第03讲 一元二次方程根与系数的关系、黄金分割数 （暑假预习培优讲义，6题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第03讲 一元二次方程根与系数的关系、黄金分割数 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 2 知识点02 黄金分割数（教材阅读拓展） 4 剖题型·讲技巧 题型1 基础求值：不解方程求对称代数式值 5 题型2 已知一根，求另一根及参数 6 题型3逆定理应用：已知两根构造一元二次方程 6 题型4 含参数韦达定理综合题（培优必考） 7 题型5 黄金分割基础长度计算题 8 题型6韦达定理+黄金分割综合压轴题 10 释疑惑·重难拓展 题型1 方程降次求值（高次代数式培优） 12 题型2 根与系数有关新定义拔高考点 12 题型3 黄金分割深度拓展（黄金矩形） 14 知中考·真题探源 16 练好题·提分培优 20 课标要点 基础预习达标要求（必掌握） 1.结合一元二次方程求根公式，推导理解韦达定理（根与系数的关系），熟记公式，精准掌握定理使用双重前提：二次项系数a≠0、判别式Δ≥0； 2.能够不解方程，利用两根之和、两根之积求解代数式值、已知一根求另一根及方程参数； 3.理解线段黄金分割定义，会列比例式，自主求解黄金分割数，掌握线段黄金分割基础长度计算。 中考培优提升要求（重难点） 1.联动根的判别式、韦达定理解决含参数一元二次方程题型，规范参数分类讨论解题步骤； 2.熟练掌握两根对称代数式恒等变形，活用整体代入核心解题思想，规避直接解方程运算； 3.掌握韦达定理逆定理，可根据两根构造一元二次方程，精准判定两根正负、大小关系； 4.打通黄金分割与一元二次方程关联，解决几何线段、黄金图形综合应用题。 知识点01 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1. 定理标准内容 对于一元二次方程标准式：，只有当方程有两个实数根时（满足），设两根为，根与系数满足如下关系： 核心公式： 简化特例：二次项系数为1，方程，则 2. 定理简易推导（预习理解即可） 将求根公式中两根分别相加、相乘，根式相互抵消化简，即可推出两根和、两根积仅由方程系数决定，与根具体数值无关。 3. 韦达定理逆定理（构造方程专用） 若两个实数满足，则以这两个数为根的一元二次方程为： 4. 高频对称式恒等变形（必考背诵） 统一设： 两根平方和： 两根差平方： 数轴两根距离： 两根倒数和： 两根倒数平方和： 两根立方和： 5. 两根正负判定（培优考点） 重要前提：方程必须有实数根，即，无实根不可使用以下判定规则 两根同为正数： 两根同为负数： 两根一正一负：（直接判定，无需看和） 方程有一根为0： 6. 高频易错避雷点 易错1：遗忘两根和公式负号，误记为； 易错2：忽略使用前提，无实数根时，强行套用韦达定理； 易错3：含参数题型，忘记验证二次项系数； 易错4：代数式求值，放弃整体代入，强行求解根再计算。 练习 1．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 知识点02 黄金分割数（教材阅读拓展） 1. 黄金分割标准定义 点C在线段AB上，且，若线段满足：较长线段∶整条线段=较短线段∶较长线段，即比例式：，则称点C为线段AB的黄金分割点，该比值为黄金分割数。 2. 黄金分割数推导求解 设，则，代入比例式列方程： 舍去负数根（线段长度为正），得黄金分割数： 3. 线段长度结论（直接套用） 若C为AB黄金分割点（AC>BC）： 较长线段： 较短线段： 核心等积式： 4. 基础常识考点 一条线段有2个黄金分割点，分居线段两侧； 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金分割数； 黄金三角形：顶角36°等腰三角形，底边与腰之比为黄金分割数。 练习 2．（24-25九年级上·山西·期中）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为________．    校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（ 题型1 基础求值：不解方程求对称代数式值 方法技巧 所有两根对称式，优先整体代换，绝不单独解方程求根 【典例1-1】（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·河北唐山·二模）若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 【变式1-1】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）设是方程的两个根，则的值为___________． 【变式1-2】（25-26九年级下·山东威海·期中）已知a，b是方程的两个根，则的值________ 【变式1-3】若是一元二次方程 的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 题型2 已知一根，求另一根及参数 方法技巧 优先用两根积求未知根，再用两根和求参数，省略解方程步骤 【典例2-1】（2026·新疆喀什·二模）已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（     ） A． B． C．2 D．1 【典例2-2】（25-26八年级下·广西崇左·期中）已知方程有两个不相等的实数根，方程的一个根是4，求的值，并求出方程的另一个根． 【变式2-1】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）已知1，m是方程的两个实数根，则的值为__________． 【变式2-2】（2026·安徽淮南·一模）关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 题型3 逆定理应用：已知两根构造一元二次方程 方法技巧 两根为，方程为 【典例3】请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 【变式3-1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【变式3-2】已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 【变式3-3】（2026·广东东莞·二模）请写出一个两实数根之积为6的一元二次方程__________． 题型4 含参数韦达定理综合题（培优必考） 方法技巧 1.限定二次项系数：； 2.计算判别式：，锁定参数取值范围； 3.列式写出； 4.根据题干等量关系列参数方程； 结合取值范围，舍去不合题意参数解。 【典例4】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和． (1)求实数的取值范围； (2)当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值． 【变式4-1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【变式4-2】（2026·广东清远·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【变式4-3】（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 题型5 黄金分割基础长度计算题 方法技巧 设未知数→列黄金比例式→整理一元二次方程→舍去负根→求线段长度 【典例5】（2024·河南洛阳·一模）黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为______． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：如图1，点将一线段分为两条线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．黄金分割在生活中运用非常广泛，例如：借助正方形习字格书写汉字“数”，可将正方形按照黄金分割的比例来分割（四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）如图2．若正方形习字格的边长为，则四个黄金分割点组成的小正方形的周长为__________．（结果保留根号） 【变式5-2】已知，点P是线段AB上一点，若＝（或＝），则称点P是线段AB的“黄金分割”点．显然，线段AB有两个“黄金分割”点（如图1），后人把这个数称为“黄金分割”数．如图2，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为___． 【变式5-3】黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 题型6 韦达定理+黄金分割综合压轴题 方法技巧 由黄金分割列出一元二次方程，结合韦达定理，求解图形周长、面积、线段参数，为期中期末压轴高频题型。 【典例6】（25-26九年级上·湖南永州·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如下图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式6-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 【变式6-2】学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【变式6-3】请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3) 已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 题型1 方程降次求值（高次代数式培优） 1．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 2．（2026·江苏镇江·二模）已知实数、满足，且，则_____． 题型2根与系数有关新定义拔高考点 3．（25-26九年级上·河南安阳·期末）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 5．（25-26九年级上·广东江门·期中）阅读材料：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个“连根方程”． (1)问题解决：请你判断方程是否是“连根方程”： (2)问题拓展：若关于的一元二次方程（是常数）是“连根方程”，求的值． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 7.（2026·河南鹤壁·一模）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 题型3黄金分割深度拓展（黄金矩形） 8．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．任取一张矩形纸片按如下步骤进行折叠．第一步：在纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平，得到折痕；第三步：折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；第四步：展平纸片，如图4，按照所得的点折出．根据以上折纸，下列结论：①矩形为黄金矩形；②矩形为黄金矩形；③矩形为黄金矩形；④中，正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．③④ 9．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图，现有一张黄金矩形纸片，长，将图中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，证明：矩形为黄金矩形． 10．【理解定义】 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感． 例如：如图1，矩形的宽为，长为，如果，那么矩形为黄金矩形． 【初步应用】 （1）若黄金矩形的长，请直接写出它的宽__________． 【操作探究】 小明通过下面的折纸操作，折叠出了黄金矩形： 第一步：如图2，将矩形纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第二步：如图3，将纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第三步：如图4，连接，再将矩形沿过点N的直线折叠，使得的对应边落在边上，展开． 第四步：如图5，过点E作于点D，得到矩形． （2）已知，在矩形中，． ①求的长； ②请找出图5中的黄金矩形，并证明． 【迁移拓展】 小明查找资料进一步学习了黄金分割的知识： 黄金分割点是指把一条线段分割为两条线段，较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，其比值是． （3）小明用一张宽为n的矩形纸片，按照（2）的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点E恰好是线段的黄金分割点，请直接写出长长度__________ 11.（25-26九年级上·四川攀枝花·阶段检测）将一条线段分割成长、短两条线段、，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段、的比例中项），则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． (1)设，，按照定义恒成立，请你推导黄金比； (2)黄金分割在自然界、建筑、艺术等领域无处不在．我们把宽与长的比为的矩形叫黄金矩形，比如按照黄金比例定制的窗户令人赏心悦目，它给我们协调、匀称的美感！如图，是某同学为自家设计的子母窗户结构示意图，在一个黄金矩形里分割出一个正方形，那么右边窗户还是黄金矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 一、单选题 1．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2023·四川绵阳·中考真题）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（  ） A． B． C． D． 5．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 6．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 8．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 9．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 10．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 三、解答题 11．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 12．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 13．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 14．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 15．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 一、单选题 1．（2026·江苏宿迁·三模）约定：在平面直角坐标系内，如果一个点的纵坐标是横坐标的平方，就称这个点为“二次方值点”．若函数（为常数）在第一象限的图象上存在两个不同的“二次方值点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·一模）已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 3．（2026·河北·二模）2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件①：；②一元二次方程（其中，是实数）的两个根为和，其一次项系数的2倍与常数项的和等于两根的差的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知，是方程的两根，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D．， 二、填空题 5．（2026·河北·模拟预测）若关于的一元二次方程的两个根互为倒数，则_____． 6．（2026·河北石家庄·一模）已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 7．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）定义：我们把关于的一元二次方程与称作一对“友好方程”．如的“友好方程”是．那么一元二次方程的“友好方程”的两根之和为__________． 9．（2026·山东济宁·二模）若关于的一元二次方程（），当，2，3，…，2026时，相应的一元二次方程的两根分别记为，；，；…；，，则的值为______． 10．（2026·河南平顶山·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，分别为m，n，且，则a的取值范围为______． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广东珠海·期中）天文学家开普勒说：勾股定理和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉． 初识定义：一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，线段与的比叫做黄金比． (1)计算黄金比：如图1，已知点是线段的黄金分割点，为简单起见，且不失一般性，令，请求出的值． (2)简单应用：艺术家早就发现人的肚脐到地面的高度与头顶到地面的高度之比为黄金比时最美，此时肚脐是理想的黄金分割点，令人失望的是只有极少数人的身体是符合这种黄金比．有一位美女身高，肚脐到脚底的高度是，现在开动你的脑筋设计一个方法使得这位美女的肚脐是黄金分割点，并算出方案中的具体数据（结果精确到）．（可能用到的数值：，，） (3)迁移拓展：（剪拼中的黄金分割）在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形．如图2，将左边的正方形沿图中虚线（其中），，剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成右边的矩形（非正方形），请在图2左边的正方形中找出一个黄金矩形，并证明． 12．（2026·广东惠州·一模）【问题情境】宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞数字”．数学兴趣小组在研究“黑洞数字”时，在0到9之间，任取三个不全相等的数字，将这三个数字从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，我们将这个操作叫“重排求差”；将得到的新数再次进行“重排求差”，可一直重复这样的操作． 例如：取三个数字：0，1，2，进行如下操作： 第1次：数字0，1，2，则； 第2次：数字1，9，8，则； 第3次：数字7，9，2，则； 第4次：数字6，9，3，则 ． …… (1)【问题探究】上述第4次“重排求差”的计算表达式为 ； (2)【问题探究】①小组成员甲发现：任取三个不全相等的数字，经过有限次“重排求差”操作后，最终会得到一个确定不变的“黑洞数字”，这个“黑洞数字”是 ； ②小组成员乙发现：在上述“重排求差”操作中，最大数和最小数的差总能被99整除．你认为他发现的结论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举出反例． (3)【探究应用】已知、是0到9之间的整数，满足，且、是关于的一元二次方程的两个实数根，将、、7三个数字进行多次“重排求差”操作，发现第次结果就得到“黑洞数字”，请求出的值． 13．（25-26九年级上·四川自贡·期末）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”___________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 14．（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 15．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元二次方程根与系数的关系、黄金分割数 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 2 知识点02 黄金分割数（教材阅读拓展） 4 剖题型·讲技巧 题型1 基础求值：不解方程求对称代数式值 5 题型2 已知一根，求另一根及参数 7 题型3逆定理应用：已知两根构造一元二次方程 9 题型4 含参数韦达定理综合题（培优必考） 10 题型5 黄金分割基础长度计算题 13 题型6韦达定理+黄金分割综合压轴题 16 释疑惑·重难拓展 题型1 方程降次求值（高次代数式培优） 21 题型2 根与系数有关新定义拔高考点 22 题型3 黄金分割深度拓展（黄金矩形） 27 知中考·真题探源 33 练好题·提分培优 43 课标要点 基础预习达标要求（必掌握） 1.结合一元二次方程求根公式，推导理解韦达定理（根与系数的关系），熟记公式，精准掌握定理使用双重前提：二次项系数a≠0、判别式Δ≥0； 2.能够不解方程，利用两根之和、两根之积求解代数式值、已知一根求另一根及方程参数； 3.理解线段黄金分割定义，会列比例式，自主求解黄金分割数，掌握线段黄金分割基础长度计算。 中考培优提升要求（重难点） 1.联动根的判别式、韦达定理解决含参数一元二次方程题型，规范参数分类讨论解题步骤； 2.熟练掌握两根对称代数式恒等变形，活用整体代入核心解题思想，规避直接解方程运算； 3.掌握韦达定理逆定理，可根据两根构造一元二次方程，精准判定两根正负、大小关系； 4.打通黄金分割与一元二次方程关联，解决几何线段、黄金图形综合应用题。 知识点01 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1. 定理标准内容 对于一元二次方程标准式：，只有当方程有两个实数根时（满足），设两根为，根与系数满足如下关系： 核心公式： 简化特例：二次项系数为1，方程，则 2. 定理简易推导（预习理解即可） 将求根公式中两根分别相加、相乘，根式相互抵消化简，即可推出两根和、两根积仅由方程系数决定，与根具体数值无关。 3. 韦达定理逆定理（构造方程专用） 若两个实数满足，则以这两个数为根的一元二次方程为： 4. 高频对称式恒等变形（必考背诵） 统一设： 两根平方和： 两根差平方： 数轴两根距离： 两根倒数和： 两根倒数平方和： 两根立方和： 5. 两根正负判定（培优考点） 重要前提：方程必须有实数根，即，无实根不可使用以下判定规则 两根同为正数： 两根同为负数： 两根一正一负：（直接判定，无需看和） 方程有一根为0： 6. 高频易错避雷点 易错1：遗忘两根和公式负号，误记为； 易错2：忽略使用前提，无实数根时，强行套用韦达定理； 易错3：含参数题型，忘记验证二次项系数； 易错4：代数式求值，放弃整体代入，强行求解根再计算。 练习 1．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 知识点02 黄金分割数（教材阅读拓展） 1. 黄金分割标准定义 点C在线段AB上，且，若线段满足：较长线段∶整条线段=较短线段∶较长线段，即比例式：，则称点C为线段AB的黄金分割点，该比值为黄金分割数。 2. 黄金分割数推导求解 设，则，代入比例式列方程： 舍去负数根（线段长度为正），得黄金分割数： 3. 线段长度结论（直接套用） 若C为AB黄金分割点（AC>BC）： 较长线段： 较短线段： 核心等积式： 4. 基础常识考点 一条线段有2个黄金分割点，分居线段两侧； 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金分割数； 黄金三角形：顶角36°等腰三角形，底边与腰之比为黄金分割数。 练习 2．（24-25九年级上·山西·期中）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为________．    校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（ 【答案】 【详解】解：设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 题型1 基础求值：不解方程求对称代数式值 方法技巧 所有两根对称式，优先整体代换，绝不单独解方程求根 【典例1-1】（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，是一元二次方程的两根，，，， ，， ． 【典例1-2】（2026·河北唐山·二模）若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】∵ ， ，， ∴可以把看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ． 【变式1-1】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）设是方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：是方程的根， ，即， 是方程的两个根， ， ． 【变式1-2】（25-26九年级下·山东威海·期中）已知a，b是方程的两个根，则的值________ 【答案】 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，． ，， ，． ∴ ． 【变式1-3】若是一元二次方程 的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程 的两个根， ∴， ∴； （2）解：∵是一元二次方程 的两个根， ∴， ∴. 题型2 已知一根，求另一根及参数 方法技巧 优先用两根积求未知根，再用两根和求参数，省略解方程步骤 【典例2-1】（2026·新疆喀什·二模）已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：设方程另一个根为， 由根与系数的关系得：， 解得：， 即方程另一个根为1． 【典例2-2】（25-26八年级下·广西崇左·期中）已知方程有两个不相等的实数根，方程的一个根是4，求的值，并求出方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得 ，， 解得，． 即，方程的另一个根为． 【变式2-1】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）已知1，m是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵1，m是方程的两个实数根， ∴， ∴ 【变式2-2】（2026·安徽淮南·一模）关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， 解得， 关于的一元二次方程为， ∴两根之积为． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系： ， 解得， 即，方程的另一个根为． 题型3 逆定理应用：已知两根构造一元二次方程 方法技巧 两根为，方程为 【典例3】请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设该一元二次方程的两根为，，取二次项系数为， 根据根与系数的关系可得： ，， ∴这个方程可能是，（答案不唯一，只要满足条件即可） 【变式3-1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 【变式3-2】已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 【答案】 【详解】解：设该一元二次方程为，方程的两个根为，， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∴因此方程为． 【变式3-3】（2026·广东东莞·二模）请写出一个两实数根之积为6的一元二次方程__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：对于一元二次方程，设两实数根为， 由根与系数的关系得， 由题意得，因此 ，且方程要有两个实数根，需满足， 令，，取，计算得 ，符合要求， 因此符合题意的方程可以为（答案不唯一）． 题型4 含参数韦达定理综合题（培优必考） 方法技巧 1.限定二次项系数：； 2.计算判别式：，锁定参数取值范围； 3.列式写出； 4.根据题干等量关系列参数方程； 结合取值范围，舍去不合题意参数解。 【典例4】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和． (1)求实数的取值范围； (2)当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式满足， 即， 解得：； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：，， ∵、是矩形两邻边，对角线长为， 由勾股定理得：， 即：， ∴， 解得， 验证：，符合（）中的范围，且两根和、积都为正，边长为正符合题意，故． 【变式4-1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【详解】】(1)证明：∵， ∴无论m取何实数，这个方程总有实数根． （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【变式4-2】（2026·广东清远·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，， ， 解得； （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． 【变式4-3】（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5， ∴，， ∴， 整理，得， 解得或； ∵是一个矩形的两边长， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型5 黄金分割基础长度计算题 方法技巧 设未知数→列黄金比例式→整理一元二次方程→舍去负根→求线段长度 【典例5】（2024·河南洛阳·一模）黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是黄金矩形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：如图1，点将一线段分为两条线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．黄金分割在生活中运用非常广泛，例如：借助正方形习字格书写汉字“数”，可将正方形按照黄金分割的比例来分割（四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）如图2．若正方形习字格的边长为，则四个黄金分割点组成的小正方形的周长为__________．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：如图， 由题意可知：，，， ∴，， ∴， ∴四个黄金分割点组成的小正方形的周长为， 故答案为：． 【变式5-2】已知，点P是线段AB上一点，若＝（或＝），则称点P是线段AB的“黄金分割”点．显然，线段AB有两个“黄金分割”点（如图1），后人把这个数称为“黄金分割”数．如图2，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为___． 【答案】 【详解】解：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵AB＝AC＝3，BC＝4 ∴ ∴在Rt△AFB中， ∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点 ∴ ∵ ∴DF=EF ∴ ∴ 故答案为． 【变式5-3】黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为厘米， ∴矩形画框的宽为厘米； （2）解：矩形画框的面积为（平方厘米）， ∴矩形画框的材料成本为元， 答：生产一个该画框所需要的材料成本为元． 题型6 韦达定理+黄金分割综合压轴题 方法技巧 由黄金分割列出一元二次方程，结合韦达定理，求解图形周长、面积、线段参数，为期中期末压轴高频题型。 【典例6】（25-26九年级上·湖南永州·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如下图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：或（舍去）． 故选：A． 【变式6-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】设的长度为，则的长度为． 由黄金分割的定义，得 ， 即． 变形，得 ． 解得 ，． 由于且，因此取． 故的长度为. 故答案为：． 【变式6-2】学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴“黄金数”为； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴a，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． （3）证明：∵①，②, ∴，得， ∴ ∵， ∴， ∴③，④， 将④代入①，得， ∴， ∴ ， 将③代入②，得， ∴， ∴， ∴p，q是一元二次方程的两个根， ∴． 【变式6-3】请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 【详解】（1）设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即黄金分割数为． （2）能，道理如下： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是线段的黄金分割点． （3）如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型1 方程降次求值（高次代数式培优） 1．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】A 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∵， ∴原式 ． 2．（2026·江苏镇江·二模）已知实数、满足，且，则_____． 【答案】 【详解】解：实数，满足，，且． ，可看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得：，． ． ． 同理可得：． ∴． 题型2根与系数有关新定义拔高考点 3．（25-26九年级上·河南安阳·期末）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 【详解】（1）解：该方程不是“邻根方程”， 理由如下：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，， ∵， ∴该方程不是邻根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 由条件可知， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴c的值为2． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程不是“差1方程”； （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 5．（25-26九年级上·广东江门·期中）阅读材料：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个“连根方程”． (1)问题解决：请你判断方程是否是“连根方程”： (2)问题拓展：若关于的一元二次方程（是常数）是“连根方程”，求的值． 【详解】（1）解：， 得， 解得，， 其中， ∴方程是“连根方程”． （2）解： ∵ 得， 解得，， ∵该方程是“连根方程”， ∴，即， 解得或． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 【详解】（1）解：，因式分解得， 解得，， ，，， 方程不是“和积方程”． （2）解：对于方程，其判别式恒成立， 故方程总有两个实数根， ，因式分解得， 解得，， 由“和积方程”定义得：， 或， 解得或． （3）解：方程有两个实数根， ， 展开得，即， 解得， 由韦达定理得：，， 又方程是“和积方程”， 则， 即 ， ， 分两种情况： ， 化简得 ，解得或， ，舍去，符合； ， 整理得 ， 由求根公式得 ， ，均符合条件， 综上，的值为或或． 7.（2026·河南鹤壁·一模）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， ∴，    ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． （3）解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 题型3黄金分割深度拓展（黄金矩形） 8．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．任取一张矩形纸片按如下步骤进行折叠．第一步：在纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平，得到折痕；第三步：折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；第四步：展平纸片，如图4，按照所得的点折出．根据以上折纸，下列结论：①矩形为黄金矩形；②矩形为黄金矩形；③矩形为黄金矩形；④中，正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【详解】解：①设，则，， 在矩形中，，故矩形不是黄金矩形，故①错误． 在中，，， ． ． ． ， 在矩形中，， ∴矩形为黄金矩形，故②正确． ， 在矩形中，， ∴矩形为黄金矩形，故③正确． ，故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 9．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图，现有一张黄金矩形纸片，长，将图中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，证明：矩形为黄金矩形． 【答案】见详解 【详解】证明：∵矩形是黄金矩形，长， ∴ ∴， ∵是正方形， ∴， 矩形中对边相等，故， ∴， 矩形中，宽为，长为， 则宽与长的比为：，符合黄金矩形的定义， 因此矩形为黄金矩形． 10．【理解定义】 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感． 例如：如图1，矩形的宽为，长为，如果，那么矩形为黄金矩形． 【初步应用】 （1）若黄金矩形的长，请直接写出它的宽__________． 【操作探究】 小明通过下面的折纸操作，折叠出了黄金矩形： 第一步：如图2，将矩形纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第二步：如图3，将纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第三步：如图4，连接，再将矩形沿过点N的直线折叠，使得的对应边落在边上，展开． 第四步：如图5，过点E作于点D，得到矩形． （2）已知，在矩形中，． ①求的长； ②请找出图5中的黄金矩形，并证明． 【迁移拓展】 小明查找资料进一步学习了黄金分割的知识： 黄金分割点是指把一条线段分割为两条线段，较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，其比值是． （3）小明用一张宽为n的矩形纸片，按照（2）的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点E恰好是线段的黄金分割点，请直接写出长长度__________ 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）①∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴； ②矩形和矩形都是黄金矩形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴矩形是黄金矩形； 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴矩形是黄金矩形； （3）由题意得，， 由（2）可得， ∴， ∵点E是线段的黄金分割点， ∴或， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 11.（25-26九年级上·四川攀枝花·阶段检测）将一条线段分割成长、短两条线段、，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段、的比例中项），则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． (1)设，，按照定义恒成立，请你推导黄金比； (2)黄金分割在自然界、建筑、艺术等领域无处不在．我们把宽与长的比为的矩形叫黄金矩形，比如按照黄金比例定制的窗户令人赏心悦目，它给我们协调、匀称的美感！如图，是某同学为自家设计的子母窗户结构示意图，在一个黄金矩形里分割出一个正方形，那么右边窗户还是黄金矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 【详解】（1）解： ， ． 将看作常数，将此方程看作关于的一元二次方程， 则，，， ． ． ，， ． ． （2）解：右边窗户是黄金矩形． 证明：∵矩形是黄金矩形， ∴设，． ∵四边形是正方形， ． ． ． ． ∴矩形是黄金矩形． 一、单选题 1．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 2．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 【答案】C 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 4．（2023·四川绵阳·中考真题）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ， ∵点为中点， ， 又∵， ， ∴在中，由勾股定理，可得， 即， 整理可得， 解得：(舍去)， ， 故选：D． 5．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则， 在中，， 在中，， ， ，即， 整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在． 故选：D． 二、填空题 6．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 8．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 9．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 10．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 三、解答题 11．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； (2)证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 12．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【详解】（1）证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 13．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 14．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【详解】（1）解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； (2)证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． (3)四边形是黄金矩形．证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知， ， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 15．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【详解】（1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． （3）∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 一、单选题 1．（2026·江苏宿迁·三模）约定：在平面直角坐标系内，如果一个点的纵坐标是横坐标的平方，就称这个点为“二次方值点”．若函数（为常数）在第一象限的图象上存在两个不同的“二次方值点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵“二次方值点”满足纵坐标是横坐标的平方，即， ∴联立与， 得， 整理得， ∵函数图象在第一象限存在两个不同的“二次方值点”，说明该一元二次方程有两个不相等的正实数根， 故方程有两个不等实根， ∴， 解得， 又∵两个根均为正数（第一象限横坐标），对于该方程，两根之和，满足两根均为正数， 则还需满足两根之积大于， 两根之积， 解得， 综上，的取值范围是． 2．（2026·河北沧州·一模）已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：（Ⅰ）当时，即为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 解得 因为， 所以，当时，，，不能围成三角形． （Ⅱ）当时，即为腰时． 同（Ⅰ）可知，当时，，，不能围成三角形． （Ⅲ）当时，即，为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，且，可得 解得 因为， 所以，当时，，，可以围成等腰三角形． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 所以． 故选：B 3．（2026·河北·二模）2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件①：；②一元二次方程（其中，是实数）的两个根为和，其一次项系数的2倍与常数项的和等于两根的差的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程的两根为和， ，， 由条件①得，则，即． 由条件②可得，代入， 得，整理得， 其中，， 代入上式得，解得． 4．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知，是方程的两根，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D．， 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即，故A正确； ∴， ∵的符号不确定， ∴不一定成立，故B错误； ∴，故C错误； ∵仅说明两根异号，无法确定，，也可能，，故D错误． 二、填空题 5．（2026·河北·模拟预测）若关于的一元二次方程的两个根互为倒数，则_____． 【答案】1 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， ∵一元二次方程的两个根互为倒数， ∴， 即． 6．（2026·河北石家庄·一模）已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 【答案】（答案不唯一，合理即可） 【详解】设一元二次方程的两根为，， 根据根与系数的关系可得：，， 当二次项系数为时，一元二次方程的形式为， 即． 7．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ． 【答案】 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为、． ∵,是一元二次方程的两个实数根． ∴由根与系数的关系得 ． ∵菱形面积为． ∴．解得 ． ∴菱形的边长为 ． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）定义：我们把关于的一元二次方程与称作一对“友好方程”．如的“友好方程”是．那么一元二次方程的“友好方程”的两根之和为__________． 【答案】 【详解】解：根据“友好方程”的定义，可得的“友好方程”为， 设该方程的两个根为，， ∴． 9．（2026·山东济宁·二模）若关于的一元二次方程（），当，2，3，…，2026时，相应的一元二次方程的两根分别记为，；，；…；，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵ ， ， ∴由根与系数的关系得： ， ； ， ； ， ； ∴原式 ． 10．（2026·河南平顶山·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，分别为m，n，且，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴ 且， 解得且； ∵m，n分别为关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴； ∵， ∴ ， 解得， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广东珠海·期中）天文学家开普勒说：勾股定理和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉． 初识定义：一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，线段与的比叫做黄金比． (1)计算黄金比：如图1，已知点是线段的黄金分割点，为简单起见，且不失一般性，令，请求出的值． (2)简单应用：艺术家早就发现人的肚脐到地面的高度与头顶到地面的高度之比为黄金比时最美，此时肚脐是理想的黄金分割点，令人失望的是只有极少数人的身体是符合这种黄金比．有一位美女身高，肚脐到脚底的高度是，现在开动你的脑筋设计一个方法使得这位美女的肚脐是黄金分割点，并算出方案中的具体数据（结果精确到）．（可能用到的数值：，，） (3)迁移拓展：（剪拼中的黄金分割）在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形．如图2，将左边的正方形沿图中虚线（其中），，剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成右边的矩形（非正方形），请在图2左边的正方形中找出一个黄金矩形，并证明． 【详解】（1）解：设，则 ， 解得：，（舍去） ∴； （2）解：方案：穿高跟鞋， 设高跟鞋的高度为，则 ， 解得：， 经检验，是该方程的解， 所以高跟鞋的高度为； （3）解：矩形是黄金矩形，理由如下： 根据左右两个图的面积相等得：， 解得：， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 12．（2026·广东惠州·一模）【问题情境】宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞数字”．数学兴趣小组在研究“黑洞数字”时，在0到9之间，任取三个不全相等的数字，将这三个数字从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，我们将这个操作叫“重排求差”；将得到的新数再次进行“重排求差”，可一直重复这样的操作． 例如：取三个数字：0，1，2，进行如下操作： 第1次：数字0，1，2，则； 第2次：数字1，9，8，则； 第3次：数字7，9，2，则； 第4次：数字6，9，3，则 ． …… (1)【问题探究】上述第4次“重排求差”的计算表达式为 ； (2)【问题探究】①小组成员甲发现：任取三个不全相等的数字，经过有限次“重排求差”操作后，最终会得到一个确定不变的“黑洞数字”，这个“黑洞数字”是 ； ②小组成员乙发现：在上述“重排求差”操作中，最大数和最小数的差总能被99整除．你认为他发现的结论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举出反例． (3)【探究应用】已知、是0到9之间的整数，满足，且、是关于的一元二次方程的两个实数根，将、、7三个数字进行多次“重排求差”操作，发现第次结果就得到“黑洞数字”，请求出的值． 【详解】（1）解：第4组：数字6，9，3，则； （2）解：①第5组为：， 第6组为：， ……， ∴这个“黑洞数字”是495； ②成员乙发现的结论是正确的，理由如下： 设在0到9之间任取的三个整数分别为、、，其中最大，最小 则“重排”得到的最大数为，最小数为， “求差”为：， 、为0到9之间的整数，且， 为正整数， 则为99的倍数，所以最大数和最小数的差总能被99整除； （3）解：由已知得，即 原方程为：， 解得：，， ， ，， 将三位数3、4、7进行“重排求差”： 第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：，本次“重排求差”与上一次“重排求差”完全一致， 结合（2）的探究可知“黑洞数字”为495，且． 13．（25-26九年级上·四川自贡·期末）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”___________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：一元二次方程的“友好方程”为， 解得，， 根据以上结论，的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数， 证明如下：∵一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根为，， ∴， ， ∴，， 即原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． 故答案为：，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”，即的两根为，， 则，即中或， ∴该方程的解为，． 14．（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 【详解】（1）解：设方程两根为、，由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴ 即， 解得． （2）方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程： ∴． ∵是正整数， ∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数． 因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． 方法二：假设存在正整数、，使得， 将方程两边乘以4，变形为， ∴ 因为、都是正整数，故有， 解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． （3）解：是一个“双倍快乐数”， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ， ，若能被6整除， 设， ， 能被6整除，即能被6整除， 由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， 所有满足条件的的和为． 15．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”． （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得，． （3）解：∵， ∴ ∵方程关于x的“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，． 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”．它的根是，或，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $