论直径所对的圆周角是 (1)补全课本再现中横线上的内容. 知识应用 (2)如图， ABC内接于OO,D是OO的直径AB的延长线上一点，∠DCB=∠OAC· B D E ①求证：CD是OO的切线： 53/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E,若AB=CE=4,求CD的长， 2.(2025江西九江·三模)追本溯源 题(1)来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题(2)· B 图1 图2 (I)如图1，在ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN经过点O,与AB,AC相交于点M,N, 且MN∥BC,求证：△AMN的周长等于AB+AC, (②)如图2，在口ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E,∠ABC的平分线交CD于点F,若 AB=6,EF=2,求口ABCD的周长. 3.(2025江西·模拟预测)追本溯源 题(1)来自于课本中的练习，请你完成解答，并利用(1)中的结论完成题(2)· B 0 B 图1 图2 (1)如图1，AB是⊙0的弦，半径OA=20cm,∠AOB=120°，求A0B的面积. 结论应用 (2)如图2，点A,B,P在半径为20cm的00上，∠APB=60°，求图中阴影部分的面积. 4.（2025江西·模拟预测)综合与实践 D E E 图1 图2 图3 【课本再现】 (1)如图1，ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点G. ①若∠A=50°，则LBGC=_: ②求证：∠BGC=90°+2<∠A. 【数学思考】 54/60 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，ABC中∠ABC的平分线与其外角∠ACE的平分线交于点O,猜想∠A与∠BOC之间的数 量关系，并给予证明。 【问题解决】 (3)如图3，菱形ABCD的顶点A,D在O0上，AB与OO相交于点E,F为AD的中点，若 ∠FEC=90,∠CAE=∠FEA=2∠ACE,求4g的值. AD 5.(2025江西·模拟预测)逐本溯源：题(1)是选自数学课本中的一道拓广探索题，请你完成解答，总结 方法并完成题(2)· G G 图1 图2 (I)如图1，四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于 点F,求证：AF-BF=EF, 举一反三 (2)如图2，四边形ABCD是菱形.G是BC上的任意一点，BF∥DE,且交AG于点F. ①题(1)中的结论在以上条件下（填“成立”或“不成立”)： ②若CG=1,菱形ABCD的高为3.3，S△4DE:S△BFG=16:9,求菱形ABCD的面积. 6.(2026江西模拟预测)教材改编题改编自人教版九上P100 己知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 【课本再现】 (1)如图(1)，ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14, CA=13.求AF,BD,CE的长.请你完成解题过程. 【深入探究】 (2)如图(2)，在(1)的条件下，点P为DE上的一动点，过点P的切线分别交AC,BC于点M,N. ①判断aCMN的周长是否为一个定值，若是，请求出△CMN的周长；若不是，请说明理由. ②当MN∥AB时，求MN的长 E D 图(1) 图(2) 55/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 押题猜想十三 实物图中的解直角三角形综合问题 题前瞻能力先查。一 限时：10min 【原创题】如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机 器人的一条腿AB直立于地面MN,小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直于大腿AC,即 AB⊥MN于点B,CD∥MN,AP⊥AC于点A,CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬 间.（这里的小腿CD,CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分）.已知AB=80cm,AP=50cm, ∠DCE=50°， M B 7777777777777777777777 图1 图2 求： (1I)∠CAB= (2)若小腿CD长30cm,求PC的长.（结果保留根号） (3)求点P距离地面的高度.（结果精确到1cm,参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） ●分析有理押题有据·一 近5年江西中考数学真题中，实物图中的解直角三角形综合问题是每年必考的创新题型，通常在解答 题第19题至第21题位置出现，分值约8分，且呈现出高度稳定的“实物建模”趋势。考点趋势上，此类 题的本质是从实物图抽象出几何模型，而“三角形模型”是最核心、最常考的载体一一近5年真题中出现 了4次（如2023年第19题、2021年第20题、2020年第20题、2019年第20题）。这些题目将生活中的 测温枪、雕塑、建筑物、航行船等实物情境，通过作高或垂线转化为双直角三角形模型，再运用三角函数 与方程思想求解高度、距离或角度。此外，也会出现四边形模型（需转化为三角形）或圆模型（结合垂径 定理)的考查。 押题理由在于该题型是江西中考的特色创制题，题干常配以鲜活图片，考查学生将实际问题抽象为数 学问题的应用意识，是区分中等及以上学生的关键题型。押题依据是近5年真题中解直角三角形实际应用 从未缺席，且2022年、2021年均以“平行四边形性质+解直角三角形”组合题形式出现，预测2026年仍会 延续实物情境下的双直角三角形模型。 56/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 押题秘笈：一是审图时务必从实物中抽象出直角三角形，无直角三角形则通过作垂线构造；二是双直 角三角形问题常需设未知数列方程求解，注意选用原始数据避免累积误差；三是高度、距离计算务必精确 到题目要求的位数并作答完整；四是熟悉仰角俯角、坡度坡比、方向角等专业术语的几何意义。 •终极猜想·精练通关 1.(2025江西上饶三模)圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器， 它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）·如 图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角∠BAC和第 二时刻光线与地面的夹角∠ADB相等，测得第一时刻的影长为2.4尺，则第二时刻标杆的影长尺 第一时刻 表 太阳光线 第二时刻 A 太阳光线 日影 -D 图1 图2 2.(2026江西九江·二模)如图是一辆自卸式货车的主视示意图，矩形货厢ABCD的长AB=4.2m.卸货时， 货厢绕A点处的转轴旋转，货厢底部A,B两点在垂直方向上的距离与水平距离之比记作，A点处的转轴 与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为0.7m,货厢对角线AC,BD的 交点G可视为货厢的重心，测得∠ACB=66.4°.假设该车在平地上进行卸货作业（即AN为水平线）. 4.2m G 0.7m (1)求货厢对角线AC的长； (②)卸货时发现，当A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故.若i=1:1,该货车会发生 上述事故吗？试说明你的理由.（参考数据：sin66.4°≈0.92，c0s66.4°≈0.40，c0s68.6°≈0.36， tan68.6°≈2.55，结果精确到0.lm) 3.(2026江西九江一模)如图是立在海滩上的遮阳伞，伞柄AE与地面EF垂直，AE=2.68米，伞骨 AB=AC=2米，∠BAC=140°，BC∥EF 57/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E (1)求点C到地面的距离 (2)有一高度为80cm的小桌子(GF=80cm),已知此时太阳光线与水平方向的夹角为60°.太阳光刚好照 到桌面边缘点D处，求点D到AE的距离（精确到O.1米） (参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√5≈1.73) 4.(2026江西南昌一模)某选手在练习打台球时，他将母球和目标球按图1所示的位置放置，击打母球， 母球沿着图2所示的白色路线运动，图3是从图2中抽象出的示意图，边界EF‖MN,点A,D和B,，C分 别在边界MN和EF上，线段AB和CD相交于点P.(台球的大小忽略不计) M DA 图1 图2 图3 (I)求证：点P到边界MN和EF的距离之比等于AD与BC之比； (2)己知边界MN和EF之间的距离为160cm,洞宽BC=8.5cm,要使目标球顺利落袋，∠BAN必须与 LFCD相等，此时测得AD=25.5cm.求该选手让目标球顺利落袋时∠BAN的度数.（参考数据： tan6.065°≈0.106，tan83.935°≈9.412，结果精确到0.1.) 5.(2026江西赣州一模)小明居住在安居工程小区，小区的左侧是乡村振兴大厦，右侧有一座人行桥， 经过测量得到以下数据：如图，人行桥AB长120米，乡村振兴大厦点C在点A的正西方，点B在点A南偏 西57.7°方向，点C在点B北偏西70.2°方向.（结果精确到整数，参考数据：sin57.7°≈0.85， c0s57.7≈0.53，sin70.2°≈0.94，tan70.2°≈2.78，tan9.3°≈0.16，tan13.6°≈0.24) C 乡村振 兴大厦 人行桥 安居工B 程小区 (I)求桥东头与振兴大厦的水平距离AC的长； (2)已知测量点A,B,C在同一水平面上，且点C距离地面2米，在A处测得振兴大厦顶端的仰角为9.3°； 在B处测得振兴大厦顶端的仰角为13.6°，求振兴大厦的高度. 6.(2026江西吉安二模)项目式学习 58/60 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 井冈山革命烈士纪念碑由基座、碑座和主碑三部分组成，主碑是用镀钛的不锈钢制作的，顶端的造型突出“山” 的形状，远看如一团火焰.某综合与实践学习小组开展测量井冈山革命烈士纪念碑主碑高度的活动，记录 如下. 活动主题 测量井冈山革命烈士纪念碑主碑高度 C M 测量示意 图 B 如图，①用无人机在点C处测得纪念碑的最高点A的俯角及点A,C之间的距离： 实施过程 ②将无人机沿水平方向飞行到达点D,在点D处测得纪念碑主碑最低点B的俯角及点B,D之 间的距离 测量数据 ①AC=37m;②BD=48m;③∠ACM=26°；④∠BDM=64° 说明 图上所有点均在同一平面内，AC,BD交于点P,AB垂直于地面 (I)求证：△CDP∽△BAP. (2)根据活动报告，求井冈山革命烈士纪念碑主碑AB的高度.（结果精确到1m,参考数据：si26°≈0.44， c0s26°≈0.90，tan26°≈0.49) 7.(2025江西赣州一模)在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园外一栋建筑物的高 度，同学们设计了两个测量方案，如下： 课题 测量建筑物AB的高度 测量工具 测角仪、皮尺及两根1.5m的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 D35 145 B B C,E,B在同一直线上，CD,EF为 说明 CD为建筑物AB旁边的小楼 直立于地面的标杆 59/60 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 从点D处测得A点的仰角为35°，从 从点D处测得A点的仰角为35°， 测量数据 点F处测得A点的仰角为45°， CD=8.5m. CE =6m. (1)根据以上数据请你判断，第 小组无法测量出建筑物AB的高度； (2)请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出建筑物AB的高度.（结果精确到0.1m；参考数据： sin35°≈0.574，c0s35°≈0.819，tan35°≈0.700) 8.(2026江西吉安一模)为方便人们投放垃圾，某小区添置图1拉环型垃圾桶，图2是其简易图，N处 是把手，BA,AM,MN是不具有弹性的绳子，A和M处装有滑轮.若把手N拉动，绳子通过滑轮可将桶 盖绕PQ转起，拉动过程中垃圾桶底部不会移动，AM足够高，不会与桶面发生碰撞，桶盖关闭时与地面平 行.图3是此设施的截面图，其中，盖面BE的最大旋转角是75°，BE=60cm,ED⊥CD,ED=120cm. M 图1 图2 图3 ()当桶盖从闭合旋转到最大角度时，把手N要拉动 cm: (②)求桶盖点B离地面的最大高度； (3)若桶盖在旋转过程中点B的对应点是B,线段BB'称为入口线，当旋转角从30°变成60°时，入口线增加 了多少？（结果精确到1cm.参考数据：元≈3，sinl5°=cos75°≈0.26，sin75°=cos15°≈0.97， tan15°≈0.27) 60/60 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 目录 押题猜想一 填空题多解题小压轴 1 押题猜想二 整式和分式化简求值 21 押题猜想三 方程（组）与不等式及其应用 28 押题猜想四 统计和概率问题 37 押题猜想五 一次函数的综合问题 50 押题猜想六 反比例函数的综合问题 66 押题猜想七 二次函数的综合问题 82 押题猜想八 无刻度作图问题 104 押题猜想九 三角形中的综合问题 114 押题猜想十 特殊四边形的综合问题 140 押题猜想十一 圆中的综合问题 164 押题猜想十二 几何图形中的课本再现的综合问题 183 押题猜想十三 实物图中的解直角三角形综合问题 197 押题猜想一 填空题多解题小压轴 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，在菱形中，，，于点E，交于点F，若P是菱形边上的一动点，当△AFP的面积是时，DP的长为______． 【答案】或或 【分析】先根据菱形，，证出是等边三角形，再根据，求出长 ，从而把到的距离为h算出来， 再根据高的大小观察菱形四边位置即可得出答案． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形, ，， ∴， 是等边三角形， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， 设到的距离为h， ∵的面积是， ∴， ∴， Р点有3个应置， 当点P为中点时，， 当点P与点C重合时，， 当点P与点B重合时，， 是等边三角形， ， ， 综上所述，，，． 故答案是：，，． 分析有理·押题有据 （分析地区考点趋势、阐释押题理由、押题依据、押题秘笈等） 近5年江西中考数学填空题最后一题固定考查多解题，这是2013年起创设的独创题型，旨在强化分类讨论与数形结合思想。考点趋势方面，代数多解多出现在函数与坐标系背景下，如二次函数与坐标轴交点个数问题、中位数与平均数相等求未知数等；几何多解则主要围绕等腰三角形腰与底不确定、直角三角形直角顶点不确定、相似三角形对应关系不明、图形变换后位置不确定等情形展开。 押题理由在于该题型位置和分值高度稳定，区分度大，能有效考查学生思维的严谨性。押题依据是近三年真题风格延续性明显，如2024年仍考查折叠与动点结合的等腰三角形问题。 押题秘笈的关键是：一抓关键词，看到“等腰”“直角”“点在射线上”等立刻警觉；二严守分类标准，做到不重不漏；三善用尺规作图辅助思考，并务必验证解的合理性，舍去不合题意的解。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江西吉安·一模）已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线，，上，与之间的距离是1，与之间的距离是2．若是等腰直角三角形，则它的面积是________． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：如图，由题意可得：，，过作于，交于，证明，当，，，过作于，过作于，同理证明，当，，，过作于，过作于，同理证明，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，由题意可得：当，，，过作于，交于， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积是． 当，，，过作于，过作于， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， 当，，，过作于，过作于， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， 综上：的面积为或或． 2．（2026·江西九江·一模）如图在平面直角坐标系中，点分别在轴上，，点在第一象限内，当为等腰直角三角形时，_____ 【答案】或或 【分析】分三种情况：当，时，过点P作轴，，根据条件证明，根据对应边相等求解即可；当，时，过点P作轴，当，时，过点P作轴，同理可求． 【详解】解：当，时，过点P作轴，，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴，，，， ∴，解得：， ∴，； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得：， ， ∵， 设， ∴，，，， ∴，，解得：， ∴，； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵ 设， ∴，，，， ∴，，解得：， ∴，； 综上，的长为或或． 3．（2025·江西赣州·模拟预测）已知是的内接三角形，且，点D是上除A，B，C之外的任意一点，直线与直线相交于点E，则当为等腰三角形时，的度数可能为__________． 【答案】或或 【分析】先根据等腰三角形性质求出和的度数，再分三种情况讨论为等腰三角形，结合圆周角定理，等腰三角形性质和三角形外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， . ①如图所示，当，且在劣弧上时， ， ， ， 由三角形外角性质得； ②如图所示，当，且在劣弧上时， ， ， ， 由三角形外角性质得； ③如图所示，当，且在优弧上时， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 由三角形外角性质得； 综上，的度数为或或． 4．（2025·江西赣州·模拟预测）如图，在半径为的中，有A，B，C三点在圆上，，点P从点B开始以的速度在劣弧上运动，设运动时间为，以P，B，A，C四点中的三点为顶点的三角形是等腰三角形（非等边三角形）时，t的值为_____________ 【答案】或 【分析】由得，设，由弧长公式和速度得；当在劣弧上时；分别对的三边两两相等分类讨论，排除等边三角形、超出范围及不可能情况，求出θ再算． 【详解】解：连接 四边形是的内接四边形，， ， 设弧， ， 在劣弧上，， （1）在中，， ①时，， ， ②时，则， ，舍去； ③时（以为底)： ， ， ； (2)在中， ④时，或时，或时，都为等边三角形，舍去； （3）在中， ， ⑤时（以为底) 点为弧中点， ； 故的值为 或． 5．（2026·江西吉安·一模）如图，在直角中，，，，将直角边绕点顺时针旋转得到，旋转角为（），连接，.若是以边为直角边的直角三角形，则此时线段的长为______． 【答案】或或 【分析】随着旋转角度的增大，对中点P的位置进行分类讨论，结合勾股定理计算的长度． 【详解】解：在直角中，，，， ∴， ， ①如图1，当时，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； ②如图2，当时，过点作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； ③如图3，当时，， ∴； 综上所述，线段的长为或或． 6．（2026·江西宜春·一模）在矩形中，，，点P是折线上的动点（不与A，B两点重合），当为等腰三角形时，此时的长为________________． 【答案】或或2 【分析】根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，分别根据矩形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当点P在上，时， ∵四边形是矩形 ∴ ∴； 如图，当点P在上，时， ∵四边形是矩形 ∴，，， ∴ ∴ ∴； 如图，当点P在上，时， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，此时的长为或或2． 7．（2025·江西抚州·二模）在中，，，，为线段上一动点，连接，以为边长向右侧作正方形，过点作，垂足为，当长为正整数时，的长为_______． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明得出，根据当长为正整数时，分类讨论，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵的长为正整数， ∴ ∴当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或或． 8．（2025·江西赣州·一模）在矩形中，，，点是折线上的动点（不与两点重合），当的长为整数时，则的长是_________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，坐标与图形，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 点在折线上运动，不与重合．当为整数时，的可能取值为1、2、3．通过计算各段折线上为整数的点的位置，并求的长度． 【详解】解：如图所示，以为原点建立坐标系，则，，，． 折线包括线段、和． ①当时，在上，坐标为，此时由勾股定理得； ②当时，在上，坐标为，此时由勾股定理得；   ③当时，可在上或上， 若可在上，由勾股定理得； 若可在上，此时的坐标为，由勾股定理得．   综上所述，当为整数时，的长为． 故答案为：或或． 9．（2025·江西宜春·模拟预测）已知为的半径，是的弦，且，，点P在上，若点P到直线的距离为2，则的度数为_________． 【答案】或或 【分析】作于H，由垂径定理得，根据三角函数的定义可得，．由点P在上，且点P到直线的距离为2，可知满足条件的P点有3个．延长交于，过点O作直线交于，．根据等腰三角形的性质分别求解即可解决问题． 本题考查圆垂径定理、等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作于H， 则， ∵， ∴， ∴． ∵点P在上，且点P到直线的距离为2， ∴满足条件的P点有3个． 延长交于，此时， 过点O作直线交于，，此时，到直线的距离为2． 连接，，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 10．（2025·江西新余·二模）如图，已知二次函数的图象顶点为，与轴交于原点和点．若在轴正半轴上有一点，使为直角三角形，则点的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理．先利用二次函数的性质求得和，设点的坐标为，利用勾股定理求得，用表示出和，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，， ∵， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ， ， ①当为斜边时，， 解得或， ∴点的坐标为或； ②当为斜边时，， 解得(舍去)； ③当为斜边时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上点的坐标为或或， 故答案为：或或． 11．（2025·江西赣州·模拟预测）如图，在菱形中，，，点在边上，的长为整数，且，以为半径，点为圆心作圆交菱形的边于点，则的长为______． 【答案】或或 【分析】以为轴，过垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，延长交轴于点，由的长为整数，且，则或，又四边形是菱形，则，，可得，根据待定系数法求出解析式为，设，再通过平面直角坐标系两点间的距离求出，再分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】解：如图，以为轴，过垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，延长交轴于点， ∵的长为整数，且， ∴或， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∵点在边上， ∴设， ∴， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或， 如图，当时， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， 综上可得：的长为或或， 故答案为：或或． 12．（2026·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C是x轴正半轴上一点．设α，β分别是的两个内角，若满足，则点C的坐标为____________． 【答案】，或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数与二元一次方程组，勾股定理，有一定难度，解题的关键是根据题意画出图形，分类讨论解决问题． 先分别求出A，B的坐标及，的长，根据动点C的位置，画出图形分情况讨论． 【详解】解：在中， 当时，；当时，， ，， ，， ． (1)若点C在点A左侧， 则，． ， ， ． ∵，分别是的两个内角，且， ，， 如图(1)， ， 平分． 过点C作于点D， ， 则， ，， ， ． 设， 则， 在中，， ， 解得， ∴点C的坐标是． (2)若点C在点A右侧， 则， 或． ①当，时， 如图(2)， 同理(1)可得平分． 过点A作于点E， 则， ． ，， ， ， ， ， 点C的坐标是 ②当，时， 如图(3)， 同理(1)可得． 又， ， ，即． ． ∴点C的坐标是． 综上，点C的坐标为，或． 押题猜想二 整式和分式化简求值 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，然后将数值代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，整式与分式的化简求值是“数与式”板块的核心必考内容，每年稳定在第13题或第14题位置，分值6分。考点趋势上，分式化简求值已连续5年出现，而整式运算则常以混合形式融入其中，形成了“以分式为主、整式为辅”的考查格局。题目通常给出一个含括号和除法的复杂分式，要求学生先化简再代入求值，且代入的值往往需要从不等式组解集中选取，或是选择使分式有意义的数，这增加了对“分母不为零”这一隐含条件的考查力度。 押题理由在于该题型位置稳定、分值明确，且与学生易错点高度相关，能有效考查运算能力和理解能力。押题依据是近五年真题呈现“年年必考”的规律，且难度和形式高度一致，预测2026年仍会延续这一模式。 押题秘笈是：牢记“先化简、再求值”的顺序，绝不能直接代入；化简时遇到多项式要先因式分解，通分时注意分子整体加括号；选择代入值时，务必检验是否使原分式分母为零，最后结果必须化为最简形式。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江西吉安·模拟预测）下列实数中，正整数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正整数的概念，根据正整数是大于0的整数的定义，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A、是大于的整数，符合题意； B、是无理数，不是整数，不符合题意； C、是负整数，不是正整数，不符合题意； D、是分数，不是整数，不符合题意． 2．（2026·江西赣州·一模）据统计，2025年一些国家的建筑服务出口同比增长率如下表： 中国 美国 德国 英国 日本 意大利 这一年，上述六国中同比增长率最低的是（    ） A．美国 B．德国 C．英国 D．意大利 【答案】B 【分析】找出最小值对应的国家即可． 【详解】， ∴六国同比增长率最低的是德国． 故选：B． 3．（2026·江西吉安·二模）如图，数轴上点A表示的数为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴知：点A表示的数． 4．（2022·江西赣州·模拟预测）据江西省统计局信息，年1～7月，全省进出口总值亿元，同比增长比上半年提高1.3个百分点．将亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题需先将以亿为单位的数换算，再根据科学记数法的规则改写，科学记数法的形式为 ，满足 ， 为整数． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 根据科学记数法对的范围要求，将变形得， 因此． 5．（2026·江西萍乡·一模）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应运算法则逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：，∴ A错误； ∴ B错误； ，∴ C错误； ，∴ D正确． 6．（2026·江西上饶·一模）观察下图，根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字2025，则n为（    ） A．32 B．45 C．1013 D．1014 【答案】C 【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于2025，解得为正整数即成立，否则舍去． 【详解】解：根据图形规律可得： 上三角形的数据的规律为：，若，解得，不为正整数，舍去； 下左三角形的数据的规律为：，若，解得，不为正整数，舍去； 下中三角形的数据的规律为：，若，解得，为正整数，符合题意； 下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，都不为正整数，舍去． 7．（2026·江西萍乡·一模）因式分解：___________． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 8．（2026·江西南昌·一模）“以声音为眼让团圆无界”，截至2026年2月18日，“春晚无障碍版”直点播播放量达2833.66万次，数2833.66万用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】先将2833.66万转化为整数，再根据科学记数法的定义确定和的值即可． 【详解】解：， 根据科学记数法的定义，将一个数表示为的形式，其中，为整数，为原整数位数减1， ． 9．（2026·江西赣州·一模）一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要_______元． 【答案】222.2 【分析】本题需要分类讨论两种购买方案，分别计算总价后比较大小，得到最少花费． 【详解】分两种情况计算： 方案1：直接购买本，不享受优惠，总价为：元； 方案2：购买本，满足优惠条件，可享受优惠单价，总价为：元； 比较大小得， 因此最少需要元． 10．（2026·江西上饶·三模）将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为25和7的正方形，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】由正方形的面积可求出大小两个正方形的边长，再由折叠的性质可得阴影图形的长和宽，从而可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知， ∴， ∴阴影部分的面积为． 11．（2026·江西吉安·一模）若，，，则________． 【答案】8 【分析】先根据二次根式的性质求出m的值与n的可能取值，再根据确定n的符号，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴，即， 将，代入得：． 12．（2026·江西吉安·一模）大衍数列：0，2，4，8，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，已知大衍数列可按如下方式排列：，，，，….则大衍数列的第9个数是______． 【答案】40 【分析】观察已知等式，总结大衍数列第个数的通项规律，判断为奇数，代入对应公式计算即可得到结果． 【详解】解：当为奇数时，大衍数列的第个数为， 当为偶数时，大衍数列的第个数为， 因为所求为第个数，是奇数，将代入，得． 13．（2026·江西上饶·二模）计算与化简 (1)计算： (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 14．（2026·江西赣州·一模）先化简，再选择一个合适的数代入上式求值． 【答案】，当时，原式 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴， ∴当时，原式． 15．（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见详解 【详解】（1）解:小明解法的依据是分式的基本性质，小红解法的依据是乘法分配律， 故答案为②；③． （2）解：选择小明： 原式 选择小红： 原式 16．（2025·江西南昌·模拟预测）【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：． 方框二：． 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式： 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律． 【答案】[验证] ；[探究] ． 【详解】解：[验证]根据题意，； [探究]设被框住的四个数中最小的数为n，则其余三个数分别为，，， 规律为：． 依题意，． 押题猜想三 方程（组）与不等式及其应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】1．（1）解不等式组∶． （2）解二元一次方程组：． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）解得， 解得， 所以不等式组的解为． （2）方法一、， 由①得代入②式中得， 解得， ∴， 所以方程组的解为； 方法二、得， 解得， 代入①得， 解得， 所以方程组的解为． 2．（2026·江西吉安·一模）科技改变生活，某厂家上市了两款新型智能助听眼镜，它将开放式听力技术集成到眼镜，适合听力为轻度至中度损失的人群.某商家获取到相关信息；购进1副甲品牌智能助听眼镜和4副乙品牌智能助听眼镜共需5200元，购进2副甲品牌智能助听眼镜和3副乙品牌智能助听眼镜共需5400元． (1)求甲、乙两种品牌智能助听眼镜每副的进货价格． (2)若该商家准备购进甲、乙两种品牌智能助听眼镜共20副，且进货总费用不超过23500元，则至多可购进甲品牌智能助听眼镜多少副？ 【答案】(1)甲品牌智能助听眼镜每副的进货价格为1200元，乙品牌智能助听眼镜每副的进货价格为1000元 (2)17副 【详解】（1）解：设甲品牌智能助听眼镜每副的进货价格为元，乙品牌智能助听眼镜每副的进货价格为元， 根据题意得 解得 答：甲品牌智能助听眼镜每副的进货价格为1200元，乙品牌智能助听眼镜每副的进货价格为1000元； （2）解：设购进甲品牌智能助听眼镜a副，则购进乙品牌智能助听眼镜副， 根据题意得， 解得， 为整数， 的最大值为17， 答：至多可购进甲品牌智能助听眼镜17副． 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，方程（组）与不等式及其应用是每年必考的核心板块，通常在第14题左右以解答题形式出现，分值约6-8分。考点趋势上呈现“双线并行”特征：一是纯代数运算线，包括一元二次方程根的判别式与根与系数关系（如2022年考查判别式求参数值、2021年考查韦达定理）、解不等式组并在数轴上表示解集（如2021年）、分式方程的应用（如2022年甲、乙采样问题）；二是实际应用线，常将方程与不等式融合考查，如2024年以书架摆放书籍为背景，既用一元一次方程求数量，又用不等式求最多可摆书数；2023年植树问题更进阶，先用方程求人数，再用不等式求甲树苗至少购买量；2020年则结合二元一次方程组与设计方案决策。 押题理由在于该题型位置稳定、与生活实际结合紧密，能综合考查建模与运算能力。押题依据是近五年真题中“方程与不等式应用”连续出现，且均以“方程定值+不等式定范围”两步递进式结构呈现，预测2026年仍会延续销量利润、分配方案等生活情境题。 押题秘笈：一是审题时圈出“至少”“不超过”“多于”等词迅速判断不等关系；二是列分式方程后务必验根（分母不为零及实际意义）；三是方案决策题需将方程解出的确定值代入不等式，再结合“整数解”确定最终方案。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江西萍乡·一模）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴的被开方数满足， 解不等式得． 2．（2026·江西·模拟预测）☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意可知且，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题图可知，且， ∴， 故选D． 3．（2025·江西宜春·三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实心点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 本题考查了解不等式组，不等式解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得的解集为， 数轴表示为， 故选：C． 4．（2026·江西吉安·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，有实数根时根的判别式，据此列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解∶∵方程是关于的一元二次方程，且方程有实数根， ∴， 解得：． 5．（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据井深不变列出方程求解即可． 【详解】解：设并深为 尺，绳子长为 尺， ∵ 将绳三折测之，绳多四尺， ∴ ∵ 将绳四折测之，绳多一尺， ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴ 故井深 8 尺， 选项 A 方程错误，应为 ； 选项 B 绳子长应为 36 尺； 选项 C 方程错误，应为 ； 选项 D 正确， 故选：D． 6．（2025·江西九江·模拟预测）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则依题列出的方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，根据等量关系即可列出二元一次方程组．读懂题意，准确列出方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤， 则， 故选：B． 7．（2026·江西吉安·一模）不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先移项，再把未知数的系数化为1，即可求解． 【详解】解：移项可得：， ∴， ∴，即不等式的解集是． 8．（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 9．（2026·江西九江·一模）一元二次方程的两根分别为，则_____ 【答案】 2 【分析】本题先利用一元二次方程根的定义，对所求代数式进行降次，再利用根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∴， ∵是一元二次方程的两根， 由根与系数的关系可得， 将代入得， 原式． 10．（2026·江西南昌·一模）已知快递员取一件快递的收益比送一件快递的收益多1元，某天该快递员送快递的件数是取快递件数的2倍，若送、取快递获益相同，则该快递员取一件快递的收益为________元． 【答案】2 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题思路是设出相关未知数，根据送、取快递总获益相等的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该快递员送一件快递的收益为元，则取一件快递的收益为元，设取快递的件数为，则送快递的件数为，. 根据送、取快递获益相同，列方程得 等式两边同时除以，得 移项得 合并同类项得 因此取一件快递的收益为元． 11．（2026·江西九江·一模）小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为_____ 【答案】 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可得燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可. 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据题意得， ． 12．（2026·江西萍乡·一模）若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求解参数的取值范围，先分别解出两个一元一次不等式，再结合不等式组有解的条件，推导参数的取值范围即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： 关于的不等式组有解 即． 13．（2026·江西南昌·一模）解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】根据题意，先对不等式组进行求解，然后将其解集在数轴上表示即可 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 故原不等式组的解集为． 将解集在数轴上表示为 14．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 15．（2026·江西上饶·三模）为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器人、机械臂、无人机、智能小车．第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元． (1)求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元； (2)科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元．若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为一组），那么这次最多能购买巡线机器人多少套？ 【答案】(1)巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元 (2)29套 【分析】（1）设巡线机器人每套的售价为x元，机械臂每套的售价为y元，由此列式求解即可； （2）根据题意得到无人机每套，智能小车每套的价格，结合题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设巡线机器人每套的售价为x元，机械臂每套的售价为y元， 依题意得， 解得，， 答：巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元． （2）解：无人机每套售价为（元）， 智能小车每套售价为（元）， 设这次购买巡线机器人m套， ∴， 解得，， 又∵m为整数， ∴m可以取的最大值为29， 答：这次最多能购买巡线机器人29套． 16．（2026·江西新余·一模）清明节假期，某班师生共同到南昌汉代海昏侯国遗址博物馆参观学习，若部分同学计划花元请讲解人员进行讲解，后来临时增加名同学，总讲解费增加了元，但人均费用变为原来的． (1)求请讲解的同学人数． (2)参观结束后，同学们到文创店购买马蹄金造型徽章和青铜当卢书签，已知马蹄金造型徽章和青铜当卢书签的单价分别为元和元．若请讲解的每名同学都购买了一个马蹄金造型徽章或一张青铜当卢书签，且他们购买的总费用不超过元，求请讲解的同学最多购买马蹄金造型徽章的个数． 【答案】(1)请讲解的同学有人； (2)请讲解的同学最多购买了个马蹄金造型徽章． 【分析】（1）设请讲解的同学有人，总费用为元，则原来请讲解的同学有人，费用为元，根据人均费用变为原来的可列出方程，解方程并检验可得答案； （2）设请讲解的同学购买了个马蹄金造型徽章，根据他们购买的总费用不超过元可得，解出的范围，即可得到答案． 【详解】（1）设请讲解的同学有人， 据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：请讲解的同学有人； （2）设请讲解的同学购买了个马蹄金造型徽章，则购买了张青铜当卢书签， ∵他们购买的总费用不超过元， ∴， 解得：， 答：请讲解的同学最多购买了个马蹄金造型徽章． 押题猜想四 统计和概率问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】1．“马踏新程·新年有光·少年有为”，某班开展马年迎新活动，活动中有个游戏环节，规则为每位同学只能转动转盘（图1）一次，指针落在面积相等的A，B，C，D的某个区域，对应可得一个有奔马、福马、萌马、祥云马图案的马卡龙（图2），若指针落在边界位置，则要重新转动，甲、乙两位同学各转动转盘一次． (1)事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是_________事件； A．随机    B．不可能    C．必然    D．确定性 (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的概率． 【答案】(1)A (2) 【分析】（1）根据事件的分类即可解答； （2）列表求出总的结果数和甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的结果数，利用概率公式计算即可求解． 【详解】（1）解：事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是随机事件； （2）解：列表如下：                            甲 乙 A B C D A B C D 故P（甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙）． 2．今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 型号 14和16 b c 型号 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中_____，_____；_____ (2)若该省共投放市场的型号智能机器人有80台、型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ (3)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【答案】(1)20，15，15 (2)3200万件 (3)见解析 【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义求解即可； （2）利用型号的机器人数量乘以每台日均分拣数量加上型号的机器人数量乘以每台日均分拣数量求解即可； （3）可以从众数、平均数、中位数给出合理的建议． 【详解】（1）解：分拣万件型号智能机器人有台，为出现次数最多的值， ， 型号智能机器人有台，按照分拣快递数量从小到大排序，位于第位和第位的数据均为万件， 中位数为． 而； （2）解：由题意得，（万件）； 答：该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万件； （3）解：型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数都高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．（说明：只要提出一条合理建议即可） 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，统计与概率是每年必考的核心板块，通常在第15题左右以解答题形式出现，分值约8分。考点趋势呈现“统计为主、概率为辅”的格局，其中统计部分侧重于从统计图表（折线图、扇形图、频数分布直方图）中提取信息，考查平均数、中位数、众数、方差等统计量的计算与分析，如2024年考查了折线统计图与数据代表值的综合判断，2023年通过视力调查让学生结合中位数或众数比较不同群体的视力水平；概率部分则几乎固定考查用画树状图法或列表法求两步试验的概率，如2024年新生分班问题、2023年宣传员选取问题均为两人同时抽取的等可能事件。此外，2025年还新增了抽样调查方式合理性的判断题，体现了对数据收集环节的重视。押题理由在于该题型位置稳定、与实际生活联系紧密（劳动课程、视力健康、体重指数等），能综合考查数据观念与应用意识。押题依据是近五年真题中统计与概率从未缺席，且解答题均采用“统计图表分析+数据计算+概率求值”的三段式结构，预测2026年仍会延续这一模式。押题秘笈：一是审图时抓住统计图的关键信息（折线看变化、扇形看比例、直方看分布）；二是求中位数前务必将数据排序，众数可能不唯一；三是用列表或树状图求概率时务必列出所有等可能结果，并注意“放回”与“不放回”的区别；四是建议类开放性问题要结合数据特点给出合理回答。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江西上饶·三模）学校食堂为了优化午餐供应，希望了解全校学生“最喜欢的午餐菜品”．你认为以下抽样方法中比较合理的是（   ） A．调查全体走读生 B．调查校篮球队全体队员 C．调查七年级全体学生 D．调查各年级中的部分学生 【答案】D 【分析】抽取样本时需保证样本具有广泛性和代表性，能够反映全校学生的总体情况． 【详解】解：∵调查目的是了解全校学生最喜欢的午餐菜品，样本需要代表全校不同群体学生的喜好， A选项仅调查走读生，遗漏住校生群体，样本不具有代表性，方法不合理； B选项仅调查校篮球队队员，样本群体特殊，不具有全校代表性，方法不合理； C选项仅调查七年级学生，遗漏其他年级学生，样本不具有广泛性，方法不合理； D选项调查各年级中的部分学生，样本覆盖不同年级群体，具有代表性和广泛性，方法合理； 故选：D． 2．（2026·江西上饶·一模）为了解某市教育局管辖的8万名初中生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查方式中最合适的是（    ） A．随机抽取某一所初中的全体学生 B．每个县区各推荐30名学生 C．在市区几所中学的体育课上，随机抽取40名学生 D．将全市所有初中生的学籍信息输入电脑程序，在电脑中随机抽取500名学生 【答案】D 【分析】合适的抽样样本需要具有广泛性和代表性，能够准确反映总体的情况，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项只抽取某一所初中的学生，样本范围过于局限，无法代表全市初中生的情况，不合适． B选项采用推荐方式选取样本，不具有随机性，无法保证样本代表性，不合适． C选项只在市区中学抽取样本，忽略了非市区学校的学生，样本不全面，不合适． D选项利用全市学生学籍信息随机抽取样本，每个学生都有被抽到的机会，样本具有代表性和广泛性，因此最合适． 3．（2026·江西吉安·一模）某校开展“阳光体育”活动，对爱好篮球，排球，足球，羽毛球的学生人数进行统计，根据统计数据绘制了如图所示的扇形统计图.已知爱好排球的有46人，则爱好篮球的人数为（   ） A．138 B．115 C．161 D．92 【答案】C 【分析】根据爱好排球的人数和所占的百分比求出总人数，再根据爱好篮球的人数所在百分数列式，即可得出答案． 【详解】解：依题意得：被调查的学生人数为：（人）， ∴爱好篮球的学生人数为：（人）． 4．（2026·江西九江·一模）如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 注意到，三角形①与②全等， ∴三角形①与②的面积相等． ∴阴影部分面积等于平行四边形面积的一半． ∴针头扎在阴影区域内的概率为． 5．（2026·江西吉安·模拟预测）班主任将全班名同学已经学会烹饪菜品的种数绘制成条形统计图（如图，部分区域被遮盖），则下面关于学生学会烹饪菜品的种数的统计量中，可以确定的是（   ） A．平均数、中位数 B．中位数、众数 C．平均数、众数 D．众数、方差 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义进行判断． 【详解】解：由条形统计图确定中位数、众数． 6．（2026·江西南昌·一模）为塑造学校独特的品牌形象，某校邀请5位专家评委对进入复赛的两幅校徽设计作品甲、乙进行打分，其中甲作品最终所得平均分为90.8分，方差为0.5；乙作品得分（单位：分）分别为90，91，91，91，m（整数），若甲作品最终所得平均分低于乙作品，且5位评委对乙作品的评价相比甲作品更一致，则m的值为（   ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】C 【分析】先由甲平均分低于乙得到m的取值范围，再由乙评分更一致说明乙方差更小，验证得到m的值． 【详解】解：∵甲平均分低于乙，甲平均分为，乙分数和为， ∴乙的平均分为， 解得：， ∵是整数， ∴，排除A、B选项； 方差越小，评分越一致，因此乙的方差需小于甲的方差， 当时： 乙的平均分为， 乙的方差， ∵，符合条件； 当时： 乙的平均分为， 乙的方差， ∵，不符合条件， ∴． 7．（2025·江西新余·模拟预测）数据 ，0，1，2的方差是________． 【答案】3.5 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式．计算公式是：． 根据方差的计算公式求解即可． 【详解】解：平均数为：， 方差为：， 故答案为：3.5． 8．（2025·江西新余·三模）小贤是一名观鸟爱好者，他想用折线统计图反映每年到都阳湖湿地公园过冬的东方白鹤的数量变化情况，以下是他打乱顺序的统计步骤： ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势； ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录； ③按统计表的数据绘制折线统计图； ④整理每年到公园过冬的东方白鹅的数量，并制成统计表。 正确的统计步骤的顺序应是________． 【答案】②→④→③→① 【分析】此题考查了折线统计图，调查收集数据的过程与方法，以及统计表，统计的步骤大致为：数据的收集，数据的整理，绘制统计图，分析统计图．根据数据的收集与整理顺序判断即可． 【详解】解：统计步骤应为： ②从公园管理部门收集每年到这里过冬的东方白鹳的数量记录； ④整理每年到公园过冬的东方白鹅的数量，并制成统计表； ③按统计表的数据绘制折线统计图； ①从折线统计图中分析出每年到公园过冬的东方白鹤的数量变化趋势． 则统计步骤正确的是②→④→③→①． 故答案为：②→④→③→①． 9．（2026·江西·模拟预测）某公众号近期新增了120名粉丝，新增粉丝关注方式的扇形统计图如图所示，则通过“文章页关注”的粉丝有________名． 【答案】52 【分析】本题考查扇形统计图中的相关计算，先求出“文章页关注”的粉丝在扇形中对应的圆心角度数，然后用总量乘以圆心角在的占比求得人数． 【详解】解：由扇形图可得，“文章页关注”所在扇形的圆心角度数为 通过“文章页关注”的粉丝有名． 故答案为：52． 10．（2025·江西抚州·模拟预测）为了备战中考体育考试，小华和小月练习立定跳远，如图为两人5次立定跳远成绩（单位：m）的折线统计图，由图可知成绩比较稳定的是____________（填“小华”或“小月”）． 【答案】小月 【分析】本题考查了统计折线图，关键要掌握折线图的特点，能根据折线图分析理解其中的数据变化情况，进而解答题目． 根据折线统计图的形状来判定即可． 【详解】解：通过折线统计图可以看出，小华的成绩折线上下浮动很大，小月的折线图上下浮动较小，所以成绩较稳定的是小月． 故答案为：小月． 11．（2025·江西宜春·一模）有一个数据样本为：1，x，y，z，2，3，3．已知这个样本的众数和平均数都为2，则这组数据的中位数为______． 【答案】2 【分析】本题主要查了众数，平均数，以及中位数，根据题意得到x，y，z中有2个数都为2，第三个数为1是解题的关键． 根据这个样本的平均数为2，可得，再由这个样本的众数为2，可得x，y，z中有2个数都为2，第三个数为1，再根据中位数的定义解答，即可． 【详解】解：∵这个样本的平均数为2， ∴，     ∵这个样本的众数为2， ∴x，y，z中有2个数都为2，第三个数为1， ∴这组数据从小到大排列为：1，1，2，2，2，3，3， ∴位于正中间的数为2， 即这组数据的中位数为2． 故答案为：2 12．（2025·江西·模拟预测）小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内掷点，通过大量的重复试验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，得出该不规则图案（恐龙）的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．用频率和概率之间的关系解答即可． 【详解】解：点落在图案部分的频率稳定在左右， 此不规则图案的面积大约为， 故答案为：． 13．（2026·江西九江·一模）某地下停车场剩下“”四个相邻的车位 (1)若一辆小车开进该地下停车场，车子停在“”号停车位是_____事件（填“随机”或“必然”或“不可能”），概率是_____ (2)现有甲、乙两位车主同时来到该地下停车场停车，用树状图或列表法求他们停靠的位置恰好相邻的概率． 【答案】(1)随机； (2) 【详解】（1）解：总共有4个不同的停车位，车辆停在任意一个车位都有可能， 车子停在这件事可能发生也可能不发生，因此是随机事件； 总共有4种等可能的结果，符合停在的结果有1种， 因此概率为； （2）解：记分别为A，B，C，D，甲乙不能停在同一个车位， 画树状图如下： 由表可得，所有等可能的结果共12种，其中甲乙停靠位置相邻的结果有6种. 因此所求概率为． 14．（2026·江西萍乡·一模）酚酞溶液是初中化学常用的酸碱指示剂，其特性为：遇碱性溶液变红，遇酸性或中性溶液不变色（仍为无色）．某化学实验小组用酚酞溶液检测了编号为甲、乙、丙、丁的四种无色溶液，结果如下表所示： 溶液编号 甲 乙 丙 丁 酚酞变色 红色 无色 无色 红色 已知这四种溶液中只有酸性和碱性两种类型（无中性溶液）． (1)若从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为___________； (2)若从这四种溶液中随机选取两种进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵四种溶液中，甲和丁变红色， ∴从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为； （2）解：画表格如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 共有12种等可能出现的结果，其中恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的结果有8种， 则恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率是． 15．（2026·江西南昌·一模）教师群体的心理健康状况值得特别关注．某区为了解教师心理健康现状，从本区随机抽取a名教师进行心理健康测评，测评标准如下： 得分区间 0～10分 11～20分 21～30分 31～40分 41～50分 心理健康等级 A：优秀 B：良好 C：一般 D：需要注意 E：需专业干预 【数据处理】 将收集到的数据整理成以下两幅统计图： 【数据应用】 (1)_________，_________，_________； (2)补全条形统计图； (3)在抽取的教师中，得分为中位数的教师心理健康等级处于_________； (4)调查发现，心理健康等级为E的教师中，通过单次专业心理干预，约有的教师心理获得正向改善，恢复了健康．若该区共有教师2900名，问心理健康等级为E的教师都经过单次专业心理干预后，约有多少名教师获得正向改善，恢复了健康？ 【答案】(1)200，16，38 (2)见解析 (3)C (4)约有116名获得正向改善，恢复了健康 【详解】（1）解：； ； ，即； （2）解：等级E的人数： 补全条形统计图如下： （3）解：∵，， ∴把这200个数据从小到大排列，第100个和101个数位于等级C， 即在抽取的教师中，得分为中位数的教师心理健康等级处于C； （4）解：（名） 答：该区心理健康等级为E的教师约有116名获得正向改善，恢复了健康． 16．（2026·江西吉安·一模）赣南脐橙因赣南红壤土富含稀土元素，赋予脐橙独特甘甜风味，被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号．脐橙成熟季，数学小组成员想了解甲、乙两片果园的脐橙质量，随机从甲、乙两片果园各抽取了20个脐橙，从果径大小、甜度、水分三个方面进行考察，统计结果如下： 数据处理 甲、乙果园的脐橙果径大小分布表 果径 等级 甲果园频数 乙果园频数 小果 2 4 中果 8 5 大果 8 10 特大果 2 1 各方面平均分统计表 果径平均值 甜度平均值 水分平均值 甲 乙 数据应用 (1)乙果园的脐橙果径的中位数落在______区间．（填正确结论的选项） A．    B．    C．    D． (2)补全甜度得分统计图，并指出甲果园中甜度得分的众数为______． (3)若从甲果园随机摘下600个脐橙，估计大果的数量． (4)若某水果商想选择承包其中一片果园的脐橙，按照果径、甜度、水分分别占比计算综合评分，且综合评分越高越好．请通过计算说明该水果商应该选择哪片果园． 【答案】(1)C (2)见解析，9 (3)估计大果的数量为240 (4)该水果商应该选择乙果园 【详解】（1）解：，， 乙果园的脐橙果径的中位数落在区间． （2）解：∵甲果园的脐橙甜度平均值为，设分的有个， ∴， 解得：． ∵乙果园的脐橙甜度平均值为，设分的有个 ∴， 解得：． 补全统计图如下：    甲果园中甜度得分的众数为． （3）解：． 答：估计大果的数量为． （4）解：． ． 因为，所以该水果商应该选择乙果园． 押题猜想五 一次函数的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】为改善环境质量，推动绿色发展，某企业响应政府号召决定购买甲，乙两种型号垃圾处理器共台．已知甲型号垃圾处理器的单价为万元，购买乙型号垃圾处理器所需费用（万元）与购买数量（台）之间的函数关系如图所示． (1)求与的函数解析式，并写出的取值范围； (2)已知购买乙型号垃圾处理器的数量不少于甲型号垃圾处理器数量的一半，求购买台垃圾处理器的最少费用． 【答案】(1)； (2)万元． 【详解】（1）解：当时， 设函数解析式为， 将点代入解析式， 可得：， 解得：， ， 当时，设函数解析式为， 将点，代入解析式， 可得：， 解得：， ， 综上所述，关于的函数解析式为； （2）解：设购买台乙型号垃圾处理器，则购买台甲型号垃圾处理器， 根据题意可得：， 解得：， 设购买台垃圾处理器的费用为万元， 依题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时， 答：购买这台垃圾处理器的最少费用是万元． 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，一次函数的综合问题是每年必考的核心大题，通常在解答题倒数第二或第三题位置出现，分值约8-9分，且呈现逐年加重趋势。考点趋势上呈现出鲜明的“两线并行”格局：一是与反比例函数深度融合，几乎每年都考查一次函数与反比例函数的“双函数”综合题，如2025年考查了直线与双曲线交点坐标、三角形面积及图象平移问题，2024年则以等腰直角三角形为背景将两个函数巧妙结合，2023年同样考查了直线与双曲线的交点及面积计算；二是将一次函数与实际应用问题紧密结合，如行程问题中的追及相遇、利润最大化中的方案决策等。 押题理由在于该题型位置高度稳定、综合性极强，能同时考查函数图象性质、待定系数法、数形结合思想和方程思想，是区分度的保障。押题依据是近五年江西中考真题中一次函数从未缺席解答题，且与反比例函数的“联姻”已成固定模式。 押题秘笈：一是熟练掌握待定系数法求解析式，抓住图象上点的坐标代入即得；二是数形结合读图，关注函数图象与坐标轴交点、两函数交点、图象平移前后的关键点坐标；三是注意分类讨论，如等腰三角形存在性问题要分腰和底讨论；四是应用题中务必明确自变量取值范围，并结合实际意义进行取舍。 终极猜想·精练通关 1．（24-25八年级下·江西宜春·期末）一次函数的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像特点是解题关键．根据一次函数的图像特点即可得． 【详解】解：对于一次函数，，， 故图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江西上饶·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．它的图象与轴的交点为 B．它的图象经过第二、三、四象限 C．当时， D．它的图像可看作的图象向上平移3个单位长度得到的 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括交点坐标、图象所经象限、函数值范围及图象平移．解题的关键是熟知一次函数中参数k、b的取值与图像位置的对应关系． 【详解】令，解方程，得，故交点为，选项A错误． 对于一次函数，其中，，与y轴交于正半轴，因此，图象经过第一、二、四象限，而非第二、三、四象限，选项B错误． 当时，，故，此时恒大于0，选项C错误． 原函数可视为的图象沿y轴方向平移3个单位（向上平移），符合平移规律，选项D正确． 故选：D． 3．（25-26八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，若点C在y轴上，且满足，则点C的坐标为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形面积的问题，熟练掌握相应知识是解题的关键． 先求出一次函数与坐标轴的交点A，B，再利用三角形的面积即可求出点C的坐标． 【详解】解：令，则；令，则， ∴，， 如图，设点C的坐标为，则， ∴， 解得，， ∴点C的坐标为或． 故选：A． 4．（25-26八年级上·江西吉安·期末）一次函数与正比例函数（为常数，且），它们在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象，判断一次函数的图象，根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据正比例函数（为常数，且）的图象排除A、C，再根据一次函数，分，两种情况讨论一次函数的特征，确定正确的选项．​ 【详解】解：对于正比例函数（）， ∵， ∴其图象必过原点，从左向右上升，经过第一、三象限， A、C都不符合，B、D符合． 对于一次函数， ∴其图象恒过定点． 当时​，的图象经过第一、三、四象限， 没有符合的选项． 当时​，的图象经过第一、二、四象限， 选项D符合， 故选：D． 5．（2025·江西景德镇·一模）漏壶是一种古代计时器，某小组同学根据漏壶的原理制作了如图所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通．液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．用表示漏水时间，表示圆柱容器的液面高度．下列图象中，适合表示与的对应关系的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，理解题意是解题关键． 根据题意设漏水的速度为v（定值），圆柱容器底面积为s（定值），确定，再由实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，即可得出结果． 【详解】解：∵液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中， ∴设漏水的速度为v（定值），圆柱容器底面积为s（定值）， ∴， ∴， ∵实验开始时圆柱容器中已有一部分液体， ∴当时，， ∴为一次函数， 故选：A． 6．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查新定义问题的理解与应用，平面直角坐标系中的轴对称，一次函数与方程的综合，准确理解新定义是解题关键． 根据“对偶关系”的定义，点和点关于轴对称，即若坐标为，则坐标为，且在图象上，据此列方程求解即可． 【详解】解：①设在上，坐标为，则为， ∵在上， ∴， 解得， 可知存在这样的点和，故具有对偶关系，①错误； ② 对于和，设对偶值存在，则存在使， 解得，则对偶值为，不是，故②错误； ③对偶值为，在上，则纵坐标为，横坐标也为，即， ∵与关于轴对称， ∴， 代入，得， 解得，故③正确； ④ 设在上，坐标为，则为， ∵在上，且， ∴， 即， ∵， ∴，与结论不符，故④错误． 综上，只有③正确，共个． 故选：． 7．（2026·江西吉安·二模）已知点和点都在直线（m为常数）上，若，则________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可知一次函数值y随着x的增大而减小，再结合可得答案． 【详解】解：∵一次函数中， ∴一次函数值y随着x的增大而减小． ∵点在该函数图象上，且，即， ∴． 8．（2025·江西·模拟预测）人体心率的增加有一定的限度，这个限度叫作最大心率．设最大心率为y，年龄为x，它们的关系满足．若某同学今年14岁，则该同学今年的最大心率为________． 【答案】206 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，把代入即可得出答案． 【详解】解：∵最大心率为y，年龄为x，它们的关系满足． ∴当时，则， 故答案为：206． 9．（2025·江西九江·一模）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型—数的变化，一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与轴的交点坐标，进入可得出第个等腰直角三角形直角边的长，结合三角形的面积公式，可得出第个等腰直角三角形的面积，同理，可求出第，，个等腰直角三角形直角边的长及面积，根据数的变化，可找出“第个等腰直角三角形直角边的长为，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴直线与轴交于点， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第4个等腰直角三角形直角边的长为， ， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 故答案为：． 10．（2025·江西九江·三模）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点为第一象限内的一点，当是等腰直角三角形时，点的坐标为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；解题关键是先求出点A、点B坐标，再分三种情况讨论等腰直角三角形中C点的位置通过构造全等三角形来确定C点坐标。 先求得点A、点B的坐标再分，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：由，当时，；当时， ∴点的坐标为，点A的坐标为． ①当，时，如图，过点作轴于点， 所以， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以点的坐标为． ②当，时， 如图，作轴于点， 同理可证得， 所以，， 所以， 所以点的坐标为． ③当，时， 如图，此时，为的中点(由为等腰直角三角形性质可知)． 因为，， 所以点的坐标为． 综上所述，点C的坐标为或或． 故答案为：或或． 11．（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为__________. 【答案】，或 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征及等腰三角形的性质.熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键. 对点的位置及直角顶点进行分类讨论即可. 【详解】解：由题知，设点， 当，且点在点A左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点A右侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点A左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 综上所述，点的坐标为，或. 故答案为：，或. 12．（2026·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C是x轴正半轴上一点．设α，β分别是的两个内角，若满足，则点C的坐标为____________． 【答案】，或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数与二元一次方程组，勾股定理，有一定难度，解题的关键是根据题意画出图形，分类讨论解决问题． 先分别求出A，B的坐标及，的长，根据动点C的位置，画出图形分情况讨论． 【详解】解：在中， 当时，；当时，， ，， ，， ． (1)若点C在点A左侧， 则，． ， ， ． ∵，分别是的两个内角，且， ，， 如图(1)， ， 平分． 过点C作于点D， ， 则， ，， ， ． 设， 则， 在中，， ， 解得， ∴点C的坐标是． (2)若点C在点A右侧， 则， 或． ①当，时， 如图(2)， 同理(1)可得平分． 过点A作于点E， 则， ． ，， ， ， ， ， 点C的坐标是 ②当，时， 如图(3)， 同理(1)可得． 又， ， ，即． ． ∴点C的坐标是． 综上，点C的坐标为，或． 13．（2025·江西宜春·模拟预测）（1）已知直线经过点与点，求这条直线的解析式； （2）如图1为汽车沿直线运动的速度v（m/s）与时间之间的函数图象．根据对此图象分析、理解，在图2中画出描述在这段时间内汽车离开出发点的路程s（m）与运动时间t（s）之间的函数图象． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）解：设这条直线的解析式为， 由题意，得 解得 ∴这直线的解析式为； （2）依题意，得图1中的速度为10，路程为：； 汽车停止不动，速度为，路程为0； 速度为，路程为． 故可画出的图象，如图所示． 14．（2022·江西·模拟预测）如图，在中，，，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，平分交y轴于点M． (1)求点M的坐标； (2)求所在直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点M作于点C， ∴， ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴点M的坐标为； （2）解：设所在直线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为. 15．（2025·江西·二模）某文体用品商店购进一批普通跳绳和计数跳绳销售，已知销售10根计数跳绳和20 根普通跳绳的利润为200元，销售20根计数跳绳和30根普通跳绳的利润为350元． (1)求每根普通跳绳和每根计数跳绳的销售利润． (2)该商店共购进这两种跳绳200根，其中计数跳绳的进货量不超过普通跳绳的2倍，设购进普通跳绳x根，这200 根跳绳的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数解析式． ②该商店购进这两种跳绳各多少个，才能使销售总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1)每根普通跳绳和每根计数跳绳的销售利润分别为5元，10元 (2)①；②该商店购进普通跳绳67根，计数跳绳133根时，销售总利润最大，最大为1665元 【详解】（1）解：设每根普通跳绳和每根计数跳绳的销售利润分别为元，元， 由题意可得：， 解得：， 答：每根普通跳绳和每根计数跳绳的销售利润分别为5元，10元. （2）解：①∵购进普通跳绳根， ∴购进计数跳绳根， 依题意得， ∴， ②由题意可知且 (为整数)， ∴ (为整数)， ∵在中，随的增大而减小， ∴当时，取最大值，为1665元， 答：该商店购进普通跳绳67根，计数跳绳133根时，销售总利润最大，最大为1665元． 16．（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【答案】(1)8，100 (2) (3)400 【详解】（1）解：由题意知， 将代入，得， 解得， 由题图知， 故答案为：8，100； （2）解：由（1）知， 由题意知，当时，， 令， 解得，     结合题图知，当时，选择方案一购买更合算； （3）解：当时，，， ∴此时， 结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值， 当时，令， 解得， 答：当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，x的值为400． 押题猜想六 反比例函数的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)9 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，坐标系中点的坐标的特点，三角形的面积公式； （1）将点代入直线解析式可求出，把代入直线解析式可求出，再代入即可求出； （2）过点作轴于点，交于点，利用反比例函数解析式先求出点坐标，再由三点坐标可求出的底和高，最后利用三角形的面积公式即可求出面积． 【详解】（1）解：将点代入直线，得， ， 一次函数的表达式为， 把代入，得， ， 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为． 综上所述：一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：如图，过点作轴于点，交于点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 轴，， ， ，即， . 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，反比例函数的综合问题是每年必考的核心板块，通常在解答题第19题或第20题位置出现，分值约8-9分，且呈现出与几何图形深度融合的鲜明趋势。考点趋势上，反比例函数很少单独考查，而是与矩形、等腰直角三角形、菱形等几何图形紧密结合，考查k的几何意义、点在双曲线上满足的坐标关系、以及面积计算等问题。例如2024年江西中考以等腰直角三角形为背景，将双曲线与三角形顶点坐标关联考查；2025年则出现了新定义“不动点函数”的创新题型，将反比例函数与函数性质探究相结合，体现了从传统计算向数学探究能力考查的转变。 押题理由在于该题型位置高度稳定、与几何图形的综合性强，能有效考查数形结合思想和转化思想。押题依据是近五年江西中考真题中反比例函数与几何图形结合的考查模式从未改变，且2025年创新题型预示着对函数性质理解的深度要求有所提升。 押题秘笈：一是熟练掌握k的几何意义，过双曲线上一点作坐标轴垂线围成的矩形面积等于|k|；二是解决与几何图形综合题时，要善于用坐标表示线段长度，再根据几何条件列方程求解；三是注意对称性，反比例函数图象关于原点中心对称，常利用此性质求点的坐标；四是要灵活运用待定系数法，将几何条件转化为点的坐标代入解析式求解。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江西·模拟预测）若是双曲线上一点，则下列各点，不在该双曲线上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征——“横纵坐标之积”是解题的关键． 先求出反比例函数解析式，即的值，然后根据反比例函数图象上的点的坐标特征——“横纵坐标之积”逐项分析判断即可． 【详解】解：是双曲线上一点， ， 即：， A. ，该点在双曲线上，故选项不符合题意； B. ，该点在双曲线上，故选项不符合题意； C. ，该点不在双曲线上，故选项符合题意； D. ，该点在双曲线上，故选项不符合题意； 故选：． 2．（2026·江西·模拟预测）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据实际意义以及函数的解析式，确定函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：结合物理知识可得， ∴压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，同时自变量是正数． 故选：D． 3．（2025·江西·模拟预测）有下列三个判断，其中正确的是（   ） ①点是原点，射线分别交反比例函数与的图象于点，点，则． ②点在双曲线上． ③双曲线的两支在所在象限内，随的增大而减小． A．①② B．②③ C．① D．③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，系数符号相同的两个反比例函数，在同一个象限内，系数绝对值大的函数图象在另一个函数的图象上方，据此可判断①；根据反比例函数自变量不为0可判断②；根据增减性与系数的关系可判断③． 【详解】解：∵， ∴在第二象限时反比例的函数图象在反比例函数的图象的下方，在第四象限时反比例的函数图象在反比例函数的图象的上方， ∵点是原点，射线分别交反比例函数与的图象于点，点， ∴，故①错误； ∵反比例函数的自变量不为0， ∴点不在双曲线上，故②错误； ∵， ∴双曲线的两支在所在象限内，随的增大而减小，故③正确； 故选：D． 4．（2026·江西上饶·三模）“水稻出米率”是指一定重量的稻谷，经过加工后所能得到的米粒重量与稻谷总重量的比值．如图描述了A，B，C，D四块试验田在丰收时的出米率y与稻谷产量x的情况．则这四块试验田在这次丰收中，最终产出的米粒重量最多的是（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据函数图象可知横，纵坐标的乘积即为米粒的重量，再比较得出答案． 【详解】解：根据题意可知出米率， ∴米粒的重量， 可知A试验田的米粒的重量； B试验田的米粒的重量； C试验田的米粒的重量； D试验田的米粒的重量， 因为， 所以产出的米粒重量最多的是C． 5．（2025·江西·二模）海拔不同，大气压不同．某人在某地绘制的大气压与海拔的函数图象如图所示，认真观察图中数据，下列说法中正确的是（   ） A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．当海拔为时，大气压约为 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 【答案】D 【分析】根据图象中的数据回答即可．本题考查了函数的图象及反比例函数，解题的关键是读懂题意，能正确识图． 【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意； B．∵图象经过点，， ∴，，而， ∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意； C．∵图象经过点， ∴海拔为时，大气压约为，该选项不符合题意； D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意； 故选：D． 6．（2025·江西抚州·二模）若二次函数的图象如图所示，则反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数、反比例函数、正比例函数的图象与性质，判断出的符号是解题的关键．由已知二次函数的图象开口方向可以知道的取值范围，对称轴可以确定的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∴反比例函数在第一、三象限，正比例函数在第二、四象限， 故选：D． 7．（2025·江西·模拟预测）若点都在反比例函数图象上，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据解析式与点的坐标关系，代入计算即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（2025·江西抚州·一模）如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为的面积为5，则k的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后根据去绝对值得到k的值． 【详解】解：∵轴，垂足为A，的面积为5， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（2024·江西九江·二模）如图，已知点，若反比例函数的图象与线段相交，则k的值可能为________．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据图象可知，反比例函数上一点的坐标为，其中，取，求解即可． 【详解】解：由图可知：直线与双曲线交于一点，且， ∴设交点为，则：， ∴当时，； 故答案为：3（答案不唯一）． 10．（2025·江西南昌·二模）镜片的屈光力（单位：屈光度）与焦距（单位：米）满足反比例函数关系，如图，点在该反比例函数图象上．若某镜片的焦距为米，则它的屈光力_______屈光度． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，将代入中，得，所以，最后将代入求出即可解答． 【详解】解：镜片的屈光力（单位：屈光度）与焦距（单位：米）满足反比例函数关系， 设， 将代入中，得， ， 故当时，， 故答案为：． 11．（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则_________（用含k的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义．理解反比例函数中的几何意义是解题的关键． 根据中的几何意义来求解即可． 【详解】解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为， 点对应的垂线段围成的矩形面积也为， ． 故答案为：． 12．（2025·江西景德镇·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点引一条直线交反比例函数的图象于点，同时，该直线与轴交于点，若与相似，则点的纵坐标可能是_____． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数上点的坐标，相似三角形的性质，先得到，然后根据相似可得或，然后分为两种情况：时直接求出点D的坐标，当时，过点作轴于点，根据，求出点D的坐标，额然后根据平行线分线段成比例求出长即可解题 【详解】解：∵点，点在y轴上， ∴， 又∵与相似， ∴或， 当时，如图， 则点D的横坐标为， 这时， ∴， ∴，即点C的纵坐标为， 当，如图，过点作轴于点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设点D的坐标为， 则，解得：， ∴点D的坐标为或， 当点D的坐标为时，，即， 解得，这时点C的纵坐标为； 当点D的坐标为时，，即， 解得：，这时点C的纵坐标为； 故答案为：或． 13．（2026·江西宜春·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 14．（2026·江西九江·一模）如图，直线与反比例函数交于点，与坐标轴分别交于点和．过点作轴的垂线交反比例函数于点，连接并延长交轴于点 (1)求反比例函数的解析式及点的坐标 (2)求的面积 【答案】(1)反比例函数的解析式为， (2)的面积为2 【分析】（1）设反比例函数解析式为，把点代入，求出，得；由求出，得出点的坐标为，把代入反比例函数解析式，求得，可得； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，令，得，得，再根据三角形面积公式可求出的面积． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， 设反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 对于直线，当时，， 解得， ∴， ∵过点作轴的垂线交反比例函数于点， ∴点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴, ∵， ∴， ∴的面积． 15．（2026·江西萍乡·一模）如图，直线与反比例函数（）的图像交于点和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出当x为何值时，； (3)若点C为直线下方且在x轴上的一点，当时，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）先根据反比例函数图像上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点A和点B的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）将不等式变形为反比例函数与一次函数的形式，然后根据函数图像的位置关系确定x的取值范围； （3）如图，设直线与x轴的交点为D，点C的坐标为，过点C作y轴的平行线，分别过A、B作于点F，于点E，那么为，利用得出点C的坐标，从而得出的长即可得到本题的解． 【详解】（1）解：点和两点在反比例函数的图像上， ， ， 点A、B的坐标为和， 依题意知：， 反比例函数的解析式为：， 把A、B两点的坐标代入一次函数表达式中： ， 解得：， 一次函数的解析式为：； （2），即，也就是反比例函数图像在一次函数图像上方， 或； （3）如图，设直线与x轴的交点为D，点C的坐标为， 在直线中，令，即解得：， ， 过点C作y轴的平行线，分别过A、B作于点F，于点E，如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（不符合题意，舍去）， 检验：当时，， 是方程的解， ， ， ． 16．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． (1)求该反比例函数的解析式； (2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接． ①当点A的横坐标为4时，求的面积； ②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②不会发生改变．理由见解析 【分析】（1）利用反比例函数的性质求解； （2）①根据函数解析式求出点纵坐标，设点D的坐标为，点E的坐标为，得出，然后利用割补法表示出三角形的面积即可； ②设点A的坐标为，表示出点D的坐标为，点E的坐标为，然后利用割补法表示出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵矩形的面积为4， ∴， ∴或， ∵函数图象位于第一象限， ∴ ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：①∵点A的横坐标为4， ∴， ∴点A的纵坐标为1． ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ． 即． ； ②不会发生改变．理由如下： ∵设点A的坐标为， ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为，且． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ， ． 即． ． 押题猜想七 二次函数的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图1，垂直于y轴的直线与抛物线相交于A，B两点，我们把线段的长度称为抛物线的“碗宽”．例如，当时，直线与抛物线相交于A，B两点，则的长度就是抛物线的“碗宽”． (1)抛物线的“碗宽”为 ；抛物线 的“碗宽”为 ；抛物线的“碗宽”为 ；抛物线的“碗宽”为 ．（后两空均用含a的式子表示） (2)如图2，抛物线的顶点为 M，抛物线 的顶点为N，它们的“碗宽”分别为和（A，B，C，D 从左往右依次排列）的长度． 如图3，当B，C两点重合时，求M，N两点之间的距离． 当B，C两点不重合时，M，N两点之间的距离是否发生改变？若没有发生改变，请结合图2说明理由；若发生了改变，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)2．5；发生了改变， 【详解】（1）解：∵直线与抛物线相交，即，解得，， ； ∴抛物线的“碗宽”为2； ∵直线与抛物线相交，即，解得：或， ， ∴抛物线的“碗宽”为2； ∵直线与抛物线相交，即，解得：， ； ∵直线与抛物线相交，即，解得： ． 故答案为：2，2，，． （2）解：①∵抛物线的“碗宽”为， 抛物线的“碗宽”为，抛物线的“碗宽”为， 如图1：分别过点M、N作直线的垂线，垂足分别为点H，T，连接， 由二次函数的对称性可知：，， ∵当B，C两点重合， ， ∵点M、N的纵坐标相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ； ②发生了改变，； 如图2：当，分别为抛物线和的“碗宽”时，分别过点M，N作直线的垂线，垂足分别为点H，T，连接， ，，， ， 由①可知，四边形是矩形， ，即． 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，二次函数的综合问题是每年压轴题的固定考查内容，通常在解答题最后一题位置出现，分值为12分，属于“每年必考”的核心题型。考点趋势上呈现出“两大方向”并行的格局：一是二次函数与几何图形的综合，包括与等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形等存在性问题的考查，如已知真题中常见“是否存在点P使△PAC是直角三角形”的探究；二是二次函数与图形变换的结合，涉及平移、对称后的最值问题，如将军饮马型周长最小、面积最大等问题；此外，近年开始出现新定义函数与二次函数性质探究的创新题型，如“不动点函数”等，体现了从传统计算向探究能力考查的转变。 押题理由在于该题型位置高度稳定、综合性极强，能同时考查函数图象性质、代数运算、几何推理和分类讨论思想，是整张试卷区分度最高的题目。押题依据是近五年江西中考真题中二次函数从未缺席压轴题，且与几何动点、存在性问题的考查模式已形成稳定风格。 押题秘笈：一是熟练掌握待定系数法求解析式，抓住已知点坐标代入建立方程组；二是动点问题中设参数表示坐标，根据几何条件列方程求解，注意判别式验证是否存在；三是存在性问题务必分类讨论，如直角三角形要分三个角分别为直角、等腰三角形要分腰和底；四是面积最值问题常转化为二次函数的顶点坐标求解，注意自变量取值范围对最值的影响。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江西南昌·一模）已知抛物线上的点A和对称轴l的位置如图所示，则直线不经过的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的性质．先由二次函数的图象确定，，再求出一次函数的图象所过的象限即可． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵点A在轴负半轴， ∴， ∴直线不经过第一象限， 故选：A． 2．（2025·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据，可得，则可推出，据此可得，． 【详解】解：， ∴， ∴ ， ， ∴， 当时，都有，即都有， ， ． 故选：B． 3．（2025·江西·二模）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质．分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点A，C作y轴的垂线，垂足分别为点M，N． ，， ，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∴， ，． ． 又， ． ． ， ． 故选：A． 4．（2026·江西九江·一模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②为任意实数时，；③；④不等式的解集为．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由抛物线开口向上、对称轴、交y轴正半轴，得、、，故、；顶点最小值为1，恒成立；将变为，结合图象即可判断四个结论． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，抛物线对称轴为，抛物线与轴交于正半轴， ∴，对称轴为，常数项， ∴， ∴； ∴，①正确； ∵抛物线顶点坐标为，即函数的最小值为，且抛物线开口向上， ∴对任意实数，都有，②正确； ∵ ∴，③正确； 由题意得， ， ∴二次函数值小于一次函数的值， ∵二次函数过点和，这两个点也在直线上， ∴两个函数的交点为和， 由图可得，在两个交点之间，抛物线在直线的下方， ∴不等式成立的范围是，④正确． 综上所述，正确的个数有4个． 5．（2025·江西萍乡·模拟预测）如图1，E为矩形边上一点，点P从点B沿折线运动到点C时停止，点Q从点B沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论正确的是（　　） A． B．当时，是等腰三角形 C． D．当时， 【答案】C 【分析】根据函数图象的意义，当时，，当时，y是定值，故Q运动停止了，故，继而得到，过点P作于点H，连接，求得三边长，得到，然后过点P作于点G，根据题意，得，，解答即可． 【详解】解：点P从点B沿折线运动到点C时停止，点Q从点B沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是． 故， 根据题意，得当时，， 当时，y是定值， 故Q运动停止了， 故， 根据题意，得即， 解得， ∵矩形， ∴，，， ∴，， 故A错误； 当时，， 故，， 如图所示，过点P作于点H，连接, 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴不是等腰三角形； 故B错误； ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； 如图所示，过点P作于点G， 根据题意，得， 故， 故D错误． 6．（24-25九年级下·江西抚州·月考）如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（   ） A．假山上的点B到水平地面的距离为 B．水平方向上的长度为 C． D．抛物线与的对称轴相同 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 由假山所在抛物线的函数解析式为，分别令，，求出对应的，即可判断选项A、B，由，即可判断选项C，根据与的图象可判断D选项． 【详解】解：由假山所在抛物线的函数解析式为， 当时，，故假山上的点B到水平地面的距离为； 当时，或（舍去），故水平方向上的长度为，可知选项A、B正确； 由题意得，解得：，可知选项C正确； 由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 7．（2025·江西宜春·模拟预测）二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，牢记“二次函数的顶点坐标是”是解题的关键． 利用二次函数的性质，可求出二次函数的顶点坐标． 【详解】解：，，， ，， 二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 8．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知抛物线的图象与轴没有交点，直线不经过第_____象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查二次函数以及一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据根的判别式求出的取值范围，再根据一次函数的图象和性质即可得到答案． 【详解】解：抛物线的图象与轴没有交点， ， 解得， ， 直线不经过第三象限， 故答案为：三． 9．（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 10．（2025·江西吉安·二模）已知二次函数关于x轴对称的图象经过点，则a的值为______________． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，利用待定系数法求二次函数表达式．二次函数图象上的点的坐标都满足函数关系式，掌握以上知识是解题的关键． 由题意可知二次函数的图象经过点，再将代入求解即可． 【详解】∵二次函数关于x轴对称的的图象经过点， ∴二次函数的图象经过点， 将点代入，得， 整理得， 解得． 故答案为：2． 11．（2026·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与x轴的交点为和点B；与y轴的交点在与之间（包括端点）．①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．其中正确结论是______． 【答案】①④⑤ 【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，得，可判断①；根据对称轴为，得，根据二次函数图象交x轴于点，得，得，可判断②；根据点，，都在抛物线上，且的对称点为，当时，y随x的增大而增大， ，得，可判断③；根据直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，和方程无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y轴于点，得，由，得，由顶点，得，得， 即得，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点， ∴， ∴①正确； ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴②不正确； ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且， ∴， ∴③不正确； ∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， ∴方程无实根， ∴④正确； 对，令，则， ∴二次函数的图象交y轴于点， ∴， ∵， ∴ 把代入， 得． ∴， 即． ∴⑤正确． ∴正确的有①④⑤． 12．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在线段上运动，过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C，若三条线段，，中，恰有两条线段长度的比值为2，则线段的长为________． 【答案】3或 【分析】由题意可得，分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵三条线段，，中，恰有两条线段长度的比值为2， ∴当时，，即点的坐标为， 此时， ∴，此时不满足恰有两条线段长度的比值为2，故不符合题意，舍去； 当时， ∵， ∴，即点的坐标为， ∵过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C， ∴此时点的横坐标为，纵坐标为，故此时； 当时， ∵， ∴，即点的坐标为， ∵过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C， ∴此时点的横坐标为，纵坐标为，故此时； 综上所述，线段的长为3或． 13．（2026·江西南昌·一模）已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． (1)【定义理解】 ①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________； ②下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A．    B．    C． (2)【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 【答案】(1)①或，②C (2)①；②，“二倍点”的坐标为 【分析】（1）①根据“二倍点”的定义可得，且，据此解方程即可得到答案；②根据题意可得当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和直线的解析式，看方程是否有解即可得到答案； （2）①抛物线与x轴只有1个公共点可得判别式的值为0，再结合点B和点C的坐标列式求解即可；②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在1个“二倍点”可得新抛物线与直线只有一个交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∵点P是抛物线上的“二倍点”， ∴，且， ∴， 解得或， 当时，；当时，； 综上所述，点P的坐标为或； ②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线上， ∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线有两个不同的交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， 解得， ∴二次函数与直线只有一个交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线没有交点， ∴二次函数上没有“二倍点”； （2）解：①∵抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ②由题意得，平移后的抛物线的解析式为， 联立得，即 ∵平移后的抛物线上恰好只存在1个“二倍点”， ∴， ， ∴， 解得． ∴“二倍点”的坐标为． 14．（2026·江西吉安·模拟预测）综合与实践 问题提出 某学习小组在综合实践活动中遇到这样一个问题：如图1，在矩形中，，E为矩形边上的一点，点P，Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设点P的运动时间为t（单位：s），的面积为（单位：），已知当点P从点B运动到点D时，与t的函数关系的图象如图2所示． 初步感知 (1)观察图1、图2填空：的长为________，a的值为________，b的值为________． 深入探究 (2)①当点P在上运动时，求关于t的函数解析式． ②当点P在上运动时，关于t的函数解析式为________． 应用拓展 (3)若当点P在上运动时，某一时刻的运动时间记为，的面积记为；当点P在上运动时，某一时刻的运动时间记为，的面积记为．是否存在当时，的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)① ② (3)存在， 【分析】（1）根据图像分析，当点到达点处时，点到达点处，即可求得，再根据面积可得的长度，进而可求，取值； （2）根据面积公式构造函数即可； （3）根据函数关系式可构造一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，由图2可知，当时间在到段，面积不变， 则当点到达点处时，点到达点处， ∵它们的运动速度都是， ∴， 则, 当时， 的高： 在中， , ∴， ∴点在上运动的时间为， ∴， （2）解：①当点P在上运动时, 过点作, ，， ∵, ∴, ∴， ∴， ∴， ②当点P在上运动时， ,, ． （3）解：存在， 根据题意得， ， ， 当时， 则 若 ∴， ∴， 解得：或（舍去）． 15．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式为___________； (2)若抛物线的顶点也落在直线上，其对称轴为直线，点在上，点在上，设， ①当时，取点关于直线对称的点，判断线段的中点是否落在直线上？并说明理由； ②当，时，求的取值范围； ③当的最小值大于或等于6时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①是，见解析；②；③或 【分析】（1）先求得顶点坐标为，利用待定系数法即可求解； （2）①求得，根据中点坐标公式计算即可判断； ②求得，根据二次函数的性质求解即可； ③求得，即最小值为，根据题意得到，分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点落在直线上，且对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，则，顶点坐标为，代入得，即， ∴抛物线的解析式为； ①线段的中点落在直线上，理由如下： 当时，则顶点坐标为， ∴， 依题意知：点，点， 点与点关于直线对称， 点 ， 即中点为， 线段的中点落在直线上； ② ， ∴的最小值为0， 当时，设， 这是一个开口向上的二次函数，且对称轴为直线， ∴当，取得最小值，最小值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴最大值为， ∴的范围是； ③∵，， ∴， 其对称轴为，开口向上， 当时，的最小值为， 由题意得， 分两种情况讨论：或， 当， 整理得，解得或； 当时，整理得， ，此情况无解； ∴当时， 的取值范围为或． 16．（2026·江西上饶·三模）已知抛物线：与y轴交于点M．其中自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 1 2 3 4 5 … y … m 0 … (1)①抛物线的对称轴为直线______，______； ②求抛物线的解析式及点M的坐标； (2)如图，将抛物线绕点M旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______； ②记抛物线，组合得到的新图象为S，图象S与过点M的直线有且仅有一个交点，请求出k的取值范围． 【答案】(1)①3，0；②， (2)①；② 【分析】（1）①根据二次函数的对称性可进行求解；②由表格可把点，代入进行求解即可； （2）①设抛物线的顶点为点D，抛物线的顶点为点E，由题意易得，然后根据中点坐标公式可得，进而问题可求解； ②由题意易得直线为，然后根据“图象S与过点M的直线有且仅有一个交点”可得问题答案． 【详解】（1）解：①由题意可知，当时，或4， ∴对称轴为直线， ∴当或5时，对应的函数值相等， ∴． ②把点，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 当时，， ∴点． （2）解：①如图，设抛物线的顶点为点D，抛物线的顶点为点E， 当时，， ∴点． 将抛物线绕点M旋转后，得到抛物线， ∴点D与点E关于点M对称，抛物线的开口方向相反． ∵点， ∴，， ∴点， ∴抛物线的解析式为． ②∵直线经过点， ∴，即直线为． 当过点M的直线与有且仅有一个交点时， 令，即， ∴，解得； 当过点M的直线与有且仅有一个交点时， 令，即， ∴，解得． ∵当时，直线无限靠近y轴，与图象S有且仅有一个交点， ∴图象S与过点M的直线有且仅有一个交点时，k的取值范围是． 押题猜想八 无刻度作图问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图，在的正方形网格中，点A，B，C，E均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，过点E作的平行线，交于点F； (2)如图2，在（1）的条件下，作点A关于的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行的判定与轴对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段，其与线段相交于点F，此时； （2）由轴对称的性质作出点即可． 【详解】（1）解：如图1， 线段即为所作； （2）解：如图2，点即为所作； 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，无刻度直尺作图是每年必考的固定题型，通常在解答题第13题或第14题位置出现，分值6分，且呈现出清晰的变化规律。从近5年真题来看，这一题型分为两大阵地：一是3次在正方形网格背景下考查，如2020年考查中心对称和旋转作图、2022年考查角平分线和等距直线、2023年考查构造锐角三角形和垂线段最短问题；二是2次在特殊四边形中直接考查，如2021年在正方形中考查旋转和平移变换、2024年在菱形中考查作垂线和平行线。值得注意的是，网格题占比更高，且要求仅用无刻度直尺完成，体现了对学生几何直观与性质运用的深度考查。 押题理由在于该题型是江西中考的特色创制题，自2013年以来从未缺席，题位稳定且分值明确，能有效考查几何图形性质的灵活运用能力。押题依据则是近5年真题呈现"网格背景为主、特殊四边形为辅"的模式，且2025年最新真题延续了在网格中作中点和重心的考查，表明这种趋势具有高度稳定性。 押题秘笈核心在于领悟"无刻度直尺只能连线，所有作图必须依赖已知格点或几何性质"的底层逻辑：一是熟练掌握"8字型"平行线分线段成比例和中点公式，在网格中找线段中点；二是利用矩形对角线互相平分、菱形对角线垂直平分等特殊四边形性质；三是平移作图遵循"点平移、线跟随"原则，将已知平移量复制到目标点；四是垂直作图利用网格线的斜率关系；五是圆中问题善于利用垂径定理和圆周角性质。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江西赣州·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，，两点为格点，为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作出的重心； (2)在图2中，取的中点，连接，作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，即为所求； 2．（2026·江西吉安·二模）如图，在的正方形网格中，线段是的半径，为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中找到格点，使得是的切线． (2)如图2，在上作点，使得是等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【详解】（1）解：如图，点、、为格点， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵线段是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，点、、、为格点，与竖格线交于点，与竖格线交于点，连接，交于点，连接，， 由（1）得，， 同理可得，，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 3．（2026·江西南昌·一模）如图，点C是的直径延长线上一点，点D在上，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作，使； (2)在图2中，作一个角，使之与互余． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为所求． （2）方法一：如图， ∵为直径， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴为所求． 方法二：如图， ∵为直径， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴为所求． 4．（2026·江西吉安·一模）如图，在正方形中，点E在上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，若点E是的中点，作出的中点； (2)在图2中，若点F在上，且，作出以为边的正方形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【详解】（1）解：如图，即为的中点． （2）解：如图，正方形即为所求． 5．（2026·江西上饶·一模）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的重心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，中线即为所求； （2）解：如图，点O即为所求． 6．（2025·江西南昌·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； (2)如图②中以线段为边画，； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图：取格点，连接，，即为所求； （2）解：如图：取格点，连接交格线于，连接，即为所求． 7．（2025·江西新余·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中A、B、C、D都是格点，E是AB上一点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，在线段上找点F，使得； (2)在图2中，在线段上找点H，使得四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，连接交于点，连接交于点，点即为所求； ∵， ∴四边形是菱形， 又 ∴ ∴ ∴四边形是正方形； 根据对称性可得； （2）解：如图所示，连接，根据网格的特点找到的中点，连接交于点，连接并延长，交于点，连接，则矩形即为所求； 根据作图可得垂直平分，则， ∴，又， ∴ ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由 ∴四边形是矩形． 8．（2025·江西新余·三模）如图，在正六边形的右侧作正方形，连接．请你仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)在图1中，在正方形的内部取点，使点与点关于直线对称； (2)在图2中，在正方形的内部取点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）解：如图2，点即为所求． 押题猜想九 三角形中的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】在 中，点B为的中点，连接，将 绕点A 顺时针旋转 得到 (1)如图（1），当 时， ； (2)如图（2），当点在一条直线上时，求的长； (3)在（2）的条件下，求点 C到直线的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，由旋转的性质可得且，因此为等边三角形，故；在等腰直角三角形中，，，计算得，进而可知； （2）当点共线时，由旋转的性质可得，故；由，在中，可有，可得，进而，即旋转角；此时且，所以为等边三角形，即可获得答案； （3）过点作于，连接；由旋转性质可知，且，故，即为等腰三角形，因此为中点；在中，，，可得，进而可得，则有，进而可知；证明，得为等腰直角三角形，故，即点到的距离为． 【详解】（1）解：由旋转得， ∴当时，是等边三角形， ， 在中，， ， ． 故答案为：． （2）在中，，点B为的中点， ， ∴由旋转得， ∵点共线， ， 由旋转得 ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ； （3）如图，过点 C作，垂足为G，连接， 由旋转得， ， ， 又， ， ， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴G为的中点， 在中，， ， ， ∵G为的中点， ， ， ． 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，三角形中的综合问题是每年必考的核心几何板块，通常在解答题第16题至第18题位置出现，分值约8-9分，且呈现出显著的综合化趋势。考点趋势上，三角形很少单独考查，而是与旋转变换、平行四边形、圆等图形深度融合，重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的比例关系、等腰三角形与直角三角形的分类讨论，以及勾股定理的应用。例如2023年江西中考将旋转与特殊三角形结合，在平行四边形背景下通过旋转构造出等腰或直角三角形，要求考生分类讨论多种可能情况；2024年则在圆与三角形的综合题中考查圆周角定理与直角三角形边角关系的灵活运用。 押题理由在于该题型位置稳定、综合性强，能有效考查逻辑推理能力和几何直观素养，是区分度的关键保障。押题依据是近五年江西中考真题中三角形从未缺席大型解答题，且均以“三角形+图形变换+分类讨论”的三位一体结构呈现，预测2026年仍会延续这一模式。 押题秘笈：一是旋转问题中要抓住对应边相等、对应角相等这一本质，利用全等或相似建立数量关系；二是遇到等腰三角形要按腰和底分情况讨论，直角三角形要按直角顶点分情况讨论，做到不重不漏；三是当条件隐含时，要善于从图形中挖掘相等关系，如公共边、公共角、对顶角、等腰三角形等边对等角等；四是要灵活运用勾股定理和三角函数建立方程求解，计算后务必检验是否符合题意。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【详解】解：∵， D为中点， ， ， ． 故选：A． 2．（2026·江西吉安·一模）图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，先由平行线的性质求解，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，由题意得 ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（2025·江西·二模）将一副三角尺如图放置，顶点C重合，点D在上，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了三角板中角度计算，等腰三角形的性质等知识点，根据三角板的特征知，是等腰直角三角形，，，结合，根据等腰三角形的性质得，最后根据求解即可． 【详解】解：根据题意知，是等腰直角三角形，，， 又∵， ∴平分， ∴． ∵， ∴， 故选：B． 4．（2026·江西吉安·一模）如图，在等边三角形中，点D在边上从点A向点C匀速运动，点E在边上从点C向点B匀速运动，若两点同时开始同速运动，则线段的长度是（   ） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．逐渐增大 D．保持不变 【答案】A 【分析】分两种情况：如图，过作于，在的左边，如图，过作于，在的右边，再利用勾股定理建立二次函数求解即可. 【详解】解：如图，过作于，在的左边， ∵等边三角形， 设，， ∴， 由题意设，则， ∴，， ∴， ∴， 如图，过作于，在的右边， 同理可得：， ∴， ∴， 综上：， 当时，最小， ∴当时，逐渐减小，当时，逐渐增大. 5．（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】该题考查了勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，先根据题意求出可以取的整数值．分为①当时，②当时，③当时，分别讨论即可． 【详解】解：根据题意求出可以取的整数值． 在 中，， ， ， 点为边上一个动点， ∴当时，最大，当时，最小． 过点作于点， 则， 解得：， ， 的长为整数， ∴或 6 或 7 ． ①当时，为等腰三角形． ②当时， 设点为中点，连接，如图（1）， 则，此时点与点重合， ∴与均为等腰三角形． ③当时，如图（2），过点作于点， 则． 设，则，， ， ， 解得：（负值已舍）， ∴，此时与均不是等腰三角形． 综上，符合条件的点的个数为2． 故选：C． 6．（2023·江西吉安·三模）数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 【答案】C 【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可． 【详解】解：由题意可得：平移过程中， ，，， ∴四边形是平行四边形， 刚开始平移时，， ∴如图，当平移至时，， ∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，， ∴平移距离为：， 即平移个单位长度后是矩形，    继续平移，当与共线时， 此时，即四边形是菱形， 此时的总平移距离为， 即再平移个单位长度后是菱形；      综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形， 故选C． 7．（2026·江西·模拟预测）如图，直线，直线c交直线a于点A，交直线b于点B，直线c，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据直角三角形锐角互余得到，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵直线c，， ∴， ∵直线， ∴， 故答案为：． 8．（2026·江西南昌·一模）如图是某晚会表演节目的机器人，图2是从中抽象出的示意图．经测量，，，若，则的度数为________． 【答案】/72度 【分析】连接，求得，根据三角形内角和，得到，根据互余的性质求解即可． 【详解】解：连接， ，且三点共线， ， ， ， ， ， ． 9．（2025·江西赣州·一模）如图，在中，已知，现将边绕点A逆时针旋转得到．若点恰好落在的延长线上，则的度数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质以及等腰三角形的性质． 由旋转得到，，继而由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，再对运用三角形内角和定理求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∴ 故答案为：． 10．（2026·江西萍乡·一模）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________． 【答案】1 【分析】过点作于H，由旋转的性质可得，则可求出，再根据图形面积之间的关系可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴． 11．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在中，，，D，P分别为，上的动点，将沿直线翻折（点B的对应点为），使射线恰好经过点A，若为等腰三角形，则的度数为________． 【答案】 或或 【分析】首先根据等腰三角形的性质求出的度数，由折叠性质及射线经过点可得，进而得出与的数量关系；然后分、、三种情况讨论为等腰三角形时的度数，分别计算即可求解． 【详解】解：，， ． 由折叠的性质可知，，． 射线恰好经过点，即、、三点共线， ． ． 在中，． 点在上， ． ①当时， ， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ， ． 综上所述，的度数为或或． 12．（2026·江西吉安·二模）如图，在中，，．点M从点A出发，沿射线的方向运动，连接．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．若的面积等于6，则的长为________． 【答案】2或6或 【分析】先证明，得到，，则，设，结合图形表示出，最后根据的面积等于6，即，代入列方程求解，注意本题中需要分两种情况讨论：第一种情况是点在线段上时；第二种情况是点在线段延长线上时． 【详解】解：当点在线段上时， ∵，， ∴，，， ∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵的面积等于6， ∴， ∴， 解得：， ∴或； 如图2，当点在线段延长线上时， 同理可得，， 设，则， ∵的面积等于6， ∴， ∴， 解得：， ∵ ∴； 综上所述，的长为2或6或． 13．（2026·江西吉安·模拟预测）课本再现 思考我们知道，相似三角形对应高的比等于相似比，那么我们可以通过相似三角形对应高的比证明：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 定理证明 (1)为了证明该定理，小明同学画出了以下图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，、、分别为两三角形的高，且． 求证． 定理应用 (2)如图2，在等腰中，，D为延长线上的一点，过点D作于点E，与相交于点F，且，在线段上取点G，使，连接，若． ①求的值； ②若，则的面积为________． 【答案】(1)证明见详解 (2)①2；② 【分析】（1）相似三角形对应高的比等于相似比，进而利用三角形面积公式推出结论并证明出； （2）①连接，，证明四边形是平行四边形，进而证明，从而得出结果； ②设，则，利用平行线对应边成比例结合勾股定理求得的表达式，过点G作于点H，则，证明，利用相似三角形对应边成比例得出相关线段的表达式，结合勾股定理列出方程求解x的值，从而求得的面积，利用（1）和（2）①的结论即可求出的面积． 【详解】（1）证明：∵，、分别为两三角形的高， ∴， ∴． （2）解：①如图，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 如图，过点G作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2026·江西鹰潭·一模）某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程： 如图1，和是共顶点的等腰直角三角形，． (1)如图2，当点D在直线上时， ①求证：． ②推断：与的比值． 问题深入 (2)当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由． 问题解决 (3)如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，，正方形的边上是否存在一点M，使 恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，理由见解析； (3)存在，见解析 【分析】（1）①由，，，得，，则，，所以，则，即可证明； ②由相似三角形的性质得； （2）由，，，得，，则，所以，因为，所以，则与不垂直，可知（1）①中的结论不成立；因为，所以（1）②中的结论成立； （3）连接、，作于点M，可证明，，所以，则，，而，，所以，，则，，可证明，得，则，所以边上存在使恒成立的点M，点M为的中点． 【详解】（1）解：①证明：如图2， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴． ②的值为， 理由：∵， ∴， ∴的值为． （2）解：（1）①中的结论不成立，②中的结论成立， 理由：如图1，∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点D不在直线上， ∴， ∴， ∴与不垂直， ∴（1）①中的结论不成立； ∵， ∴， ∴的值为， ∴（1）②中的结论成立． （3）解：存在，点M是的中点， 理由：如图3，连接、，作于点M，则， ∵点O是正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴边上存在使恒成立的点M，点M为的中点． 15．（2026·江西南昌·一模）综合实践 如图1，在中，，，某数学兴趣小组将绕着点C顺时针旋转一定角度得到，直线，相交于点D，在它们形成的四个角中，其中一个锐角用表示，在探究的度数及与的数量关系时，经历了如下过程： (1)【特例感知】 如图2，当A，C，三点共线时． ①__________； ②若，则__________． (2)【猜想证明】 猜想的度数及与的数量关系，并结合图1进行证明． (3)【拓展应用】 如图3，已知，在旋转的过程中，若，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)猜想：，．理由见解析 (3)线段的长为或 【分析】（1）①在中，，，得出是等腰直角三角形，则 ， 由旋转性质得 ，，，，求出，在等腰中，求出，在等腰中，求出，则，设与交于点，（对顶角相等），求出 ，即可得． ②由①可得，，得出，，从而求出，即可得出，则，结合，即可求出． （2）如图，分别过点A，作的垂线，垂足为Q和P，证明，得出，再证明，得出．设，由旋转可知，，，则．即可得，．根据三角形外角的性质得出即可解答． （3）连接，过作于点，根据，，得出，，则，根据勾股定理求出，则，勾股定理得出，证明，求出，得出，即可得．再分为①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：①在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵绕点旋转得到， ∴ ，，，， ∵三点共线， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， 设与交于点，（对顶角相等）， ∵， 是相交形成的锐角， ∴． ②由①可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． （2）解：猜想：，．理由如下： 如图，分别过点A，作的垂线，垂足为Q和P， ， 根据旋转可得，，， ，， ， ， ， 又， ． ． 又， ． ． 设， 由旋转可知，，． ． ，． 是的一个外角， ， 故的度数为． （3）解：连接，过作于点， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． ①当点在线段上时，如下图． 则． ②当点在线段的延长线上时，如下图． 则． 综上所述，线段的长为或． 16．（2026·江西上饶·三模）小超同学在探究矩形中的动点问题时，意识到“反A型”相似是一种有效的解题手段，为了深入探究，他继续针对相似问题中的“反A型”问题展开综合探究！ (1)如图1，在中，，；点P，Q分别为边，上的点． ①若，且点P是的三等分点，则______； ②若点P是的中点，且，则______； (2)如图2，点D，E分别为等腰直角三角形的两直角边，上的动点，直角边且始终满足，以点D为圆心，的长为半径画弧并交线段于点F，连接，．若四边形是菱形，则的长是多少？ (3)当图2中的点D运动到如图3所示的位置时，取的中点G，连接，若满足，则此时的长是多少？ 【答案】(1)①或3；②4 (2) (3) 【分析】（1）①证明，得，再根据 ，，且点P是的三等分点，进行分类讨论并代入比例求解即可；②证明 ，得，再由，，点P是的中点，得到比例中对应的数值，解比例即可； （2）根据等腰直角三角形的性质结合菱形的性质可得，推出是等腰直角三角形，设，则，再根据，建立方程求解即可； （3）根据题意得，，设，则，，，证明，推出，进而得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ， ∴， ∵，，且点P是的三等分点， ∴ 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； 综上，的值为或3； ②解：∵，， ∴ ， ∴， ∵，点P是的中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意，得，． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 设，由勾股定理得． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 答：的长是． （3）解：根据题意得． ∵点G是的中点， ∴． 设，则，，， ∴，． ∵， 而， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 答：此时的长是． 押题猜想十 特殊四边形的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】【感知】新定义：如图，在四边形中，若在四边形内部存在一点，连接，，，，满足，且，则称四边形为“蝴蝶四边形”，其中点为“蝶心”，为“蝶比”． (1)如图，正方形___________（填“是”或“否”）“蝴蝶四边形”，蝶比为___________． 【探究】 (2)如图，在四边形中，，取线段中点为点，延长交线段于点，若满足，请判断四边形是否是以点为“蝶心”的“蝴蝶四边形”？并说明理由． 【拓展】 (3)如图，四边形是“蝴蝶四边形”，点为“蝶心”，其中，，过点作交于点，延长交于点． ①“蝴蝶四边形”的蝶比为___________．（用含的代数式表示） ②求证：点是线段的中点． ③请直接写出的值为___________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)是，； (2)见解析； (3)①；②见解析；③； 【详解】（1）解：∵正方形对角线交点为，， ∴； ∵正方形对角线互相平分相等，， ∴，满足蝴蝶四边形定义， 故正方形是“蝴蝶四边形”，蝶比为 （2）解：结论：四边形是以点为“蝶心”的“蝴蝶四边形”， 理由如下，如图，延长到点，使得，连接， ∵线段中点为点，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是以点为“蝶心”的“蝴蝶四边形”； （3）解：①∵四边形是“蝴蝶四边形”，点为“蝶心”， ∴， ∵中，，，， ∴； ② 证明：过点作于，过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 即是中点， ③如图，过点作，交延长线为点， ∵， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是“蝴蝶四边形”，，过点作交于点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴ ∴ ∴． 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，特殊四边形的综合问题是每年必考的核心几何板块，通常在解答题第18题至第20题位置出现，分值约8-9分，且呈现出显著的“综合化”与“动态化”趋势。考点趋势上，矩形、菱形、正方形等特殊四边形很少单独考查，而是与折叠变换、旋转变换、动点问题及三角形全等相似等知识深度融合，重点考查特殊四边形的判定与性质、折叠前后对应边角相等的转化思想、旋转构造全等三角形、以及动点状态下的分类讨论与最值问题。例如2025年江西中考以正方形为背景考查了旋转放缩问题，而折叠类问题则常结合勾股定理求解线段长度，且往往因动点位置不同而产生多解情况。 押题理由在于该题型位置稳定、综合性极强，能同时考查逻辑推理、几何直观和分类讨论能力，是区分度的关键保障。押题依据是近五年真题中特殊四边形从未缺席大型解答题，且均以“基本图形+图形变换+分类讨论”的三位一体结构呈现，预测2026年仍会延续折叠或旋转背景下特殊四边形的探究题模式。 押题秘笈：一是折叠问题要抓住“全等变换”本质，找准对应边和对应角，利用勾股定理在直角三角形中建立方程求解；二是旋转问题要善于发现旋转前后形成的全等或相似三角形，尤其当旋转角为60°或90°时要联想到等边三角形或等腰直角三角形；三是遇到动点问题要“化动为静”，分析运动路径中的特殊位置，分类讨论时务必做到不重不漏并验证解的合理性；四是灵活运用面积法、中位线定理等工具搭建方程，将几何问题转化为代数问题求解。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据含直角三角形性质求得，由菱形的性质得出即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， 即， 故选：B． 2．（2025·江西景德镇·一模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现了中国人民的智慧和中国深厚的文化底蕴．如图，小轩家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：设、交于点， 四边形是菱形， ，，，， 在中，根据勾股定理可得：， 菱形的周长为， 故选：D． 3．（2026·江西吉安·二模）如图1，将边长为2的正方形剪成四块图形，这四块图形恰好拼成如图2所示的图形（E，F，G，H在同一直线上），则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合图1和图2，设，则，得出，再证明，故，求出 ，即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得， ∴， 解得：（舍去），， ∴． 4．（2026·江西南昌·一模）如图，在菱形中，，，点E是对角线上任意一点，连接，将线段沿着直线翻折，得到线段，若是等腰三角形，则E，F两点间的距离不可能为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质和折叠的性质可知，，，然后分三种情况讨论：、、，再根据直角三角形的性质和勾股定理分别求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，连接，交于点M，如图所示， ∵将线段沿着直线翻折，得到线段， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时，如图所示， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴； 当时，此时交的延长线于点M，如图所示， 此时点E与点C重合，， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，A选项符合题意． 5．（2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点轨迹和最短路径问题，解题的关键是画出对应图形，找出G的轨迹在一个圆上，再由“将军饮马”模型求出最小值． 【详解】解：当E在上，F在上时，由这两点运动速度相同，故，由正方形性质知，， 由 ， ， ， ， 故由圆周角性质得G在以为直径，中点O为圆心的圆上，以为对称轴将点B翻转上去得到点，如图所示 则 ，故 三点共线时最短，若 三点不共线，则 中 ， 故当 三点共线时最短，此时 四点共线，由于圆的半径为1， ， 故由勾股定理得 ， 最小为 ， 此时实际上E在上，F在上，如图所示 此时，但不变 6．（2023·江西吉安·三模）数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 【答案】C 【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可． 【详解】解：由题意可得：平移过程中， ，，， ∴四边形是平行四边形， 刚开始平移时，， ∴如图，当平移至时，， ∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，， ∴平移距离为：， 即平移个单位长度后是矩形，    继续平移，当与共线时， 此时，即四边形是菱形， 此时的总平移距离为， 即再平移个单位长度后是菱形；      综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形， 故选C． 7．（2025·江西九江·模拟预测）如图，等边的顶点与矩形的中心重合，若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，根据矩形和等边三角形的性质可得：，，，根据，即，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 等边的顶点与矩形的中心重合， ，，， ，即， ， 故答案为：． 8．（2026·江西吉安·一模）如图，菱形的面积为24，对角线，相交于点，且，过点作的平行线交的延长线于点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得、互相垂直平分，利用菱形的面积为24，建立方程可求出，由平行四边形的性质和判定可得四边形是平行四边形，进而得到，，最后在中利用勾股定理即可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即是直角三角形， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中． 故答案为：． 9．（2025·江西新余·模拟预测）如图，菱形的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的值为______． 【答案】 【分析】由作图知垂直平分，故．因菱形中，，，可得，进而，是等腰直角三角形．由等腰直角三角形性质得；又因，，用勾股定理算得．在中，根据正弦定义，代入得． 【详解】如图，连接，由作法得垂直平分， ∴， ， ∵，四边形是菱形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 10．（2025·江西新余·三模）把图1中周长为的菱形分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的弦图，且弦图中间的小正方形面积为，则菱形对角线与的和为______． 【答案】14 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理的运用，掌握菱形的性质，正确列式是关键． 设菱形中的较长的对角线为，较短的对角线为，结合勾股定理，完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴， 设菱形中的较长的对角线为，较短的对角线为， 由题意得：， 整理得：， ， ，（舍去）， ． 11．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_________ 【答案】或或 【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; ②当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或，如图： ，, , , ; 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 12．（2025·江西南昌·三模）如图， 在等边中，， 点D为上一点，， 点E是边上的动点，连接，以为边作正方形，当的长为整数时，正方形的面积为______． 【答案】1或4或9 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、动点问题、正方形的性质等知识点，正确添辅助线、确定的取值范围是解题的关键． 如图：过点D作于点H，连接，利用“直角三角形角所对的直角边是斜边的一半”求出的长度，再利用勾股定理求出、的长度，然后确定的取值范围，继而确定的整数值，最后求出正方形的面积即可． 【详解】解：如图：过点D作于点H，连接， ∵在等边中，，， ，， ∵ ∴， ，， ， ， 当点E在点H处时，的长最小，当点E在点B处时，的长最大， ， ，的长为整数， 的长为1或2或3， ∴正方形的面积为1或4或9． 故答案为：1或4或9． 13．（2026·江西上饶·二模）某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称．如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接． (1)求的度数． (2)判断的形状，并证明． 【答案】(1) (2)是等边三角形，证明见解析 【详解】（1）解：∵五个菱形全等 ∴ ∴， ∵ ∴； （2）解：是等边三角形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵B，C，D，E 四点在同一条直线上， ∴ ∵四边形是菱形 ∴设，则 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∵五个全等的菱形， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴是等边三角形． 14．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，垂足为E，F，G分别为边，的中点，连接，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， F，G分别为边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∴， ∵F为边的中点， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴． 15．（2026·江西吉安·二模）综合与实践 如图，在四边形中，是上一点，将四边形沿折叠，点B恰好落在射线上的点F处． (1)如图1，若四边形是正方形，延长交线段于点G，则与的数量关系是________． 类比探究 (2)如图2，若四边形是菱形，延长交线段于点G，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 拓展应用 (3)若四边形是菱形，直线交直线于点G，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍成立．证明见解析 (3)1或5 【详解】（1）解：四边形是正方形， ． 由折叠可得， ， ， ． （2）解：（1）中结论仍成立．证明如下： 四边形是菱形， ， ． 由折叠可得， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当点在线段上时． ∵， ∴； 由折叠的性质可得，， ∵， ∴ 由菱形的性质可得，， ， ， ， ， ∴， ． ②如图，当点在延长线上时． 由折叠的性质可得， 由菱形的性质可得，， ∵， ∴， ， ． ， ， 解得， ． 综上所述，的长为1或5． 16．（2026·江西九江·一模）综合与实践 如图1，正方形的顶点D在直线l上，点与点C关于直线l对称，直线与直线l交于点E，连接，，探究与的数量关系． 【特例感知】 (1)如图2，当，时，________°，________，________． 【猜想论证】 (2)垂直吗，请结合图1进行证明． (3)猜想与的数量关系，并结合图1进行证明． 【拓展应用】 (4)若正方形的边长为2，当时，求线段的长． 【答案】(1)；；； (2)垂直，证明见详解 (3)； (4) 或 ． 【详解】（1）解：连接，，， ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，, ∴,， ∴ 在正方形中, , , ∴, ∴. ∴ ∴ ∴, ∴. ∴， ∴ （2）解：设． 连接，，如图： ∵点与点C关于直线l对称， ∴，，，， ∴，． 在正方形中，，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ，即． （3）解：，证明如下： ， ， ，， ， 即， ， ， ， 又∵， ， ， ． （4）解：①当点在线段上时，连接，，如下图： ∵， ∴， 又， ，， ， ， 又正方形的边长为2， ∴， ， 又， ． ②当点在线段的延长线上时，连接，，如下图： 设， ∵， ∴ . 又， ∴ ， 同理（2）可得：， ∴ . 又 ，即 ， 同理（3）可得： ， ∴ 综上所述， 或 ． 押题猜想十一 圆中的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】（1）【课本再现】如图（1）所示，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）【知识应用】如图（2）所示，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）①见解析；②半径是，阴影部分的面积是 【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：如图，连接和， 和是的两条切线， ，． 又，． ， ，． （2）①证明：、、分别与相切于点、、， ∴同上可得：、分别平分、． 又． ． ． 又， ， 又经过半径的外端点， 是的切线． ②解：连接，则， ，， ∴， ∴， ， 即⊙O的半径为． ∴ 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，圆的综合问题是每年必考的几何核心板块，通常在解答题第18题至第21题位置出现，分值约8-10分，且呈现出鲜明的“以切线为核心”的考查趋势。考点趋势上，切线的判定与性质是绝对重心，几乎每年必考，同时深度融合圆周角定理及其推论（如直径所对圆周角为90°）、垂径定理构造的直角三角形、相似三角形的比例关系、解直角三角形以及弧长与扇形面积计算等内容。例如2024年江西中考以翻折为背景，将圆与动点问题结合考查分类讨论；2023年以圆内接四边形为背景，考查切线的证明与弧长计算；2025年则继续深化圆与相似三角形的综合应用。 押题理由在于该题型位置高度稳定、综合性强，能将几何推理、代数计算与分类讨论思想融为一体，是区分度的关键保障。押题依据是近五年江西中考真题中的圆的综合题从未缺席解答题，且均以“圆的切线+三角形相似或全等+解直角三角形”的三位一体结构呈现，预测2026年仍会延续这一模式。 押题秘笈：一是切线证明牢记两大思路——连半径证垂直（已知直线与圆有交点）或作垂线证半径（不知交点）；二是见到直径立即联想圆周角90°，构造直角三角形列勾股方程；三是垂径问题抓住“半径、半弦、弦心距”三边构造直角三角形求解；四是涉及动点或位置不确定时要分类讨论，务必验证解的合理性。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江西·模拟预测）已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆中弦长的定义，解题的关键是理解弦的定义．根据弦的定义：圆上任意两点之间的距离为弦长，最大的弦为直径，即可求解． 【详解】解：的半径为， 的直径为， 是的弦， ， 弦的长不可能为， 故选：A． 2．（2026·江西南昌·一模）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理结合直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴. 3．（2026·江西九江·一模）如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，利用弧、弦、圆心角的关系即可得的度数． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 4．（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据即可判断A正确；连接，，，先证出，再根据三角形的三边关系可得，由此即可判断B错误；在上截取点，使得，连接，，，，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可判断C正确；先求出，再根据圆周角定理可得，由此即可判断D正确． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，则选项A正确； 如图，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下： ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，则选项D正确； 故选：B． 5．（2025·江西萍乡·二模）如图，正六边形的边长是，连接，是上的动点，连接，．若的值是整数，则点的位置有（    ） A．3处 B．5处 C．7处 D．9处 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形，轴对称的性质，勾股定理等知识的综合，掌握正多边形，勾股定理的运用是关键． 根据正多边形的性质，轴对称的性质得到点从运动时 ，的取值范围为，由此即可求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，点关于的对称点为点，每个内角的度数为， 如图所示，连接，交于点，连接，设交于点， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∴，， 当点三点共线时，的值最小，最小值为， 点从运动时 ，的取值范围为， ∵， ∴整数值为，共3个， 故选：A ． 6．（2025·江西抚州·二模）如图，边长为4的正方形中，半径为1的⊙在正方形内平移（⊙可以与该正方形的边相切），设点到⊙上的点的距离为，且是整数，则的值所有情况有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解；当与AB，BC相切时，连接，证明出是正方形，利用性质求解；当与，相切时，切点分别为G，H，连接，，利用同样的方法进行求解即可． 【详解】解：如图1，当与，相切时，切点分别为E，F，连接． 由题意易得四边形是正方形，． 的半径为1，， ∴点到上的点的距离的最小值为． 如图2，当与，相切时，切点分别为G，H，连接，， 由题意易得四边形是正方形，．， ∴点B，O，D三点共线． 的半径为1， ∴， ， ∴点到上的点的距离的最大值为． ，， ∴x的取值可能是1，2，3，4，5，共有5种， 故选：C． 7．（2026·江西九江·一模）如图，正六边形内接于，的半径为10，则这个正六边形的边心距的长为__________． 【答案】 【分析】连接，根据六边形是内接正六边形得出，进而根据三角函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵六边形是内接正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2026·江西新余·一模）如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 9．（2026·江西上饶·一模）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则_______________． 【答案】/68度 【分析】连接，由圆的内接四边形的性质可得，进而可得，再根据切线长定理可得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 即， ，是的切线，切点为，， ， ， ． 10．（2026·江西上饶·二模）如图，从一个半径为1的圆形铁皮中剪出一个圆心角为的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径是_______． 【答案】 【分析】连接，由题意易得为的直径，即，然后根据弧长公式及圆锥的特征进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴为的直径，即， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得， 解得， 即该圆锥的底面圆的半径为． 11．（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为______________． 【答案】 【分析】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定和性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的周长比为，则正方形的周长为8，得到正方形的边长为2，用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的周长比为， ∵正方形周长为4， ∴正方形的周长为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为， 故答案为：． 12．（2025·江西宜春·模拟预测）已知为的半径，是的弦，且，，点P在上，若点P到直线的距离为2，则的度数为_________． 【答案】或或 【分析】作于H，由垂径定理得，根据三角函数的定义可得，．由点P在上，且点P到直线的距离为2，可知满足条件的P点有3个．延长交于，过点O作直线交于，．根据等腰三角形的性质分别求解即可解决问题． 本题考查圆垂径定理、等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作于H， 则， ∵， ∴， ∴． ∵点P在上，且点P到直线的距离为2， ∴满足条件的P点有3个． 延长交于，此时， 过点O作直线交于，，此时，到直线的距离为2． 连接，，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 13．（2026·江西上饶·一模）如图，在中，线段过圆心O交于点E，F，过点A作的切线，切点为点C，连接并反向延长交于点D，连接，已知，点O为的中点，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：与相切．理由如下： ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线， 即与相切． （2）解：∵，点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14．（2026·江西上饶·三模）如图，是的弦，点C是外一点，，交于点P，交于点D，直线与相切，连接． (1)求证：； (2)若，，点E是优弧上一动点（不与点B，D重合），连接，当的面积最大时．求： ①的长； ②图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【详解】（1）解：∵直线与相切， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①∵，， ∴，， ∵，则， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， 当的面积最大时，点E到的距离最大，即点E为优弧的中点，如图所示， ∴，， ∴为等边三角形，此时， ∴． ②由①可知，， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积． 15．（2026·江西萍乡·一模）如图，为的直径，为上的一点，连接，点在的延长线上，且满足，过点作交的延长线于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：连接，则 ， 为的直径， 即， 又 为的切线； （2）证明：连接，则， ， 与相切于点 ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ； （3）解：（3）由（2）可知， 为的直径 ， ； 16．（2026·江西南昌·一模）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，为半径画半圆，分别与，相交于点D，E，过点E作，垂足为F． (1)求证：是半圆O的切线； (2)已知，，如图2，当与半圆O相切于点G时． ①求半圆O的半径； ②求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①4；② 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半圆O的切线； （2）解：①如图，连接， 与半圆O相切于点G， ， 是直角三角形， ， 设，则，， ， ， ， ， ， 即半圆O的半径为4； ②连接， ， 四边形为矩形， ， 矩形为正方形， ，， 由①知：半圆O的半径为4， 阴影部分的周长为：． 押题猜想十二 几何图形中的课本再现的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】综合与实践 课本再现 如图1，的对角线相交于点是等边三角形，且． （1）求的面积． 拓展延伸 （2）如图2，M是边上一点，连接，过点O作，与直线交于点N，连接． ①若，求的长； ②求面积的最小值． （3）在（2）的条件下，若，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）若的长为或 【分析】（1）由题意得，则有，然后可得四边形是矩形，进而可得，最后问题可求解； （2）①过点O分别作与的垂线，垂足分别为，由题意得四边形是矩形，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解； ②由①可知，，则有，然后可得当的值最小时，即时，的面积最小，进而问题可求解； （3）由（2）可知，则有，然后可分当点N在线段上时，当点N在的延长线上时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形，是等边三角形， ， ， 是矩形． ， ， 在中，， ； （2）①如图1，过点O分别作与的垂线，垂足分别为． 由（1）可知是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ， 又， ， ， 又， ， ，即， ； ②由①可知，， ，即， ， ， 当的值最小时，即时，的面积最小， 如图2，此时， 面积的最小值为； （3）由（2）可知， ，即， ， ． 如图3，当点N在线段上时，， ． ， ． 如图4，当点N在的延长线上时，， ． ， ，即， ， ． 综上所述，若的长为或． 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，“课本再现”是几何综合压轴题的固定创制题型，自2021年起在第23题位置稳定考查，分值12分。该题型以课本定理、例题或习题为蓝本，通过变换条件与图形，要求考生运用类比、迁移等方式进行探究。考点趋势呈现“定理证明+类比迁移+拓展应用”的三段式结构，如2022年从三角形内角和定理的拼图证明，迁移到四边形中互余角的处理，再拓展到复杂图形中的线段求值；2023年、2024年则围绕圆、相似三角形、特殊四边形等核心知识展开。押题理由在于该题型能破除机械刷题，真正考查“源于教材、高于教材”的迁移能力。押题秘笈：一是深挖教材，吃透每个定理的证明过程与核心思想；二是建立“原题–变式”的类比思维，找准迁移的对应关系。 终极猜想·精练通关 1．（2024·江西南昌·模拟预测）课本再现 推论  直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 知识应用 （2）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心作的平行线交的延长线于点，若，求的长． 【答案】（1）直角；（2）①见解析；②． 【分析】（1）根据圆周角定理即可解答； （2）①由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论； ②根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，，在中，根据勾股定理求出，据此即可求解． 【详解】（1）解：直径所对的圆周角是直角； 故答案为：直角； （2）①证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； ②解：， ， ，， ， 设，则，， ， 是直角三角形， 在中，， ， 解得，（舍去），或， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键． 2．（2025·江西九江·三模）追本溯源 题（1）来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，且．求证：的周长等于． (2)如图2，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，可得，，再进一步求解即可； （2）先证明，，可得，，结合，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为 ． （2）解：在中，，，， ∴，， ∵的平分线交于点，的平分线交于点． ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的判定等腰三角形是解本题的关键． 3．（2025·江西·模拟预测）追本溯源 题（1）来自于课本中的练习，请你完成解答，并利用（1）中的结论完成题（2）． (1)如图1， 是的弦，半径 求 的面积． 结论应用 (2)如图2，点A，B，P在半径为的上， ，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积公式以及圆周角定理．解题关键是熟练掌握圆周角定理． （1）作垂线，将分两个直角三角形，利用直角三角形性质求、，再用面积公式计算． （2）由圆周角定理得，求扇形面积，减去（1）中面积的阴影面积． 【详解】（1）解：如图1，过点 O 作(于点 C， 由勾股定理得， ∴的面积 ． （2）如图2，点O 为的圆心，连接，， ∵， ∴， ， 由(1)可得的面积， ． 4．（2025·江西·模拟预测）综合与实践 【课本再现】 （1）如图1，的和的平分线相交于点G． ①若，则_______； ②求证：． 【数学思考】 （2）如图2，中的平分线与其外角的平分线交于点O，猜想与之间的数量关系，并给予证明． 【问题解决】 （3）如图3，菱形的顶点在上，与相交于点为的中点，若，求的值． 【答案】（1）①； ②见详解；（2）； 证明见详解；（3） 【分析】（1）①根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可求出；②根据角平分线的性质定义可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可证明； （2）根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形外角的性质得到和，最后对角度进行等价代换即可． 根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形的（3）连接，设与交于点，由四边形是菱形，得，由，，可得，，，，进而可推出， ，，，，证明，进而可得 ，，即可求解． 【详解】(1)解：①， 理由：∵，的平分线相交于点， ，， ， ， ， 故答案为：； ②证明：∵，的平分线相交于点， ，， ， ； (2)解：； 证明： 平分，平分， ，， ， ． （3）解：连接，设与交于点， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (舍负)， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、同弧所对的圆周角相等、相似三角形的性质和判定、菱形的性质等知识点，灵活运用等量代换思想是解题关键． 5．（2025·江西·模拟预测）逐本溯源：题（1）是选自数学课本中的一道拓广探索题，请你完成解答，总结方法并完成题（2）． （1）如图1，四边形是正方形．是上的任意一点，于点，，且交于点，求证：． 举一反三 （2）如图2，四边形是菱形．是上的任意一点，，且交于点． ①题（1）中的结论在以上条件下______（填“成立”或“不成立”）； ②若，菱形的高为，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明过程见详解；（2）①不成立，理由见详解；② 【分析】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据正方形的性质，垂直的定义，平行线的性质证明，得到，即可求解； （2）①根据菱形的性质判定即可；②根据题意得到，则，，得到，根据菱形的面积即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①不成立，理由如下， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵的数量关系无法确定， ∴缺少条件证明与全等， ∴， ∴题（1）中的结论在以上条件下不成立； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，即， 解得，， ∴， ∴． 6．（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①是，18；② 【分析】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质和判定，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）设，则，，，列方程即可求解，进而可求相关线段的长； （2）①根据切线长定理即可证明结论；②由证明，即可求解． 【详解】(1)设，则，，． 由， 可得． 解得． ，，．     (2)①是．     与相切于点 P， ，． 的周长为 ．                  ②， ． 即 ， 解得 押题猜想十三 实物图中的解直角三角形综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】如图所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图是其瞬间的几何示意图，机器人的一条腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点，是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，， 求： (1)__________． (2)若小腿长，求的长．（结果保留根号） (3)求点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （）连接，由题意得，， 即得，再利用勾股定理解答即可求解； （）过点作交延长线于，可得，解直角三角形可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图，连接， 由题意得，， ∵机器人两条腿长度一致， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的长为； （3）解：如图，过点作交延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：点距离地面的高度约为． 分析有理·押题有据 近5年江西中考数学真题中，实物图中的解直角三角形综合问题是每年必考的创新题型，通常在解答题第19题至第21题位置出现，分值约8分，且呈现出高度稳定的“实物建模”趋势。考点趋势上，此类题的本质是从实物图抽象出几何模型，而“三角形模型”是最核心、最常考的载体——近5年真题中出现了4次（如2023年第19题、2021年第20题、2020年第20题、2019年第20题）。这些题目将生活中的测温枪、雕塑、建筑物、航行船等实物情境，通过作高或垂线转化为双直角三角形模型，再运用三角函数与方程思想求解高度、距离或角度。此外，也会出现四边形模型（需转化为三角形）或圆模型（结合垂径定理）的考查。 押题理由在于该题型是江西中考的特色创制题，题干常配以鲜活图片，考查学生将实际问题抽象为数学问题的应用意识，是区分中等及以上学生的关键题型。押题依据是近5年真题中解直角三角形实际应用从未缺席，且2022年、2021年均以“平行四边形性质+解直角三角形”组合题形式出现，预测2026年仍会延续实物情境下的双直角三角形模型。 押题秘笈：一是审图时务必从实物中抽象出直角三角形，无直角三角形则通过作垂线构造；二是双直角三角形问题常需设未知数列方程求解，注意选用原始数据避免累积误差；三是高度、距离计算务必精确到题目要求的位数并作答完整；四是熟悉仰角俯角、坡度坡比、方向角等专业术语的几何意义。 终极猜想·精练通关 1．（2025·江西上饶·三模）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻标杆的影长 ______尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．根据题意得：尺，尺，，在中，利用，可求出的值，即可求解． 【详解】解：根据题意得：尺，尺，， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 即第二时刻标杆的影长15尺． 故答案为：15 2．（2026·江西九江·二模）如图是一辆自卸式货车的主视示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转，货厢底部A，B两点在垂直方向上的距离与水平距离之比记作i，A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线的交点G可视为货厢的重心，测得．假设该车在平地上进行卸货作业（即为水平线）． (1)求货厢对角线的长； (2)卸货时发现，当两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】(1)； (2)不会发生上述事故，理由见解析． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵在中，，， ∴， 答：货厢对角线的长为； （2）解：不会发生上述事故，理由如下： 作，垂足为K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴该货车不会发生上述事故． 3．（2026·江西九江·一模）如图是立在海滩上的遮阳伞，伞柄与地面垂直，米，伞骨米， (1)求点到地面的距离 (2)有一高度为的小桌子（），已知此时太阳光线与水平方向的夹角为．太阳光刚好照到桌面边缘点处，求点到的距离（精确到0.1米） （参考数据：） 【答案】(1)2米 (2)1.2米 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ∵， ∴于点， ∴四边形是矩形， ∴； ∵米，于点，， ∴， ∴， 在中，（米）， ∵米， ∴（米） ∴米． （2）解：在中，（米）， 过点作于点，于点，则四边形、是矩形， ∴米，，， ∵米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， ∴米． 4．（2026·江西南昌·一模）某选手在练习打台球时，他将母球和目标球按图1所示的位置放置，击打母球，母球沿着图2所示的白色路线运动，图3是从图2中抽象出的示意图，边界，点，和，分别在边界和上，线段和相交于点．（台球的大小忽略不计） (1)求证：点到边界和的距离之比等于与之比； (2)已知边界和之间的距离为，洞宽，要使目标球顺利落袋，必须与相等，此时测得．求该选手让目标球顺利落袋时的度数．（参考数据：，，结果精确到．） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，并延长交于点， ， ，， 即点到边界和的距离分别是线段和的长， ， 点到边界和的距离之比等于与之比； （2）解：， ， ，， ， ， ， ，，，， ， 在中，， ， 是的一个外角， ． ． 5．（2026·江西赣州·一模）小明居住在安居工程小区，小区的左侧是乡村振兴大厦，右侧有一座人行桥，经过测量得到以下数据：如图，人行桥长120米，乡村振兴大厦点在点的正西方，点在点南偏西方向，点在点北偏西方向．（结果精确到整数，参考数据：，，，，，） (1)求桥东头与振兴大厦的水平距离的长； (2)已知测量点，，在同一水平面上，且点距离地面2米，在处测得振兴大厦顶端的仰角为；在处测得振兴大厦顶端的仰角为，求振兴大厦的高度． 【答案】(1)桥东头与振兴大厦的水平距离的长是279米； (2)振兴大厦的高度是47米． 【详解】（1）解：作， ，米， 在中，，， 米，米， ， 在中，， 米， （米）， ∴桥东头与振兴大厦的水平距离的长是279米； （2）解：设振兴大厦顶端为点， 依题意知米， ， 在中，， 米， 点距离地面2米，（米）， 振兴大厦的高度是47米． 6．（2026·江西吉安·二模）项目式学习 井冈山革命烈士纪念碑由基座、碑座和主碑三部分组成，主碑是用镀钛的不锈钢制作的，顶端的造型突出“山”的形状，远看如一团火焰．某综合与实践学习小组开展测量井冈山革命烈士纪念碑主碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量井冈山革命烈士纪念碑主碑高度 测量示意图    实施过程 如图，①用无人机在点C处测得纪念碑的最高点A的俯角及点A，C之间的距离； ②将无人机沿水平方向飞行到达点D，在点D处测得纪念碑主碑最低点B的俯角及点B，D之间的距离 测量数据 ①；②；③；④ 说明 图上所有点均在同一平面内，，交于点P，垂直于地面 (1)求证：． (2)根据活动报告，求井冈山革命烈士纪念碑主碑的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，过点A作于E， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在中，， ， 在中，， ， ． 7．（2025·江西赣州·一模）在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园外一栋建筑物的高度，同学们设计了两个测量方案，如下： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 测角仪、皮尺及两根的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 说明 为建筑物旁边的小楼 C，E，B在同一直线上，，为直立于地面的标杆 测量数据 从点D处测得A点的仰角为35°，． 从点D处测得A点的仰角为35°，从点F处测得A点的仰角为45°，． (1)根据以上数据请你判断，第_________小组无法测量出建筑物的高度； (2)请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出建筑物的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1)一 (2) 【详解】（1）解：∵第一组没有测量的长度， ∴第一组无法测量出建筑物的高度， 故答案为：一； （2）解：根据第二组的测量数据，如图，延长交于点G， 由题意可得：，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 在中，，即， ∴， 经检验，是所列分式方程的解， 则， ∴． 8．（2026·江西吉安·一模）为方便人们投放垃圾，某小区添置图1拉环型垃圾桶，图2是其简易图，N处是把手，，，是不具有弹性的绳子，A和M处装有滑轮．若把手N拉动，绳子通过滑轮可将桶盖绕转起，拉动过程中垃圾桶底部不会移动，足够高，不会与桶面发生碰撞，桶盖关闭时与地面平行．图3是此设施的截面图，其中，盖面的最大旋转角是，，，． (1)当桶盖从闭合旋转到最大角度时，把手N要拉动________； (2)求桶盖点B离地面的最大高度； (3)若桶盖在旋转过程中点B的对应点是，线段称为入口线，当旋转角从变成时，入口线增加了多少？（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)桶盖点B离地面的最大高度为 (3)入口线增加了 【详解】（1）解：桶盖从闭合状态旋转到最大角度，如图所示：到的运动轨迹为以点为圆心，为半径，从出发，转动至， ∴的长度即是点拉动的距离， 故根据弧长公式可得：把手N要拉动的距离为； （2）解：当运动到最大角度至时，过点作于点， 则桶盖点B离地面的最大高度为， 在中，， ∴， ∴， 故桶盖点B离地面的最大高度为； （3）解：如图，设旋转角为时点的对应点为，旋转角为时点的对应点为，过点作于点，令交于点，则入口线增加长度为， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故入口线增加了． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $