专题07 二次函数（复习讲义）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07 二次函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 二次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：二次函数综合 必备知识 知识1 二次函数 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现数形结合、动态探究、多问梯度特点，以抛物线图象、参数变化、几何结合为载体，突出对几何直观、运算求解、逻辑推理、综合探究的考查，渗透模型思想与分类讨论意识。 命题内容： 二次函数：侧重图象性质与代数推理综合，常与方程、不等式、几何图形相结合，参数符号判断、最值探究、存在性问题、函数几何综合为核心考点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 二次函数 T26：二次函数图象性质与综合 T26：二次函数图象性质与综合 T26：二次函数图象性质与综合 T25：二次函数实际问题；待定系数法求二次函数解析式 T26：二次函数图象性质与综合 T8：二次函数解析式 T26：二次函数图象性质与综合 命题预测 1. 考情预测 · 二次函数： · 核心考点：二次函数稳居中考压轴核心，题型分层设置，难易梯度清晰。 2. 备考建议 · 强化综合：重点考查抛物线图象性质、解析式求解、参数取值与最值问题，常结合一元二次方程、不等式、几何图形深度融合。 · 关注创新：命题强化数形结合、分类讨论与代数运算，聚焦动点探究、面积最值、点的存在性等综合题型；注重知识迁移与逻辑推理，以多问递进形式设问，综合性、探究性强，是区分度核心题型。 考点一 二次函数 题型一 二次函数综合 根据点所在的解析式构造新函数，分析新函数的图象性质。 1．(2025·北京中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 2．(2026·北京平谷区·一模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含a的式子表示b； (2)点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）先由求得，由题意，，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ∴，则； （2）解：由（1）得， ∵点在抛物线上，且，， ∴，则， 由题意，，， ∴， 解方程得，， ∵的长随着的增大而增大， ∴或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为． 3．(2026·北京八一教育集团·零模)已知抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的解析式； (2)将抛物线上，两点之间的部分（包括端点）记作图象，过点作轴垂线，若图象的最高点与最低点分别位于直线的上方和下方，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2)的取值范围是或． 【分析】（）将已知两点坐标代入抛物线解析式，通过待定系数法先求出，再求出，即可确定解析式； （）先确定抛物线的对称轴与顶点，再分、和，分别找出图象的最高点与最低点，结合它们与直线的位置关系列不等式，最后合并两种情况的结果得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， 把点、代入， 得：， 解得， ∴抛物线解析式为：； （2）解：抛物线的开口向下， 对称轴：，顶点坐标为， ∵ 点的横坐标为，且与不重合，图象的最高点与最低点分别位于直线的上方和下方， ∴图象是抛物线在上的部分， 当， 最高点：， 最低点：， 直线的方程为： 最高点在直线上方：，解得 最低点在直线下方：，解得 结合，得； 当时 最高点：， 最低点：， 当 时，对应直线的方程为， 最高点在直线上方：，解得， 最低点在直线下方：，解得， 结合，得； 当，此时，在对称轴左侧，随增大而增大， 因此最高点为，最低点为： 最高点在上方：，得，结合得； 最低点在下方：， 化简得，满足该条件， 因此符合要求， 综合，的取值范围是或． 知识1 二次函数 1.三种解析式  一般式：，适用已知任意三点坐标求解析式  顶点式：，适用已知顶点与任意一点的坐标求解析式 交点式：，、为轴交点的横坐标 2.图象性质 1 图象：抛物线 2 决定开口： >0：开口向上，有最小值； <0：开口向下，有最大值；越大，开口越小 3 对称轴与顶点 对称轴： 顶点坐标： 4 增减性 a) >0，对称轴左侧递减，右侧递增 b) <0，对称轴左侧递增，右侧递减 3. 二次函数与方程、不等式 1 一元二次方程，方程的根=抛物线与x轴交点坐标 2 函数与不等式：，图象在x轴上方部分对应x范围；，图象在x轴下方部分对应x范围 1．(2026·北京十三中分校·零模)在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点． (1)求该抛物线解析式（用含的式子表示）； (2)过点作轴的平行线，将抛物线（）在直线右侧的部分沿轴翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为，直线与直线交于点，与图形交于点（不与重合）． ①若的长度随的增大而减小，求所有满足题意的的取值范围； ②当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或或；② 【分析】（1）将点代入抛物线，化简求出b，得到含a的表达式； （2）①求出抛物线翻折部分的解析式为，得,联立，解得，联立，解得，若，若，若，若，若，分类讨论，答案：或或；②当时，，当时，，当时，，当时，若，分类讨论，答案：当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，的取值范围是． 【详解】（1）解：将代入，得， 化简,得， 即, 故抛物线表达式为； （2）解：①∵抛物线（）在过点平行轴的直线右侧的部分沿轴翻折， ∴翻折部分的解析式为， ∴， ∵直线与直线交于点，与图形交于点， ∴， 当时，， 联立，解得， 若， ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小， ∴； 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴； 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴无解； 当时，， 联立， 解得， ∴取， 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴； 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴无解； 综上，或或； ②当时，， ；， ∵， ∴当时，随t的增大而减小， ∴在的范围内的值随t的增大而减小， ∴不存在两个t值使得的值相等； 当时，， ， ∵， ∴当时，随t增大而增大， ∴在的范围内的值变化情况是：减——增， ∴有两个t值，使得的值相等； 当时，， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴在的范围内的值变化情况是：减——增——减， ∴有三个t值，使得的值相等； 当时，， ， ∵， ∴当时，随t增大而增大， ∴在的范围内的值变化情况是：减——增——减——增， ∴有四个t值，使得的值相等； 综上，当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，的取值范围是． 2．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交轴于点，该直线交于点，交抛物线于点． ①若，求与的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；②或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）把点，点，代入抛物线，即可 （2）①根据题意，得到；，，把代入，求出点、、、的坐标，即可；②，；，，得到，，求出的取值；分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2）解：①∵过点作轴的垂线，交轴于点， ∴； ∵该直线交于点，交抛物线于点， ∴，， ∵， ∴点的纵坐标为， 当， ∴点，，，， ∴，． ②由①可得，；，， ∴，， ∵恒成立， ∴， ∴， 当时， ， 解得：， ∴； ∴，不符合题意； 当时， ， 解得：， ∴； ∴， ∴， 当时，， 解得：或， ∴或； ∴或，不符合题意，舍去； 综上，或． 3．(2026·北京一零一教育集团·零模)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形． ①过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，已知点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围； ②若，且点，在图形上，对任意的，都有，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①或 ② 【分析】（1）通过配方法将抛物线解析式化为顶点式，直接得出顶点坐标； （2）①分和两类讨论图形的解析式：当时，结合图像可直接判断随增大而增大；当时，写出，坐标并表示出关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质解不等式得到的范围；②当时，先确定抛物线的解析式，设，则可转化为，则，结合，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：， 则抛物线的顶点坐标为． （2）①解：由（1）可知，抛物线的对称轴为， 当，图形如下图所示， 据图可知，当点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大； 当，图形如下图所示， 当，解析式为， 则点的坐标为，点的坐标为， 可得， 令，即当，随着的增加而增加， 的对称轴为， 则，解得， 综上，的取值范围为或． ②解：如图，当，抛物线为，当，，当，， 即在图形上，随着的增大而增大， 设，则，可转化为， 若对任意的，都有， 则，解得， 其中，则， 解得． 4．(2026·北京一六六中学·零模)在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点． (1)当时，比较，的大小； (2)当时，记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，若在图形上存在两点、（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出当时，、的值，通过比较得到、的大小关系； （2）抛物线的对称轴为，分和两种情况讨论 【详解】（1）解：， 抛物线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标为， 当时，可得：， ， 当时，可得：， ， ； （2）解：抛物线的对称轴为， ①当时，抛物线开口向上， ， ，即， 两边平方得， 整理得， 设， 当时，解得， ，开口向上， 根据二次函数的图象可得的解集为或， ， 要存在点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而减小， 则点需要在对称轴的两边或者在对称轴的左边， ， ，， 在对称轴的右边， ∴需要在对称轴的左边才能满足条件， 此时， 解得； ②当时，抛物线开口向下， ， ，即， 两边平方得， 整理得， 设， 当时，解得， ，开口向上， 根据二次函数的图象可得的解集为， ， 要存在点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而减小， 则点需要在对称轴的两边或者在对称轴的右边， ， ，， 在对称轴的右边，在对称轴的左边或右边，都满足条件， ， 综上，或． 5．(25-26九下·北京海淀区北京理工大学附属中学·零模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)已知点、是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入关系式，再配方得出顶点式，即可得出顶点坐标； （2）先求出抛物线的对称轴，再分两种情况结合二次函数图象的性质得出答案即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴抛物线的顶点坐标是； （2）解：抛物线的对称轴， 当时，点在对称轴右侧，可知， ∴ 解得； 当时，点在对称轴右侧，点一定在对称轴右侧， ∴ 解得， ∴． 则a的取值范围是或． 6．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)在平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点， 若，，直接写出的长； 若线段的长度随的增大而减小，求出的取值范围． 【答案】(1)， (2)；的取值范围为或 【分析】（1）分别将点，的坐标代入抛物线解析式，即可得解； （2）结合题意，分别确定点、的坐标，即可得解； 先表示出， 令，解方程求得的值，根据的值分段讨论：，，，根据二次函数的图象与性质即可得解． 【详解】（1）解：将原点代入抛物线， 可得， 该抛物线解析式为， 将点代入抛物线， 可得， 解得； （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为， 若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，则有， 如图， 过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点， ， 将代入，可得， ， 将代入，可得， ， ； 过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点， ， 将代入，可得， ， 将代入，可得， ， ， 令，即，解得或， 如图，当时，则有， ， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，线段的长度随的增大而减小，故此时符合题意； 如图，当时，则有， ，则， 函数图象开口向下，对称轴为直线， 当时，线段的长度随的增大而增大，故此时不符合题意； 当时，线段的长度随的增大而减小，故此时符合题意； 如图，当时，则有， ， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，线段的长度随的增大而增大，故此时不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 7．(25-26九下·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为． (1)求b，c的值（用含a，h的式子表示）； (2)将抛物线在直线右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，得到图形G．已知，，当时，对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点，求h的取值范围； (3)为抛物线上一点，在（2）的条件下，若m的最大值小于6，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，，求解即可； （2）根据题意，得轴，且，在抛物线顶点的上方，当时，要使对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点，分两种情况讨论求解即可； （3）把代入抛物线解析式，化简得，时，m取得最小值1，当时，，由m的最大值小于6，故，再求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 故直线，， ， ，． （2）解：根据题意，得的对称轴为直线， ，的纵坐标相同， 轴，且， ， 在抛物线顶点的上方， 直线与抛物线的交点为， 当时，要使对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点， 当时， 只需满足， ∴， 当时， 同理可得：， ∴， 综上：且． （3）解：为抛物线上一点， ， ， ， ， 时，m取得最小值1， 由且． 当时，取得最大值，且， 由m的最大值小于6， 故， 解得， ， 故． 8．(25-26九下·北京第四中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线和x轴正半轴交于点． (1)求b的值； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线于点Q．已知当时，线段的长随m的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用点在抛物线上，将点坐标代入解析式即可求解b的值． （2）先根据（1）确定抛物线解析式，再得到、两点坐标，得到，结合二次函数增减性，分三情况讨论即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：． （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 根据题意，过作轴垂线，得， ∴， 令，则或， 即的函数图象与轴的交点为，对称轴为， 当时，，即时，线段的长随m的增大而增大恒成立； 当时，如图，或时，线段的长随m的增大而增大， ∵当时，线段的长随m的增大而增大， ∴或， 解得：； 当时，， 根据图象得或时，线段的长随m的增大而增大， 即当时，线段的长随m的增大而增大，恒成立； 综上，或时，线段的长随m的增大而增大． 9．(25-26九·北京西城区德胜中学·模拟)已知抛物线经过原点和．点M是抛物线上的动点，其横坐标为m，过点M作轴，与直线交于N． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点M作x轴的垂线，垂足为点P．在点P从点O运动到点的过程中； ①当时，求的最大值； ②若的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①； ②且 【分析】（1）和代入抛物线，即可求出c的值，a、b的关系式； （2）①可得，由点M的横坐标为m，轴，得，，得，当 时，，得； ②，分两种情况：当时，和当时，分和分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点和， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∵轴，N 在上， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 P 从 O 到， ∴， 当 时，则， 则（）， ∵二次函数开口向下，顶点在， ∴当时，；    ②， 当时， 此时函数开口向下，对称轴：，在时增大而增大， 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，矛盾； 当时，则，，即在时增大而增大， 则 随 m 增大而增大恒成立； 当时， 此时函数开口向上，对称轴：，在时增大而增大， 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，解得：， ∴； 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，矛盾； 综上，且． 10．(25-26九·北京第八中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示． (2)点是抛物线上一个动点，且其纵坐标始终小于点的纵坐标，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，则___________； ②若线段的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据可得抛物线的解析式和点P的坐标，据此求出直线的解析式，再求出点E和点F的坐标即可得到答案；②根据（1）所求可得抛物线的解析式，求出直线的解析式，再求出点E和点F的坐标，进而可表示出的长，根据点M的纵坐标始终小于点的纵坐标可求出t的取值范围，再讨论的取值范围，结合线段的长随的增大而增大求解即可． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，抛物线经过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，当时，抛物线的解析式为，， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴； ②由（1）得抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点是抛物线上一个动点，且其纵坐标始终小于点的纵坐标， ∴点M到对称轴的距离小于点P到对称轴的距离， ∴， ∴； 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴ 当时，则， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，随t的增大而增大， 又∵当时，随t的增大而增大， ∴， 解得，即此时满足， 当时，则， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∵当时，随t的增大而增大， ∴， 解得，不符合题意； 当时，则， ∴ ∵， ∴当时，随t的增大而减小， ∴当时，随t的增大而减小，不符合题意； 综上所述，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 二次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：二次函数综合 必备知识 知识1 二次函数 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现数形结合、动态探究、多问梯度特点，以抛物线图象、参数变化、几何结合为载体，突出对几何直观、运算求解、逻辑推理、综合探究的考查，渗透模型思想与分类讨论意识。 命题内容： 二次函数：侧重图象性质与代数推理综合，常与方程、不等式、几何图形相结合，参数符号判断、最值探究、存在性问题、函数几何综合为核心考点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 二次函数 T26：二次函数图象性质与综合 T26：二次函数图象性质与综合 T26：二次函数图象性质与综合 T25：二次函数实际问题；待定系数法求二次函数解析式 T26：二次函数图象性质与综合 T8：二次函数解析式 T26：二次函数图象性质与综合 命题预测 1. 考情预测 · 二次函数： · 核心考点：二次函数稳居中考压轴核心，题型分层设置，难易梯度清晰。 2. 备考建议 · 强化综合：重点考查抛物线图象性质、解析式求解、参数取值与最值问题，常结合一元二次方程、不等式、几何图形深度融合。 · 关注创新：命题强化数形结合、分类讨论与代数运算，聚焦动点探究、面积最值、点的存在性等综合题型；注重知识迁移与逻辑推理，以多问递进形式设问，综合性、探究性强，是区分度核心题型。 考点一 二次函数 题型一 二次函数综合 根据点所在的解析式构造新函数，分析新函数的图象性质。 1．(2025·北京中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 2．(2026·北京平谷区·一模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含a的式子表示b； (2)点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 3．(2026·北京八一教育集团·零模)已知抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的解析式； (2)将抛物线上，两点之间的部分（包括端点）记作图象，过点作轴垂线，若图象的最高点与最低点分别位于直线的上方和下方，求的取值范围． 知识1 二次函数 1.三种解析式  一般式：，适用已知任意三点坐标求解析式  顶点式：，适用已知顶点与任意一点的坐标求解析式 交点式：，、为轴交点的横坐标 2.图象性质 1 图象：抛物线 2 决定开口： >0：开口向上，有最小值； <0：开口向下，有最大值；越大，开口越小 3 对称轴与顶点 对称轴： 顶点坐标： 4 增减性 a) >0，对称轴左侧递减，右侧递增 b) <0，对称轴左侧递增，右侧递减 3. 二次函数与方程、不等式 1 一元二次方程，方程的根=抛物线与x轴交点坐标 2 函数与不等式：，图象在x轴上方部分对应x范围；，图象在x轴下方部分对应x范围 1．(2026·北京十三中分校·零模)在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点． (1)求该抛物线解析式（用含的式子表示）； (2)过点作轴的平行线，将抛物线（）在直线右侧的部分沿轴翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为，直线与直线交于点，与图形交于点（不与重合）． ①若的长度随的增大而减小，求所有满足题意的的取值范围； ②当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，求的取值范围． 2．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交轴于点，该直线交于点，交抛物线于点． ①若，求与的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，恒成立，求的取值范围． 3．(2026·北京一零一教育集团·零模)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形． ①过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，已知点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围； ②若，且点，在图形上，对任意的，都有，直接写出实数的取值范围． 4．(2026·北京一六六中学·零模)在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点． (1)当时，比较，的大小； (2)当时，记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，若在图形上存在两点、（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而减小，求的取值范围． 5．(25-26九下·北京海淀区北京理工大学附属中学·零模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)已知点、是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 6．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)在平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点， 若，，直接写出的长； 若线段的长度随的增大而减小，求出的取值范围． 7．(25-26九下·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为． (1)求b，c的值（用含a，h的式子表示）； (2)将抛物线在直线右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，得到图形G．已知，，当时，对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点，求h的取值范围； (3)为抛物线上一点，在（2）的条件下，若m的最大值小于6，求a的取值范围． 8．(25-26九下·北京第四中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线和x轴正半轴交于点． (1)求b的值； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线于点Q．已知当时，线段的长随m的增大而增大，求k的取值范围． 9．(25-26九·北京西城区德胜中学·模拟)已知抛物线经过原点和．点M是抛物线上的动点，其横坐标为m，过点M作轴，与直线交于N． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点M作x轴的垂线，垂足为点P．在点P从点O运动到点的过程中； ①当时，求的最大值； ②若的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 10．(25-26九·北京第八中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示． (2)点是抛物线上一个动点，且其纵坐标始终小于点的纵坐标，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，则___________； ②若线段的长随的增大而增大，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $