考点02 命题（6大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点02 命题 考点一：命题的概念 1.判断某一件事情的语甸命题。 2.命题的定义包含两层含义： （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。 考点二：命题的结构 许多命题由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题通常可写成“如果……，那么…”的形式，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论。 考点三：真命题与假命题 命题分真假命题，正确的命题称为真命题不正确的命题称为假命题要判断一个命题是真命题，可以 用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”． 考点四：互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个叫原命题，另一个叫逆命题。 题型一：命题的概念 判断一句话是不是命题，只看两点： （1）是不是陈述句 （2）能不能判断对或错． （1）疑问句、祈使句、感叹句一定不是命题； （2）不能判断真假的句子，不是命题； （3）只要能判断对错，哪怕是错的，也是命题． 【典例精讲】（2026春•陇南月考）下列语言叙述是命题的是（　　） A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 B．你喜欢陇南吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【变式训练1】（2026春•长安区校级月考）下列语句是命题的是（　　） A．作一个角等于已知角 B．负数小于正数吗？ C．连接A，B两点 D．﹣1是一个负数 【变式训练2】（2025秋•宝应县期末）下列语句不是命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．作∠ABC的角平分线 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．同角的余角相等 题型二：命题的构成 把命题改写成“如果……那么……”， （1）找条件（已知部分）； （2）找结论（推出部分）； （3）套句式. （1）不能生硬拆分，要补全主语； （2）不要把“条件”和“结论”写反. 【典例精讲】（2025秋•宝应县期末）将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”形式是 　 　 ． 【变式训练1】（2026春•临沂月考）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么...”的形式： 　 　． 【变式训练2】（2026春•松江区期中）“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 　 　 ． 题型三：真命题与假命题 判断真命题的方法： （1）看是不是定义、公理、定理 （2）能严格证明它永远成立 （3）找不到任何反例 判断假命题的方法： 只要能找到一个反例就够 原命题是真命题，逆命题不一定是真命题． 【典例精讲】（2026春•闵行区期中）下列命题中是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．两点之间线段最短 D．同位角相等 【变式训练1】（2026春•天山区校级期中）下列语句中真命题的个数是（　　） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”是真命题； ③若a⊥b，a⊥c，则b∥c； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（2026春•永寿县校级月考）下列命题是假命题的是（　　） A．等边三角形的三个角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．三角形的外角等于两个内角的和 D．三角形的中线是线段 题型四：举反例 满足条件，但不满足结论，只要找到一个这样的例子，命题就是假命题。 （1）先把命题写成：如果……，那么…… （2）抓住条件，想一个符合条件的例子 （3）看这个例子结论是否不成立 （4）写出来：反例：……，满足……，但不满足……，所以是假命题。 （1）举的例子，既不满足条件，也不满足结论； （2）数字乱选，结果碰巧对了，其实命题是假命题． 【典例精讲】（2025秋•成都期末）举反例说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题时，可举的反例是（　　） A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝2，b＝0 C．a＝0，b＝﹣2 D．a＝2，b＝1 【变式训练1】（2025秋•成都期末）举反例说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题时，可举的反例是（　　） A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝2，b＝0 C．a＝0，b＝﹣2 D．a＝2，b＝1 【变式训练2】（2025秋•锦州期末）下列选项中，可以用来说明命题“若x2＞4，则x＞2”是假命题的是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3 题型五：互逆命题 满足条件，但不满足结论，只要找到一个这样的例子，命题就是假命题。 （1）把原命题写成“如果……那么……” （2）直接交换条件和结论 （3）分别判断原命题、逆命题的真假。 （1）改写逆命题时，只换一半，不换完整； （2）主语、数量词漏掉，语句不通； （3）误以为：原命题真，逆命题一定真； （4）带“都、是、一定”的命题，逆命题不会改； （5）多个条件时，只换一个条件． 【典例精讲】（2025秋•盘龙区期末）下列命题，逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若x＝y，则x2＝y2 D．全等三角形的对应角相等 【变式训练1】（2025秋•盘龙区期末）下列命题，逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若x＝y，则x2＝y2 D．全等三角形的对应角相等 【变式训练2】（2025秋•龙潭区校级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．若a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等 C．同位角相等，两直线平行 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 题型六：根据给出的论断组命题并证明 （1）审题：拆解题干论断 （2）组命题：写成标准“已知→求证”格式 （3）找思路：从结论倒推 （4）写证明：规范书写 （1）不要漏条件：组命题时必须把所有论断写进“已知”； （2）不要跳步：证明每一步必须有依据； （3）不要循环论证：不能用结论证结论； （4）几何题先画图，标上已知条件，思路会快很多． 【典例精讲】（2025春•句容市期末）如图，有下列三个条件：①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； （2）选择你写的一个真命题写出证明过程． 【变式训练1】（2025春•鼓楼区校级期中）如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，现有3个条件：①∠2＝∠3；②∠2+∠3＝90°；③BE∥DF． （1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　 　 　，结论是 　 　 ；（填序号） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程． 【变式训练2】（2025秋•顺德区期末）如图，点E、F分别在线段AB、CD上（不含端点）．连接EC、BF，EC、BF分别交AD于点G、H．有四个信息：①∠A＝∠D，②∠B＝∠C，③AB∥CD，④EC∥BF．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． （1）你选择的条件是 　 　，结论是 　 　 ；（填序号） （2）证明你构造的命题是真命题． 1．（2026春•霸州市月考）命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（　　） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．（2026•海门区校级模拟）下列命题中，是真命题的是（　　） A．若|a|＝|b|，那么a＝b B．如果ab＞0，那么a，b都是正数 C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．两条直线与第三条直线相交，同位角相等 3．（2025秋•揭东区期末）下列语句中，是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点不只有一条直线与已知直线平行 D．对于直线a，b，c，如果b∥a，c∥a，那么b∥c 4．（2026春•滨海新区校级月考）下列命题中，是真命题的有（　　） ①同位角相等；②对顶角相等；③同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l2∥l3，那么l1∥l3；④同一平面内，如果直线l1⊥l2，直线l2⊥l3，那么l1∥l2；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2025秋•东港市期末）下列命题中是假命题的是（　　） A．算术平方根等于本身的数是0和1 B．同旁内角相等，两直线平行 C．位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 D．若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 6．（2026春•松江区期中）对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”能证明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0 7．（2025秋•乾县校级期末）对于命题“若∠1+∠2＞90°，则∠1、∠2都大于45°”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝46°，∠2＝40° D．∠1＝40°，∠2＝60° 8．（2026春•同步）下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 9．（2025秋•惠城区校级期末）下列命题：①若|a|＞|b|，则a＞b；②直角三角形的两个锐角互余；③如果a＝0，那么ab＝0；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 10．（2026春•闽侯县期中）命题“两直线平行，同位角相等”是 　 　（填“真”或“假”）命题． 11．（2025秋•二七区期末）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 　 　． 12．（2026春•南岗区校级月考）命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”的题设为： 　 　 ． 13．（2025秋•临海市期末）要说明命题“如果a＝2，那么a2＝4．”的逆命题是假命题，可以举反例为 　 　． 14．（2026春•松江区期中）“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 　 　 ． 15．（2025秋•通州区期末）判断命题“如果a为有理数，那么|a|＝a是假命题，可以举出一个反例是 　 　． 16．（2025秋•淮北期末）把命题“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”改写成“如果…，那么…．”的形式为 　 　． 17．（2025秋•宁德期末）命题：如果a∥b，b∥c，那么a∥c．该命题的结论是 　 　 ． 18．（2025春•汶上县月考）命题“末尾数字是2的整数能被2整除”的条件是 　 　 ，结论是 　 　 ，逆命题是 　 　 ． 19．（2025秋•同步）下列语句中，哪些是命题？ （1）过点A作一条射线． （2）线段AB的长是5cm吗？ （3）如果ab＞0，那么a+b＞0． 20．（2025秋•同步）指出下列命题的条件与结论： （1）如果∠A＝∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等； （2）两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 21．（2025秋•同步）下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果a是整数，那么a是有理数； （2）如果a是有理数，那么a是整数． 22．（2025秋•同步）判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． （1）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）四边形的两条对角线相等； （3）若a＞b，则a2＞b2； （4）若两个有理数的和小于0，则这两个有理数的积也小于0． 23．（2025秋•嘉兴期末）已知命题“对于任意实数x，都有x2＞0”． （1）写出这个命题的逆命题． （2）判断原命题的真假，并说明理由． 24．（2026•山东校级开学）写出下列命题的逆命题． （1）同旁内角互补，两直线平行． （2）如果两个角是直角，那么这两个角相等． （3）能被4整除的数一定能被8整除． 25．（2025秋•兰州期末）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式： 　 　； （2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 26．（2025秋•同步）将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． （1）平行于同一条直线的两条直线平行； （2）两个有理数相乘，同号得正． 27．（2025秋•同步）说明“两个奇数的乘积仍为奇数”是真命题． 28．（2025春•锡山区期末）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E． 求证：AE⊥CE． 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC+ 　 　＝180°（ 　 　　 　 ）， ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， ∴，． ∴∠1+∠2＝ 　 　． ∵∠E+∠1+∠2＝180°（ 　 　　 　　 　 ）， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：　 　　 　　 　． 29．（2025秋•三原县期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，连接CE、BF、AD，AD分别交CE、BF于点G、H．有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 30．（2026春•浦东新区期中）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息： ①AC⊥BC； ②BC平分∠DCH； ③∠ACD＝∠DAC． 请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　　 ，结论是　　 ．（只要填写序号），并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 命题 考点一：命题的概念 1.判断某一件事情的语甸命题。 2.命题的定义包含两层含义： （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。 考点二：命题的结构 许多命题由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题通常可写成“如果……，那么…”的形式，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论。 考点三：真命题与假命题 命题分真假命题，正确的命题称为真命题不正确的命题称为假命题要判断一个命题是真命题，可以 用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”． 考点四：互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个叫原命题，另一个叫逆命题。 题型一：命题的概念 判断一句话是不是命题，只看两点： （1）是不是陈述句 （2）能不能判断对或错． （1）疑问句、祈使句、感叹句一定不是命题； （2）不能判断真假的句子，不是命题； （3）只要能判断对错，哪怕是错的，也是命题． 【典例精讲】（2026春•陇南月考）下列语言叙述是命题的是（　　） A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 B．你喜欢陇南吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【分析】命题是一个判断的语句，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，必须是一个完整的句子．据此逐一判断即可． 【解答】解：根据命题的概念是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，必须是一个完整的句子逐项分析判断如下： A、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对事件作出了判断，是命题，符合题意； B、“你喜欢陇南吗？”是疑问句，不是命题，不符合题意； C、“赶紧写作业！”是祈使句，不是命题，不符合题意； D、“画一条端点为A的射线”是指令，不是命题，不符合题意． 故选：A． 【变式训练1】（2026春•长安区校级月考）下列语句是命题的是（　　） A．作一个角等于已知角 B．负数小于正数吗？ C．连接A，B两点 D．﹣1是一个负数 【答案】D 【分析】判断一件事情的语句叫做命题，由此即可判断． 【解答】解：A、作一个角等于已知角是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题，故A不符合题意； B、负数小于正数吗？是疑问句，没有对一件事情作出判断，不是命题，故B不符合题意； C、连接A，B两点是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题，故C不符合题意； D、﹣1是一个负数对﹣1的属性作出了明确判断，符合命题的定义，故D符合题意． 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•宝应县期末）下列语句不是命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．作∠ABC的角平分线 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题． 【解答】解：A、C、D中的语句是命题，故A、C、D不符合题意； B、此语句不是命题，故B符合题意． 故选：B． 题型二：命题的构成 把命题改写成“如果……那么……”， （1）找条件（已知部分）； （2）找结论（推出部分）； （3）套句式. （1）不能生硬拆分，要补全主语； （2）不要把“条件”和“结论”写反. 【典例精讲】（2025秋•宝应县期末）将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”形式是 　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面． 【解答】解：写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【变式训练1】（2026春•临沂月考）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么...”的形式：　如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等　 ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 【分析】把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【解答】解：根据命题与定理的相关知识，把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 【变式训练2】（2026春•松江区期中）“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 　如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角　 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 【分析】根据逆命题定义把题设和结论互换得到逆命题． 【解答】解：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 题型三：真命题与假命题 判断真命题的方法： （1）看是不是定义、公理、定理 （2）能严格证明它永远成立 （3）找不到任何反例 判断假命题的方法： 只要能找到一个反例就够 原命题是真命题，逆命题不一定是真命题． 【典例精讲】（2026春•闵行区期中）下列命题中是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．两点之间线段最短 D．同位角相等 【答案】D 【分析】根据对顶角相等、平行公理的推论、两点之间线段最短、平行线的性质判断． 【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； C、两点之间线段最短，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（2026春•天山区校级期中）下列语句中真命题的个数是（　　） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”是真命题； ③若a⊥b，a⊥c，则b∥c； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线性质、对顶角性质、平行线判定、垂线的基本事实，逐一判断各命题真假，统计真命题个数即可． 【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题错误，是假命题． ②对顶角的性质为对顶角相等，因此“对顶角相等”是真命题，原命题正确，是真命题． ③该命题未限定在同一平面内，不在同一平面时，满足a⊥b，a⊥c，b与c不一定平行，原命题错误，是假命题． ④根据垂线的基本事实，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题正确，是真命题． 综上，真命题共有2个， 故选：B． 【变式训练2】（2026春•永寿县校级月考）下列命题是假命题的是（　　） A．等边三角形的三个角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．三角形的外角等于两个内角的和 D．三角形的中线是线段 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形中线的性质判断即可． 【解答】解：A、等边三角形的三个角相等都是60°，原命题是真命题，故不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余，原命题是真命题，故不符合题意； C、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，故符合题意； D、三角形的中线是线段，原命题是真命题，故不符合题意； 故选：C． 题型四：举反例 满足条件，但不满足结论，只要找到一个这样的例子，命题就是假命题。 （1）先把命题写成：如果……，那么…… （2）抓住条件，想一个符合条件的例子 （3）看这个例子结论是否不成立 （4）写出来：反例：……，满足……，但不满足……，所以是假命题。 （1）举的例子，既不满足条件，也不满足结论； （2）数字乱选，结果碰巧对了，其实命题是假命题． 【典例精讲】（2025秋•成都期末）举反例说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题时，可举的反例是（　　） A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝2，b＝0 C．a＝0，b＝﹣2 D．a＝2，b＝1 【答案】C 【分析】根据举反例的方法进行作答即可． 【解答】解：∵反例符合a＞b，a2≤b2， ∴C选项符合题意． 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•成都期末）举反例说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题时，可举的反例是（　　） A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝2，b＝0 C．a＝0，b＝﹣2 D．a＝2，b＝1 【答案】C 【分析】根据举反例的方法进行作答即可． 【解答】解：∵反例符合a＞b，a2≤b2， ∴C选项符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•锦州期末）下列选项中，可以用来说明命题“若x2＞4，则x＞2”是假命题的是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3 【答案】A 【分析】由平方的概念，求出x2的值，即可判断． 【解答】解：A、（﹣3）2＞4，﹣3＜2，可以用来说明命题“若x2＞4，则x＞2”是假命题，故A符合题意； B、（﹣1）2＜4，不可以用来说明命题“若x2＞4，则x＞2”是假命题，故B不符合题意； C、12＜4，不可以用来说明命题“若x2＞4，则x＞2”是假命题，故C不符合题意； D、32＞4，3＞2，不可以用来说明命题“若x2＞4，则x＞2”是假命题，故D不符合题意． 故选：A． 题型五：互逆命题 满足条件，但不满足结论，只要找到一个这样的例子，命题就是假命题。 （1）把原命题写成“如果……那么……” （2）直接交换条件和结论 （3）分别判断原命题、逆命题的真假。 （1）改写逆命题时，只换一半，不换完整； （2）主语、数量词漏掉，语句不通； （3）误以为：原命题真，逆命题一定真； （4）带“都、是、一定”的命题，逆命题不会改； （5）多个条件时，只换一个条件． 【典例精讲】（2025秋•盘龙区期末）下列命题，逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若x＝y，则x2＝y2 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【分析】根据逆命题的定义及真命题的判定作答即可． 【解答】解：A．逆命题：相等的角是对顶角，假命题，故本选项不符合题意； B．三边都相等的三角形都是等边三角形，真命题，故本选项符合题意； C．逆命题：若x2＝y2，则x＝y，假命题，故本选项不符合题意； D．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•盘龙区期末）下列命题，逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若x＝y，则x2＝y2 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【分析】根据逆命题的定义及真命题的判定作答即可． 【解答】解：A．逆命题：相等的角是对顶角，假命题，故本选项不符合题意； B．三边都相等的三角形都是等边三角形，真命题，故本选项符合题意； C．逆命题：若x2＝y2，则x＝y，假命题，故本选项不符合题意； D．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•龙潭区校级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．若a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等 C．同位角相等，两直线平行 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【分析】先写出原命题的逆命题，再判断命题的真假即可． 【解答】解：A、原命题的逆命题为：若a+b＞0，则a＞0且b＞0，但a+b＞0时，a和b不一定都大于0， 是假命题，不符合题意； B、原命题的逆命题为：相等的角都是直角，但相等的角不一定是直角，是假命题，不符合题意； C、原命题的逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，符合题意； D、原命题的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等，但平方相等的两个实数不一定相等，是假命题，不符合题意， 故选：C． 题型六：根据给出的论断组命题并证明 （1）审题：拆解题干论断 （2）组命题：写成标准“已知→求证”格式 （3）找思路：从结论倒推 （4）写证明：规范书写 （1）不要漏条件：组命题时必须把所有论断写进“已知”； （2）不要跳步：证明每一步必须有依据； （3）不要循环论证：不能用结论证结论； （4）几何题先画图，标上已知条件，思路会快很多． 【典例精讲】（2025春•句容市期末）如图，有下列三个条件：①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； （2）选择你写的一个真命题写出证明过程． 【分析】（1）根据题意写出命题； （2）根据平行线的判定和性质逐一证明． 【解答】解：（1）一共能组成三个命题， ①如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C； ②如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2； ③如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC； （2）如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C，是真命题， 理由如下：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C； 如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2，是真命题， 理由如下：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠1＝∠2； 如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC，是真命题， 理由如下：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC＝180°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠BAC， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， ∵∠1＝∠2，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠1， ∴DE∥BC． 【变式训练1】（2025春•鼓楼区校级期中）如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，现有3个条件：①∠2＝∠3；②∠2+∠3＝90°；③BE∥DF． （1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　①，③　 ，结论是　③，①　 ；（填序号） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程． 【分析】（1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【解答】解：（1）选择的条件是①，结论是③；或者选择的条件是③，结论是①； 故答案为：①，③或③，①； （2）选择的条件是①，结论是③，证明如下： ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°（垂线的定义）， ∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）， ∵∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3（已知）， ∴∠1+∠3＝90°（等量代换）， ∴∠1＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）． 【变式训练2】（2025秋•顺德区期末）如图，点E、F分别在线段AB、CD上（不含端点）．连接EC、BF，EC、BF分别交AD于点G、H．有四个信息：①∠A＝∠D，②∠B＝∠C，③AB∥CD，④EC∥BF．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． （1）你选择的条件是 　①②　 ，结论是 　④　 ；（填序号） （2）证明你构造的命题是真命题． 【分析】（1）根据题意即可得出答案； （2）根据内错角相等可得两直线平行，再根据平行线的性质可得∠B＝∠BFD，进而得出∠BFD＝∠C，最后根据同位角相等即可得出答案． 【解答】解：（1）条件为①②，结论为④． 故答案为：①②；④． （2）证明：∵∠A＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠B＝∠BFD， ∵∠B＝∠C， ∴∠BFD＝∠C， ∴EC∥BF． 1．（2026春•霸州市月考）命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（　　） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果． 【解答】解：该命题的题设是“同位角相等”． 故选：B． 2．（2026•海门区校级模拟）下列命题中，是真命题的是（　　） A．若|a|＝|b|，那么a＝b B．如果ab＞0，那么a，b都是正数 C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．两条直线与第三条直线相交，同位角相等 【答案】C 【分析】分别根据绝对值、有理数乘法符号规律以及平行线性质分析得出即可． 【解答】解：A、若|a|＝|b|，那么a＝b，或a＝﹣b，故此选项A错误； B、如果ab＞0，那么a，b都是同号，此选项B错误； C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项C正确； D、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等．选项中未指明两直线是否平行，故此选项D错误． 故选：C． 3．（2025秋•揭东区期末）下列语句中，是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点不只有一条直线与已知直线平行 D．对于直线a，b，c，如果b∥a，c∥a，那么b∥c 【答案】D 【分析】根据对顶角、同旁内角、平行线的性质逐项判断命题的真假即可． 【解答】解：A．相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，是假命题，故不符合题意； B．同旁内角只有在两直线平行时才互补，是假命题，故不符合题意； C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，故不符合题意； D．如果b∥a，c∥a，根据平行线的传递性，b∥c，是真命题，故符合题意． 故选：D． 4．（2026春•滨海新区校级月考）下列命题中，是真命题的有（　　） ①同位角相等；②对顶角相等；③同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l2∥l3，那么l1∥l3；④同一平面内，如果直线l1⊥l2，直线l2⊥l3，那么l1∥l2；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用平行线的性质及判定方法、对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②对顶角相等，正确，是真命题，符合题意； ③同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l2∥l3，那么l1∥l3，正确，是真命题，符合题意； ④同一平面内，如果直线l1⊥l2，直线l2⊥l3，那么l1∥l3，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 真命题有2个， 故选：C． 5．（2025秋•东港市期末）下列命题中是假命题的是（　　） A．算术平方根等于本身的数是0和1 B．同旁内角相等，两直线平行 C．位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 D．若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 【答案】B 【分析】由算术平方根的概念，平行线的判定方法，勾股定理的逆定理，点的坐标的概念，即可判断． 【解答】解：A、C、D中的命题是真命题，故A、C、D不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，故B符合题意． 故选：B． 6．（2026春•松江区期中）对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”能证明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0 【答案】A 【分析】根据实数的大小比较、实数的平方以及假命题的概念判断． 【解答】解：A、当a＝﹣2时，a＜1，而a2＞1， 说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，符合题意； B、当a＝2时，a＞1， 不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意； C、当a时，a＜1，而a2＜1， 不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意； D、当a＝0时，a＜1，而a2＜1， 不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意； 故选：A． 7．（2025秋•乾县校级期末）对于命题“若∠1+∠2＞90°，则∠1、∠2都大于45°”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝46°，∠2＝40° D．∠1＝40°，∠2＝60° 【答案】D 【分析】反例需满足∠1+∠2＞90°且至少有一个角不大于45°． 【解答】解：根据假命题的反例证明逐项分析判断如下： A、∠1+∠2＝90°，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； B、∠1+∠2＞90°，且∠1、∠2都大于45°，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； C、∠1+∠2＜90°，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； D、∠1+∠2＞90°，且∠1＜45°，可以说明它是假命题，故选项符合题意． 故选：D． 8．（2026春•同步）下列定理中，没有逆定理的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【分析】判断每个定理的逆命题是否为真命题，逆命题为假的定理没有逆定理． 【解答】解：A、逆命题内错角相等，两直线平行为真命题，有逆定理，不符合题意； B、逆命题对应边相等的三角形全等为真命题，有逆定理，不符合题意； C、逆命题相等的角是对顶角为假命题，没有逆定理，符合题意； D、逆命题两个锐角互余的三角形是直角三角形为真命题，有逆定理，不符合题意． 故选：C． 9．（2025秋•惠城区校级期末）下列命题：①若|a|＞|b|，则a＞b；②直角三角形的两个锐角互余；③如果a＝0，那么ab＝0；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项． 【解答】解：①若|a|＞|b|，则a＞b，错误，为假命题； 其逆命题为若a＞b，则|a|＞|b|，错误，为假命题，不符合题意； ②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题； 逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题，符合题意； ③如果a＝0，那么ab＝0，正确，为真命题； 其逆命题为若ab＝0，那么a＝0，错误，为假命题，不符合题意； ④互为相反数的两个数和为0，是真命题， 它的逆命题是：和为0的两个数互为相反数，是真命题，符合题意． 故选：B． 10．（2026春•闽侯县期中）命题“两直线平行，同位角相等”是　真　 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真． 【分析】根据平行线的性质判断命题的真假． 【解答】解：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题， 故答案为：真． 11．（2025秋•二七区期末）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 　如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等　 ． 【答案】如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等． 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”， 故答案为：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等． 12．（2026春•南岗区校级月考）命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”的题设为：　两条直线都与第三条直线平行　 ． 【答案】两条直线都与第三条直线平行． 【分析】命题可改写为“如果…，那么…”的形式，“如果”引出的部分为命题的题设，“那么”引出的部分为命题的结论．据此确定该命题的题设即可． 【解答】解：∵该命题“如果”引出的部分为“两条直线都与第三条直线平行”， ∴题设为：两条直线都与第三条直线平行． 故答案为：两条直线都与第三条直线平行． 13．（2025秋•临海市期末）要说明命题“如果a＝2，那么a2＝4．”的逆命题是假命题，可以举反例为a＝﹣2　 ． 【答案】a＝﹣2． 【分析】根据实数的平方、假命题的概念解答． 【解答】解：命题“如果a＝2，那么a2＝4．”的逆命题是“如果a2＝4，那么a＝2”， 当a＝﹣2时，a2＝4， 说明命题“如果a2＝4，那么a＝2”是假命题， 故答案为：a＝﹣2． 14．（2026春•松江区期中）“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 　如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角　 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 【分析】根据逆命题定义把题设和结论互换得到逆命题． 【解答】解：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 15．（2025秋•通州区期末）判断命题“如果a为有理数，那么|a|＝a是假命题，可以举出一个反例是a＝﹣3（a＜0即可）　 ． 【答案】a＝﹣3（答案不唯一）． 【分析】根据绝对值的定义，当a为负数时，|a|＝﹣a≠a，因此命题不成立． 【解答】解：∵当a＝﹣3时，|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3≠﹣3， ∴当a＝﹣3时符合条件，不符合结论， ∴原命题是假命题． 故答案为：a＝﹣3（答案不唯一）． 16．（2025秋•淮北期末）把命题“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”改写成“如果…，那么…．”的形式为 　如果一个点到线段两端距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上　 ． 【答案】如果一个点到线段两端距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上 【分析】将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论． 【解答】解：命题“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”改写成“如果…，那么…．”的形式为：如果一个点到线段两端距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上， 故答案为：如果一个点到线段两端距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上． 17．（2025秋•宁德期末）命题：如果a∥b，b∥c，那么a∥c．该命题的结论是a∥c ． 【答案】a∥c． 【分析】根据“那么”后面是结论作答即可 【解答】解：根据“那么”后面是结论可知： 该命题中，“如果a∥b，b∥c”是条件，“那么a∥c”是结论， 因此结论是a∥c． 故答案为：a∥c． 18．（2025春•汶上县月考）命题“末尾数字是2的整数能被2整除”的条件是　末尾数字是2的整数　 ，结论是　这个整数能被2整除　 ，逆命题是　能被2整除的数末尾数字是2　 ． 【答案】末尾数字是2的整数，这个整数能被2整除，能被2整除的数末尾数字是2． 【分析】逆命题就是将原命题的条件作为逆命题结论，将原命题的结论作为逆命题的条件．根据命题的条件和结论和逆命题的定义进行求解即可． 【解答】解：根据命题的条件和结论和逆命题的定义可知： 命题“末尾数字是2的整数能被2整除”的条件是末尾数字是2的整数，结论是这个整数能被2整除， 故答案为：末尾数字是2的整数，这个整数能被2整除，逆命题是能被2整除的数末尾数字是2． 19．（2025秋•同步）下列语句中，哪些是命题？ （1）过点A作一条射线． （2）线段AB的长是5cm吗？ （3）如果ab＞0，那么a+b＞0． 【分析】（1）根据命题的概念判断； （2）根据命题的概念判断； （3）根据命题的概念判断． 【解答】解：（1）过点A作一条射线，不是命题； （2）线段AB的长是5cm吗？不是命题； （3）如果ab＞0，那么a+b＞0，是命题． 20．（2025秋•同步）指出下列命题的条件与结论： （1）如果∠A＝∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等； （2）两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【答案】（1）条件为∠A＝∠B，结论为∠A的补角与∠B的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论； （2）先可以用“如果…那么…”形式表述命题，则如果后面为条件，那么后面为结论． 【解答】解：（1）条件为∠A＝∠B； 结论为∠A的补角与∠B的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． 21．（2025秋•同步）下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果a是整数，那么a是有理数； （2）如果a是有理数，那么a是整数． 【答案】是互逆命题，理由如下： 命题（1）的条件为“a是整数”，结论为“a是有理数”， 命题（2）的条件为“a是有理数”，结论为“a是整数”， 所以这两个命题是互逆命题． 【分析】根据互逆命题的定义进行判断即可． 【解答】解：是互逆命题，理由如下： 命题（1）的条件为“a是整数”，结论为“a是有理数”， 命题（2）的条件为“a是有理数”，结论为“a是整数”， 所以这两个命题是互逆命题． 22．（2025秋•同步）判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． （1）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）四边形的两条对角线相等； （3）若a＞b，则a2＞b2； （4）若两个有理数的和小于0，则这两个有理数的积也小于0． 【答案】（1）真命题； （2）假命题，反例：普通的平行四边形（非矩形），对角线长度不相等； （3）假命题，反例：当a＝0，b＝﹣2时，a＞b，但a2＝0，b2＝4，此时a2＜b2； （4）假命题，反例：两个有理数﹣2和﹣3，它们的和为﹣2+（﹣3）＝﹣5＜0，而它们的积为（﹣2）×（﹣3）＝6＞0． 【分析】一次判断四个命题的真假，对于假命题，通过举反例说明． 【解答】解：（1）真命题； （2）假命题，反例：普通的平行四边形（非矩形），对角线长度不相等； （3）假命题，反例：当a＝0，b＝﹣2时，a＞b，但a2＝0，b2＝4，此时a2＜b2； （4）假命题，反例：两个有理数﹣2和﹣3，它们的和为﹣2+（﹣3）＝﹣5＜0，而它们的积为（﹣2）×（﹣3）＝6＞0． 23．（2025秋•嘉兴期末）已知命题“对于任意实数x，都有x2＞0”． （1）写出这个命题的逆命题． （2）判断原命题的真假，并说明理由． 【答案】（1）若x2＞0，则x为实数； （2）假命题．当x＝0时，x2＝0，不满足x2＞0，因此原命题为假命题． 【分析】（1）先拆分原命题的结构：原命题“对于任意实数x，都有x2＞0”中，条件是“x是实数”，结论是“x2＞0”．再将条件与结论互换，即可得到逆命题． （2）原命题是全称命题，要证明它为假，只需找到一个满足条件（实数x）但不满足结论（x2＞0）的例子．如取x＝0，此时x2＝0，不满足x2＞0，由此可判定原命题为假． 【解答】解：（1）命题“对于任意实数x，都有x2＞0”的逆命题为“若x2＞0，则x为任意实数”； （2）原命题是假命题，理由： 当x＝0时，x2＝0，不满足x2＞0，因此原命题为假命题． 24．（2026•山东校级开学）写出下列命题的逆命题． （1）同旁内角互补，两直线平行． （2）如果两个角是直角，那么这两个角相等． （3）能被4整除的数一定能被8整除． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补； （2）如果两个角相等，那么这两个角是直角； （3）如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除． 【分析】（1）把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题； （2）把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题； （3）把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：（1）同旁内角互补，两直线平行，逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”； （2）如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”； （3）能被4整除的数一定能被8整除，逆命题是“如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除”． 25．（2025秋•兰州期末）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：　在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　 ； （2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． （2）见解析． 【分析】（1）如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，由此即可得到答案； （2）画出图形，由题意即可写出已知和求证，由垂直的定义得到∠CMN＝∠ENB＝90°，由同位角相等，两直线平行推出CD∥EF． 【解答】解：（1）命题改写成“如果，那么”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． （2）如图，已知：CD⊥AB于M，EF⊥AB于N， 求证：CD∥EF， 证明：∵CD⊥AB于M，EF⊥AB于N， ∴∠CMN＝∠ENB＝90°， ∴CD∥EF． 26．（2025秋•同步）将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． （1）平行于同一条直线的两条直线平行； （2）两个有理数相乘，同号得正． 【答案】（1）“如果…，那么…”的形式：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行，条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行． （2）“如果…，那么…”的形式：如果两个有理数相乘，且这两个有理数同号，那么它们的积为正，条件：两个有理数相乘，且这两个有理数同号，结论：它们的积为正． 【分析】（1）找出命题的条件和结论，进而得出答案； （2）找出命题的条件和结论，进而得出答案． 【解答】解：（1）“如果…，那么…”的形式：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行，条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行． （2）“如果…，那么…”的形式：如果两个有理数相乘，且这两个有理数同号，那么它们的积为正，条件：两个有理数相乘，且这两个有理数同号，结论：它们的积为正． 27．（2025秋•同步）说明“两个奇数的乘积仍为奇数”是真命题． 【答案】设两个奇数分别为2n﹣1和2n+1， ∵（2n﹣1）（2n+1）＝4n2﹣1， ∵4n2是偶数， ∴4n2﹣1是奇数， ∴“两个奇数的乘积仍为奇数”是真命题． 【分析】设两个奇数分别为2n﹣1和2n+1，计算（2n﹣1）（2n+1）＝4n2﹣1，于是得到结论． 【解答】解：设两个奇数分别为2n﹣1和2n+1， ∵（2n﹣1）（2n+1）＝4n2﹣1， ∵4n2是偶数， ∴4n2﹣1是奇数， ∴“两个奇数的乘积仍为奇数”是真命题． 28．（2025春•锡山区期末）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E． 求证：AE⊥CE． 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC+　∠ACD ＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）， ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， ∴，． ∴∠1+∠2＝ 　90°　 ． ∵∠E+∠1+∠2＝180°（ 　三角形内角和定理　 ）， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：　两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直　 ． 【答案】∠ACD；两直线平行，同旁内角互补；90°；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 【分析】由平行线的性质推出∠BAC+∠ACD＝180°，由角平分线定义得到∠1+∠2＝90°，由三角形内角和定理求出∠E＝90°，即可证明AE⊥CE，由以上证明即可得到一个真命题． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， ∴∠1∠BAC，∠2∠ACD， ∴∠1+∠2＝90°． ∵∠E+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°， ∴AE⊥CE． 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 故答案为：∠ACD；两直线平行，同旁内角互补；90°；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 29．（2025秋•三原县期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，连接CE、BF、AD，AD分别交CE、BF于点G、H．有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【解答】解：（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）第一种情况： 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C， 求证：AB∥CD． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠C， ∴AB∥CD； 第二种情况： 已知：∠B＝∠C，AB∥CD， 求证：∠1＝∠2． 证明：如图， ∵AB∥CD ∴∠AEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠B， ∴EC∥BF， ∴∠3＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2； 第三种情况： 已知：∠1＝∠2，AB∥CD， 求证：∠B＝∠C． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， ∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠C， ∴∠B＝∠C， 30．（2026春•浦东新区期中）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息： ①AC⊥BC； ②BC平分∠DCH； ③∠ACD＝∠DAC． 请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　①②　 ，结论是　③　 ．（只要填写序号），并说明理由． 【分析】根据角平分线定义，平行线的性质，垂直定义逐一求解即可． 【解答】解：条件：①②，结论：③，理由如下： ∵BC平分∠DCH， ∴∠BCD＝∠BCH， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ACG+∠ACD+∠BCD+∠BCH＝180°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACD＝∠ACG， ∵EF∥GH， ∴∠ACG＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， 故答案为：①②，③． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $