专题09 填空压轴（复习讲义）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题09 填空压轴 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 填空压轴（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：填空压轴 必备知识 知识1 实数的混合运算 知识2 整式的混合运算 知识3 因式分解 知识4 分式的运算 知识5 二次根式的运算 命题预测 命题 透视 命题形式：以创新探究、多解分类、数形融合为主要特点，结合规律探究与新定义情境综合设问，题型短小精炼、条件隐蔽性强，注重考查几何直观、逻辑推理、代数运算与分类讨论思想，突出知识综合运用与压轴区分功能。 命题内容： 聚焦规律探究、新定义核心内容，融合代数运算与几何推理，注重模型迁移、数形结合与综合分析能力的综合运用。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 实数的概念与运算 T16：列举法 T16：有理数加法在实际生活的运用 T16：逻辑推理与论证 T16：一元一次不等式解决实际问题；方案问题（二元一次方程组） T16：比例的性质；和差倍分问题 命题预测 1. 考情预测 · 两空多为 “递进关系”：第一空基础推理 / 计算，第二空策略优化 / 严谨 2. 备考建议 · 主攻逻辑推理三类题：表格统筹、新定义规则、情境方案优化 · 强化 “样本估计总体”：百分比估算、频率推断、图表整合（今年极可能融入情境） · 训练双空递进思维：第一空稳拿，第二空练 “策略分析 + 严谨表达” · 控制计算难度：少练复杂几何 / 函数大计算，多练 “枚举、分类、排除、验证” 考点一 选择压轴 题型一 填空压轴 1．（2026·北京通州区·一模）某科技公司对四款AI软件（甲、乙、丙、丁）进行效率测试．每款软件处理不同数量的任务所获得的“效率分”如下表所示（分数越高代表效率越高）．在分配任务时，每款软件只能被分配一次任务． 1个任务 2个任务 3个任务 4个任务 5个任务 6个任务 甲 7 13 19 24 28 31 乙 5 10 15 20 25 29 丙 6 11 18 23 27 30 丁 8 15 20 26 30 33 （1）现需将5个任务分配给这四款软件处理，且每款软件至少处理1个任务．为了使总效率分最大，应向______（填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”）软件分配2个任务； （2）如果共有6个任务，可以分配给其中一款或多款软件处理，那么这6个任务全部处理后，可获得的最大总效率分是______分． 【答案】 丁 40 【分析】（1）5个任务分给四款软件，每款至少1个任务，因此仅1款软件分配2个任务，其余各分配1个任务，分别计算四种情况的总效率分，比较得最大值对应的软件； （2）将6个任务按不同分拆方式分配给软件，计算每种分拆的总效率分，比较得到最大值． 【详解】解：（1）根据题意，个任务分配给四款软件，每款软件至少处理1个任务， 只有一款软件分配个任务，其余三款各分配个任务， 若甲分配个任务，总效率分为：； 若乙分配个任务，总效率分为：； 若丙分配个任务，总效率分为：； 若丁分配个任务，总效率分为：； ， 为了使总效率分最大，应向丁分配个任务； （2）分配个任务给其中一款软件或多款软件，枚举所有可能： 个任务均分配给其中一款软件：全部分配给丁，总效率分最大，最大总效率分是分； 个任务分配给其中两款软件：甲丁或甲丁或甲丁最大，最大总效率分为均为分； 个任务分配给其中三款软件：甲丙丁最大，最大总效率分为分； 个任务分配给四款软件：甲乙丙丁最大，最大总效率分为分； 综上，甲分配1个任务，丙分配个任务，丁分配个任务，可获得的总效率分最大，最大总效率分为分． 2．（2026·北京平谷区·一模）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力、运动能力、素质项目中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下表所示： 运动能力I 人数 运动能力Ⅱ 人数 素质项目Ⅱ 人数 篮球 19 健身长拳 29 立定跳远 21 足球 12 游泳 4 实心球 m 排球 2 表中的____；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和立定跳远的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有____人． 【答案】 12 17 【分析】先根据总人数相等计算的值，再结合已知限定条件，根据求最大值的要求推理求解 【详解】解：由题意，该班男生总人数为运动能力I各项目的人数之和， 即， 因为素质项目II人数之和等于总人数，因此 已知选择排球的2位同学均选择健身长拳和立定跳远组合， 选择游泳的4位同学的运动能力I和素质项目II组合各不相同， 所有可能的不同组合共4种， 为（篮球，立定跳远），（篮球，实心球），（足球，立定跳远），（足球，实心球）， 因此4位游泳同学中，有2人选择立定跳远，2人选择运动能力I的篮球， 要使目标组合人数最多，应将剩余立定跳远名额尽可能分配给目标组合， 立定跳远总人数为21，已被排球占用2个名额，被游泳占用2个名额， 因此剩余立定跳远名额为， 运动能力I的篮球总人数为19，其中2人选择游泳， 因此最多有名篮球考生选择健身长拳， 健身长拳总人数为29，已被排球占用2个名额，剩余名额为， 足球总人数12，其中2人选择游泳，剩余10名足球考生均可选择健身长拳，，刚好满足健身长拳的名额限制， 因此选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有17人． 3．（2026·北京三帆中学·零模）甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 【答案】 42 【分析】根据表格中的数据计算出按的先后顺序制作时间即可； 要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给道具制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造，再按照或分类讨论即可． 【详解】解：（1）甲先制作用10分钟， 然后乙再给包装8分钟，这8分钟甲可以给制作，（分）， 还剩下的时间制作2分钟，这时还需要（分）， 乙开始给包装又花了8分钟，这8分钟甲给制作，还留有（分）， 这1分钟甲给制作，在乙完成的包装时甲给制作还需要（分），这分钟乙同时可以包装完， 综上，按照的顺序制作，等甲做完且乙包装完， 需要（分）， 最后，甲制作完之后，乙再给包装花费（分） 所以总时长为（分）； （2）要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给产品制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造， 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）； 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）， 所以按照的顺序制作所需总时间最短． 1．（2025·北京密云区·一模）A、B、C三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 【答案】 21 17 【分析】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题． ①先确定了B、C之间打了9局，A与B打了8局，A与C打了4局，进而确定三人一共打的局数； ②可推导出A当裁判9局，B当裁判3局，C当裁判5局，A当裁判的局次只能是1，3，5，…15，17，由此能求出结果，即可得到答案． 【详解】解：①∵A当了9局裁判， ∴B、C之间打了9局， 又∵B，C分别进行了17局，13局比赛， ∴A与B打了局，A与C打了局， ∴三人共打了局， 故答案为：21． ②∵A当了9局裁判，而从1到17共9个奇数，8个偶数， ∴A当裁判的局为奇数局， ∴三人至少进行了17局比赛， 故答案为：17． 2．（2025·北京门头沟区·一模）某次测验共四道试题，均为选择题，每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对得10分，答错得0分．乙同学答对了一半以上的题目，他们的解答及得分如下表： 第1题 第2题 第3题 第4题 总分 甲同学 A C B C 20 乙同学 D D B A 丙同学 B C B D m 丁同学 D B C A n 问：第二题的正确答案为_______，________． 【答案】 C 40 【分析】本题考查了代数式的运用，理解题意，找出甲、乙同学的得分是关键． 根据甲、乙同学的情况得到，由此得到各题的答案，由此即可求解． 【详解】解：每道题答对得10分，答错得0分， 甲得20分， ∴甲答对了2题， ∵乙同学答对了一半以上的题目， ∴或， ∴第3题的答案为B， 当时，即乙同学答对了四个题，则甲同学只答对一题，不符合题意； ∴，即乙同学答对了三个题， ∴丙同学也答对了两个题， ∴第2题正确答案为C， ∴乙同学第1题、第3题、第4题正确，得30分， ∴丁同学第1题，第4题答对，得20分， ∴， ∴， 故答案为：①C；② 40． 3．（2025·北京朝阳区·一模）某工厂生产的一种产品由，两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）： 零件 流水线 流水线 流水线 流水线 程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换． （1）如果只开通其中一条流水线，天最多生产该产品______件； （2）如果条流水线都开通，天最多生产该产品______件． 【答案】 【分析】本题考查了逻辑推理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过推理即可求解； （）通过推理即可求解． 【详解】解：（）如果只开通一条流水线，比较可知，开通流水线最合适，零件生产天共个，零件生产天共个，天正好可以生产 个， 故答案为：； （）整体比较各条流水线的产能， ，， ， 流水线只生成最合适，天生成个； 流水线只生成最合适，天生成个； 流水线只生成最合适，天生成个； 产能最高的流水线，负责调配差额，讨论可得，天生产个，天生成个， 综上可得，天共生成个零件， 故答案为：． 4．（2025·北京西城区·一模）某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是______； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为______元（用含a的式子表示）． 【答案】 8 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据工作总量计算即可； （2）列代数式，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：景点D：第1-2天，使用5人， 景点C：第1-5天，使用2人， 景点B：第3-6天，使用3人， 景点A：第6-8天，使用4人， 每天的人数安排如下： 第1-2天，D（5人）+C（2人）=7人， 第3-5天，B（3人）+C（2人）=5人， 第6天，B（3人）+A（4人）=7人， 第7-8天，A（4人）=4人， 所有景点在第8天完成，因此 的最小值为8天， 故答案为：8 （2）为了找到支付给工人的工资总额的最小值，需要安排四个景点的修复工作，使得在n天内完成，并且每天所需的工人数m尽可能小，从而使得最小． 每个景点的修复需求如下： 景点A：4人，3天 景点B：3人，4天 景点C：2人，5天 景点D：5人，2天 通过分析，我们可以找到一种最优的安排方式： 景点D在第1-2天进行，需要5人； 景点B在第1-4天进行，需要3人； 景点C在第1-5天进行，需要2人； 景点A在第3-5天进行，需要4人． 这样安排后，每天的工人需求如下： 第1-2天：5（D） + 3（B） + 2（C） = 10人； 第3-4天：3（B） + 4（A） + 2（C） = 9人； 第5天：4（A） + 2（C） = 6人． 总天数n=5天，最大工人数m=10人．因此，工资总额为元． 5．（2025·北京丰台区·一模）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 【答案】 16 58 【分析】此题考查了事件的可能性，首先求出魔方获得优秀奖的积分为7分，然后分两种情况讨论：华容道和数独都获得优秀奖和华容道获得参与奖，数独获得卓越奖，即可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高得分，然后按照获得卓越奖的项目分4种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖， ∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖 ∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖， ∴魔方获得优秀奖的积分为7分 ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖 ∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为（分）， 当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为（分）， ∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分； ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖， ∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖， ∴总积分为（分）； ②当七巧板，二十四点获得卓越奖， ∴九连环，五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； ③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖， ∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖， ∴总积分为（分）； ④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖， ∴五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； 综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为58分． 故答案为：16，58． 6．（2025·北京第二中学·零模）为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（2）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况．根据题中所给信息，________，小奕同学第三轮的得分为________分． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 a a 27 小地 a b c 11 小奕 c b 10 【答案】 5 2 【分析】本题考查方程的解逻辑推理能力，根据三位同学的最后得分情况列出关于的等量关系式，然后结合且均为正整数确定的值，从而确定小奕同学第三轮的得分，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键， 【详解】由题意可得：， ∴， ∵均为正整数， 若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为， ∴a必大于4， 又∵， ∴最小取3， ∴， ∴，，， ∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二； 小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三； 又∵表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三， ∴第二轮比赛中小恩第二， ∴第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二， ∴小奕的第三轮比赛得2分， 故答案为：5，2． 7．（2025·北京大兴区·一模）小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…… （1）写出第二次操作后记录的有序数组_________； （2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有_________堆． 【答案】 （4，4，6，7，9，11，14） 10 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给操作方式依次写出所得有序数组并发现规律是解题的关键． （1）根据所给操作方法，写出第二次操作后的记录即可解决问题． （2）根据所给操作方法，依次写出所得有序数组，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第一次操作后的有序数组为（5，5，8，10，12，15）； 第二次操作后的有序数组为（4，4，6，7，9，11，14）； 第三次操作后的有序数组为（3，3，5，6，7，8，10，13）； 第四次操作后的有序数组为（2，2，4，5，6，7，8，9，12）； 第五次操作后的有序数组为（1，1，3，4，5，6，7，8，9，11）； 第六次操作后的有序数组为（2，3，4，5，6，7，8，10，10）； ， （2，3，4，5，6，7，8，9，11）； （1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）； （1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）； ， 所以当有序数组不再变化时，这时牌有10堆． 故答案为：（4，4，6，7，9，11，14）；10． 8．（2025·北京房山区·一模）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 【答案】 54 28 【分析】三种产品各个阶段所需时间相加即可；一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要28小时． 【详解】解：（小时）； 当由两位工人合作完成时，一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要（小时）． 故答案为：54；28． 9．（2025·北京海淀区·一模）某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为______（写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为______分钟． 【答案】 （答案不唯一） 200 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，解决本题的关键是根据每辆车的充电需求，合理安排时间． （1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可； （2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电， 故答案为：（答案不唯一）； （2）要使五辆车完成充电总用时最短，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟， 这五辆车完成充电总用时最短为200分钟． 故答案为：200． 10．（2025·北京一零一中学·零模）各数位上的数字均不相等的两位数称为好数，是由两个好数组成的有序数对，将的各位数字中最大的数作为千位数字，将的各位数字中最小的数作为百位数字，将的各位数字中最小的数作为十位数字，将的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个新的四位数，称为的衍生数，若此时（其中，，，为整数，，，，），记．则的衍生数为______；若的衍生数为，的衍生数为，其中，（、为整数，，，），且，则______． 【答案】 【分析】第一空：根据“好数”、“衍生数”的定义，得到的衍生数为；第二空：根据有序数对，，，得到当时，，有序数对为，其衍生数，得到；有序数对，，，有序数对为，衍生数为，得到，根据，得到，解得，不合；当时，有序数对为，其衍生数，得到，解得，得到，，根据，得到，，得到，， 得到． 本题主要考查了新定义“好数”，“有序数对的衍生数”，“”，熟练掌握新定义，有理数的四则运算，解方程，解不等式和不等式组，代数式求值，是解决问题的关键． 【详解】第一空： 的衍生数为， ； 故答案为：7045； 第二空： ∵有序数对中， ∴， ∵， ∴当时，，有序数对为， ∴， ∴， ∵有序数对中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，不合，不存在； 当时，有序数对为，， 衍生数为，， ∴， ∵， ∴有序数对的衍生数仍为，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 综上，． 故答案为：129． 11．（2025·北京中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 【答案】 【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． （1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案； （2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 12．（2024·北京中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 13．（2025·北京通州区·一模）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 【答案】(1)3 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论； （2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论． 【详解】（1）解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对， 针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错了第2题，那么其余四道全对， 针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第3题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确， 针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的得分为2分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第4题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第5题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的， 针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分， 针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，五道题的正确选项分别是：， 如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道， 即：他的答案可能是或或或等， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 填空压轴 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 填空压轴（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：填空压轴 必备知识 知识1 实数的混合运算 知识2 整式的混合运算 知识3 因式分解 知识4 分式的运算 知识5 二次根式的运算 命题预测 命题 透视 命题形式：以创新探究、多解分类、数形融合为主要特点，结合规律探究与新定义情境综合设问，题型短小精炼、条件隐蔽性强，注重考查几何直观、逻辑推理、代数运算与分类讨论思想，突出知识综合运用与压轴区分功能。 命题内容： 聚焦规律探究、新定义核心内容，融合代数运算与几何推理，注重模型迁移、数形结合与综合分析能力的综合运用。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 实数的概念与运算 T16：列举法 T16：有理数加法在实际生活的运用 T16：逻辑推理与论证 T16：一元一次不等式解决实际问题；方案问题（二元一次方程组） T16：比例的性质；和差倍分问题 命题预测 1. 考情预测 · 两空多为 “递进关系”：第一空基础推理 / 计算，第二空策略优化 / 严谨 2. 备考建议 · 主攻逻辑推理三类题：表格统筹、新定义规则、情境方案优化 · 强化 “样本估计总体”：百分比估算、频率推断、图表整合（今年极可能融入情境） · 训练双空递进思维：第一空稳拿，第二空练 “策略分析 + 严谨表达” · 控制计算难度：少练复杂几何 / 函数大计算，多练 “枚举、分类、排除、验证” 考点一 选择压轴 题型一 填空压轴 1．（2026·北京通州区·一模）某科技公司对四款AI软件（甲、乙、丙、丁）进行效率测试．每款软件处理不同数量的任务所获得的“效率分”如下表所示（分数越高代表效率越高）．在分配任务时，每款软件只能被分配一次任务． 1个任务 2个任务 3个任务 4个任务 5个任务 6个任务 甲 7 13 19 24 28 31 乙 5 10 15 20 25 29 丙 6 11 18 23 27 30 丁 8 15 20 26 30 33 （1）现需将5个任务分配给这四款软件处理，且每款软件至少处理1个任务．为了使总效率分最大，应向______（填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”）软件分配2个任务； （2）如果共有6个任务，可以分配给其中一款或多款软件处理，那么这6个任务全部处理后，可获得的最大总效率分是______分． 2．（2026·北京平谷区·一模）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力、运动能力、素质项目中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下表所示： 运动能力I 人数 运动能力Ⅱ 人数 素质项目Ⅱ 人数 篮球 19 健身长拳 29 立定跳远 21 足球 12 游泳 4 实心球 m 排球 2 表中的____；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和立定跳远的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有____人． 3．（2026·北京三帆中学·零模）甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 1．（2025·北京密云区·一模）A、B、C三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 2．（2025·北京门头沟区·一模）某次测验共四道试题，均为选择题，每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对得10分，答错得0分．乙同学答对了一半以上的题目，他们的解答及得分如下表： 第1题 第2题 第3题 第4题 总分 甲同学 A C B C 20 乙同学 D D B A 丙同学 B C B D m 丁同学 D B C A n 问：第二题的正确答案为_______，________． 3．（2025·北京朝阳区·一模）某工厂生产的一种产品由，两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）： 零件 流水线 流水线 流水线 流水线 程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换． （1）如果只开通其中一条流水线，天最多生产该产品______件； （2）如果条流水线都开通，天最多生产该产品______件． 4．（2025·北京西城区·一模）某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是______； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为______元（用含a的式子表示）． 5．（2025·北京丰台区·一模）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 6．（2025·北京第二中学·零模）为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（2）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况．根据题中所给信息，________，小奕同学第三轮的得分为________分． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 a a 27 小地 a b c 11 小奕 c b 10 7．（2025·北京大兴区·一模）小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…… （1）写出第二次操作后记录的有序数组_________； （2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有_________堆． 8．（2025·北京房山区·一模）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 9．（2025·北京海淀区·一模）某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为______（写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为______分钟． 10．（2025·北京一零一中学·零模）各数位上的数字均不相等的两位数称为好数，是由两个好数组成的有序数对，将的各位数字中最大的数作为千位数字，将的各位数字中最小的数作为百位数字，将的各位数字中最小的数作为十位数字，将的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个新的四位数，称为的衍生数，若此时（其中，，，为整数，，，，），记．则的衍生数为______；若的衍生数为，的衍生数为，其中，（、为整数，，，），且，则______． 11．（2025·北京中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 12．（2024·北京中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 13．（2025·北京通州区·一模）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $