微专题 线线、线面、面面平行证明问题（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

微专题 线线、线面、面面平行证明问题 题型一 利用三角形的中位线证明线面平行 构造三角形的中位线 证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找中位线。 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 2．（25-26高三上·云南昆明·开学考试）如图，在正方体中，，分别为，的中点． (1)证明直线平面； (2)设，求三棱锥的体积． 3．（20-21高二·江苏·课后作业）四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面 4．（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在直三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 5．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 8．（25-26高二上·上海宝山·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点 (1)证明：直线平面 (2)若，求三棱锥的体积. 9．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 题型二 构造平行四边形证明线面平行 构造平行四边形 我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平行，进而得到线面平行。 10．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 11．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面. 12．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 14．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 15．（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 题型三 利用对应线段成比例证明线面平行 利用相似比寻找线平行 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。 16．（25-26高一·全国·寒假作业）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 17．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 18．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 19．（25-26高二上·贵州·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 题型四 利用线面平行的性质证明线面平行 利用直线与平面平行的性质定理寻找线线平行 利用直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行，进而得到直线与平面平行。先证明线面平行（或题目已知线面平行），再利用线面平行的性质定理，得到线线平行，进而得到线面平行。 20．（24-25高一下·全国·课堂例题）在长方体中，点（不与，重合），．求证：平面． 21．（24-25高一下·甘肃兰州·月考）如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 22．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 题型五 通过面面平行证线面平行 构造平行平面 面面平行的性质有很多，常见的有：（1）若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线所在的平面和平面平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线和平面平行.当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平行平面.若要证明平面，只需构造一个平面//平面，且，那么根据平行平面的性质，即可证明平面.在构造平行平面时，可在平面内作一条直线，使其平行于.也可直接根据正方体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面. 23．（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    24．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 25．（23-24高一下·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 26．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 题型六 线面平行的探索性问题 先根据图形结构与平行规律，猜测动点所在位置（如中点、等分点、某条线段上），再通过连接辅助线，构造中位线、平行四边形或证明面面平行，验证该点满足线面平行条件，最终确定点的位置并完成严谨证明。 27．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 28．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 29．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 30．（24-25高一下·湖北·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 31．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． (1)证明：平面PAC； (2)证明：； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 32．（22-23高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为等腰直角三角形，，，为的中点． (1)线段上是否存在一点，使得平面PAD？若存在，请说明理由； (2)求四面体的体积． 33．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图，在正方体中，棱长，M为的中点． (1)求证：平面； (2)设E为上的动点，问在棱上是否存在一点N，使得平面？若存在说明N的位置并证明，若不存在说明理由； (3)设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求的值． 题型七 利用线面平行证线线平行 先证明其中一条直线与某一平面平行，再利用线面平行性质定理：若直线平行于平面，且过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行，直接推出该直线与交线平行，实现由线面平行到线线平行的转化。 34．（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点.设平面平面，求证：. 35．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 36．（25-26高三·上海·二轮复习）如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 37．（24-25高一下·广东·期中）如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于． (1)求该多面体的体积； (2)求证：平面； (3)判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明． 38．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 题型八 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 由线面平行推出线线平行，再利用平行线分线段成比例、三角形相似、中位线比例等性质，建立线段之间的比值关系，进而判断并确定动点在棱上的具体位置，如中点、二等分点、三等分点等。 39．（25-26高一·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 40．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 41．（24-25高一下·广东·期中）如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 43．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 44．（24-25高一下·湖北襄阳·月考）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点． (1)求证：面； (2)当平面时，面与交于， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 45．（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 46．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 题型九 由线面平行求线段长度 利用线面平行性质定理得到线线平行，结合中位线长度、相似三角形边长比、平行四边形对边相等等关系，根据已知棱长、距离等条件，直接计算或确定所求线段的长度、取值范围，常与正方体、棱柱结构结合考查。 47．（25-26高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 48．（2021·山西吕梁·三模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（　　） A．2 B． C． D．1 49．（22-23高一下·河北承德·期末）在三棱锥中，为线段上更靠近的三等分点，过作平行于的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 50．（19-20高一上·湖南衡阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十 面面平行的证明 在其中一个平面内找到两条相交直线，分别证明这两条直线都平行于另一个平面，依据面面平行判定定理证得面面平行；也可通过证明两个平面同垂直于一条直线，或同平行于第三个平面，从而完成面面平行的证明。 51．（2024高一下·全国·专题练习）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   52．（24-25高一·全国·寒假作业）如图所示，四边形为菱形，平面，平面.求证：平面平面； 53．（2021高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的侧面积． 54．（25-26高二上·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 55．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 56．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 57．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 58．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知四棱柱的底面为菱形． (1)求证：平面∥平面； (2)在直线上是否存在点P，使∥平面？ 题型十一 面面平行的的探索性问题 先根据几何体结构猜测满足面面平行的点的位置（中点、等分点等），在对应位置构造辅助线，分别证明两组相交直线对应平行，再依据面面平行判定定理证明两个平面平行，最终确定点的位置并完成证明。 59．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 60．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 61．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为，的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； (3)若为的中点，平面将四棱锥分为上下两个几何体，求下面的几何体与四棱锥的体积比. 62．（24-25高一下·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 题型十二 利用面面平行证明线线平行 已知两个平面互相平行，若第三个平面与这两个平行平面分别相交，则根据面面平行性质定理，两条交线必定互相平行，直接由面面平行推出线线平行，常用于证明空间中不直接相交的直线平行问题。 63．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，平面，满足，，，判断与、与的位置关系并证明你的结论． 64．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 65．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 题型十三 翻折类平行问题 翻折问题中，同一平面内的平行关系保持不变，先在原平面图形中利用中点、比例、平行四边形确定线线平行，翻折后空间位置改变但平行关系保留，再通过构造中位线、平行四边形或证明面面平行，完成翻折后的线面平行或面面平行证明。 66．（25-26高一下·全国·课堂例题）在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面.求证：平面. 67．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 68．（24-25高一下·全国·课后作业）在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 线线、线面、面面平行证明问题 题型一 利用三角形的中位线证明线面平行 构造三角形的中位线 证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找中位线。 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，求证，再利用线面平行的判定定理判定即可； （2）将问题转化为求或其补角的余弦值，利用余弦定理计算即可. 【详解】（1）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （2）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 2．（25-26高三上·云南昆明·开学考试）如图，在正方体中，，分别为，的中点． (1)证明直线平面； (2)设，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用等体积法及锥体的体积公式计算即得. 【详解】（1）在正方体中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则， 由分别为的中点，得，则， 而平面，平面，所以直线平面. （2）在正方体中，平面，而， 所以三棱锥的体积. 3．（20-21高二·江苏·课后作业）四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行. 【详解】连接，再连接， 由底面为平行四边形，可得为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 4．（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在直三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设与的交点为，连接，结合中位线性质和线面平行的判定定理证明； （2）根据直三棱柱性质可知，三棱锥的高为，再利用，结合棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由直三棱柱可知，三棱锥的高为，， 在中，，为的中点，由（1）知， 所以． 因此． 5．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）在正方体中，，、、两两垂直， 因为、、分别为、、中点，所以， 则，. 等腰底边上的高. 所以三棱锥的表面积为： . （2） 连接，，设与的交点为，连接. 因为、是正方体中对边、的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以为中点. 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【分析】利用线面平行的判定、性质推理判断并证明. 【详解】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用中位线定理在平面内找到与平行的直线，再通过线面平行判定定理完成证明即可. 【详解】如下图，连接，设与交于点，连接， 因为三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形， 矩形的对角线互相平分，因此是的中点， 已知是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，可得， 又平面，平面，所以平面. 8．（25-26高二上·上海宝山·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点 (1)证明：直线平面 (2)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，令，连接DE，要证直线平面，只要证，根据三角形的中位线容易证得； （2）根据已知求出相关线段长，再由求棱锥体积. 【详解】（1）连接，令，连接DE，则E是、的中点， 在△中D是线段BC中点，E是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面； （2）设点到平面的距离为， ∵点在底面圆上， ∴， ∵，D是BC的中点， ∴，， 因为是圆柱的轴截面，则到AB的距离，即到平面的距离， 所以. 9．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点N，连接，易得，由线面平行的判定定理得证； （2）由三棱锥体积公式求解. 【详解】（1）连接，交于点N，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 又点是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为为等边三角形，是的中点，所以， 又，故， 因为平面， 设，则， 所以，即，解得， 故这个三棱柱的侧棱长为3. 题型二 构造平行四边形证明线面平行 构造平行四边形 我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平行，进而得到线面平行。 10．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】证明：因为，，，，所以，. 又，所以. 如图，连接. 在中，是线段的中点，所以，. 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面. 11．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，在线段上取一点，使，在线段上取一点，使，连接，结合已知先证，再由线面平行的判定证明结论. 【详解】连接，在线段上取一点，使， 在线段上取一点，使，连接，，， 则，且， 因为，，，分别为棱，，，的中点. 则，且，，， 所以，， 又，所以，， 所以四边形为平行四边形，同理四边形为平行四边形， 所以，，所以. 因为平面，不包含于平面，所以平面. 12．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）在长方体中， 可得且， 所以四边形是平行四边形. 所以 且平面，平面， 所以平面. （2）在长方体中， ，，且平面 ∵， ∴. 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理即可证得. 【详解】过作与交于点， 过作与交于点，连接. 由已知条件，可知矩形与矩形全等. 因为，且， 所以， 所以，又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面. 14．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】构造辅助线，取的中点，通过证明，结合线面平行判定定理即可证得平面 【详解】取的中点为，连接，则，且， 又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 15．（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，需证明该线段与平面内的一条线段平行即可，即证明. （2）作出辅助线，确定异面直线所成的角，然后根据边角关系求出其余弦值. 【详解】（1）证明：取中点，连接、. 因为中点，为中点，故为中位线，得且. 又底面是正方形，为中点，故且. 所以且，所以四边形为平行四边形，故. 又平面平面，故平面. （2）取的中点，连接为的中位线，所以. 故异面直线与所成角等于与所成角，即. 在正方形中，且底面，故为直角三角形， 为中点，得. 由（1）知.为的斜边，， 故，所以. 又，所以. 在中，，由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型三 利用对应线段成比例证明线面平行 利用相似比寻找线平行 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。 16．（25-26高一·全国·寒假作业）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】连接，交于点，证出，即可根据线面平行的判定定理证出平面． 【详解】连接，交于点，连接， 因为，，所以，， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面． 17．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)连接交于点，连接.然后利用三角形相似的性质，得到，进而利用线面平行的判定定理证明； （2）利用棱锥的体积公式求比值. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为，也即. 又，则，故. 且平面，平面，故平面. （2）解：设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为. 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为. 由题有. 又，故，即， 则， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 18．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. 【详解】连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 19．（25-26高二上·贵州·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平行公理及平面的基本事实推理得证. （2）利用线面平行的判定，结合平行四边形判定性质推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 题型四 利用线面平行的性质证明线面平行 利用直线与平面平行的性质定理寻找线线平行 利用直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行，进而得到直线与平面平行。先证明线面平行（或题目已知线面平行），再利用线面平行的性质定理，得到线线平行，进而得到线面平行。 20．（24-25高一下·全国·课堂例题）在长方体中，点（不与，重合），．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，，则，由线面平行的判定可得平面,再由线面平行的性质得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论. 【详解】证明：如图所示，连接，． 因为多面体是长方体， 所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为平面过与平面交于，所以． 因为平面，平面， 所以平面． 21．（24-25高一下·甘肃兰州·月考）如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意证得，再由线面平行的判定定理即可证明直线平面； （2）由（1）知，直线平面，由线面平行的性质定理证得，再由线面平行的判定定理即可知证明直线平面； 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面； （2）由（1）知，直线平面，平面， 平面与平面的交线为直线l，所以， 平面，平面，所以直线平面. 22．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】作出辅助线，由中位线得到，得到线面平行，由线面平行的性质得到线线平行，从而平面． 【详解】如图所示，连接交于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． 又是的中点，∴． 而平面，平面， ∴平面． 又平面，平面平面， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 题型五 通过面面平行证线面平行 构造平行平面 面面平行的性质有很多，常见的有：（1）若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线所在的平面和平面平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线和平面平行.当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平行平面.若要证明平面，只需构造一个平面//平面，且，那么根据平行平面的性质，即可证明平面.在构造平行平面时，可在平面内作一条直线，使其平行于.也可直接根据正方体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面. 23．（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    【答案】证明见解析 【分析】先通过选取辅助点,在上取一点,由线段平行证明线面平行，然后得到面面平行，利用面面平行的性质，即可得到∥平面. 【详解】证明：如图，    在上取一点，使得，连接， 因为是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点， 所以，所以∥，∥， 因为∥，故∥． 因为平面平面， 所以∥平面∥平面， 因为平面，所以平面∥平面． 因为平面，所以∥平面． 24．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】将放入一个平面，法一、法二：将放入一个与平面相交的平面，通过证明“线线平行”来证得“线面平行”；法三：将放入一个与平面平行的平面，通过证明“面面平行”来证得“线面平行”． 【详解】法一：如图，过点作交于点，过点作交于点，连结，显然． 因为是正方体，所以，， 又因为，，且，所以， 所以四边形是平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面． 法二：如图，连结并延长，与直线相交于点，连结． 因为是正方体，所以，． 又因为，所以，从而． 因为平面，平面，所以平面． 法三：如图，过点作交于点，连结，显然， 因为平面，平面，所以平面． 因为是正方体，所以，， 又因为，所以，故， 所以，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 25．（23-24高一下·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设得，应用线面平行的判定证明平面，同理证平面，再由面面平行的判定和性质即可证明结论； （2）由题设，再由线面平行的判定和性质即可证明结论. 【详解】（1）∵M、N分别为PC、CD的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面，同理可证平面， 由都在平面内，则平面平面， 由平面，故：平面； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD，又平面PBC，平面平面， ∴. 26．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】设是的中点，连接，通过证明平面平面，可得线面平行关系. 【详解】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 题型六 线面平行的探索性问题 先根据图形结构与平行规律，猜测动点所在位置（如中点、等分点、某条线段上），再通过连接辅助线，构造中位线、平行四边形或证明面面平行，验证该点满足线面平行条件，最终确定点的位置并完成严谨证明。 27．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 28．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 29．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 30．（24-25高一下·湖北·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）由条件求三棱锥的底面的面积和高，再由锥体体积公式求结论； （2）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （3）提出猜测线段上存在点P，使得平面，且，再结合线面平行判定定理证明结论， 【详解】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. 31．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． (1)证明：平面PAC； (2)证明：； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）由为中位线知，即可证明线面平行. （2）证明平面SDC，再利用线面平行的性质证明. （3）建立空间直角坐标系，设从而写出E点的坐标，求出平面PAC的法向量，若平面PAC则，列方程求出即可. 【详解】（1）连接BD交AC于点O，连接OP， 因为四边形ABCD为正方形，所以点O为BD的中点，又P为QD的中点， 所以，因为平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC. （2）因为CD，平面SCD，平面SCD，所以平面SDC， 又因为平面SAB，平面平面， 所以. （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 32．（22-23高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为等腰直角三角形，，，为的中点． (1)线段上是否存在一点，使得平面PAD？若存在，请说明理由； (2)求四面体的体积． 【答案】(1)在上存在一点，且F为的中点，使得平面PAD (2) 【分析】（1）取中点，可说明四边形是平行四边形，即可解决问题； （2）取AD的中点H，先证得平面ABCD．再通过等体积即可求解. 【详解】（1）在上存在一点，且为的中点，使得平面． 理由如下：取的中点，的中点，连接． 为的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ． 平面，平面， 平面． （2）如图，取的中点，连接． 为等腰直角三角形，， ． 平面平面， 平面平面，平面， 平面． 又为的中点， 点到平面的距离等于的一半， 又， ，， 点到平面的距离等于． 在菱形中，， ． ， ， ， 四面体的体积为． 33．（24-25高一下·河北石家庄·期中）如图，在正方体中，棱长，M为的中点． (1)求证：平面； (2)设E为上的动点，问在棱上是否存在一点N，使得平面？若存在说明N的位置并证明，若不存在说明理由； (3)设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，此时N为的中点，满足题意，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）当E、N分别为的中点时，证明四边形OCNE为平行四边形可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （3）由等体积法求出，根据求出即可求解. 【详解】（1）如图，连接DB，交AC于点O，则O为中点，连接OM，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）当E、N分别为的中点时，满足题意.理由如下： 证明：如图，当E、N分别为的中点时，连接OE， 则，又， 所以，故四边形OCNE为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （3）， ， 所以. 题型七 利用线面平行证线线平行 先证明其中一条直线与某一平面平行，再利用线面平行性质定理：若直线平行于平面，且过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行，直接推出该直线与交线平行，实现由线面平行到线线平行的转化。 34．（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点.设平面平面，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由得到平面，然后根据线面平行的性质定理求证. 【详解】由已知得，又平面，在平面外， 则平面， 又平面平面平面， 则. 35．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先证明线面平行，由平面的性质可得. 【详解】证明：如图，连接. 四边形是平行四边形， 是的中点． 又是的中点，. 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， . 36．（25-26高三·上海·二轮复习）如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面平行的性质推理作答. 【详解】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 37．（24-25高一下·广东·期中）如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于． (1)求该多面体的体积； (2)求证：平面； (3)判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明． 【答案】(1)20 (2)证明见解析 (3)直线直线，证明见解析 【分析】（1）通过长方体体积和截去三棱锥体积即可求解； （2）由，即可求证； （3）由平面，结合平面平面，即可求证. 【详解】（1）长方体的体积为， 被截去的三棱锥的体积为， 所以多面体的体积为． （2）证明：在长方体中矩形中，∥，， 所以四边形为平行四边形． 所以， 又平面，平面， 所以平面． （3）直线直线    证明：由（2）有平面， 又平面，平面平面， 所以. 38．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【答案】(1)证明见详解 (2)是的中点，证明见详解 【分析】（1）取中点，连接，证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）证明，结合线面平行的性质定理即可得证. 【详解】（1） 如图，取中点，连接， 因为是的中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，且是的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）为的中点，证明如下： 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以， 因为是的中点，所以是的中点. 题型八 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 由线面平行推出线线平行，再利用平行线分线段成比例、三角形相似、中位线比例等性质，建立线段之间的比值关系，进而判断并确定动点在棱上的具体位置，如中点、二等分点、三等分点等。 39．（25-26高一·全国·课后作业）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】连接，与交于点，连接，易证，得，由平面利用线面平行的性质定理可得，即可求得. 【详解】如图，连接，与交于点，连接. 因为为的中点，所以，由四边形是平行四边形，可得， 则，所以，所以． 又平面平面，平面平面，所以，所以． 故选：D．    40．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作图，根据线面平行的判定定理可知平面，然后根据线面平行的性质定理可知，可得，判断即可. 【详解】设平面DAM与交于点P，连接DP交于点Q，连接QN，如图： 因为平面DAM，平面DAM， 所以平面DAM，又平面，平面平面，所以， 因为M是三等分点，所以，因为平面平面，所以平面， 又平面PDM，平面平面，所以， 所以，因此． 故选：C 41．（24-25高一下·广东·期中）如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过线线平行得到线面平行，再利用线面平行的性质得到线线平行，进而得到线段成比例，结合是上靠近的三等分点即可求得结果. 【详解】设平面与交于点，连接交于点，连接， 平行六面体中， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥， 又是上靠近的三等分点，∴ ∵平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥，∴ 所以. 故选：C. 42．（25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据异面直线的定义可得为所求角，即可利用线面垂直的性质求解； （2）根据线面平行的性质可得，即可由相似求解. 【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即． 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以， 即异面直线和所成角为． （2）因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以， 所以． 43．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 【答案】为的中点，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，设与交于点，结合图形，根据线面平行的性质定理得出，从而可证得是的中点，继而判断点在上的位置. 【详解】为的中点，证明如下： 取的中点，连接，， 设与交于点，易证且． 易知，，，共面， 因为平面，平面，且平面平面． 所以． 在平行四边形中，因为，且，所以是的中点， 所以点为的中点． 44．（24-25高一下·湖北襄阳·月考）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点． (1)求证：面； (2)当平面时，面与交于， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）2；（ⅱ） 【分析】（1）先应用余弦定理得出，再应用勾股定理证明，最后应用线面平行判定定理证明； （2）（ⅰ）先应用线面平行性质定理得出再结合比例关系得出，最后再应用线面平行性质定理得出即可得出比例；（ⅱ）应用三棱锥体积公式结合比列关系计算. 【详解】（1）由为正三角形且可知． 又因为，且，在中，由余弦定理得 ． 所以，所以，所以，即． 所以，又因为平面平面， 所以面． （2）（ⅰ）如图，连接交于点，连接． 因为平面平面，平面平面，所以． 在梯形中，，所以． 因为，所以有， 又面面，平面平面． 所以． 又，所以． （ⅱ）因为． 设梯形高为，则 所以． 又，所以． 所以． 45．（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案； （2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论； （3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论. 【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. 46．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接CE，先根据平行四边形的定义及性质证明，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG，利用基本事实得B，C，G，F四点共面，然后利用线面平行的性质定理得，然后利用平行四边形的性质确定点的位置. 【详解】（1）连接CE，因为，即， 又因为，所以四边形ABCE为平行四边形，所以， 又因为平面，平面SCE，所以平面SCE. （2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG， 因为，所以，所以B，C，G，F四点共面， 因为平面，平面BCGF，平面平面， 所以，所以四边形BCGF是平行四边形， 所以，所以，所以F为线段SE的中点.    题型九 由线面平行求线段长度 利用线面平行性质定理得到线线平行，结合中位线长度、相似三角形边长比、平行四边形对边相等等关系，根据已知棱长、距离等条件，直接计算或确定所求线段的长度、取值范围，常与正方体、棱柱结构结合考查。 47．（25-26高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【详解】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 48．（2021·山西吕梁·三模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】首先根据线面平行的性质定理，作辅助线，找到包含的平面与平面的交线，即可计算的值. 【详解】连结，交于点，连结和，， 因为平面，又平面，且平面平面， 所以，又点是的中点，所以是的中点， 所以 故选：D 49．（22-23高一下·河北承德·期末）在三棱锥中，为线段上更靠近的三等分点，过作平行于的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】作且，证得平面和平面，得到截面为平行四边形，结合题意，即可求解. 【详解】如图所示，在三棱锥中，过作分别作， 再分别过点作，可得四点共面， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面，所以截面即为平行四边形， 又由为线段上更靠近的三等分点，且， 所以， 所以平行四边形的周长为：. 故选：B.    50．（19-20高一上·湖南衡阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取棱、的中点、，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【详解】如下图所示，分别取棱，的中点、，连，， ，，，分别为所在棱的中点，则，， ，又平面，平面， 平面. ，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 又， 平面平面. 是侧面内一点，且平面， 点必在线段上. 在中，. 同理，在中，可得， 为等腰三角形. 当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长. ，. 线段长度的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置． 题型十 面面平行的证明 在其中一个平面内找到两条相交直线，分别证明这两条直线都平行于另一个平面，依据面面平行判定定理证得面面平行；也可通过证明两个平面同垂直于一条直线，或同平行于第三个平面，从而完成面面平行的证明。 51．（2024高一下·全国·专题练习）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 52．（24-25高一·全国·寒假作业）如图所示，四边形为菱形，平面，平面.求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】分别证明平面，平面，结合面面平行的判定定理即可证明. 【详解】由题意平面，平面，则， 又因为平面，平面，所以平面. 因为四边形为菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面. 53．（2021高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的侧面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明面面平行，需根据判定定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明平面，平面； （2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥的三个侧面的面积. 【详解】（1）∵、分别为、的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， 在中，，， 又，∴， ∵平面，平面，∴平面， 又∵，平面CMN，平面CMN， ∴平面平面PAB． （2）∵平面，平面，平面， 由（1）可知，∴、， ∵，，，， ∴，，， 由（1）可知， 在中，， ∴， 又， 在中，，∴边上的高， ∴， ∴三棱锥的侧面积. 54．（25-26高二上·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形证明，即可证明四点共面； （2）由梯形可知，再根据两平面的交线，证明过点即可； （3）根据平面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）连接CE，因为GH是的中位线，所以. 因为ABCD，ABEF是两个全等的矩形， 所以， 所以，则四边形CDEF为平行四边形，从而. 又因为，所以，故D，G，H，F四点共面. （2）由（1）的证明过程知DGHF为梯形，设， 因为平面平面ABEF，所以平面平面ABEF. 又因为，所以，即直线DG，AB，FH经过同一点. （3）因为ABCD是矩形，所以. 又不在平面DAF内，所以平面DAF. 同理可证平面DAF. 因为平面GBH， 所以平面平面DAF. 55．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意，分别证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； （2）由平面，得到三棱锥的体积等于三棱锥的体积，利用，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接，由四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2）解：由平面及（1）知平面， 所以点P到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 因为，因为为圆的直径，可得， 又因为，，所以，， 且，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 56．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 57．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】要证明线面平行，可通过证明面面平行得到线面平行，即证明平面平面． 【详解】如图，取的中点，连接，． 在中，，，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 在直角梯形中，，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 58．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知四棱柱的底面为菱形． (1)求证：平面∥平面； (2)在直线上是否存在点P，使∥平面？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【分析】（1）利用线面平行进而证明面面平行； （2）延长线段构造平行四边形，再通过线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）由四棱柱的性质知，∥， 平面，平面，∥平面． 同理∥平面， ，平面，且， ∴平面∥平面． （2）在直线上存在这样的点P，使∥平面． ∥∥且，∴四边形为平行四边形， ∥．在的延长线上取点P，使，连接， ∥且，∥且， ∴四边形是平行四边形，∥， ∥，平面，平面， ∥平面． 题型十一 面面平行的的探索性问题 先根据几何体结构猜测满足面面平行的点的位置（中点、等分点等），在对应位置构造辅助线，分别证明两组相交直线对应平行，再依据面面平行判定定理证明两个平面平行，最终确定点的位置并完成证明。 59．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 60．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 61．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为，的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； (3)若为的中点，平面将四棱锥分为上下两个几何体，求下面的几何体与四棱锥的体积比. 【答案】(1)，证明见解析 (2)当为的中点时，平面平面，证明见解析 (3) 【分析】（1）先判断平面，进而根据线面平行的判定定理可证； （2）利用面面平行的判定定理可证. （3）将下面的几何体分为三棱锥和四棱锥，利用底和高之比可得体积比. 【详解】（1）由题意可知，又平面，平面，故平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）当为的中点时，平面平面，证明如下： 取的中点，连接， 在中，，又平面，平面， 故平面， 同理可证，平面，又平面，， 所以平面平面 （3） 连接，设到平面的距离为， 则 因为分别为的中点，故四边形的面积为 故下面的几何体的体积为 即下面的几何体与四棱锥的体积比为. 62．（24-25高一下·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线与直线是异面直线，直线与平面相交 (2)证明见解析 (3)存在，点为棱的中点，证明见解析 【分析】（1）由空间中的线面位置关系，即可判断； （2）取的中点为，连接，即可证明为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明； （3）根据题意，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】（1）直线与直线是异面直线；直线与平面相交. 理由如下：因平面,平面, 平面, 故直线与直线是异面直线； 又因平面，因点是的中点，, 故相交，设交点为,则点平面， 又点平面，故直线与平面相交. （2） 取的中点为，连接 ∵是棱的中点， ∴且 ∵点是棱的中点，                                                                                                                ∴且                                                                                                                  ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴. 且平面，平面， 所以平面. （3） 当点为棱的中点时，平面平面，                                                                证明：∵分别是棱的中点， ∴，∵ ，∴ ， ∵平面，平面，∴平面， ∵分别是棱的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，平面， ∴平面平面. 题型十二 利用面面平行证明线线平行 已知两个平面互相平行，若第三个平面与这两个平行平面分别相交，则根据面面平行性质定理，两条交线必定互相平行，直接由面面平行推出线线平行，常用于证明空间中不直接相交的直线平行问题。 63．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，平面，满足，，，判断与、与的位置关系并证明你的结论． 【答案】，，证明见解析 【分析】根据面面平行的性质即可证明，再由线面平行的判定即可证得. 【详解】，，证明如下： 由可得且， 由可得且， 因，，．，无公共点． 又且，． 因，则与无公共点． 又，则与无公共点，故． 64．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：构造平行四边形，证得，再根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：构造三角形的中位线，证得平面平面，根据平面，即可证明； （2）先通过三角形中位线证得平面，再根据线面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 65．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 【答案】证明见解析 【分析】根据条件可得平面平面，利用面面平行的性质定理即可证明. 【详解】平面平面， 平面. 四边形为正方形，， 平面，平面， 可得平面. 平面平面， 平面平面. 平面平面平面平面， . 题型十三 翻折类平行问题 翻折问题中，同一平面内的平行关系保持不变，先在原平面图形中利用中点、比例、平行四边形确定线线平行，翻折后空间位置改变但平行关系保留，再通过构造中位线、平行四边形或证明面面平行，完成翻折后的线面平行或面面平行证明。 66．（25-26高一下·全国·课堂例题）在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面.求证：平面. 【答案】由条件根据线面平行判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，结合面面平行性质证明结论. 【详解】证明：因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，故平面平面， 而平面，故平面. 67．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，通过证明进而证平面. 【详解】 取的中点，连接，， 由题意得，. 所以四边形为平行四边形，所以，. 又因为，将四边形沿翻折至四边形，故， ，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为在平面外，平面， 所以平面. 68．（24-25高一下·全国·课后作业）在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：    (1)四边形为平行四边形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据梯形中位线的性质得到且，即可证明； （2）依题意折叠前，，即可得到折叠后，，根据空间等角定理即可证明. 【详解】（1）因为在梯形中，，，分别为，的中点， 所以且， 又，，所以． 因为，分别为，的中点， 所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形． （2）折叠前，且，， 折叠后，， 所以与的对应边平行且方向相同， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $