考点01 定义（4大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点01 定义 考点一：定义的概念 对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义（definition），有时也说“给概念下定义”，根据概念的定义，就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念。 考点二：画示意图 许多概念之间都是有关系的，如单项式都属于整式，整式都属于代数式，数学中常用如图所示的方法直观地表达这种从属关系。 题型一：定义的概念 判断一个句子是不是数学定义，核心就看一句话：它是不是在给某个名词下“专属规定”． （1）一般有“叫做 / 称为 / 是指 / 定义为”这类词； （2）前后可以互换，意思不变； （3）用来第一次明确一个概念是什么． （1）什么特点、满足什么条件一般是性质或判定； （2）不能把举例，计算当作定义． 【典例精讲】（2025秋•南阳月考）下列语句中，属于定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】定义是描述概念或术语含义的语句，据此逐项判断即可． 【解答】解：A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； B、同角的余角相等，不是定义，不符合题意； C、组成三角形的三条线段叫三角形的边，是定义，符合题意； D、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•梅县区期末）在下列句子中，是定义的是（　　） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 【答案】B 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项B明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【解答】解：根据定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述可知： 选项B中有一个角是直角的三角形叫做直角三角形符合定义的特征； ∴选项B是定义，符合题意； 其他选项A、C为操作指令，选项D为疑问句，均不是定义．均不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•淮北期末）下列句子中，是定义的是（　　） A．在正数前面加上符号“﹣”的数是负数 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】根据什么是定义判断即可． 【解答】解：A、在正数前面加上符号“﹣”的数是负数，是定义，符合题意； B、a，b两条直线平行吗，不是定义，不符合题意； C、画一个角等于已知角，不是定义，不符合题意； D、过一点画已知直线的垂线，不是定义，不符合题意； 故选：A． 题型二：画示意图 先确定各概念的从属关系，再用圆圈嵌套表示层级关系. 对给定的概念从属关系搞不清. 【典例精讲】设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形． 根据概念就可找到它们之间的关系． 【解答】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•滨江区期末）若用A表示有理数，B表示无理数，C表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【解答】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示分数，则能正确表示它们之间关系的是． 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•新市区校级期中）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示不等边三角形．则下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系． 【解答】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选：B． 题型三：下定义 熟练掌握各概念． 对各概念模糊不清． 【典例精讲】请给下列各题中的图形命名，并给出名称的定义． 【分析】结合图形，对三角形、平行四边形和梯形进行定义． 【解答】解：图1，三角形，定义：由不在同直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形叫三角形； 图2，平行四边形，定义：在同一平行线内有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形； 图3，梯形，定义：在同一平面内，一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形． 【变式训练1】说出下列定义： （1）平行线；（2）一元一次方程；（3）轴对称图形． 【分析】分别根据平行线，一元一次方程，轴对称图形的定义求解． 【解答】解：（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； （2）一元一次方程：含有一个未知数，且未知项的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程； （3）轴对称图形：把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，称这个图形为轴对称图形． 【变式训练2】（2025春•同步）请你说出垂直的定义，并用符号语言表示． 【分析】由垂直的定义，即可得到答案． 【解答】解：两条直线相交成的四个角中，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直． 如图，∵∠BOC＝90°， ∴AB⊥CD． 题型四：新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“⊕”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：a⊕b＝|a+b|，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，5⊕（﹣2）＝|5+（﹣2）|＝3；（2）（﹣2）⊕4＝|（﹣2）+4|＝2． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①3⊕（﹣4）＝　1　 ；②（﹣4）⊕3＝　1　 ； ③　　 ；④　　 ； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若3⊕x＝7，则x＝　4或﹣10　 ；②若（﹣3）⊕x＝x⊕x，则x＝　1或﹣3　 ； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式[6⊕（﹣7）]⊕（﹣8）＝6⊕[（﹣7）⊕（﹣8）]是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【分析】（1）根据a⊕b＝|a+b|，进行计算，即可； （2）根据a⊕b＝|a+b|，进行计算，即可； （3）根据a⊕b＝|a+b|，先求出[6⊕（﹣7）]⊕（﹣8）和6⊕[（﹣7）⊕（﹣8）]的值，进而求解即可． 【解答】解：（1）∵a⊕b＝|a+b|， ∴①3⊕（﹣4）＝|3﹣4|＝|﹣1|＝1；②（﹣4）⊕3＝|﹣4+3|＝|﹣1|＝1； ③； ④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：①1，②1，，；满足； （2）①∵a⊕b＝|a+b|， ∴3⊕x＝|3+x|＝7， ∴3+x＝7或3+x＝﹣7， ∴x＝4或x＝﹣10； ②∵a⊕b＝|a+b|， ∴（﹣3）⊕x＝|﹣3+x|，x⊕x＝|x+x|＝|2x|， ∴（﹣3）⊕x＝x⊕x＝|﹣3+x|＝|2x|， ∴﹣3+x＝2x或﹣3+x＝﹣2x， 解得x＝﹣3或x＝1； 故答案为：①4或﹣10；②1或﹣3； （3）∵a⊕b＝|a+b|， ∴6⊕（﹣7）＝|6﹣7|＝|﹣1|＝1，1⊕（﹣8）＝|1﹣8|＝|﹣7|＝7， ∴[6⊕（﹣7）]⊕（﹣8）＝7； ∵（﹣7）⊕（﹣8）＝|﹣7﹣8|＝|﹣15|＝15，6⊕15＝|6+15|＝|21|＝21， ∴6⊕[（﹣7）⊕（﹣8）]＝21， ∵7≠21， ∴等式[6⊕（﹣7）]⊕（﹣8）＝6⊕[（﹣7）⊕（﹣8）]不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 【变式训练1】定义：对于任意实数a，b，如果满足a+b＝ab，那么称a，b互为“朋友数”，点（a，b）为“朋友点”． （1）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”； ①1.5与3是互为“朋友数”的； 　√　 ②若点（a，b）为“朋友点”，则点（b，a）也一定为“朋友点”； 　√　 ③若点a与b互为相反数，则（a，b）一定不是“朋友点”； 　×　 ④存在与1互为“朋友数”的实数． 　×　 （2）填空：若（a，3）为“朋友点”，则a＝　　 ． （3）已知P（x，y）是关于x，y的二元一次方程组的解，请判断点P（x，y）是否为“朋友点”？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）①由1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，可得①是真命题； ②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，有b+a＝ba，可知②是真命题； ③若a＝b＝0，则a+b＝ab，故③是假命题； ④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，方程无解，可知④是假命题； （2）见解析． 【解答】解：（1）①∵1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5， ∴1.5与3是互为“朋友数”的，①是真命题， 故答案为：√； ②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab， ∴b+a＝ba， ∴点（b，a）也一定为“朋友点”； ②是真命题， 故答案为：√； ③若a＝b＝0，则a+b＝ab， ∴此时（a，b）是“朋友点”，③是假命题， 故答案为：×； ④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1， 方程无解， ∴不存在与1互为“朋友数”的实数，④是假命题， 故答案为：×； （2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3， 解得a， 故答案为：； （3）当m＝±时，P（m2+1，5）是“朋友点”，理由如下： 由得：， ∴P（m2+1，5）， 若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5， 解得m＝±， ∴当m＝±时，P（m2+1，5）是“朋友点“． 【变式训练2】（2025秋•海淀区校级期中）对于有理数a，b定义一种幂的新运算：am◎bn＝（ab）m+n+（a+b）mn．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）1◎2的值为 　7　 ； （2）若2◎2t+1＝80，求t的值； （3）这种运算是否满足结合律，即（am◎bn）◎cp＝am◎（bn◎cp）成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请举一个反例． 【分析】（1）根据所给规定进行计算即可； （2）根据题意，建立关于t的等式，据此进行计算即可； （3）利用反例等式不成立，若a＝1，b＝﹣1，c＝0，m＝n＝1． 【解答】解：（1）由题知， 1◎2＝（1×2）1+1+（1+2）1×1＝22+31＝7． 故答案为：7； （2）由2◎2t+1＝80得， （2×2）1+t+1+（2+2）1×（t+1）＝80， 则4t+2+4t+1＝80， 5×4t+1＝80， 4t+1＝16， 所以t＝1； （3）不成立． 设a＝1，b＝﹣1，c＝0，m＝n＝1， am◎bn＝1◎（﹣1）＝（﹣1×1）1+1+（1﹣1）1×1＝1+0＝1， 1◎01＝（1×0）1+1+（1+0）1×1＝0+1＝1， 即（am◎bn）◎cp＝1； bn◎cp＝（﹣1）◎0＝（﹣1×0）1+1+（﹣1+0）1×1＝0+1＝1， am◎（bn◎cp）＝1◎1＝）＝（1×1）1+1+（1+1）1×1＝1+2＝3 所以（am◎bn）◎cp≠am◎（bn◎cp）． 1．（2025秋•九龙坡区校级期末）下列句子，属于定义的是（　　） A．对顶角相等 B．过直线外一点画已知直线的平行线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 【答案】D 【分析】定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明． 【解答】解：A、B、C中的语句不属于定义，故A、B、C不符合题意； D、此语句属于定义，故D符合题意． 故选：D． 2．（2025春•荔湾区校级期中）下列语句中，是定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 C．对顶角相等 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】根据课本中的定义进行判断即可． 【解答】解：根据命题与定理、公理的异同逐项分析判断如下： A．两点确定一条直线是性质不是定义，不符合题意； B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，符合题意； C．对顶角相等是性质，不是定义，不符合题意； D．同角的余角相等是性质，不是定义，不符合题意． 故选：B． 3．（2025秋•枣庄校级月考）“两点确定一条直线”这一语句是（　　） A．定理 B．公理 C．定义 D．只是命题 【答案】B 【分析】根据“两点确定一条直线”是经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题求解即可． 【解答】解：“两点确定一条直线”是经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题，是公理， 故选：B． 4．（2025春•上思县月考）下列描述属于定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫作方程 【答案】D 【分析】根据什么是定义判断． 【解答】解：A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； D、含有未知数的等式叫作方程，是定义，符合题意； 故选：D． 5．（2025•玉田县校级三模）下面是对真命题“同一平面内，一组平行线中的一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线”的正确的证明过程：现对每一个推理过程添加依据，其中不正确的是（　　） A．①是“同位角相等，两直线平行” B．②是“垂直的定义” C．③是“等式的基本事实” D．④是“垂直的定义” 【答案】A 【分析】根据平行线的性质、垂直的定义判断即可． 【解答】解：A、①是“两直线平行，同位角相等”，故本选项依据不正确，符合题意； B、②是“垂直的定义”，依据正确，不符合题意； C、③是“等式的基本事实”，依据正确，不符合题意； D、④是“垂直的定义”，依据正确，不符合题意； 故选：A． 6．（2025春•同步）下列描述不属于定义的是（　　） A．单项式和多项式统称整式 B．有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 C．两点之间线段最短 D．含有未知数的等式叫作方程 【答案】C 【分析】根据整式、角、方程的定义判断． 【解答】解：A、单项式和多项式统称整式，是定义，不符合题意； B、有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，是定义，不符合题意； C、两点之间线段最短，不是定义，符合题意； D、含有未知数的等式叫作方程，是定义，不符合题意； 故选：C． 7．（2025春•同步）下列语句中不是定义的是（　　） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于0的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 【答案】C 【分析】根据相反数、正数、多项式的定义判断即可． 【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，是定义，不符合题意； B、大于0的数叫作正数，是定义，不符合题意； C、对顶角相等，不是定义，符合题意； D、几个单项式的和叫作多项式，是定义，不符合题意； 故选：C． 8．（2025春•仓山区期中）下列描述属于定义的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于180° C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】根据定义与定理、性质的区别判断． 【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，不是定义，不符合题意； B、三角形的内角和等于180°，不是定义，不符合题意； C、对顶角相等，不是定义，不符合题意； D、有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，是定义，符合题意； 故选：D． 9．（2025春•同步）若用M表示相交，N表示垂直，下列能正确表示M和N关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直和相交的定义进行判断即可． 【解答】解：∵垂直是指平面上一条线与另一条线相交并成直角， ∴垂直是相交的一种， ∴B符合题意， 故选：B． 10．下列语句不属于定义的是（　　） A．两边相等的三角形是等腰三角形 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C．等腰三角形的两腰相等 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】C 【分析】根据定义的概念判断即可． 【解答】解：A、两边相等的三角形是等腰三角形，属于定义； B、两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离，属于定义； C、等腰三角形的两腰相等，不属于定义； D、含有未知数的等式叫做方程，属于定义； 故选：C． 11．下列语句属于定义的有（　　） ①含有未知数的等式称为方程； ②等式（a+b）2＝a2+2ab+b2称为两数和的平方公式； ③如果a，b为实数，那么（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； ④三角形内角和等于180°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】定义是对概念的内涵或语词的意义所做的简要而准确的描述，根据定义的概念进行分析即可． 【解答】解：①含有未知数的等式称为方程，是定义； ②等式（a+b）2＝a2+2ab+b2称为两数和的平方公式，是定义； ③如果a，b为实数，那么（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，是性质，不是定义； ④三角形内角和等于180°，是性质，不是定义； 则属于定义的有2个； 故选：B． 12．“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排序，排序时Excel将按指定行的值和指定的‘升序‘或‘降序’排列次序重新设定行”．这段话是对名称 　按行排序　 进行定义． 【分析】根据题意和定义解答即可． 【解答】解：“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排序，排序时Excel将按指定行的值和指定的‘升序‘或‘降序’排列次序重新设定行”． 这段话是对名称按行排序进行定义， 故答案为：按行排序． 13．观察下列给出的方程，x3+x2﹣3x+4＝0，x3+x﹣1＝0，x3﹣2x2+3＝x，y3+2y2﹣5y﹣1＝0．找出它们的共同特征后，试给出这种方程的名称　一元三次方程　 ，并作出定义　含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程　 ． 【分析】根据方程的特点：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程可得此方程的名称为一元三次方程． 【解答】解：它们的共同特征是：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程，这种方程的名称是一元三次方程， 定义：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程； 故答案为：一元三次方程；含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程． 14．（2026春•同步）（1）你能列举出一些学过的定义吗？ （2）分别举出一些是命题和不是命题的语句． 【分析】（1）根据定义解答即可； （2）根据判断一件事情的语句，叫做命题解答． 【解答】解：（1）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，是定义； 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，是定义； （2）对顶角相等，是命题； 两直线平行，同位角相等，是命题； 对顶角相等吗？不是命题； 延长线段AB，不是命题． 15．（2025春•同步）下列整式哪些是单项式，哪些是多项式？它们的次数分别是多少？ 7h，xy3+1，2ab+6，． 【分析】根据多项式、单项式的定义求出即可． 【解答】解：单项式有7h，次数是1， 多项式有xy3+1，2ab+6，，次数分别是4、2、4． 16．（2025春•同步）阅读下面这段叙述：地壳中存在三种不同的应力—剪切力、张力和压力．亿万年来，剪切力、张力和压力一直在改变着岩石的形状和体积，在地壳应力的作用下，有些岩石碎裂了，有些则像被太阳暴晒后变软的沥青一样，慢慢弯曲． 要读懂这段叙述，你认为哪些名称和术语需给出定义？ 【分析】根据题意进行求解即可． 【解答】解：由题意可知，应力，剪切力、张力和压力需要被定义． 17．说出它们的定义： （1）角； （2）角的平分线； （3）数轴； （4）一元一次方程． 【分析】根据角、角平分线、数轴、一元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：（1）角的定义：有两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角； （2）角的平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线； （3）数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴； （4）一元一次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 18．请给如图所示的图形命名，并给出名称的定义． 【分析】结合图形，对三角形进行定义． 【解答】解：直角三角形，定义：有一个角等于90°的三角形是直角三角形． 19．请给下列各题中的图形或式子命名，并给出各名称的定义． （1） （2） （3）3x﹣1＝2（x﹣3）． （4）4x+2y＝5． 【分析】第一个三角形中有两条边的长度相等．4x+2y＝5中含有两个未知数x，y，且未知数的最高次数为1． 【解答】解：（1）有两边相等的三角形叫做等腰三角形； （2）三条边都相等的三角形叫做等边三角形； （3）方程两边是整式，含有一个未知数，且未知数的次数为一次的方程，叫做一元一次方程； （4）含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的整式方程，叫做二元一次方程． 20．请说出下列数学名词的定义： （1）无理数； （2）直角三角形； （3）角平分线． 【分析】（1）根据无理数的定义解答； （2）根据直角三角形的定义解答； （3）根据角平分线的定义解答． 【解答】解：（1）无理数是无限不循环小数； （2）有一个内角等于90°的三角形叫做直角三角形； （3）从一个角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫这个角的平分线． 21．已知正整数4，12，20，28，…都是神秘数，且有下列式子：4＝4﹣0，12＝16﹣4，20＝36﹣16，28＝64﹣36，…．根据以上信息，请给出神秘数的定义，并判断76是否为神秘数． 【分析】根据“神秘数”的定义，只需看能否把76写成两个连续偶数的平方差即可判断． 【解答】解：观察数字的变化可知：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62，…． 神秘数的定义：一个正整数表示为两个连续偶数的平方差． 因为76＝202﹣182＝38×2． 所以76是神秘数 22．画示意图表示下列概念之间的关系:①多边形；②正五边形；③四边形；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形(示意图中用序号表示对应概念) c本题考查多边形及其相关特殊图形(正五边形、四边形、梯形、 等腰三角形、直角三角形)的概念及分类关系.解题关键是明确各图形概念，依据包含关系绘制示意图来准确呈现它们之间的逻辑联系. 牢记多边形、正五边形、四边形、梯形、等腰三角形、直角三角形的定义.确定多边形包含其他各类图形；四边形是多边形的一类，梯形属于四边形；等腰三角形和直角三角形是三角形的不同类型，且都属于多边形.用图形直观呈现上述包含关系，大圈表示多边形，内部嵌套表示不同层级包含关系的小圈. 【详解】解:示意图如下: 23．画示意图表示下列概念之间的关系：等边三角形、多边形、正多边形 【分析】多边形:由若干条线段首尾顺次连接构成的封闭平面图形(如三角形、四边形、五边形等)； 正多边形:各边长度相等、各内角大小相等的多边形(如正三角形、正方形、正五边形等)，是多边形的特例； 等边三角形二边度坦等、三个内角均为60的三多边形；用图形直观呈现上述包含关系，大圈表示多边形，内部嵌套表示不同层级包含关系的小圈. 【详解】解:示意图如下: 24．（2025秋•西城区校级月考）对于正数a（a≠1）和N，如果整数x满足ax＝N（a＞0且a≠1），定义一种能求出x的新运算： ． 例如：因为25＝32，所以log232＝5； （1）填空：log327＝　3　 ； （2）这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若logaM＞logaN，则M＞N”是假命题：a＝　　 ，M＝　2　 ，N＝　4　 ； ②，该性质的证明过程如下： 设logaM＝x，则M＝ax，Mb＝（ax）b＝abx． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：loga（MN）＝logaM+logaN． 【答案】（1）3； （2）①；2；4； ②令logaM＝x，则M＝ax，logaN＝y，则N＝ay， ∴MN＝ax•ay＝ax+y， ∴loga（MN） ＝loga ＝x+y ＝logaM+logaN． 【分析】（1）根据定义直接作答即可； （2）①举一个反例即可说明； ②令x，则M＝ax，logaN＝y，则N＝ay，等量代换等号的左边，再根据新定义即可得证． 【解答】解：（1）∵33＝27， ∴log327＝3． 故答案为：3． （2）①当a，M＝2，N＝4时， ∵（）﹣1＝2，（）﹣2＝4， ∴1，， ∵﹣1＞﹣2，而M＜N． 故答案为：；2；4； ②令logaM＝x，则M＝ax，logaN＝y，则N＝ay， ∴MN＝ax•ay＝ax+y， ∴loga（MN） ＝loga ＝x+y ＝logaM+logaN． 25．（2025秋•西城区校级期中）一种新运算定义如下：a⊕b＝a+b+|a﹣b|． （1）计算：6⊕（﹣5）＝　12　 ； （2）计算：3⊕[（﹣2）⊕4]＝　16　 ；（括号内的式子先进行运算） （3）我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足结合律：　否　 （填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足交换律：　是　 （填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 【答案】（1）12；（2）16；（3）①否；②是． 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可求解； （2）已知等式利用题中的新定义化简，代入计算即可求解； （3）根据题中的新定义可知“⊕”运算满足交换律． 【解答】解：（1）6⊕（﹣5）＝6+（﹣5）+|6﹣（﹣5）|＝6﹣5+11＝12； 故答案为：12； （2）3⊕[（﹣2）⊕4]＝3⊕{（﹣2）+4+|﹣2﹣4|}＝3⊕8＝3+8+|3﹣8|＝11+5＝16； 故答案为：16； （3）①否． 例如：3⊕[（﹣2）⊕4]＝3⊕{（﹣2）+4+|﹣2﹣4|}＝3⊕8＝3+8+|3﹣8|＝11+5＝16； [3⊕（﹣2）]⊕4＝{3+（﹣2）+|3+2|}⊕4＝6⊕4＝6+4+|6﹣4|＝11， 3⊕[（﹣2）⊕4]≠[3⊕（﹣2）]⊕4，所以不满足交换律． 故答案为：否 ②是．理由如下： 根据新定义运算得：a⊕b＝a+b+|a﹣b|，b⊕a＝b+a+|b﹣a|， ∵|a﹣b|＝|b﹣a| ∴a⊕b＝b⊕a，所以该新运算满足交换律， 故答案为：是． 26．（2025春•同步）阅读理解： 【形成概念】我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合” 【初步感知】 （1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【问题解决】 （2）若关于x的组合是“无缘组合”，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围． 【解答】解：（1）（Ⅰ）∵2x﹣4＝0， ∴x＝2， ∵5x﹣2＜3， ∴x＜1， ∵2不在x＜1范围内， ∴（Ⅰ）组合是“无缘组合”； （Ⅱ）， 去分母，得：2（x﹣5）＝12﹣3（3﹣x）， 去括号，得：2x﹣10＝12﹣9+3x， 移项，合并同类项，得：x＝﹣13． 解不等式， 去分母，得：2（x+3）﹣4＜3﹣x， 去括号，得：2x+6﹣4＜3﹣x， 移项，合并同类项，得：3x＜1， 化系数为1，得：． ∵﹣13在范围内， ∴（Ⅱ）组合是“有缘组合”； （2）解方程， 去分母，得5a﹣x﹣6＝4x﹣6a， 移项，合并同类项，得：5x＝11a﹣6， 化系数为1得：， 解不等式， 去分母，得：x﹣a+2≤2x+2a， 移项，合并同类项，得：x≥﹣3a+2， ∵关于x的组合是“无缘组合， ∴， 解得：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 定义 考点一：定义的概念 对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义（definition），有时也说“给概念下定义”，根据概念的定义，就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念。 考点二：画示意图 许多概念之间都是有关系的，如单项式都属于整式，整式都属于代数式，数学中常用如图所示的方法直观地表达这种从属关系。 题型一：定义的概念 判断一个句子是不是数学定义，核心就看一句话：它是不是在给某个名词下“专属规定”． （1）一般有“叫做 / 称为 / 是指 / 定义为”这类词； （2）前后可以互换，意思不变； （3）用来第一次明确一个概念是什么． （1）什么特点、满足什么条件一般是性质或判定； （2）不能把举例，计算当作定义． 【典例精讲】（2025秋•南阳月考）下列语句中，属于定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 【变式训练1】（2025秋•梅县区期末）在下列句子中，是定义的是（　　） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 【变式训练2】（2025秋•淮北期末）下列句子中，是定义的是（　　） A．在正数前面加上符号“﹣”的数是负数 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 题型二：画示意图 先确定各概念的从属关系，再用圆圈嵌套表示层级关系. 对给定的概念从属关系搞不清. 【典例精讲】设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025秋•滨江区期末）若用A表示有理数，B表示无理数，C表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025秋•新市区校级期中）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示不等边三角形．则下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 题型三：下定义 熟练掌握各概念． 对各概念模糊不清． 【典例精讲】请给下列各题中的图形命名，并给出名称的定义． 【变式训练1】说出下列定义： （1）平行线；（2）一元一次方程；（3）轴对称图形． 【变式训练2】（2025春•同步）请你说出垂直的定义，并用符号语言表示． 题型四：新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“⊕”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：a⊕b＝|a+b|，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，5⊕（﹣2）＝|5+（﹣2）|＝3；（2）（﹣2）⊕4＝|（﹣2）+4|＝2． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①3⊕（﹣4）＝　 　 ；②（﹣4）⊕3＝　 　； ③　 　 ；④　 　 ； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若3⊕x＝7，则x＝　 　 ；②若（﹣3）⊕x＝x⊕x，则x＝　 　 ； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式[6⊕（﹣7）]⊕（﹣8）＝6⊕[（﹣7）⊕（﹣8）]是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【变式训练1】定义：对于任意实数a，b，如果满足a+b＝ab，那么称a，b互为“朋友数”，点（a，b）为“朋友点”． （1）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”； ①1.5与3是互为“朋友数”的； 　 　 ②若点（a，b）为“朋友点”，则点（b，a）也一定为“朋友点”； 　 　 ③若点a与b互为相反数，则（a，b）一定不是“朋友点”； 　 　 ④存在与1互为“朋友数”的实数． 　 　 （2）填空：若（a，3）为“朋友点”，则a＝　 　． （3）已知P（x，y）是关于x，y的二元一次方程组的解，请判断点P（x，y）是否为“朋友点”？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由． 【变式训练2】（2025秋•海淀区校级期中）对于有理数a，b定义一种幂的新运算：am◎bn＝（ab）m+n+（a+b）mn．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）1◎2的值为 　 　 ； （2）若2◎2t+1＝80，求t的值； （3）这种运算是否满足结合律，即（am◎bn）◎cp＝am◎（bn◎cp）成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请举一个反例． 1．（2025秋•九龙坡区校级期末）下列句子，属于定义的是（　　） A．对顶角相等 B．过直线外一点画已知直线的平行线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 2．（2025春•荔湾区校级期中）下列语句中，是定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 C．对顶角相等 D．同角的余角相等 3．（2025秋•枣庄校级月考）“两点确定一条直线”这一语句是（　　） A．定理 B．公理 C．定义 D．只是命题 4．（2025春•上思县月考）下列描述属于定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫作方程 5．（2025•玉田县校级三模）下面是对真命题“同一平面内，一组平行线中的一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线”的正确的证明过程：现对每一个推理过程添加依据，其中不正确的是（　　） A．①是“同位角相等，两直线平行” B．②是“垂直的定义” C．③是“等式的基本事实” D．④是“垂直的定义” 6．（2025春•同步）下列描述不属于定义的是（　　） A．单项式和多项式统称整式 B．有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 C．两点之间线段最短 D．含有未知数的等式叫作方程 7．（2025春•同步）下列语句中不是定义的是（　　） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于0的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 8．（2025春•仓山区期中）下列描述属于定义的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于180° C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 9．（2025春•同步）若用M表示相交，N表示垂直，下列能正确表示M和N关系的是（　　） A． B． C． D． 10．下列语句不属于定义的是（　　） A．两边相等的三角形是等腰三角形 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C．等腰三角形的两腰相等 D．含有未知数的等式叫做方程 11．下列语句属于定义的有（　　） ①含有未知数的等式称为方程； ②等式（a+b）2＝a2+2ab+b2称为两数和的平方公式； ③如果a，b为实数，那么（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； ④三角形内角和等于180°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排序，排序时Excel将按指定行的值和指定的‘升序‘或‘降序’排列次序重新设定行”．这段话是对名称 　 　 进行定义． 13．观察下列给出的方程，x3+x2﹣3x+4＝0，x3+x﹣1＝0，x3﹣2x2+3＝x，y3+2y2﹣5y﹣1＝0．找出它们的共同特征后，试给出这种方程的名称　 　，并作出定义　 　　 　． 14．（2026春•同步）（1）你能列举出一些学过的定义吗？ （2）分别举出一些是命题和不是命题的语句． 15．（2025春•同步）下列整式哪些是单项式，哪些是多项式？它们的次数分别是多少？ 7h，xy3+1，2ab+6，． 16．（2025春•同步）阅读下面这段叙述：地壳中存在三种不同的应力—剪切力、张力和压力．亿万年来，剪切力、张力和压力一直在改变着岩石的形状和体积，在地壳应力的作用下，有些岩石碎裂了，有些则像被太阳暴晒后变软的沥青一样，慢慢弯曲． 要读懂这段叙述，你认为哪些名称和术语需给出定义？ 17．说出它们的定义： （1）角； （2）角的平分线； （3）数轴； （4）一元一次方程． 18．请给如图所示的图形命名，并给出名称的定义． 19．请给下列各题中的图形或式子命名，并给出各名称的定义． （1） （2） （3）3x﹣1＝2（x﹣3）． （4）4x+2y＝5． 20．请说出下列数学名词的定义： （1）无理数； （2）直角三角形； （3）角平分线． 21．已知正整数4，12，20，28，…都是神秘数，且有下列式子：4＝4﹣0，12＝16﹣4，20＝36﹣16，28＝64﹣36，…．根据以上信息，请给出神秘数的定义，并判断76是否为神秘数． 22．画示意图表示下列概念之间的关系:①多边形；②正五边形；③四边形；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形(示意图中用序号表示对应概念) 23．画示意图表示下列概念之间的关系：等边三角形、多边形、正多边形 24．（2025秋•西城区校级月考）对于正数a（a≠1）和N，如果整数x满足ax＝N（a＞0且a≠1），定义一种能求出x的新运算： ． 例如：因为25＝32，所以log232＝5； （1）填空：log327＝　 　 ； （2）这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若logaM＞logaN，则M＞N”是假命题：a＝　 　 ，M＝　 　 ，N＝　 　； ②，该性质的证明过程如下： 设logaM＝x，则M＝ax，Mb＝（ax）b＝abx． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：loga（MN）＝logaM+logaN． 25．（2025秋•西城区校级期中）一种新运算定义如下：a⊕b＝a+b+|a﹣b|． （1）计算：6⊕（﹣5）＝　 　 ； （2）计算：3⊕[（﹣2）⊕4]＝　 　 ；（括号内的式子先进行运算） （3）我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足结合律：　 　（填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足交换律：　 　 （填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 26．（2025春•同步）阅读理解： 【形成概念】我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合” 【初步感知】 （1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【问题解决】 （2）若关于x的组合是“无缘组合”，求a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $