考点07 离散型随机变量的数字特征（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

考点07 离散型随机变量的数字特征 考点一：离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （3）均值的性质：若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则 考点二：离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … 则称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 题型一：求分布列的均值及均值性质 先根据分布列写出所有取值与对应概率，用均值公式E(X)=x₁p₁+x₂p₂+…+xₙpₙ直接计算；遇到线性变换Y=aX+b时，直接套用性质E(Y)=aE(X)+b，不用重新求分布列，计算更快捷。 【例1】（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可得，解得，故A错误，B正确; 由期望公式可得，故C正确; 错误. 故选：BC. 【例2】设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的取值为，因此的取值为，，对应概率分别为， 因此 . 因为，解得. 则，进而. 【变式1-1】若随机变量的可能取值为，且，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由题意得，解得， 故， 故选：B 【变式1-2】已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 【答案】/ 【详解】因为， 所以． 【变式1-3】随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C. 题型二：求实际问题中离散型随机变量的均值 先明确随机变量X的所有可能取值，再结合题意逐一算出每个取值的概率并列出分布列，严格按照均值定义公式计算，注意审题准确，不遗漏、不重复取值，确保概率和为1再计算。 【例3】一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸球，每次摸取 1 个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为，则的数学期望（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意知：的取值为， 故（第一次摸到红球）， （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）， （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）， （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）， 期望：， . 【例4】甲、乙两位围棋爱好者进行一场比赛，比赛规则如下：比赛最多进行局，先连续胜局者获胜，比赛结束；若局结束仍未有人连胜局，则胜局多者获胜．每局比赛结果相互独立，且没有平局，甲每局获胜的概率为． (1)求最多比赛局且甲获胜的概率； (2)记比赛决出胜负时的局数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列为 数学期望为 【分析】 【详解】（1）记“甲第局获胜”为事件，“最多比赛局且甲获胜”为事件， 则，，且、、、相互独立， ， 所以 . （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则， ， ， ， 所以的分布列如下表所示： 所以. 【变式2-1】掷一枚均匀的骰子2次，记出现的点数分别为a，b，令，则的数学期望＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】掷一枚均匀的骰子2次，共出现36个基本事件， 其中较小点数为1点的情况有：，共11种； 其中较小点数为2点的情况有：，共9种； 较小点数为3点的情况有：，共7种； 较小点数为4点的情况有：，共5种； 较小点数为5点的情况有：，共3种； 较小点数为6点的情况有：，共1种； 故 【变式2-2】现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（   ） 1 2 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知白球编号的可能取值为， （白球在4号，3个黑球从左侧3个抽屉选） （白球在5号，3个黑球从左侧4个抽屉选） （白球在6号，3个黑球从左侧5个抽屉选） 所以 【变式2-3】树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； (2)记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 . 【分析】 【详解】（1）记随机选择甲､乙､丙的事件分别为，进入第二轮的事件记为， 则， 由题意得， 所以 . （2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为 则 由题意得的所有可能取值为 则 . . 所以的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望为. 题型三：由离散型随机变量的均值求参数 【例5】已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质，得，所以； 所以的均值为 ，解得. 【例6】某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一个球得2分，没有投进得0分；在区每投进一个球得3分，没有投进得0分.学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立. (1)试分别估计甲在区、区投篮命中的概率； (2)若甲在区投3个球，在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区、区共投篮10次，且投篮得分的期望值不低于14分，求甲选择在区投篮的最多次数. 【答案】(1)， (2) (3)6次 【分析】 【详解】（1）甲在区投篮30次，投进20次，所以估计甲在区投篮进球的概率为； 甲在区投篮20次，投进10次，所以估计甲在区投篮进球的概率为. （2）由（1），知甲在区投篮进球的概率为，在区投篮进球的概率为. 甲在区投3个球，得分可能是0，2，4，6，在区投2个球，得分可能是0，3，6. 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有： 区2分区0分，概率为， 区4分区0分，概率为， 区4分区3分，概率为， 区6分区0分，概率为， 区6分区3分，概率为. 故甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率为. （3）由题意，知甲在区投篮一次得分的期望值是， 甲在区投篮一次得分的期望值是. 设甲在区投篮次，则甲在区投篮次，则总的期望值为，解得. 故甲选择在区投篮的次数最多是6次. 【变式3-1】设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】离散随机变量可能取的值为1，2，3， （）， 故的数学期望①， 而且② ①②联立方程组，，解得： 则. 故选：D 【变式3-2】已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） X 2 3 5 P a b 2b－a A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由离散型随机变量分布列的性质及期望公式可知：，解得. 故选：A. 【变式3-3】有，两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金元. (1)猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率； (2)若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求的值，使得张某先猜谜语和先猜谜语所获得的奖金期望相同. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）设张某仅猜对其中一道谜语为事件M，猜对A谜语为事件A，猜对B谜语为事件B 则. （2）设张某先猜A谜语获得的奖金为元，先猜B谜语获得的奖金为元， 则的取值分别是0，10，，的取值分别是0，，， ，，， 所以； ，，， 所以. 由得，解得. 题型四：求分布列的方差及方差性质 先算出均值E(X)，再用方差公式D(X)=Σ[xᵢ−E(X)]²pᵢ计算；熟练使用变形公式D(X)=E(X²)−[E(X)]²简化运算，遇到Y=aX+b时用性质D(Y)=a²D(X)，常数b不影响方差。 【例7】随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（   ） X 0 1 P a b A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故，故， 故，故. 【例8】若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，所以， ，， . 【变式4-1】已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【答案】B 【详解】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B. 【变式4-2】随机变量的概率分布为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为随机变量的概率分布为， 故得， 所以，，， 故, 又， 而， 故. 故选：B 【变式4-3】已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由分布列的性质和期望公式可得，解得， 所以离散型随机变量的分布列为 故， ，BCD都对，A错. 题型五：求实际问题中离散型随机变量的方差 【例9】甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】随机变量的所有可能值为2，3， ，， 当时，令， 则， ， 因此， 二次函数的开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以， 即的取值范围为. 【例10】《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 【答案】(1),，事件与事件不独立. (2) 0 1 3 5 ， 【分析】 【详解】（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得， 由条件概率公式可得， 因为，所以， 故事件与事件不独立. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：， 则， ， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 0 1 3 5 故. 方差 【变式5-1】（多选）赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品，被誉为＂中华名果＂．近年赣南脐橙受黄龙病影响，脐橙产品合格率有所降低．现有6个脐橙，其中有3个不合格产品，每次从中抽取1个且不放回，设为抽到第2件合格品时的抽取次数，则（    ） A．的取值为2，3，4，5 B．时，共有108种抽取顺序 C． D． 【答案】ABD 【详解】已知6个脐橙，其中有3个不合格产品，即合格品有3个， 每次从中抽取1个且不放回，所以要抽到第2件合格品时的抽取次数X的取值为2，3，4，5，故选项A正确. 当时，表示前3次抽取中有1个合格品和2个不合格品，第4次抽取的是合格品。 从3个合格品中选1个，有种选法;从3个不合格品中选2个，有种选法;前3次抽取的顺序有种排法，第四次抽合格品，此时剩2件合格品，有2种抽法. 根据分步乘法计数原理，抽取顺序共有=（种），故选项B正确. , 故选项C错误. ,故选项D正确. 故选：ABD. 【变式5-2】某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 【答案】(1)0.7 (2) (3)分布列见解析，数学期望为3，方差为8.5 【分析】 【详解】（1）每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率为. （2）由独立重复试验的概率可知，这五张抽奖券恰有一张获奖的概率为. （3）依题意可得的可能取值为0，2.5，5，10， 的分布列为 0 2.5 5 10 0.3 0.4 0.2 0.1 则， . 【变式5-3】某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率； （2）由题意知可能取值为0、1、2， ， 所以的期望， ， 题型六：两点分布的均值与方差 两点分布只有0和1两个取值，成功概率为p，直接套用结论E(X)=p、D(X)=p(1−p)，不用再列分布列推导；解题时先判断是否为两点分布，再代入公式快速得出结果。 【例11】设随机变量X服从两点分布，若，则（    ） A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 【答案】C 【详解】由两点分布可得， 解得； 因此期望值为， 所以. 故选：C 【例12】已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，而，则； ，同理， ， 因此. 故选：C 【变式6-1】抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，则______. 【答案】 【详解】由题知，服从两点分布，且， 所以. 故答案为：. 【变式6-2】随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有________________． 【答案】①②④ 【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以， 故， 因此，， ， 所以正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【变式6-3】在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则______. 【答案】20 【详解】因为，所以. 故答案为：20. 题型七、均值与方差在决策中的作用 两点分布只有0和1两个取值，成功概率为p，直接套用结论E(X)=p、D(X)=p(1−p)，不用再列分布列推导；解题时先判断是否为两点分布，再代入公式快速得出结果。 【例13】某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)游客选择网上购票更划算 【分析】 【详解】（1），即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． （2）由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 （3）通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 【例14】目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1. (1)若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列； (2)为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？ 【答案】(1)答案见解析 (2)同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题. 【分析】 【详解】（1）依题意，的可能取值为，，， 则，， ， 所以的分布列为 0 10 30 0.4 0.24 0.36 （2）当该同学先回答“拯救海洋”类问题时，由（1），得； 当该同学先回答“回收报废电力设备”类问题时，记为该同学的累计得分，则的可能取值为，，， ，， 因此， 因为，所以， 所以为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题. 【变式7-1】某大学舞蹈社有4名男生、2名女生，现要举办社团巡礼活动，拟从这6人中抽取2人参加巡礼活动中的相应比赛，比赛有“啦啦操”“健美操”“活力燃脂操”三项，被选中的人可以根据自身情况选择参加比赛的项数，具体如下： 参加一项的可能性 参加两项的可能性 参加三项的可能性 女生 0.5 0.5 0 男生 0 0.5 0.5 每参加1项比赛，社团的积分将增加100分. (1)在抽取的2人至少有1名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率； (2)求该舞蹈社团最终的积分为600分的概率； (3)现学校对参加比赛的社团提出两种嘉奖方案． 方案一：每个社团奖励“参与奖”400元； 方案二：对参加比赛的社团最后获得的积分以“1积分=1元”奖金进行兑换. 若你是舞蹈社社长，以获得的奖励金额的期望为决策依据，判断哪种方案比较有利. 【答案】(1)； (2)； (3)方案二更有利. 【分析】 【详解】（1）根据题意，设“抽取的2人至少有1名男生”为事件A，设“有女生参加比赛”为事件B. 则，， 利用条件概率公式，可得. （2）根据题意，该舞蹈社团最终的积分为600分，说明抽取的2人都是男生，且2人都参加了三项比赛，所求概率. （3）对于方案二，设参加比赛的社团最后获得的奖金为，则所有可能取值为200,300,400,500,600. 则， ， ， ， . 所以， 即获得的奖励金额的期望大于400，故方案二更有利. 【变式7-2】为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的三个位置分别投篮一次.在三个位置均投进得10分；在处投进，且在两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括三处均不投进）保底得4分.已知小王在三处的投篮命中率分别为，且在三处的投篮相互独立. (1)设为小王同学在第一轮比赛的得分，求的分布列和期望； (2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法.方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在处缩短投篮距离0.5米，但总得分会减少分.选手可以任选一种规则参加比赛.若小王在处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加.请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好. 【答案】(1)分布列见解析， (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）易知的可能取值为， ， ， ， 所以分布列为： 4 7 10 所以期望值. （2）选取方法2参加比赛，则小王同学得分的可能取值为， ， ， ， ， 当时，即，即时，选择方法1； 当时，即，即时，选择方法2； 当时，即，即时，选择两种方法都一样. 【变式7-3】魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一. (1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望； (2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为，小王在某局中若取胜，则他下一局比赛获胜的概率为，若负，则他下一局比赛获胜的概率为，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？ 【答案】(1)分布列见解析； (2)小王应选择“五局三胜制” 【分析】 【详解】（1）因为采用三局两胜制，所以的可能取值为， 表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负； 所以，， 所以的分布列为： 则的数学期望为. （2）若小王选择“三局两胜制”， 则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜； 则小王获胜的概率为； 若小王选择“五局三胜制”， 则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜； 则小王获胜的概率为 ， 因为， 所以小王应选择“五局三胜制”. 一、单选题 1．已知随机变量的分布列如下表所示，设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由随机变量的分布列可知， 因为，则，故D正确. 2．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【详解】由题可设，则，， 所以，解得. 所以. 3．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设甲总得分为，则的可能取值为， 在不考虑出牌顺序的前提下，甲、乙两人出牌共有种， 第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表， 甲得分 2 3 5 0分 4 6 10 2分 4 10 6 1分 6 4 10 2分 6 10 4 2分 10 4 6 1分 10 6 4 则， 则. 4．在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有99个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，活动规定从箱子中随机不放回地抽取奖券.若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券，则停止.求得抽奖次数的均值是（   ） A．49 B．49.5 C．50 D．50.5 【答案】D 【详解】当，表示第一次就抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为； 当，表示第一次抽到写有“谢谢参与”的奖券，第二次抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为； 以此类推，第次中奖概率； 所以的均值. 故选：D. 5．已知集合，现随机选取中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为，则随机变量的数学期望是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意可得的所有可能取值为， 随机选取集合中5个元素构成子集，有个子集， 集合中以正整数为最小数的5元子集共有个， 所以， 所以 . 6．已知随机变量的分布列如下（），则（    ） 0 1 2 0.2 A．若一定，随的增大先减小后增大 B．若一定，随的增大而减小 C．若一定，随的增大先增大后减小 D．不论，取何值，恒成立 【答案】A 【详解】由题可得，， 若一定，随的增大先减小后增大，A正确； 易知，则． 因为，所以，解得． 设，则，所以在单调递增，B，C错误； 因为，，所以，D错误． 故选：A 二、多选题 7．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由分布列的性质得，所以. 则离散型随机变量X的数学期望为，故A正确； 而，故B正确； 而方差为，故C正确； 可得，故D错误. 8．甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则， 从乙袋子中取出2个白球为事件B，则， 从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1， 则 ，故A错误，B正确； 所以， 则，故C正确，D错误. 三、填空题 9．已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则_____． 【答案】 【详解】因为，所以， 解得：． 故答案为： 10．为迎接国庆佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的4个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球，若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；若摸到两红球，可获得价值百元代金券；若摸到两白球，可获得价值百元代金券（，均为正整数）.已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者至多获得_________百元代金券. 【答案】18 【详解】设抽奖一次可获得百元代金券，则的所有可能取值为， 摸到一红球一白球的概率， 摸到两红球的概率， 摸到两白球的概率． 则的分布列如下： a b ，即，． 由题意知，运气最好者获得百元代金券， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最大值为18. 11．随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 【答案】2 【详解】由题意得：，解得：， 所以. 四、解答题 12．某班级体育课进行篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次只投1个球，每次投篮的结果相互独立.在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案：方案1：先在处投一球，以后都在处投：方案2：都在处投篮.已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为. (1)若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分的分布列和均值； (2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的概率更大？说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2)甲同学选择方案2通过初赛的可能性更大，理由见解析 【分析】 【详解】（1）设甲同学在A处投中为事件A，在处第i次投中为事件， 由已知得，，的取值为， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 0 2 3 4 所以的数学期望为. （2）设甲同学选择方案1通过初赛的概率为，选择方案2通过初赛的概率为， 则由（1）有：， 又， 所以，所以甲同学选择方案2通过初赛的可能性更大. 13．一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 14．竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动.2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲､乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一､二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞.已知甲､乙闯过第一关的概率分别为，闯过第二关的概率分别为，这支队伍闯过第三关的概率为0.5.活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关. (1)请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲､乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； (2)以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为，求的分布列与期望. 【答案】(1)甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为 (2) 0 1 2 3 0.2 0.32 0.24 0.24 【详解】（1）若甲闯第一关，乙闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为， 若乙闯第一关，甲闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为， 由于，则应该安排甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为. （2）由（1）知，安排甲闯第一关，乙闯第二关，而的可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.2 0.32 0.24 0.24 则. 15．某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 【答案】(1) (2)该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大 【分析】 【详解】（1）解：记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件， 则 所以. （2）解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 4 0.1 0.16 0.1 0.64 所以 当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 6 0.1 0.4 0.25 0.25 所以， 因为，即， 所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点07 离散型随机变量的数字特征 考点一：离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （3）均值的性质：若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则 考点二：离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … 则称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 题型一：求分布列的均值及均值性质 先根据分布列写出所有取值与对应概率，用均值公式E(X)=x₁p₁+x₂p₂+…+xₙpₙ直接计算；遇到线性变换Y=aX+b时，直接套用性质E(Y)=aE(X)+b，不用重新求分布列，计算更快捷。 【例1】（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A． B． C． D． 【例2】设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 【变式1-1】若随机变量的可能取值为，且，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 【变式1-3】随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：求实际问题中离散型随机变量的均值 先明确随机变量X的所有可能取值，再结合题意逐一算出每个取值的概率并列出分布列，严格按照均值定义公式计算，注意审题准确，不遗漏、不重复取值，确保概率和为1再计算。 【例3】一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸球，每次摸取 1 个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为，则的数学期望（ ） A． B． C． D． 【例4】甲、乙两位围棋爱好者进行一场比赛，比赛规则如下：比赛最多进行局，先连续胜局者获胜，比赛结束；若局结束仍未有人连胜局，则胜局多者获胜．每局比赛结果相互独立，且没有平局，甲每局获胜的概率为． (1)求最多比赛局且甲获胜的概率； (2)记比赛决出胜负时的局数为，求的分布列与期望． 【变式2-1】掷一枚均匀的骰子2次，记出现的点数分别为a，b，令，则的数学期望＝（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（   ） 1 2 3 4 5 6 A． B． C． D． 【变式2-3】树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； (2)记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 题型三：由离散型随机变量的均值求参数 【例5】已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 【例6】某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一个球得2分，没有投进得0分；在区每投进一个球得3分，没有投进得0分.学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立. (1)试分别估计甲在区、区投篮命中的概率； (2)若甲在区投3个球，在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区、区共投篮10次，且投篮得分的期望值不低于14分，求甲选择在区投篮的最多次数. 【变式3-1】设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） X 2 3 5 P a b 2b－a A． B． C． D． 【变式3-3】有，两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金元. (1)猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率； (2)若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求的值，使得张某先猜谜语和先猜谜语所获得的奖金期望相同. 题型四：求分布列的方差及方差性质 先算出均值E(X)，再用方差公式D(X)=Σ[xᵢ−E(X)]²pᵢ计算；熟练使用变形公式D(X)=E(X²)−[E(X)]²简化运算，遇到Y=aX+b时用性质D(Y)=a²D(X)，常数b不影响方差。 【例7】随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（   ） X 0 1 P a b A．1 B． C． D． 【例8】若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【变式4-2】随机变量的概率分布为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（    ） A． B． C． D． 题型五：求实际问题中离散型随机变量的方差 【例9】甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例10】《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 【变式5-1】（多选）赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品，被誉为＂中华名果＂．近年赣南脐橙受黄龙病影响，脐橙产品合格率有所降低．现有6个脐橙，其中有3个不合格产品，每次从中抽取1个且不放回，设为抽到第2件合格品时的抽取次数，则（    ） A．的取值为2，3，4，5 B．时，共有108种抽取顺序 C． D． 【变式5-2】某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 【变式5-3】某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 2 4 6 (1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）． 题型六：两点分布的均值与方差 两点分布只有0和1两个取值，成功概率为p，直接套用结论E(X)=p、D(X)=p(1−p)，不用再列分布列推导；解题时先判断是否为两点分布，再代入公式快速得出结果。 【例11】设随机变量X服从两点分布，若，则（    ） A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 【例12】已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 【变式6-1】抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，则______. 【变式6-2】随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有________________． 【变式6-3】在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则______. 题型七、均值与方差在决策中的作用 两点分布只有0和1两个取值，成功概率为p，直接套用结论E(X)=p、D(X)=p(1−p)，不用再列分布列推导；解题时先判断是否为两点分布，再代入公式快速得出结果。 【例13】某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【例14】目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1. (1)若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列； (2)为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？ 【变式7-1】某大学舞蹈社有4名男生、2名女生，现要举办社团巡礼活动，拟从这6人中抽取2人参加巡礼活动中的相应比赛，比赛有“啦啦操”“健美操”“活力燃脂操”三项，被选中的人可以根据自身情况选择参加比赛的项数，具体如下： 参加一项的可能性 参加两项的可能性 参加三项的可能性 女生 0.5 0.5 0 男生 0 0.5 0.5 每参加1项比赛，社团的积分将增加100分. (1)在抽取的2人至少有1名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率； (2)求该舞蹈社团最终的积分为600分的概率； (3)现学校对参加比赛的社团提出两种嘉奖方案． 方案一：每个社团奖励“参与奖”400元； 方案二：对参加比赛的社团最后获得的积分以“1积分=1元”奖金进行兑换. 若你是舞蹈社社长，以获得的奖励金额的期望为决策依据，判断哪种方案比较有利. 【变式7-2】为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的三个位置分别投篮一次.在三个位置均投进得10分；在处投进，且在两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括三处均不投进）保底得4分.已知小王在三处的投篮命中率分别为，且在三处的投篮相互独立. (1)设为小王同学在第一轮比赛的得分，求的分布列和期望； (2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法.方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在处缩短投篮距离0.5米，但总得分会减少分.选手可以任选一种规则参加比赛.若小王在处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加.请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好. 【变式7-3】魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一. (1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望； (2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为，小王在某局中若取胜，则他下一局比赛获胜的概率为，若负，则他下一局比赛获胜的概率为，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？ 一、单选题 1．已知随机变量的分布列如下表所示，设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 2．为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 4．在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有99个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，活动规定从箱子中随机不放回地抽取奖券.若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券，则停止.求得抽奖次数的均值是（   ） A．49 B．49.5 C．50 D．50.5 5．已知集合，现随机选取中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为，则随机变量的数学期望是（    ） A． B． C． D．2 6．已知随机变量的分布列如下（），则（    ） 0 1 2 0.2 A．若一定，随的增大先减小后增大 B．若一定，随的增大而减小 C．若一定，随的增大先增大后减小 D．不论，取何值，恒成立 二、多选题 7．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 8．甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则_____． 10．为迎接国庆佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的4个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球，若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；若摸到两红球，可获得价值百元代金券；若摸到两白球，可获得价值百元代金券（，均为正整数）.已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者至多获得_________百元代金券. 11．随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 四、解答题 12．某班级体育课进行篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次只投1个球，每次投篮的结果相互独立.在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案：方案1：先在处投一球，以后都在处投：方案2：都在处投篮.已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为. (1)若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分的分布列和均值； (2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的概率更大？说明理由. 13．一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 14．竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动.2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲､乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一､二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞.已知甲､乙闯过第一关的概率分别为，闯过第二关的概率分别为，这支队伍闯过第三关的概率为0.5.活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关. (1)请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲､乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； (2)以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为，求的分布列与期望. 15．某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $