专题06 图形变换综合（复习讲义）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 图形变换综合 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 图形的对称（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型 1：轴对称图形与中心对称图形的识别 题型 2：旋转的性质 必备知识 知识点一 轴对称图形与轴对称 知识点二 中心对称图形与中心对称 知识点三 图形的平移 知识点四 图形的旋转 命题预测 考点二 图形变换综合（压轴）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型 1：图形变换综合 命题预测 命题透视 1．从命题形式上看，呈现出“新情境、新模型、新设问”的特点，载体形式上多以网格作图、函数图象、几何折叠/旋转、实际应用场景为主，凸显对直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养的考查，渗透数形结合思想，培养几何建模能力。 2．从命题内容上看，平移/轴对称/中心对称的坐标计算与最短路径、旋转全等/相似模型、折叠问题中的勾股定理与方程思想、图形变换中的最值与动态探究、变换与函数/坐标系综合、位似缩放与规律探究是历年中考命题的核心区域。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 图形的平移 T24 T24 T24 图形的轴对称 T4 T4/ T24(折叠) T4 T4/ T24(折叠) T4 图形的旋转 T11 T11 T11 T11 T11 命题预测 命题形式：以生活化情境、网格/函数为载体，侧重考查直观想象、逻辑推理等核心素养，设问更具探究性与开放性。 核心考点：基础题聚焦平移/轴对称/旋转的性质与坐标计算，中档题侧重折叠勾股方程、最短路径模型，压轴题多为变换与函数、动态几何、全等/相似的综合。 备考方向：需熟练掌握核心变换模型，强化数形结合、分类讨论与方程思想，提升新情境下的几何建模与探究能力。 考点一 图形的对称 题型一 轴对称图形与中心对称图形的识别 折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连线被折痕所在直线垂直平分. 1．（2025·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键． 【详解】解：A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选C． 3．（2023·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A．全 B．面 C．发 D．展 【答案】A 【分析】根据轴对称的定义判断即可； 【详解】解：全面发展四个字中，可以看作是轴对称图形的是全； 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；掌握定义是解题关键． 4．（2022·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A．爱 B．国 C．敬 D．业 【答案】D 【详解】本题考查轴对称图形的识别．轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形，据此解答即可． 【分析】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选D． 5．（2021·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解． 【详解】A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查判断轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键． 题型二 旋转的性质 旋转角包括对应点与旋转中心所连线段的夹角，也包括对应边所在直线的夹角。 1．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 3．（2023·天津·中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，故A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键． 4．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 5．（2021·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明 ，即D选项正确； 【详解】由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵为钝角， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 知识1 轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 图示 性质 被对称轴分成的两部分是全等图形. 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 2.对应线段相等，对应角相等； 3.两个图形全等. 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合. 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形. 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合. 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称. 特别提醒:折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连线被折痕所在直线垂直平分. 知识2 中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心. 图形 性质 过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的周长与面积分别相等. 1）中心对称的两个图形是全等图形； 2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 3）中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等. 区别 指具有某种性质的一个图形 指两个图形的(位置)关系 知识3 图形的平移 概念 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 图示 性质 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤 1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2）找：找出确定图形形状的关键点； 3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点； 4）连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 知识4 图形的旋转 概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫旋转角. 要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 图示 性质 1）旋转前后的两个图形全等； 2）对应点到旋转中心的距离相等； 3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 作图步骤 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 1．（2026·天津红桥·一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：“强”字沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不可能完全重合，“强”字不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：“本”字沿中间的一竖所在的直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，“本”字是轴对称图形，故B选项符合题意； C选项：“节”字沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不可能完全重合，“节”字不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：“用”字沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不可能完全重合，“用”字不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 2．（2026·天津西青·一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：“典”字沿中间竖直线对折后，左右两部分能够完全重合，因此是轴对称图形；“枕”“席”“文”沿任意直线对折后，两侧部分均无法完全重合，不是轴对称图形． 3．（2026·天津河北·一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A．一 B．马 C．当 D．先 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的概念，解题关键是掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，根据定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A的“一”，存在竖直对称轴，沿该对称轴折叠后，直线两旁的部分能够互相重合， ∴“一”是轴对称图形； ∵选项B的“马”，选项C的“当”，选项D的“先”，都找不到一条直线，使图形沿直线折叠后两旁的部分能够互相重合， ∴这三个汉字都不是轴对称图形． 故选：A． 4．（2026·天津河东·一模）下列4个汉字中，从数学角度看可以看作轴对称图形的是（    ） A．马 B．工 C．枚 D．速 【答案】B 【详解】解：∵“马、枚、速”沿任何直线对折后，直线两旁的部分都不能完全重合， ∴ 它们都不是轴对称图形； ∵“工”沿过图形中心的竖直直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合， ∴“工”是轴对称图形． 5．（2026·天津北辰·一模）在中国传统文化中，古人常用纹样装饰生活，这些纹样既美观，又承载着中国人的审美与文化．下列纹样分别是“狴犴纹”“双喜纹”“祥云纹”“吉祥纹”，其中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形．依次对每个选项中的图形，尝试寻找是否存在这样的一条直线，使得图形沿该直线对折后完全重合．因为要找出不是轴对称图形的选项，所以只需判断出哪个图形不存在这样的对称轴即可． 【详解】选项A：沿图形中间竖直直线折叠，左右部分可以完全重合，是轴对称图形； 选项B：沿图形中间竖直直线折叠，左右部分可以完全重合，是轴对称图形； 选项C：不存在能让图形折叠后完全重合的直线，不是轴对称图形； 选项D：沿图形中间竖直直线折叠，左右部分可以完全重合，是轴对称图形． 6．（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质及判定、平行线的判定逐一判断即可. 【详解】解：∵以为边向外作等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由旋转可知：， ∴C错误； ，， ∴即：三点共线， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴A错误； ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴B正确； ∵不一定相等， ∴不一定垂直于， ∴D错误. 7．（2026·天津西青·一模）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把逆时针旋转得到，点B，E的对应点分别为D，F，的延长线与相交于点G，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可排除选项． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴，，，故A错误； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即，故C正确； 由题干可知点E是正方形中边上任意一点，所以不一定有，，故B、D错误． 8．（2026·天津河北·一模）如图，已知和正方形，，把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，，分别交于点M，N，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可知，然后根据旋转的性质可知，，最后利用三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，， ∴，， ∴． 9．（2026·天津北辰·一模）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转可得，，，，，则是等边三角形，由即可判断B；由求出的度数，即可判断A；然后求解，即可判断C；再由求解的度数即可判断D． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴是等边三角形， ∴ ∴，故B错误； ∵， ∴， ∴，故A错误； ∵ ∴， ∴， ∴，故C正确； 由旋转可得，， ∵ ∴，故D错误． 10．（2026·天津河东·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，与边相交于点．若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质与角平分线的性质，解题的关键是发现旋转后是的角平分线．先由旋转角度关系证得，再过点作于点，由角平分线性质得到，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：在中， ， ， 由旋转的性质得，， 绕点旋转得到， ， ， ，即是的角平分线， 过点作于点， ， ， 是的角平分线，， (角平分线上的点到角两边的距离相等)， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ，即． 故选：C． 11．（2026·天津南开·一模）如图，的三个顶点都在一圆上，将绕A点顺时针方向旋转，得到，B，C的对应点分别为点和点，且恰也落在此圆上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由旋转的性质可得，由圆内接四边形的性质可得，再由等边对等角得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·天津河西·一模）如图，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，点落在边上，连接．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】与的中点记为点，由旋转可得，根据三角形外角的性质，可判断选项A；由旋转的性质，结合同角的余角相等，可得，由旋转可得，，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，结合直角三角形的两个锐角互余，可判断选项B；根据勾股定理，结合旋转的性质，可得，由，，，证明，，，在中，根据勾股定理，可得，可判断选项C；由旋转的性质，结合等边等角，可得，可判断选项D． 【详解】解：与的中点记为点， 由旋转可得，，，，， ∴， ∴选项A正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴选项B正确； ∵，，， ∴， 由旋转可得， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 解得， ∴选项C错误； ∵，， ∴， ∴平分， ∴选项D正确． 13．（2026·天津和平·一模）如图，中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】由等腰三角形性质推出，由旋转的性质可知，，，再结合角的和差，角平分线的判定定理，以及平行线的判定分析判断，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握平行线的判定，旋转的性质以及等腰三角形的性质． 【详解】解：，， ， 由旋转的性质可知，，，故C选项正确，不符合题意； ， ， 即，故A选项不正确，符合题意． ， 平分，故B选项正确，不符合题意； ， ，故D选项正确，不符合题意． 考点二 图形变换综合（压轴） 题型一 图形变换综合 图形变换的本质是全等三角形，要抓住对应边、角相等的关系解决问题。 1．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：作于点，作于点， ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵平移， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； ②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴， 由（1）和（2）①可知：，，， ∴， ∴当时，的值最小，为； ∴； 设交轴于点，则：， ∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为， ∴； 当，随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时点轴，如图： 此时重叠部分为五边形，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移可得：，， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∴； 综上：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．    ①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围： ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，． (2)①；② 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）①由题意易得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积S；②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∴； 连接，交于一点H，如图所示：    ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， ∴， 故答案为，； （2）解：①∵点，点，点， ∴矩形中，轴，轴，． ∴矩形中，轴，轴，． 由点，点，得． 在中，，得． 在中，由，得． ∴．同理，得． ∵，得． 又， ∴， 当时，则矩形和菱形重叠部分为， ∴的取值范围是． ②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的， ∴当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：    此时面积S最大，最大值为； 当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：    由（1）可知B、D之间的水平距离为，则有点D到的距离为， 由①可知：， ∴矩形和菱形重叠部分为等边三角形， ∴该等边三角形的边长为， ∴此时面积S最小，最小值为； 综上所述：当时，则． 【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键． 4．（2022·天津·中考真题）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； (3)若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，其中t的取值范围是 (3)3，．（答案不唯一，满足即可） 【分析】（1）先根据折叠的性质得，即可得出，作，然后求出和OH，可得答案； （2）根据题意先表示，再根据，表示QE，然后根据表示即可，再求出取值范围； （3）求出t=3时的重合部分的面积，可得从t=3之后重合部分的面积始终是，再求出P与C重合时t的值可得t的取值范围，问题得解． 【详解】（1）在中，由，得． 根据折叠，知， ∴，． ∵， ∴． 如图，过点O′作，垂足为H，则． ∴在中，得． 由，得，则． 由， 得，． ∴点的坐标为． （2）∵点， ∴． 又， ∴． 同（1）知，，． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，，得． ∴． 又， ∴. 如图，当点O′与AB重合时，，， 则， ∴， ∴， 解得t=2， ∴t的取值范围是； （3）3，．（答案不唯一，满足即可） 当点Q与点A重合时，，， ∴， 则. ∴t=3时，重合部分的面积是， 从t=3之后重合部分的面积始终是， 当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan30°＝， 由于P不能与C重合，故， 所以都符合题意． 【点睛】这是一道关于动点的几何综合问题，考查了折叠的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形等． 5．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②． 【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由∠BOH=45°得到△OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标； (II)①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解； ②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H． 由点，得． ∵， ∴． 又∠BOH=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴． ∴点B的坐标为． (II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得． ∴，． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 整理后得到：． 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时， ∴t的取值范围是， 故答案为：，其中：； ②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示： 此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将代入， 得到最大值， 将代入， 得到最小值， 当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示： 此时， 和均为等腰直角三角形， ∴， ， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值， 将代入， 得到最小值， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：． 当时，由①知 ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为 ∴的最小值为，最大值为， 综上，S的取值范围为， ∴S的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 1．（2026·天津红桥·一模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）过点C作轴于D，可通过解直角三角形求出点的横、纵坐标；根据平行四边形对边平行且相等的性质，可由点的坐标推出点的坐标． （2）①因为，所以先确定的坐标；再求出直线和直线的解析式，联立解析式得到交点的坐标，再结合点的坐标计算；因为重叠部分为四边形，所以根据图形位置确定的取值范围．②先分析该范围内重叠部分图形的形状，结合（2）①的结论，利用面积公式表示出关于的函数；再根据函数的性质，求出在给定范围内的最值． 【详解】（1）过点C作轴于D， ，， ， ∵， ∴点D与点A重合， ∴， 。 ∵四边形是平行四边形， ，的纵坐标和相等，横坐标为 ， ． （2）① 由折叠性质得 ，， ， ∴ ， ， 设直线的解析式为，把 ， ，代入得，解得， ∴直线的解析式为 ， 同理可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ． 直线与、相交，且重叠部分为四边形时，（，且l在右侧、左侧）． (2) ② 当 时，过点F作 ， ∵直线与直线平行且经过原点， ∴直线解析式为， 由题意可得 ， ， ， ∴可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ， ∴面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大， 故最大值在处，；最小值在端点处，； 当 时，重叠部分是四边形，过点F作 ， 同理可知 ， ， ， ， ， 面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而减小， 时，； 时，； 故此时，； 当时，重叠部分是三角形， 同理可知 ， ， ， ​，最小值在时为； ∴的范围是． 2．（2026·天津河北·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，中，，，斜边轴，交y轴于点C，．    (1)填空：如图①，点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，过点A作y轴的平行线l，将l沿水平方向向左平移t个单位长度，得到，且，分别交，于点M，N，将沿向左侧翻折得到，与的重叠部分图形面积记为S． ①当重叠图形为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据解直角三角形分别求得、、，即可求解； （2）①根据轴对称的性质，，有，且当时，重叠图形为四边形，则，，然后记与交于点D，过B点向引垂线，垂足为E，易证，根据直角三角形的性质表示出，，从而表示出，进而根据解答即可； ②分别求得当，时S的值，以及时，S的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：轴， ， ， ，， ， ∵，， ， 在中，， ； （2）解：①当时， 在中，，，，， ，， 根据题意得，和关于直线对称， 则，有，且当时，重叠图形为四边形， 在中，，，，， ，， 记与交于点D，过B点向引垂线，垂足为E，如图，    在中，，， ， ∴， ，， ∴， ∴，其中，； ②当时，，， 则； 同理，当时，； 当时，，此时抛物线开口向下，对称轴为， ∵， ∴时S的值大于，时，S取得最大值，最大值为， 综上，当时，S的取值范围为． 3．（2026·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，， (2)； ． 【分析】（1）作于点，作于点，则，根据勾股定理可得的长，由平行四边形的性质，可得，，证明，，可得，，，可得点的坐标，根据勾股定理，可得的长； （2）由折叠可得，，证明，可得，可得折叠后重叠部分的面积，当点在线段上时，连接，交于点，由线段垂直平分线的判定，可得，，由同角的正切值相等，可得，可得，可得，由同角的余弦值相等，可得的最大值，即可得的取值范围；当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合，与的交点记为点，作于点，由折叠的性质，结合平行四边形的性质，可得，，证明，可得，由等腰三角形的性质，可得，由同角的正切值相等，可得，即可得折叠后重叠部分的面积． 【详解】（1）解：作于点，作于点，则， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：由折叠可得，， ∵，， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积， 当点在线段上时，连接，交于点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在平行四边形纸片上， ∴， ∴； 当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合， 与的交点记为点，作于点， 由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积． 4．（2025·天津和平·三模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设．    (1)填空：如图①，当时，点的坐标为          ，点的坐标为          ； (2)如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； (3)若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）延长交轴于，由正切函数得，可得， ，，即可求解； （2）由正切函数得，由直角三角形的特征得，即可求解； （3）①当时，此时折叠该纸片后与重叠部分为，由直角三角形的特征，由三角形的面积得； ②当时，由三角形面积得，，由二次函数的性质，即可求解；③当时，由等边三角形面积得，由二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：延长交轴于， ，， ，， ， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）解：由折叠得 ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故（）； （3）解：①当时，如图， 此时折叠该纸片后与重叠部分为， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， 当时，， ； ③当时，如图， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，二次函数的综合应用，特殊三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，三角函数等；掌握折叠的性质，特殊三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，能熟练利用三角函数进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 5．（2026·天津和平·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，直角的顶点，，等边的顶点，，顶点D在第二象限． (1)填空：如图①，的度数为 °，点D的坐标为 ； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点D，E，F的对应点分别为，，．设，等边与直角三角形的重叠部分的面积为S． ①如图②，若边与边相交于点G，当与重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①（​）； ② 【分析】（1）可先计算、长度，再利用直角三角形的边角关系求的度数；根据是等边三角形，结合的度数，所以可通过构造直角三角形，利用等边三角形性质和坐标平移的思路求D点坐标； （2）①将重叠部分的面积转化为等边的面积减去的面积；可先确定平移后各点的坐标，再结合的角度，利用三角函数求出的边长，进而得到其面积，同时根据重叠部分为四边形的条件确定t的取值范围； ②因为已知t的取值范围，所以需先分析在该范围内S的表达式的变化情况，再根据函数的性质求S的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 在中，，​，， ∴， ， 且是等边三角形，轴， ∴， 又∵D在第二象限， ∴D的横坐标为​，纵坐标与E相同为，即； （2）解：①等边的面积为​， 平移后，， 当重叠部分为四边形时，满足在y轴右侧、在y轴左侧， 即，解得​； ∵ 交y轴于，为直角三角形，，，， ∴​​， ∴重叠面积（​）； ②当时，重叠部分面积随的变化分为四个阶段： 当时，如图所示，重叠部分为， 面积，随的增大而增大。 ，， ∴； 当时，重叠部分为四边形， 面积，随的增大而增大。 ，， ∴； 当时，重叠部分为四边形， 面积，随的增大而减小。 ， ， ∴； 当时，重叠部分由腰线和斜边围成， 面积，随的增大而减小。 ，， ∴； ∴的取值范围为． 6．（2026·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，为原点，等腰的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设． （i）如图②，当四边形与重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； （ii）设平移后四边形与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)（i），；（ii） 【分析】（1）连接交于点，根据等腰三角形的性质得到，求出，进而得到，再根据正方形的性质的长，即可求出； （2）（i）根据平移的性质证明四边形是矩形，进而得到和是等腰直角三角形，则，；当四边形与重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧，列出关于的不等式组，即可得出的取值范围； （ii）分3种情况讨论：①当时；②当时；③当时，先确定四边形与重叠部分的图形，再利用图形的面积公式表示出与的关系式，结合，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：连接交于点，   ∵等腰的顶点，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：（i）由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵等腰，， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵点是的中点，， ∴， 由（1）得，， 由平移的性质得，，， ∵当四边形与重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧， ∴， 解得， 综上，，； （ii）①当时，四边形与重叠部分为四边形， 由（i）得，四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 令，则， 解得， ∴； ②当时，四边形与重叠部分为五边形， ∵， ∴， 由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 由（i）得，是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 同理①的方法可得，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值5；当和时，取得最小值4， 此时，满足题意； ∴； ③当时，四边形与重叠部分为， ∵， ∴， 由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 令，则， 解得或， ∴； 综上，的取值范围为． 7．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，其中t的取值范围是；② 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、等边三角形的性质与判定、三角函数及平移的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、等边三角形的性质与判定、三角函数及平移的性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据等边三角形的性质及三角函数可得，进而问题可求解； （2）①由平移的性质可得，，则有是等边三角形，在中，，则，然后可得，进而根据割补法可进行求解； ②以和为邻边构造平行四边形，然后可得，则由（1）得，点O关于直线的对称点为点，故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则， ∴， ∴点B的坐标为的坐标为， 故答案为：； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 在中，，则， ∴， 在中，， ∵， ∴， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，设， ∴， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06图形变换综合 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 考点一 图形的对称(C1并单击鼠标可跟踪链接) 真题动向 题型1：轴对称图形与中心对称图形的识别 题型2：旋转的性质 知识点一轴对称图形与轴对称 知识点二中心对称图形与中心对称 必备知识 知识点三图形的平移 知识点四图形的旋转 命题预测 考点二 图形变换综合（压轴） (Ctrl并单击鼠标可跟踪链接) 真题动向 题型1：图形变换综合 命题预测 01 析考情目标 1.从命题形式上看，呈现出“新情境、新模型、新设问”的特点，载体形式上多以网格作图、 函数图象、几何折叠/旋转、实际应用场景为主，凸显对直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养 命题 的考查，渗透数形结合思想，培养几何建模能力。 透视 2.从命题内容上看，平移/轴对称/中心对称的坐标计算与最短路径、旋转全等/相似模型、折叠问 题中的勾股定理与方程思想、图形变换中的最值与动态探究、变换与函数/坐标系综合、位似缩放 与规律探究是历年中考命题的核心区域。 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 热考 图形的平移 T24 T24 T24 角度 图形的轴对称 T4 T4/T24(折叠) T4 T4/T24(折叠) T4 图形的旋转 T11 T11 T11 T11 T11 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 命题形式：以生活化情境、网格/函数为载体，侧重考查直观想象、逻辑推理等核心素养，设问更 具探究性与开放性。 命题 核心考点：基础题聚焦平移/轴对称/旋转的性质与坐标计算，中档题侧重折叠勾股方程、最短路 预测 径模型，压轴题多为变换与函数、动态几何、全等/相似的综合。 备考方向：需熟练掌握核心变换模型，强化数形结合、分类讨论与方程思想，提升新情境下的几 何建模与探究能力。 02 筑·专题框架 考点 平移前后图形全等 对应线段：平行/共线+相等，对应角：相等 性质 3 对应点连线平行/共线+相等 对应点距离=平移距离 平移 找对应点一抓特征点顶点、端点)匹配位置 解决平移问题的关键 0 定对应点→明确平移方向、距离 解题步骤 2 用“对应线段/角相等”算长度、角度 图形变换综合 3 复杂图形：平移对应点→还原轨迹 对应点所连线段被对称轴垂直平分 轴对称一性质 对应线段相等、对应角相等 旋转前后图形全等一△ABC≌△ADE 对应点到旋转中心距离相等一AB=AD 对应点与旋转中心的连线夹角=旋转角一∠DAB=旋转角 解决旋转问题的关键 找旋转角、对应点，用旋转性质 旋转 旋转的性质 两个图形全等一△ABC兰△A'B'C 经过中心一AA'过点O 对应点的连线 中心对称的性质 被对称中心平分一AO=A'O 03 攻·重难考点 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点一 图形的对称 题 ●● 题型一 轴对称图形与中心对称图形的识别 点方法 折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连 线被折痕所在直线垂直平分. 1.(2025天津中考真题)在一些美术字中， 有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中， 可以看作是轴对 称图形的是( 能工·巧匠 2. (2024·天津中考真题)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对 称图形的是() 知物由学 3.(2023天津中考真题)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对 称图形的是() A.全 B.面 C.发 D.展 4.(2022·天津中考真题)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对 称图形的是() A.爱 B.国 C.敬 D.业 5.(2021天津中考真题)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对 称图形的是( 山·河岁月 题型二旋转的性质 点方法 一旋转角包括对应点与旋转中心所连线段的夹角，也包括对应边所在直线的夹角。 (2025天津中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AB'C,点B,C的对应点分别为B,C,BC的延长线与边BC相交于点D,连接CC.若AC=4,CD=3, 则线段CC的长为() BD 12 A.5 C.4 D. 24 5 2.(2024天津中考真题)如图，△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC, 点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是() A.∠ACB=∠ACD B.ACI‖DE C.AB=EF D.BF⊥CE 3.(2023天津中考真题)如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应点分 别是点D,E,且点E在BC的延长线上，连接BD,则下列结论一定正确的是() B E D A.∠CAE=∠BEDB.AB=AE C.∠ACE=∠ADED.CE=BD 4.(2022天津中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时 针旋转得到△ACN,点M的对应点为点N,连接MW,则下列结论一定正确的是() 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.AB=AN B.AB‖NC C.∠AMN=∠ACND.MN⊥AC 5.(2021天津.中考真题)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到 △DEC,点A,B的对应点分别为D,E,连接AD.当点A,D,E在同一条直线上时，下列结论一定正 确的是() B D E A.∠ABC=∠ADC B.CB=CD C.DE+DC=BCD.AB‖CD 核 炼 《◇知识1 轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它 两旁的部分能够互相重合，那么这个图形 能够与另一个图形重合，那么称这两个图 就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称 形关于这条直线对称，也称这两个图形成 轴. 轴对称，这条直线叫做对称轴. 图示 B B 性质 被对称轴分成的两部分是全等图形. 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分： 2.对应线段相等，对应角相等： 3.两个图形全等。 区 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 别 对象不同 两个图形 一个图形 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对称轴的 在两个图形之间 过图形的某条直线 位置不同 对称轴的 只有一条 不一定只有一条 数量不同 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合. 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合。 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图 体，那么它就是一个轴对称图形 形，那么这两个图形成轴对称. 特别提醒：折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连线被 折痕所在直线垂直平分 《◇知识2 中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果 把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一 旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它 称或中心对称，这个点叫做对称中心 的对称中心. 图形 性质 过对称中心的直线把中心对称图形分成的两 1)中心对称的两个图形是全等图形： 部分的周长与面积分别相等。 2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 对称中心，而且被对称中心所平分： 3)中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一 条直线上)且相等 区别 指具有某种性质的一个图形 指两个图形的（位置）关系 。知识3图形的平移 概念 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移.它是由 移动方向和距离决定的： 图示 平移方向 平移距离 性质 1)平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2)平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3)任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的 距离. 作图步骤 1)定：根据题目要求，确定平移的方向和距离： 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)找：找出确定图形形状的关键点； 3)移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线 段，得到关键点的对应点： 4)连：按原图顺序依次连接各对应点， 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向：③平 移的距离。 《○知识4图形的旋转 概念 把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，叫图形的旋转，点0叫做旋转中心， 转动的角叫旋转角。 要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 图示 旋转方向 B 旋转角 性质 1)旋转前后的两个图形全等； 2)对应点到旋转中心的距离相等； 3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 作图步骤 1) 根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角： 2)找出原图形的关键点： 3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点： 4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形. 命 题 预 测 1. (2026天津红桥.一模)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对 称图形的是() 强本c节用 A.E 2.(2026天津西青一模)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对 称图形的是() 枕典席文 3.(2026天津河北一模)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对 称图形的是() 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. B.马 C.当 D.先 4.(2026·天津河东·一模)下列4个汉字中，从数学角度看可以看作轴对称图形的是() A.马 B.工 C.枚 D.速 5.(2026天津北辰·一模)在中国传统文化中，古人常用纹样装饰生活，这些纹样既美观，又承载着中国 人的审美与文化.下列纹样分别是“狴犴纹”“双喜纹”“祥云纹”“吉祥纹”，其中不是轴对称图形的 是() 6 6.(2026·天津红桥.一模)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向外作等边三角形BCD,连接 AD,将△ABD绕点D顺时针旋转得到△ECD,点A的对应点为E,则下列结论一定正确的是() A.DE=AB+CE B.ABII ED C.∠DCE=∠BCD D.AD⊥BC 7.(2026天津西青一模)如图，E是正方形ABCD中AD边上任意一点，以点A为中心，把△ABE逆时 针旋转90°得到△ADF,点B,E的对应点分别为D,F,BE的延长线与DF相交于点G,则下列结论一定 正确的是() D G A A.BG=DF B.∠ABE=30 C.BG⊥DF D.AE=ED 8.(2026天津河北一模)如图，已知△ABC和正方形AECD,∠B=36°，把△ABC绕点A旋转得到 △AFG,点B,C的对应点分别是点F,G,当点G在AE的延长线上时，BC,AB分别交FG于点 M,N,∠ANF的大小为() 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D N/ E M G B A.69° B.99° C.81° D.121° 9.(2026天津北辰·一模)如图，在△ABC中，∠ACB=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE, 点A,C的对应点分别为D,E,连接DA,若点C,A,D在一条直线上，下列结论一定正确的是() E B C A.∠ABC=∠EBAB.∠DEC=90° C.DE∥AB D.BE⊥CD 10.（2026天津河东，一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90,将AABC绕点A顺时针旋转∠CMB得到 △ABC',点B,C的对应点分别为点B'C',B'C'与边AC相交于点D.若AB=3,BC=4,则线段CD 的长为() D B A 4.3 B.4-√5 c 2 11.(2026天津南开.一模)如图，△ABC的三个顶点都在一圆上，将△ABC绕A点顺时针方向旋转，得 到△AB'C',B,C的对应点分别为点B和点C,且B恰也落在此圆上，若∠C=I14°，则∠BAB的大小 为() 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.42° B.44° C.46° D.48° 12.(2026天津河西一模)如图，∠ACB=90°，将RIAABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点A、B的 对应点分别为D、E,点B落在边DE上，连接AD.若AC=2,BC=1,则下列结论错误的是() A.∠ACD=∠ABD B.AD⊥DE C.BE=35 D.BC平分∠ABE 13.(2026天津和平.一模)如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC,将△ABC绕着点B逆时针旋转n°得 到△A'CB,点A,C的对应点分别为A,C',点C恰好落在边AC上，则下列结论不正确的是() A.n=72 B.BC'平分∠ABC C.BC"=BC D.A'B∥AC 考点二图形变换综合（压轴） 真 题 动 向 题型一【 图形变换综合 点方法 图形变换的本质是全等三角形，要抓住对应边、角相等的关系解决问题。 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2025天津中考真题)在平面直角坐标系中，O为原点，等边△ABC的顶点A0,2,B0,-1,点C 在第一象限，等边△EOF的顶点E-3,0,顶点F在第二象限. 噪 G 图① 图② (I)填空：如图①，点F的坐标为 点C的坐标为 (2)将等边△EOF沿水平方向向右平移，得到等边△EOF,点E,O,F的对应点分别为E,O,F.设 00=t. ①如图②，若边E'F'与边AB相交于点G,当△EOF与△ABC重叠部分为四边形OOFG时，试用含有t 的式子表示线段GA的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为S,当33≤s33 4sts 2 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）· 2.(2024天津中考真题)将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O0,0,点A3,0, 点B,C在第一象限，且OC=2,∠AOC=60° y鼻 0 图① 图② (1)填空：如图①，点C的坐标为 点B的坐标为 (2)若P为X轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点O的对应点O落在 x轴的正半轴上，点C的对应点为C.设OP=t. ①如图②，若直线l与边CB相交于点Q,当折叠后四边形PO'CQ与口OABC重叠部分为五边形时， O'C'与AB相交于点E.试用含有t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围： 2 11 ②设折叠后重叠部分的面积为S,当≤t≤4时，求S的取值范围（直接写出结果即可）· 3.(2023·天津中考真题)在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A(V3,0),B(0,1),D(2√3,1)， 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 矩形EFG 的点引5，》H引 (1)填空：如图①，点C的坐标为 ,点G的坐标为 (2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形EFGH,点E,F,G,H的对应点分别为E,F',G, H'.设EE=t,矩形EF'G'H与菱形ABCD重叠部分的面积为S. 1 G H N H B D B A A 图① 图② ①如图②，当边E'F'与AB相交于点M、边G'H与BC相交于点N,且矩形EFGH与菱形ABCD重叠 部分为五边形时，试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围： @当9 4 二时，求S的取值范围（直接写出结果即可）. 4.(2022·天津中考真题)将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点00,0)，点A(3,0),点 C(O,6),点P在边OC上（点P不与点O,C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P,并与x轴 的正半轴相交于点Q,且∠OPQ=30°，点O的对应点O落在第一象限.设OQ=t. B C D A x O A x 图① 图② (I)如图①，当t=1时，求∠OQA的大小和点O的坐标： (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，OQ,O'P分别与边AB相交于点E,F,试用含有t的式子表示 OE的长，并直接写出t的取值范围： (3)若折叠后重合部分的面积为3V3,则t的值可以是 (请直接写出两个不同的值即可). 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2021·天津中考真题)在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形， ∠OBA=90°，BO=BA,顶点A4,0,点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E -7 点C在y轴的正 半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B. C B D B F A E A O'x 图① 图② (I)如图①，求点B的坐标： (IⅡ)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形OCDE,点O,C,D,E的对应点分别为O,C,D, E,设OO=t,矩形OC'DE与△OAB重叠部分的面积为S. ①如图②，当点E在x轴正半轴上，且矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为四边形时，DE与OB相交于 点F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围： 9 求S的取值范围（直接写出结果即可）· 命 题 1. (2026·天津红桥·一模)将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0),点 A2,0),点B,C在第一象限，且OC=4,∠A0C=60°. 图① 图② (1)填空：如图①，点C的坐标为 点B的坐标为」 (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线1⊥x轴，沿直线I折叠该纸片，折叠后点O的对应点O'落 在x轴的正半轴上.设OP=t. 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①如图②，若直线I与边AB相交于点D,与边CB相交于点E,点A的对应点为，点C的对应点为C', 当折叠后五边形A'O'CED与口OABC重叠部分为四边形时，O'C'与AB相交于点F.试用含有t的式子表 示线段BF的长，并直接写出t的取值范围： ②设折叠后乐叠部分的面积为5当号51 3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）， 2.(2026·天津河北一模)在平面直角坐标系中，O为原点，Rt△AB0中，∠AOB=90°，∠OAB=30°， 斜边AB∥x轴，AB交y轴于点C,AO=6, B C N M 0 图① 图② (1)填空：如图①，点A的坐标为 点B的坐标为 (2)如图②，过点A作y轴的平行线1，将1沿水平方向向左平移1个单位长度，得到1'，且0<1<3W3,'分 别交AO,AB于点M,N,将△AMN沿I'向左侧翻折得到△A'MN,△AMN与△ABO的重叠部分图形面积 记为S. ①当重叠图形为四边形时，试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围： ②当2≤ ≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）。 3.(2026天津河西一模)在平面直角坐标系中，O为原点，OABC是一个平行四边形纸片，顶点 44 BO,5'点C在第二象限. 0 图① 图② (1)如图①，填空：OA的长是 点C的坐标是 ,AB的长是」 (2)若P为BC边上一动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交CO边于点Q,沿直线P折叠该纸片，折叠后 点C的对应点为点D.设CP=t 14/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①如图②，当点D落在平行四边形OABC纸片上时.试用含有t的式子表示折叠后重叠部分的面积S,并 直接写出t的取值范围； ②当直线P№与y轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）· 4.(2025·天津和平三模)将一个直角三角形纸片A0B放置在平面直角坐标系中，点O(0,0),点A6,0), 点B6,2W5,∠0AB=90,点p在r轴正半轴上，点Q在边OB上，且O0=PQ,沿直线PO折叠该纸片， 折叠后点O的对应点为O',设OP=t. 图① 图② (1)填空：如图①，当t=3时，点Q的坐标为 ,点O'的坐标为 (2)如图②，若折叠该纸片后与△AOB重叠部分为四边形，点A的对应点为A,O'A'与边AB相交于点D, P№与边AB相交于点E,试用含有t的式子表示线段DE的长，并直接写出t的取值范围； (3)若折叠该纸片后与△AOB重叠部分的面积为S,当5≤t<9时，求S的取值范围（直接写出结果即可）· 5.(2026天津和平一模)在平面直角坐标系中，0为原点，直角△40B的顶点A0,5),B55,0)，等 边ADEF的顶点E(0,3),F-V5,0),顶点D在第二象限. A E FO B B 图① 图② (1)填空：如图①，∠EFO的度数为_°，点D的坐标为_； (2)将等边aDEF沿水平方向向右平移，得到等边△DEF',点D,E,F的对应点分别为D4,E,F'.设 EE'=t,等边△D'EF'与直角三角形AOB的重叠部分的面积为S. ①如图②，若边D'F'与边OA相交于点G,当△D'E'F'与△AOB重叠部分为四边形EEFG时，试用含有t 的式子表示S,并直接写出t的取值范围； 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当 -≤t≤ 2 二时，求S的取值范围（直接写出结果即可）· 6. (2026天津河东.一模)在平面直角坐标系中，0为原点，等腰△AOB的顶点A4,0),∠BA0=90°. 四边形OCDE是正方形，点C是OB的中点，点D在y轴上. D D' B M H N A O'A 图① 图② (1)填空：如图①，点B的坐标为 点E的坐标为】 (2)将四边形OCDE沿x轴向右平移得到四边形O'CD'E,点O,C,D,E的对应点分别为O',C',D4, E,设O0'=t. (i)如图②，当四边形O'CD'E'与△AOB重叠部分为五边形时，O'C',CD,EO'分别与AB,BO相交 于点G,H,M,N,试用含有t的式子表示线段MH,并直接写出t的取值范围： (ii)设平移后四边形O'CD'E'与△AOB重叠部分的面积为S,当3≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出 结果即可). 7.(2025天津河东一模)在平面直角坐标系中，0为原点，点A6,0),点B在y轴的正半轴上， ∠ABO=30°，△BCO是等边三角形，点C在第二象限. B B C E H O 0 图① 图② (1)填空：如图①，点B的坐标为 点C的坐标为」 (2)将△BCO沿x轴向右平移得到△B'CO',点B,C,O的对应点分别为B,C,O' ①如图②，设OO=t,△B'C'O与△ABO重叠部分的面积为S.当△B'C'O与△ABO重叠部分为五边形时， B'O,B'C,CO分别与AB,BO相交于点E,F,G,H,试用含有1的式子表示S,并直接写出t的取值范 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 围； ②连接AB、OC,当AB+OC'取得最小值时，求点C的坐标（直接写出结果即可）， 17/17