专题04 几何基础与三角形专题（安徽专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 本试卷为初中几何基础与三角形专题汇编，精选安徽各地市2026年一模真题，覆盖相交线与平行线、三角形全等与相似等7大考点，通过基础选择与综合解答题梯度设计，强化空间观念与实际应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约50题|相交线平行线角度计算、三角形基础性质、三视图识别|结合三角板摆放、正多边形等图形情境，注重几何直观| |解答题|约30题|锐角三角函数测量（如“大蘑菇”高度）、相似三角形综合、网格作图|融入项目式学习（如遮阳蓬设计），强调数学建模与跨学科应用|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04几何基础与三角形专题 ☆7大考点概览 考点01相交线与平行线 考点02三角形基础 考点03全等三角形 考点04锐角三角函数与解直角三角形 考点05相似三角形 考点06基础作图 考点07三视图 考点01 相交线与平行线 一、单选题 1.(2026安徽合肥·一模)已知直线m∥n,将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜 边BC与直线n交于点D.若∠I=20°，则∠2的度数为() A 2 -1 D A.50° B.650 C.70° D.80° 2.(2026安徽六安一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，点D在AC上，△BDE是等 腰直角三角形，∠EBD=90°，若AB=BE,则∠ADE=() A.259 B.20° C.16° D.15 26·安微合肥·一模)一个正五边形和正方形按如图方式摆放，其中””，则∠1度数 1/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.36° B.45° C.54° D.60° 4.(2026安徽合肥.一模)如图，正五边形ABCDE中，P为CD边的中点，连接AP,则∠BAP的度数为 () A.36° B.45° C.54° D.72° E 五边形 是正五边形， D ABCDE ∴.AB=AE=BC=DE,∠B=∠E, 5.(2026安徽合肥一模)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一 直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边 上，则∠1的度数是() A.14° B.15 C.20° D.22.5° 6。(2026-安徽合肥一模)已知0/6 ,将一直角三角板如图放置，若1=151，则2的度数是() 2/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.29° B.51° C.61° D.69° 7.(2026安徽马鞍山一模)如图，直线4B∥CD,∠B=35°，∠C=40°，则∠A等于（) B A.35 B.45° C.65 D.75 8.(2026安徽淮南·一模)一副三角板按如图所示位置放置（其中∠ABC=60°，∠E=45°，若AF∥BE, 则∠1的度数为() F D B A.60° B.55 C.45° D.40° 9.(2026安徽芜湖·一模)两个正方形按如图所示位置摆放，若∠2=65°，则∠1=（) A.115 B.125° C.155° D.165° 10.(2026安徽阜阳一模)如图，在△ABC中，DE∥BC,FG∥AB,∠1+∠2=230°，则∠ABC的度 数为() 3/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E F B G A.40° B.50° C.60° D.70° 11. (2026安徽阜阳·一模)将两块三角板按如图所示位置摆放，若AD∥BC,点F在AD上，则∠ACF 的度数为() E 30° B 457 A F D A. 109 B.15 C.20° D.25° 考点02 三角形基础 一、单选题 1.(2026安徽宣城·一模)如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=6cm,△ABD的周长 为14cm,则△ABC的周长为() A.22cm B.24cm C.26cm D.28cm 2.(2026安徽六安一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，点D在AC上，△BDE是等 腰直角三角形，∠EBD=9O°，若AB=BE,则∠ADE=() 4/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.25° B.20° C.16° D.15o 3.(2026安徽阜阳·一模)如图，在△ABC中，AC=BC,P为AB边上一动点（不与A,B重合）， PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,连接EF,则下列为定值的是() A.线段EF的长 B.PE+PF的大小 C.△PEF的周长 D.△PEF的面积 4.(2026安徽合肥.一模)如图，将△ABC沿折痕BD折叠，使点C落在AB边上的点E处，△ADE的周 长等于AB,则下列结论一定正确的是() D A.AC⊥BCB.∠A=∠B=45°C.EA=ED D.CA=CB 5.(2026:安徽芜湖一模)如图， Rt△ABC,AC=2,BC=3,∠ACB=9 BC 中， 0,以4为圆心， 为半径作 弧，再以B为圆心，AC为半径作弧，两弧交于D点，则CD长为() B A.3 B.5 C.2w5 D.25-1 6. (2026安徽合肥·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意 5/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 长为半径作弧，分别交BA'BC于M,N两点：②分别以M'N为圆心，以大于MN的长为半径作弧， 两弧相交于点P:③作射线BP,交边AC于点D,若AB=10,BC=6,则线段AD的长为() 0 A.3 B.3 c. D.5 7.(2026安徽安庆·一模)如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，AB=4,△CEF与△CDA关于 点C中心对称，连接BF,则BF的长为()· A. 4v3 B.2V5 C.8 D.25 8.(2026安徽芜湖·一模)如图，在△ABC中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D,连接AD 再分别以点B'D为圆心，大于2D的长为半径画弧相交于点p,连接4c交BD于点E:则() A.AD=CD B.CD=2ED C.∠BAE=∠EADD.∠BAD=2∠C 9.(2026安徽蚌埠一模)如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，作AB的垂直平分线，交AB,BC于 D,E两点，BE=2,则AC的长度为() A D 6/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B.2V5 C.2 D.2V5 10.(2026安徽阜阳一模)如图，在△ABC中，BA=BC=6,∠ABC=45°，AD⊥BC于点D,则CD 的长是() A.6-3V2 B. 6√2-6 C.6-3V5 D.3V2-3 11.(2026安徽宣城一模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，AB1AD,AD=5cm,则BC的 长为() A.10cm B.17cm C.15cm D.19cm 12.(2026安徽芜湖一模)如图，在△ABC中，AB=AC=3,∠B=30°，AD⊥AC,AD交BC于点D, 则CD的长为() A.2 B.2.5 c.25 D.25 13.(2026安徽阜阳一模)如图，在△ABC中，∠B=30°，AB=AC,点D在边BC上，满足 BD=BC.若Bn=5,则AD的长是（） D 716 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B.2 c. D.25 14.(2026安徽铜陵·一模)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=BD,AE是BC边上的 高.若AC=5,AE=4,则AB的长为() DE 号 4 B.5 20 C.6 D. 15.(2026安徽：一模)如图，在Rt△ABC中，DB=90°，∠C=30°，D为边AC的中点，E为BC边上一 点，若B5=25,CE=DE,则CE的长为(). D B A.3 B.1 C.25-1 ” 16.(2026安徽阜阳一模)如图，在△ABC中，AB=AC,D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折 叠，点B的对应点E恰好落在边AC上.若∠A=,则∠ADE=() D B A.90、3 B.90°-a C. D.45°-0 17.(2025安徽中考真题)如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的 8/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点E满足ED14C.若DE=5,则4C的长是（) D E A.43 B.6 C.25 D.3 18.(2026安徽安庆·一模)如图，点D,E分别在线段AC,BC上，连接AE,BD交于点F,若 ∠A=23°，∠B=47°，∠C=42°，则∠AFD的度数为() E A.65° B.68° C.70° D.89° 19.(2026安徽：一模)将两个大小不同的含有45°角的三角板ABC和BDC按如图所示的方式放置.已知 AB=4V ,则四边形1BD 的面积为() A.24 B.24V2 C.48 D.48V2 20.(2026安徽一模)如图，△ABC是等边三角形，∠ABC的平分线BD交AC于点D,过点D作 DE⊥AB于点E,延长BC和ED交于点F,若BC=4,则BE的长为() 9/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. 11 B.3 8 C. 3 D.2 考点03 全等三角形 一、单选题 1.(2026安微合肥一模)如图.平面直角坐标系中，点O0,0,40,2,Bm5),连接B,并将线段 AB绕点A顺时针旋转90°，点B旋转到点B,连接OB.则△AOB周长的最小值为() y B A.3 B.2+2V10 c.2v10 D.2+3 2.(2026安徽滁州一模)如图，在△ABC中，AB=2AC=2m,AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD, 垂足为点E,则DE的取值范围是() B D A.Em B.DE<m C.O<DEsim D.0<DEs 2 3.(2026安徽阜阳一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P为△ABC外一点、且P、C在 直线AB的异侧，PA=2,PB=6,将CP绕点C逆时针旋转9O°得到CP',连接BP、PP',当线段PP取 最大值时，下列结论错误的是() 10/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.PC平分∠APB B.△BCP的面积等于12 C.△BCP的周长等于20 D.△BPP'的周长等于24 4.(2026·安徽安庆·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BA方向平移至△FDE处，此 时点0恰好为边B的点，连接CD米C0子C=小则E即长为() A.0 B.3 C.22 D. 5.(2026安徽安庆·一模)已知如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=4,点P为边AC上 一点，连接BP,将△ABP沿BP翻折，得到△EBP,其中点O为边AB中点，点D为边BE中点，连接OD、 OP、CE,下列说法错误的是() 4v5 A.BP最小值为5 B.CE最小值为2 V185 C.OD的最大值为3 D.OP+BP最小值为5 6.(2026安徽安庆·一模)如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD交于点O,点P在正方形的 内部，且PA=PB.连接PO并延长交AB边于点Q,线段AP,BP分别与DO,CO交于点E,F,则下列 11/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 结论不一定成立的是() B A.PO LAB B.∠PAC=∠PBDC.AE=BF D.80r Rt△ABC 7.(2026·安徽准南·一模)如图，在 ∠ACB=90,4AC=5,AB=13,CD平分 中， ACB交B 于点D,BE⊥CD交CD延长线于点E,F为AB的中点，连接EF,则EF的长为() B E 8 A.4 、> B. C.3 D.3 8.(2026安徽芜湖一模)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E,F分别是BC,AB上的动点，且 BE=1,4与CF交于点G,连接DG,则下列说法中不正确的是（) F B E S四边形ADcG= DG2 A. 2 B.△AFGACFA C.∠EGF为定值 D.GD平分∠AGC 9.(2026安徽阜阳·一模)如图，在△ABC中，BD是△ABC的高，AG,BE分别是∠CAB和∠ABD的 平分线且交于点O,AG与BD交于点F,已知AD=BD,CD=DF,连接OC.下列结论错误的是 12/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.AB=AD+DF B.OB=OC C.OC⊥BE D.BG=AE 考点04 锐角三角函数与解直角三角形 1.(2026安徽淮南一模)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=2,则tanA的值是() 5 25 A.2 B.2 C.5 D.5 3 2.(2026安徽淮南一模)在RtAABC中，∠C=90°，若sinA=亏，则cosB的值是( A.4 B.3 c 4 D.5 AB 3 3.(2026:安徽阜阳一模)如图，在矩形ABCD中，AD=4,连接AC,过点B作BE⊥AC交AC于点 F,交AD于点E,连接CE,则tan∠CED为() E D B 2 V5+1 A.1 C.7 D.2 4.(2026安徽合肥.一模)如图，点A,B,C,D在⊙O上，OC⊥AB,∠BDC=30°，则sin∠AOC的 值为() 13/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的 5 5 B.2 C.2 D.3 5. 26安徽合肥一模)如图，在A4BC中，AB=43,∠C=60,若sinB 4,则AC的长为() A.3 B.6 C.3V3 D.6V5 2026安徽阜阳一模)如图，直线y3与轴，y轴分别交于，R两点，则s204R正 () 0 A B 3 B.5 c. 3 D. 二、填空题 14/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 8.(2026安徽淮南·一模)如图，某大型商场的电梯AB长20m,电梯AB与地面BC的夹角∠ABC=18°， 内部房顶DE与水平线EF的夹角∠DEF=36.5°.己知点E到地面的距离EB=3m,D,A,G在同一条 直线上，A,B,E,D在同一平面上，求点D到地面BC的距离DG.参考数据：sinl8°≈0.31， cosl8°≈0.95，tanl8°≈0.32，sin36.5°≈0.59，cos36.5°≈0.80，tan36.5°≈0.74. D 36.5cE 180 CG B 9.(2026安微宣城一模)某山区为应对突发情况，设立救援指挥部.已知指挥部A,补给点B,山脚E 在同一条直线上，标记点C在指挥部A的东北方向，补给点B的北偏西60°方向，瞭望塔D在标记点C的 北偏东75°方向600V2米处，且距补给点B的距离与标记点C距补给点B的距离相等.瞭望塔D距山脚E 200W7米.（参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73，√7≈2.65） 北 西一 →东 南 B E (I)求指挥部A与山脚E的距离（结果保留整数）； (2)某次救援行动中，有求救者在山脚E求救，巡逻队员发现后通知救援队并让求救者向补给点B撤离，同 时救援队员从瞭望塔D出发，并以求救者1.5倍的速度赶往补给点B,当救援队员与求救者相距1O0米时可 建立联系.求救援队员行驶多少米后能与求救者联系.（结果保留小数点后一位）· 10.(2026安徽合肥·一模)项目式学习：某数学实践小组观测太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角） 与物体影长的关系，并借助相关知识探究合肥骆岗公园“大蘑菇”的高度.下面是小组成员进行交流展示 时的部分资料及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 15/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 项目主题： 测量骆岗公园“大蘑菇”建筑的高度 合肥市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角αa参照表： 项 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 目 太阳高度角& 77.5 70.2 59.8 47 35 素 (度) 材 参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82， tan35°≈0.70 示 意 图 E--45E D “自律”小组 “自强”小组 项 下午16：00时，在观测点C处测“大 下午16：00时，从C向“大蘑 目 蘑菇”AB的影子BC.但因为“大蘑菇” 菇”AB方向前进27米到达点D,在 成 AB周围有一圈栅栏，所以无法直接测量影 点D处用高1米的测角仪测得塔顶A 果 子BC的长度. 的仰角为45°. 项 目 请你求出“大蘑菇”AB的高度（注意：计算结果保留整数）· 任 务 项目任务：请你求出“大蘑菇”AB的高度（注意：计算结果保留整数）· 11.(2026安徽蚌埠一模)根据以下素材，探索完成任务： 素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点A,O为墙壁上的固定点，摇臂OB绕点O旋转过程 中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整.如图2，∠AOB=90°，OA=OB=1.5米. 16/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A B 0 B N 图1 图2 图3 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角“（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 3 角&的正切值 4 ON 素材3：小明身高（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明所站的位置离墙角的距离 ( )为1.2 米 问题解决 这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点O到墙角的距离(OQ 任务1 确定高度 )的长 如图2，为不被阳光照射到，旋转摇臂OB,B的对应点为B',使得B离墙壁距离 判断是否 任务2 为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶 碰到蓬面 是否会碰到遮阳蓬面？ 如图3，不改变B的位置，小明打算在这天1214点之间在遮阳蓬下休息，为使得 探究合理 任务3 ON 全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距离( 范围 的范围. 12.(2026·安徽合肥·一模)一辆带有曲杆的起重机在工作状态下如图所示，支撑点A距地面MW有1.2m, 起重臂AB与水平面的夹角为53°，与BC的夹角∠ABC=106°，AB=20m,BC=6m,求吊篮的边沿点C 到地面MN的距离（结果精确到0.1m).(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33， sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.60) 17/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026·安徽滁州一模)根据我国现行的建筑设计规范和相关标准，居民楼的间距一般在12m至24m之 间，如图，AB和CD是两栋居民楼，AB比CD高24m,E,B,D在同一水平线上，在点E处测得A处 仰角为60°，测得C处仰角为70°，DE=4m,通过计算说明AB和CD之间的楼间距BD是否符合设计规范 (参考数据： sin70°0.94，cos70°0.34an70°≈2.75，V51.73,结果精确到0.1m). 14.(2026·安徽六安·一模)如图1，地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线，也叫纬线圈.从赤道向北和 向南，各分90度，称为北纬和南纬.纬度角是指地球上某一点与地球球心的连线和赤道平面所成的角度， 合肥市的纬度约为北纬32°，即纬度角为32°.如图2，赤道半径OA约为6400km,弦BC∥OA,求合肥市 的纬度北纬32°的纬线直径的长度.(sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，ta32°≈0.62，结果精确到1km) 北极 8 60 C B 80 60 60°80° 40°20° 40 002040° 32 20 0 赤道 0° 20° 409 南极 图1 图2 15.(2026安徽合肥一模)九年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度.由于松树周边有花坛， 18/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告. 调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度， ①经查阅资料，该住宅楼的高度为30m: ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为39°： 调查数据 ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为30m,且松树顶端在地 面的影子距住宅楼的水平距离为l0m. 根据调查数据，画 出数学图形.如 图，点 GC B,E,H,D,F在 同一条直线上， 建立模型 AB⊥BF,CD⊥BF 吕 CD=30m HD DF =30m, EH=10m,a=39° 测量工具 卷尺、测角仪器、无人机 参考数据 sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81 问题解决 求松树AB的高度. (结果精确到0.1m) 16. (2026安徽安庆·一模)综合与实践 [项目主题] 安庆大南门特色文化街是安庆市文旅融合的标杆项目，其核心地标镇海门（俗称大南门）承载着古城八百 年的历史记忆某学校的数学兴趣小组，想利用无人机测量复建的镇海门的门洞高度. D-- 图1 图2 [项目准备] 19/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 无人机、卷尺等测量工具 [项目实施]如图2 1.第一小组成员利用卷尺测得门洞宽AB为8米： 2.第二小组成员利用无人机的测绘系统，在点P处观测到门洞左侧底端点A处的俯角即∠DPA为3I°， 在点P处观测到门洞右侧底端点B处的俯角即∠DPB为45°，测得门洞最高处点C的俯角即∠DP℃为22°. 备注： 1.查阅资料得知镇海门的门洞为轴对称图形： 2.图上所有点均在同一平面内： 3.参考数据：sin310.52,cos31≈0.86，tan31°≈0.60；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40」 [项目分析] 请你根据以上实验过程和测量的数据 ()求点P此时距离地面的高度： (2)求镇海门门洞高度.（即点C到地面的距离） 17.(2026·安徽准南一模)计算： 1)sin2'45°-2cos30°-an60°-2 2）1s-V8+4eos45°+ 18.(2026安徽淮南·一模)2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地.合肥 骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园， 从硬地到生态奇迹.下图是骆岗公园的标志性建筑一一全向信标台.小明利用周末时间，前往骆岗公园， 借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在A点用垂直于地面放置的测 角仪AE测得顶端D的仰角为53°，在B处测得D的仰角为45°，AB两点水平距离为14.6m,测角仪AE高 4 为1.6m·求全向信标台的高度（结果精确到1m）.(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°0.60，tan53°≈3） 20/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(2026安徽阜阳·一模)打印机作为现代办公和家庭学习的重要设备，经过不断地更新迭代，产品也 更加成熟，各类零件也很全面.下图1是一台打印机的出纸托盘，图2是它的示意图，托盘完全打开时， OA长10cm,AB长5cm.且OA与水平面的夹角为20°，AB与水平面的夹角为45°，求托盘完全打开时， 点B到打印机的水平距离.（结果精确到0.1cm,参考数据：sin20°=0.342，cos20°=0.940， tan20°=0.364√2≈1.414 B A 图1 图2 20.(2026安徽合肥·一模)某房屋在水平面上如左图所示，右边是它的示意图，它是由矩形ABCD和 △OEF组成，OE=OF,DE=CF,AB=6m,从A处测C处仰角为45°，测O处仰角为70°，求O到EF 的距离.（结果精确到0.1m.参考数据：sin70°≈0.947，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） B 21.(2026安徽合肥一模)暑假期间，小华一家到某山景区游玩.他们从山脚入口A出发，先沿斜坡AB 步行250m到达缆车入口B,再从B坐缆车经过100秒到达山顶平台C.已知斜坡AB的坡角a=10°，缆车 BC 行驶路线（近似看成线段）与水平面的夹角 =45° C D ,山顶平台到山脚水平面的垂直高度 CD≈442.5m.假设A、B、C、D在同一平面内，求缆车行驶的平均速度.（结果精确到0.lm,参考数 据：sin10°≈0.17，cos10≈0.98，tan100.18,V2=1.4l) 21/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.(2026安徽滁州一模)冬季，滑雪项目成为许多人休闲娱乐的新选择.图1是某滑雪赛道，图2是 其侧面简化示意图，CD是滑雪赛道的高度，斜坡AB的坡比i=1.5:2,坡面长10米.小华从A处测得C 处的仰角为22°，从B处测得C处的仰角为45°，求滑雪赛道的高度CD,(结果精确到0.1米，参考数据： sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) 229工 45 图(1) 图(2) 23.(2026·安微合肥·一模)如图，AB为巢湖边上东西走向的滨湖大道，小宇沿滨湖大道参加“低碳生活、 绿色出行”健步走公益活动、当小宇在点A处时，某艘湖中作业船位于小宇南偏东68°的点C处，作业船 到滨湖大道的距离CB为400米：当小宇沿滨湖大道向东步行400米到达点E时，作业船沿南偏西40°的方 向航行至点D处，此时作业船恰好在小宇的正南方向.求作业船从C处航行到D处的距离.（参考数据： sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48 D 24.(2026安徽合肥·一模)某山林瞭望塔建在山坡上，用于观测火情或特殊目标.山坡BC的坡度为 12:5,坡长BC为26米，瞭望塔AB高3米，塔顶为观测点A.巡山员在将某信号弹从地面E点垂直发射 前，在观测点A测得E点的俯角为37°，发射3秒后，测得信号弹升至D处的仰角为53°，请根据以上数据， 估算巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 22/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 25.(2026安徽安庆·一模)项目式学习 飞来石（图1），位于安徽省黄山风景区平天红的一块平坦岩石上，由中细 项目背 粒斑状花岗岩经风化作用形成.图2为其侧面示意图.某学校科技小组想用 景 所学知识使用无人机测量飞来石的高度AB(飞来石的底部不可到达)· 如图2所示，无人机从C点竖直上升到D点，测得CD的长为3m,飞来石顶 部A的仰角为22°.接着无人机沿着与水平线成30°角的方向继续飞行到点E 此时无人机正好在A的正上方，测得AE的长为4m. 图示及 说明 D B 图1 图2 任务 求飞来石的高度AB；(结果保留整数) 参考数 sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，V3≈1.73. 据 26.(2026安徽合肥·一模)如图，太阳光线AD与水平地面所成的夹角为37°，学校旗杆AB在水平地面 上的影长BC为4米，在倾斜角为37°的斜坡上的影长CD为2米，求旗杆AB的高度.（参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75 23/6 应学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 27.(2026·安徽合肥·一模)如图，为测量平台BC上一旗杆AB的项端A距离地面MP的高度，先用测角 仪在地面N处使点A,点C和测角仪所在点N在一直线上，此时测得∠AED=58.0°，MN=5.0m,再将 测角仪移到地面P处，测得∠AFD=36.9°，MP=19.6m,已知图中所有点都在同一竖直平面内， CM⊥MP,四边形MNED和MPFD均为矩形，FP=1.6m,求A距离地面MP的高度d(结果精确到O.lm 参考数据：sin36.9°=0.60，cos36.9°=0.80，tan36.9°=0.75：sin58.0°=0.85，cos58.0°=0.53， tan58.0°=1.60. 777777777 E D 28.(2026·安徽合肥一模)如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角 为45°，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为53°，已知山坡AB的坡度i=1:2.4,A处到地面BC的 距离为10米，水平地面BC长为30米. 452-G 53C B D (I)求山坡AB的长： (2)求此时无人机离地面的高度pD的长（精确到0.1米），（参考数据：sin53°≈5，am53°≈ 4 3 24/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 n易 29.(2026·安徽合肥·一模)假日里，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌 的小河，他们萌生了探究的冲动：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度.在亲近自然的过程中，他 们也体会到了数学的实用与探索的乐趣.测量中，他们在河边的缓坡BM上的点C处安装测角仪CD, CD=16m,绘制测量示意图如图，测得河对岸点4的俯角“为41°，CD与M B、,60° 的夹角”为0，又测得 点C与河岸点B之间的距离CB为6m,点A,B,C,D,M,N在同一平面上，点A,B,N在同一 水平直线上，且CD⊥AB.请你帮亮亮和华华计算出河宽AB.(精确到lm参考数据：sinl4.1°≈0.24， cos14.1°≈0.97tanl4.1°≈0.25.V5≈1.73) M D Bisia----G A 30.(2026安徽阜阳·一模)安徽广播电视中心又名安徽广电新中心、安徽广播大楼，位于安徽省合肥市 蜀山区.某校数学实践小组开展测量广播大楼高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰 写活动报告，报告部分内容如下表： 测量安徽广播大楼的高度 测量工具 无人机、测角仪、电子测量器等。 如图，A是广播大楼最顶点，AB为广播大楼所有结构组成部分 的总高度.无人机在广播大楼上方点C处时，测得广播大楼顶 部A处的俯角∠DCA=22°，底部B处的俯角∠DCB=71°，沿 水平方向由点C飞行168米到达点D处，在点D处测得点A处 数据采集 的俯角∠D=45°，己知图中各点均在同一竖直平面内. C B 25/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方案修改： 数据应用： (I)请根据以上数据，求广播大楼的高度AB.(结果精确到1米，参考数据：sin22°≈0.37， cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90) 方案反思： (2)小明对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点C到地面EF的距离，则可减少需要 采集的数据，请直接写出原数据采集方案( 2四71168米，45 )中至多可以删减的数据为 31.(2026安徽一模)一辆高空作业的工作示意图如右图所示，支撑点A距地面MN有1.2m,主臂AB 与水平面的夹角∠BAF=45°，与BC的夹角∠ABC=82°，AB=10m,BC=15m,求吊篮的边沿点C到地 面MN的距离（结果精确到0.1m).(参考数据：sin82°≈0.99，cos82°≈0.14，tan82°≈7.12，sin37°≈0.60， cos69°≈0.80tan37°≈0.75，V2≈1.41 B A M N 7777777777777 考点05 相似三角形 一、单选题 1.(2026安徽蚌埠一模)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D,AE平分∠BAC, 分别交BD,BC于点F,E.若AB:BC=3:4,则BF:FD为() B A.5:3 B.5:4 C.4:3 D.2:1 2.(2026安徽合肥·一模)如图，在矩形ABCD中，AF,DE分别平分∠BAD和∠ADC,E为BF的中 26/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DC 点，Ar和DE交于点G,则DG的值是() A D G E F 5 2W2 4W5 A.1 B.2 C.3 D.5 3.(2026安徽滁州一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D为BC边上一动点（不 与点B、C重合)，CE垂直AD交AB于点E,垂足为点H,连接BH并延长交AC于点F,则以下结论错 误的是() D B A.当CD=BD时， CH=45 B.当CD=BD时，AF=2CF C.当BD=nCD时，AE=(n+BE D.BH的最小值为5 AB⊥AC D.E AB,AC F 4. (2026安徽合肥一模)如图， ,点分别在线段 C上，E与CD交于点F, CF ∠B=45,∠C=30,BF=EF,则DF=() A 27/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 45 2W3 35 A.3 B.3 C.5 D.4 5.(2026安徽合肥一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点P是AB边上一动点，以 PC为直角边作等腰直角△PCD,∠PCD=90°，连接BD,直线PD与BC相交于E点.设AP=x,则下 列结论正确的是() D A. PD的最小值为25-1 B.BD LAB C.当BD=2时， AP=2√2 D.ACDE的面积S随x增大先减小后增大 CE 2 6.(2026安徽毫州：一模)如图，在A4BC中，点D是边AB的中点，点E在BC的延长线上，BC5, 连接ED交AC于点F,若AC=14,则AF的值为() E A.4 B.6 C.10 D.12 7.(2026安徽六安一模)如图，在△ABC中，DE垂直平分边BC,垂足为点D,交AB于点E,点G 为CD的中点，连接AG与CE交于点F,若AG=AC,则下列结论错误的是()· 28/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FG 1 CF 7 EF 4 A. AF3 B. AE3 BE 4 C.AE12 D.CF5 8(26安藏车用一模)如图。在A4BC中，点D在边AC上，且cn-4C,9D=,过点C作 4 CE∥AB,交BD的延长线于点E,则DE的长为() B A.5 B.2 C.② D.1 9.(2026安徽芜湖一模)如图，在R△ABC中，∠ABC=90,∠4CB=30°，MB=4W5,点D,E分 AC,BC ∠ABD=∠EAC 别是 上的动点，且满足 ,则下列结论错误的是() B A. AABE 面积的最大值为4√5 B.CF 的最小值为4W13-4 C.CF 的最大值为43+2 D.BD的最小值为6 10.(2026安徽芜湖·一模)如图，根据图中给出的数据，一定能得到() ⊙ E 6 7D5 A.△AEDACED B.△ABEP△ACB C.△ABCP△EDC D.△AED∽ACBA 29/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026安徽宿州一 模)如图，4C与D交于点9，已知1 CFIDE,CF与E交于点P.若 AB=4,DE=6,则CF的长为() A B 2 A.5 9 B.2 c.5 D 12.(2026:安徽蚌埠一模)如图，在△ABC中，CD是高，点E为AC边上一点，且AE=2CE,连接BE 交CD于点F,∠ABE=30°，EF=3,CF=4,则BF的长为() C D A.7 B.6 C.5 D.36 二、填空题 13.(2026·安徽安庆·一模)定义：若△ABC的内部存在一点O,满足∠BAO=∠CBO=∠ACO,称点O是 △的等角点.如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=30°，点O为△ABC的等角点，若BO=1,则： B AC (1) AB的值为 (2)线段AO的长为 14.(2026安徽马鞍山一模)如图，△ABC中，∠BAC=90°，BC=10,D为AB边的中点，将线段BD 以B点为中心逆时针旋转90°得到线段BD',连接CD 30/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若AC=6,则BD'长为 (2)CD'长最大为 15.(2026安徽芜湖一模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,BD=2,点E为AB中 点，tan∠ABC=4 A D B (1)EC= (2)点F为CB延长线上一点，且满足∠F=∠ECD,则CF= 16.(2026安徽蚌埠一模)如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=BC=EF=3,点E 在线段BC上，点A在线段DF上，且AC∥DE.连接AE. -D (1)若∠D=a,则∠BAE的大小为：（用含a的代数式表示） (2)当AC·DE=AE·DF时，连接CD交AE于点P,则CP的长为 三、解答题 17.(2026安徽合肥一模)已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分 ∠ABC,分别交CD,AC于点F,E. 31/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (I)求证：CE=CF: (2)若BC=6,CE=3,求AE的长： (3)如图2，在AC上取点G使AG=CE,连接FG,求证：FG∥AB 18.(2026安徽马鞍山一模)如图，在四边形ABCD中，O为AC中点，B0延长线交AD于点E,E为 AD 中点，连接CE,∠EBA=∠E1C+∠BCA,BE=CD+DE B 图1 图2 (I)求证：△DCE△EAB: (2)若OE=1,求OB的长： (3)如图2，当DD=90°，求tan∠DAC」 19.(2026安徽合肥一模)按问题背景、进行迁移、拓展应用完成下列问题： (I)【问题背景】如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC,点F为线段DE上一点， DFBG 连接4E并延长交BC于点G,求证：EF=CG· D (2)【迁移应用】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,点D,E分别在边AB,AC上， DF_2 DE∥C,点F为线段DE上一点，2F-号，延长A交C于点G,连接CF,CFLAG,过点A作 32/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AH⊥BC,垂足为H,求CF的长. ◇ H (3)【拓展提高】 如图，在△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BE=BD,AC=DC,点F为AE的中点，连接DE并 延长，交CF的延长线于点G,连接AG,过点C作MN∥AB,分别交GD,GA的延长线于点M,N若 DE=5, EG=4,求AG的长. E B D 20.(2026安徽滁州一模)如图，在四边形ABCD中，点E在AB边上，且CE∥AD,BE=AD, AB=CE. G E D A 哈 F B B M 图1 图2 (I)求证：△ABD≌△ECB: 2如图1，若BE=而，am∠4DB=3BC=5,求F的长： 3)如图2，延长BACD交于点G,过点D作DM∥AB交BC于点M,连接4M,ED,求证： SAGDE =SAABM 21.(2026安徽合肥·一模)如图1，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC中点，E为AD上任一点， 33/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE交AB于点F,FGL BE交BC于点G,连接EG. D 图1 图2 (I)求证：△AEF∽aBGF: (2)如图2，当F为AB中点时，求证：EG∥AB: (3)当点E在AD上移动时，猜想DE和BG的数量关系并证明， 22.(2026安徽淮南·一模)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上且AE·AB=AD·AC,连接 DE,BD (I)求证：△ADE一△ABC (2)若点E为AB中点，AD:AE=6:5,若AB=20,求CD的长. 23.(2026安徽阜阳·一模)如图1，△ACB,△DCE是两个全等的等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，AB,DE交于点F. D 图1 图2 (I)求证：AF=EF: (2)如图2，连接CF,过点A作AG⊥AC交CF延长线于点G,过点B作BH⊥BC交CE延长线于点H. ①求证：∠G=∠DCG: ②老Q1=5,co=25,求f的长 24.(2026·安徽滁州一模)在△ABC中，BC=8,两条高AD,BE交于点H,F是CH的中点，连接AF 并延长交边BC于点G. 34/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G( B D 图1 图2 (I)如图1，若△ABC是等边三角形. ①求证：AH=2DH; ②求CG的长， (2)如图2，若AH=DH,CG=BD,求△ABC的面积. 25.(2026安徽合肥一模)如图1，在△ABC中，∠B=∠C,AD⊥BC于点D,E是线段DC上一点 (不与点D,C重合)，点F是线段BE上一点，若EF=EC. G E D B C E D ED F 图1 图2 图3 (①)求证：BF=2DE: BC G,GE=ED∠GED=2∠C AG,GF (2)在直线上方有一点 连接 (i)如图2，若点G在边AC上，求证：∠CGD=90°： AC5 AG (i)如图3，若8C=6,求G的值. 26.(2026安徽合肥一模)在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB,垂足为 点D,过点D作DE⊥OA,垂足为点E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为点G. A A B D 图1 图2 35/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (①)观察猜想：如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG,OE,OD的数量关系： (2)类比探究：如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断(1)中的结论 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明， OD 3)拓展应用当0<08<180，且∠A0B90时，若F=4,请直接写出CD的值 27.(2026·安徽合肥一模)如图，△ABC中，分别以AB,AC向外作Rt△ADB和Rt△AEC,其中 ∠ADB=∠AEC=9O°，∠ABD=∠ACE=a,F,G,H分别是边BC,AB,AC的中点，连接DF, DG,EF,EH. B (I)求证：△ADGP△AEH: (2)求证：DF=EF: (3)∠DFE的度数为 (用含的代数式表示). 28.(2026安徽芜湖一模)在△ABC中，∠A=∠ABC=45°，点D在AB上，点E在AC上，连接DE, BE,DC E ⊙ D B 图1 图2 图3 (I)如图1，若DE⊥AB,求证：△BEA∽aCDA: (2)如图2，已知BE⊥DC于点F. (i)求证：AD·BF=BD.CF: (i)如图3，若DE∥BC,AC=2,求CE的长 29.(2026安徽阜阳一模)如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是BC延长线上一点， 连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转9O°得到线段AE，连接DE,CE. 36/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 图1 图2 图3 (I)判断BD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，延长BA交EC于点F,连接BE,G为BE中点，连接GF. (i)当AB=AC=2,GF⊥CE时，求GF的值： CH (i)如图3，过点c作cHBA交AD于点H'4E与GF交于点p,若A4PF与。4CH全等，求CD· 30.(2026安徽阜阳一模)在△ABC中，AC=BC,D和E分别是AB和AC上的点，已知 ∠BDC=∠AED E F B A B 图1 图2 图3 ()如图1，若CD=ED,求证：AB=AE+BC: (2)作CF⊥DE于点F,设∠ACB=C,G是AB上一点，且AG=DG. (i)如图2，求∠FGD的度数；（用含a的代数式表示） (i)如图3，H是MB的中点，连接 H,FH ，判断FGH 的形状并加以证明， 考点06 基础作图 一、 解答题 1.(2026安徽准南·一模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 xO△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）·已知点4的坐标为 -2,1) 37/6 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①)将△ABC绕原点0顺时针旋转90°，得到人4BG,在所给的网格图中画出 △A,B,C (2)在所给的网格图中找到两点M,V,使得MN均在线段 B的垂直平分线上，并写出点M和点N的 坐标 2.(2026安徽宣城·一模)如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，且三个顶 点的坐标分别为 A-5,2)、B(-2,5)、C(1,3 8 子 百 3 2 C 543-2-10 1 23456789x 2 (I)在图中画出将△ABC △ABC 向右平移6个单位长度得到的 △ABC 90° △AB,C (2)在图中画出将 绕点C逆时针方向旋转 得到的 3.(2026·安徽合肥.一模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 386 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0,已知点4-2,4，B-6-2 (I)画出线段AB: (2)将线段4B向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段 AB ，画出线段48 ，画出线段48 AB (3)以0为位似中心，在第三象限内把线段AB缩小到原来的一半，得到线段 4.(2026安徽蚌埠一模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点分别 在格点上， (I)将△ABC △AB,C 向右平移2个单位，再向下平移4个单位，请在网格内画出平移后的 (2将△18C以点B为中心，顺时针旋转90，请在网格图中画出旋转后的△4BC, ③)请仅用无刻度直尺在线段4G上确定一点P,使∠BCP=45° (保留作图痕迹，不需要证明)· 5.(2026安徽马鞍山一模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的6×6网格中，线段AB的 39/6 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 端点均为格点（网格线的交点），点C为线段AB上任一点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图. (I)以AB为边长，在网格中画一个正方形ABDE; (2)在AE上找一点F,使得AC=AF(保留画图痕迹). 6. (2026安徽合肥一模)如图，格点△ABC(顶点均是网格线的交点)和格点O (I)以点O为对称中心，作出△ABC的中心对称图形△ABC': (2)借助网格仅用无刻度的直尺，过点A作线段BC的垂线. 7.(2026安徽滁州·一模)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A,B, C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）· (I)将△ABC向右平移5个单位，得到对应△A'B'C,请画出平移后的△AB'C': (2)将4B' 绕点"点逆时针旋转90得到对应△4"8 90° △A"B"C" ,画出旋转后的 8.(2026安徽六安一模)如图，点A的坐标为0,2) 点B的坐标为 -3,0 ,点C的坐标为-1，，现作 40/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如下操作： B ①以点A为旋转中心，将△ABO按顺时针方向旋转9O°，点B与点D、点O与点E对应，得到△ADE; ②以点C为位似中心，放大△ADE,得到△GHF,其中点A与点G、点E与点F、点D与点H对应，使 △GHF与△ADE对应边的比为2：1，且点G在第三象限， (I)在图中画出△ADE和△GHF: (2)直接写出点H的坐标： 9.(2026安徽合肥·一模)在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均在格点上（网格线的交点）. B )以点C为位似中心，在网格区域内将△4BC放大2倍得到△4BC(A的对应点是4，B的对应点是B), 2)求a4Bc 的面积. BP 3 (3)用无刻度的直尺在线段AB上找一点P,使得AP4.(保留画图痕迹) 10.(2026安徽阜阳一模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为 41/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 格点（网格线的交点）· (I)将△AB 先向下平移4个单位，再向左平移6个单位，得到 ABC,画出 ABC 2点E为4C的中点，则△4BE 的面积为 11.(2026·安徽安庆·一模)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 xOy,△ABC的三个顶点均为格点（网格线的交点）· (①)以点B为旋转中心，将△4BC绕点B逆时针方向旋转90°得到人 ,△ABC △ABC ；请在所给网格图中画出 (2)在第一象限的网格中标出格点D,使得DC⊥AB,并写出点D坐标 12.(2026·安徽芜湖一模)项目式学习 项目主题 风筝的设计与制作 项目背景 风筝制作在中国具有 悠久的历史，以竹篾 扎成鸟禽状骨架，上 糊以纸，称为“纸 鸢”，以下是某小组 42/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 开展制作风筝项目的 实施过程。 (1)步骤一：设计 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为-15,0 请你以'轴为对称轴画出风筝骨架的另一半，并直接写 出点A的对称点D的坐标为 B (2)步骤二：制作 将设计与制作的风筝进行试飞，根据当天风速等实际状况试飞，发现当AD与BC比值为黄金分割比时，风 筝飞的最稳，则BC的长应设置为 (3)步骤三：结论 在步骤二的条件下，风筝所需材料（四边形ABDC)的面积为 13。(2026安徽阜阳一模)如图△4BC的顶点在格点上，点0，A也在格点上，按要求完成下列间题， Bi )若点0为原点，点C坐标为-2-2 ，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标： (2)平移△ABC,使点A移动到点A位置，画出平移后的 △ABC1 A,B,C 14.(2026安徽安庆·一模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 均在格 43/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点（网格线的交点）上 B (I)画出△ABC △ABC 关于直线1对称的 (2)连接 A,CC,直接写出四边形 ACC 的面积： (3)在图中利用无刻度的直尺画出 △ABC1 的一条中位线， 15.(2026安徽合肥一模)如图7×9网格中，每个小正方形的边长为1，点A,B,C均在格点上.利用 无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹）· B (I)将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到对应△DCE,画出△DCE: (2)以点C为位似中心，将△DCE作位似变换得到△FCG,△DCE和△FCG的相似比为2：1（任意作出一 种即可). 16.(2026安徽合肥一模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标 系t0,格点（网格线的交点）4B,C,D的坐标分别为0,9,3,5,5,9,5,6. 44/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 4 B 0 ()以点D为旋转中心，将△1BC旋转I80°得 △AB,C,画出 ABC, (2)直接写出以 B,C,B,C 为顶点的四边形的周长： (3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标. 17.(2026安徽合肥一模)如图，平面直角坐标系中，△1BC的顶点坐标分别为1-1,5)、B-4,1 C1, 请按要求完成下列任务： (I)以点O为对称中心，作出△ABC的中心对称图形△AB'C',并写出点A的坐标： (2)在第一象限内确定一点D,使四边形ACBD为平行四边形，并直接写出点D的坐标. 18.(2026安徽合肥一模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平 面直角坐标系，△ABC为格点（网格线的交点）三角形. 45/6 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 YA 0 B (I)将△AB 先向右平移4个单位长度，再狗下平移3个单位长度，得△A8G,面出平移后的 △ABC ABC关于'轴对称的 AB,C2 (2)画出1 (3)用无刻度直尺在AC边上作一点F,使∠ABF=45°（保留作图痕迹）· 19.(2026安徽合肥一模)如图，在平面直角坐标系中，点0为原点，4川-3,0)，B-山-2，C0,-山 (①)以原点O为位似中心，将△ABC放大得 △4BG,使△ABC与△C的相似比为2，请在网格图中作 出△4BG(点4，B,C分别为点4，B,C的对应点)： (2诺△18C绕原点O逆时针旋转0，得到△4B,G,请在网格图中作出△4A,C(点4，B,G分别为点 A,B,C的对应点)；旋转过程中，点B经过的路径长为 20.(2026安微池州一模)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，Rt△ABC 的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为一3，点8的坐标为-14，点C的坐标 为11 46/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A C x ①若Pm四为Rt△ABC内一点，平移Rt△ABC得到R△4BC,使点Pm,川移到点 (m-4,m处，请在 图上画出 t△ABC 并直接写出点的坐标为 (2)将原来的Rt△ABC绕点O顺时针旋转90° R1△AB,C,请在图上面 0得 Rt△4，B,C,并直接写出点B 到B,运动路线的长度为 21.(2026安徽亳州一模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标 系xOy,△ABC的三个顶点均为格点（网格线的交点）· B (I)画出△ABC △AB,C 关于y轴成轴对称的 △ABC △ABC, (2)画出 关于原点O成中心对称的 (3)直接写出四边 BCC,C?的周长 22.(2026安徽六安·一模)在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，建立如图所示的平面直角坐标 系，△ABC的三个顶点坐标分别为点42，-，B1,-3),C(3,4) 47/6 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (①)将△MBC向上平移4个单位长度，得到 △AB,C,画出 △A,BC1 (2)以点O为位似中心，在第三象限画 △ABC的位 △4C,△48，C与△4BC的相似比为2：1，画 出△A,B,C2; (3)若 M(m,m川在△4BC内，则在（1)的变换后的对应点M的坐标为，在（1)(2)的变换后的对应 M 点 的坐标为· 23.(2026安徽马鞍山一模)在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点） )以C点为位似中心，在网格区域内将△1BC放大2倍得到A4BC B (A的对应点是4，B的对应点是 △AB,C (2)求出 的面积： (3)请用无刻度的直尺画出△ABC的高CD(保留作图痕迹) 24.(2026安徽马鞍山一模)如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在网格线的格点上，点A,B,C的 A(-3,2),B(-1,1),C1,4) 坐标分别为 48/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)以原点O为位似中心，在O点同侧将△ABC放大为原来的2倍，得到△DEF,画出△DEF;(点A的对 应点为D,点B的对应点为E) (2)若△AB'C'由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ③)请仅用无刻度的直尺，在线段4C上找一点 ,AP:PC=3:2 考点07 三视图 一、 单选题 1.(2026安徽蚌埠一模)如图是一个几何体的三视图，则该几何体是() 主视图 左视图 俯视图 A.长方体 B.三棱柱 C.圆锥 D.球 2.(2026·安徽阜阳·一模)如图，该几何体的左视图是() 49/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 主视方向 D 3.(2026安徽芜湖·一模)如图所示的几何体水平放置，该几何体的左视图为() 正面 D 4. (2026·安徽宣城一模)如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为() 5.(2026安徽阜阳·一模)斗拱是中国古典建筑上的重要部件.如图，这是一种斗形构件“三才升”的示 意图，则它的主视图为() 正面 A 50/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026·安徽淮南·一模)如图的组合体是在一个圆柱的上方放置底面半径相同的小圆柱和圆锥，其俯视 图为() B C D 7.(2026·安徽芜湖·一模)如图所示的几何体的左视图为（) 主视方向 A. B D 8.(2026安徽芜湖·一模)如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，则该几何体的俯视图是 (). 51/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 /主视方向 9. (2026安徽宿州·一模)若一种机器零部件如图所示，则该零部件的主视图是() k-3 正面 B D 10.(2026安微合肥·一模)如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是() A.四棱锥 B.四棱柱 C.三棱锥 D.三棱柱 11.(2026安徽芜湖·一模)笔、墨、纸、砚是中国传统文房四宝.如图所示的是一方寓意“规矩方圆” 的砚台，它的俯视图是() 、从正面看 52/6 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C. 12.(2026·安徽阜阳·一模)如图是将两个正方体组合得到的一个几何体，则该几何体的左视图为（) 主视方向 01 13.(2026安徽蚌埠一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体是() D 14.(2026安徽铜陵·一模)如图所示是一个物体的三视图，则这个物体是() 主视图左视图 俯视图 53/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 15.(2026·安徽阜阳·一模)己知一种机器零部件如图所示，则该零部件的俯视图是（) 正面 B 16. (2026·安徽阜阳·一模)如图所示的机械零件的左视图是() 正面 17.(2026安徽一模)某款饮水机的示意图如图所示，则它的左视图是() E日口 D 18.(2026·安徽阜阳·一模)如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体 54/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 积为( 6 6 4 (4 4 主视图 左视图 俯视图 A.24π B.32m C.36m D.48元 19.(2026安徽阜阳·一模)如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为() B.. D 20.(2026安徽阜阳·一模)下列每个选项中，几何体的主视图和左视图可能不相同的是() c. 21.(2026安徽安庆·一模)如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是() 俯视方向 22.(2026安徽阜阳·一模)如图，该几何体的俯视图是() 四 正面 55/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(2026安徽准南·一模)将一个正方体的左边切掉一部分得到如图所示的剩余部分，将剩余部分水平 放置，其俯视图是() D 24.(2026·安徽蚌埠一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体为() 主视图左视图 俯视图 B D 正面 正面 正面 正面 56/6 专题04几何基础与三角形专题 7大考点概览 考点01相交线与平行线 考点02三角形基础 考点03全等三角形 考点04锐角三角函数与解直角三角形 考点05相似三角形 考点06基础作图 考点07三视图 相交线与平行线 考点01 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·一模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在左边作，由三角板可得，，根据拐点模型得到求出，再根据计算即可． 【详解】解：在左边作， 由三角板可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·安徽六安·一模）如图，在中，，，点D在上，是等腰直角三角形，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合直角三角形的两个锐角互余得出，又因为是等腰直角三角形，得，故证明是等边三角形，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 则． 3．（2026·安徽合肥·一模）一个正五边形和正方形按如图方式摆放，其中，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正方形及正五边形内角，结合平行线性质得到四边形中，，由四边形内角和为即可求出度数． 【详解】解：如图所示： 正方形的每一个内角为；正五边形的每一个内角为； ， ， 在四边形中，，则． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，正五边形中， P为边的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图连接，，由正五边形得到，，即可证明，从而有，，根据线段和差有 【详解】解：如图连接，， ∵五边形是正五边形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 5．（2026·安徽合肥·一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行线之间的拐点向右，如图所示（见详解），则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 6．（2026·安徽合肥·一模）已知，将一直角三角板如图放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形外角的性质可得的度数，再由平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，直线，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这两个性质是解题的关键．先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数． 【详解】解：是的一个外角， ， ，， ， ， ， 故选：D． 8．（2026·安徽淮南·一模）一副三角板按如图所示位置放置(其中，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，再由平行线的性质得到即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， 即，解得， ， 即，解得． 9．（2026·安徽芜湖·一模）两个正方形按如图所示位置摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和同角的余角相等进行解答即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴ 10．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行性质得，，再根据得，整理变形得，根据三角形内角和定理得． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， ， ， ． 11．（2026·安徽阜阳·一模）将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再由平行线的性质得，再利用三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：由题意可知： ，，， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质．解答的关键是理解和掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 三角形基础 考点02 一、单选题 1．（2026·安徽宣城·一模）如图所示，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，然后根据周长的计算方法可得结论． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为，即， ∴， ∴， 即的周长为． 故选：C． 2．（2026·安徽六安·一模）如图，在中，，，点D在上，是等腰直角三角形，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合直角三角形的两个锐角互余得出，又因为是等腰直角三角形，得，故证明是等边三角形，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 则． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 【答案】B 【分析】过B作，与的延长线交于D，连接，利用等积法即可得出结论． 【详解】解：过B作，与的延长线交于D，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴的大小为定值．其余选项均不能得到是定值. 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，将沿折痕折叠，使点C落在边上的点E处，的周长等于，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵沿折痕折叠，使点C落在边上的点E处， ∴，， ∵的周长等于，， ， ∴， ∴． 5．（2026·安徽芜湖·一模）如图，中，，以为圆心，为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，则长为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接，由题意可知，，可知四边形为矩形，那么，接着利用勾股定理可求得，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，，连接，如图所示： ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵中，， ∴． 6．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，过点作于，利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出的长，最后通过面积法建立方程求解的长，进而求出． 【详解】解：由作图步骤可知，平分 ，过点作于 ，平分， 在中，， ， 即 ∴ ∴ ∴ 7．（2026·安徽安庆·一模）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，中心对称图形的性质等知识点． 根据等边三角形三线合一的性质和勾股定理得到线段的长度，根据中心对称图形的性质得到的长度，根据勾股定理得到的长度． 【详解】解：∵为等边三角形，为的中点， ∴是边上的高，，，， ∴，， ∴在中，， ∵与关于点中心对称， ∴，，， ∴， ∴在中，． 8．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧相交于点，连接交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作线段，作垂线，等腰三角形的性质，根据作图可知，三线合一，得到，判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴； 故选项C正确；其它选项均条件不足，都不能成立； 故选C． 9．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在等腰中，，作的垂直平分线，交，于D，E两点，，则的长度为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】连接，可得，求得，则可得，得到，根据勾股定理和含有角的直角三角形边长关系即可解答． 【详解】如图，连接， 在等腰中，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 10．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，进而利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 11．（2026·安徽宣城·一模）如图，在中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角可得，又，则，所以，，从而得，然后通过三角形的外角性质，等角对等边得出，然后由线段的和与差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 12．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在中，，，，交于点，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】C 【分析】先求解，可得，进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，. 13．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，点在边上，满足．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，利用三线合一求得，可得，根据勾股定理求得． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 14．（2026·安徽铜陵·一模）如图，在中，是边上的中线，且，是边上的高．若，，则的长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等边对等角和三角形内角和定理，根据题意可得，则由等边对等角和三角形内角和定理可证明，则；利用勾股定理求出，则，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是边上的中线，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 故选：D． 15．（2026·安徽·一模）如图，在中，，，为边的中点，为边上一点．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明是含角的直角三角形，得出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴． 16．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边对等角求出，再由折叠得到，从而根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴． 17．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 18．（2026·安徽安庆·一模）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和为，三角形外角定理，对顶角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用三角形内角和为可求出，再由三角形外角定理求出，根据对顶角性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， 和为对顶角 故选：B 19．（2026·安徽·一模）将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（   ） A．24 B． C．48 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，掌握以上知识点是解题的关键． 通过两个三角板是含有角的三角板可得到，，，，然后通过勾股定理求出，四边形的面积等于和的面积之和，最后根据三角形的面积公式得到答案． 【详解】解：含有角的三角板和，， ，，，， 设， 由勾股定理可得：，即， 解得：或（舍去）， ， 四边形的面积 ， 故选：A． 20．（2026·安徽·一模）如图，是等边三角形，的平分线交于点D，过点D作于点E，延长和交于点F，若，则的长为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，易得，证明为等边三角形，三线合一求出，线段的和差求出的长． 【详解】解： 取的中点，连接， ∵是等边三角形，的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 全等三角形 考点03 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点,过点作轴于点,证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接,根据两点之间线段最短，当在点处时, 最小,且最小值为的长度,根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作轴于点,过点作轴于点,如图所示： 则, 根据旋转可知, , ∴, , , , ∵,, ∴, , ∴点在直线上, 为定值, ∴当最小时,的周长最小, 如图,作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接, 根据轴对称可知：, ∴, ∵两点之间线段最短, ∴当在点处时,最小,且最小值为的长度, ∴最小值为：, 的周长最小值为. 2．（2026·安徽滁州·一模）如图，在中，是的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，即可证明，有和，结合题意可得和，作，则，可证明为的中位线，可得，同理可证为的中位线，则，那么有，根据三角形三边关系得到，有，即可解得答案． 【详解】解析：如图，延长交于点， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ． 作，则， ∴点Q为的中点， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴同理可证为的中位线， ∴， 则， ∵， ∵， ∴， 则， 那么，． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，P为外一点、且在直线的异侧，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接、，当线段取最大值时，下列结论错误的是（    ） A．平分 B．的面积等于 C．的周长等于 D．的周长等于 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质，可得当，在同一条直线上时，取最大值，再根据等腰直角三角形，角平分线的性质和勾股定理逐项判断即可． 【详解】解：如图1，连接， 易证， ∴， ∴， ∴当，在同一条直线上时，取最大值，此时， ∴的最大值为8． 当线段取最大值时（如图2）， 易得为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴平分， 即选项A正确； 如图3，过C分别作于，于F， ∵平分， ∴，， ∴的面积， 即选项B正确； 如图2，易得， 在直角中，， ∴的周长为24， 即选项D正确； 如图3，∵，， 在直角中，， 在等腰直角中，， 在等腰直角中，， ∴的周长等于， 即选项C错误． 4．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，，将沿方向平移至处，此时点恰好为边的中点，连接，若，，则长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由平移的性质求得，根据直角三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵将沿方向平移至处， ∴， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·安徽安庆·一模）已知如图，在中，，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，其中点为边中点，点为边中点，连接、、，下列说法错误的是（    ） A．最小值为 B．最小值为2 C．的最大值为3 D．最小值为 【答案】C 【分析】当时，有最小值，利用等积法求解即可判断选项A；当B、E、C三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项B；根据三角形中位线定理，推出当A、B、E三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项C；作点B关于的对称点，当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为，据此计算即可判断选项D． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为， 选项A正确，不符合题意； ∵点E在以B为圆心，为半径的圆上运动， ∴当B、E、C三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项B正确，不符合题意； 连接， ∵点为边中点，点为边中点， ∴根据三角形中位线定理，， ∴当A、B、E三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项C错误，符合题意； 作点B关于的对称点，连接，,，， ∵，∴， ∴当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为， 记交于点，作交的延长线于点， 由对称的性质和选项A的结论，得，，， 设，则， ∵， ∴， 解得，即， ∴，， ∴， ∴最小值为，选项D正确，不符合题意． 6．（2026·安徽安庆·一模）如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点P在正方形的内部，且．连接并延长交边于点Q，线段，分别与，交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明直线是的垂直平分线，可得，故A不符合题意；证明．，可得，故B不符合题意；证明，可得，故C不符合题意；结合只有当时，才有，根据题意无法求出，可得不一定成立，故D符合题意． 【详解】解：四边形是正方形，对角线，交于点O， ∴， ∵， ∴直线是的垂直平分线， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故B不符合题意； 在和中，， ∴， ∴，故C不符合题意； 只有当时，才有，根据题意无法求出， 故不一定成立，故D符合题意． 7．（2026·安徽淮南·一模）如图，在中，平分交于点交延长线于点为的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】延长交的延长线于点，证明，可得，，在中可求得，即可得的长，再可得为的中位线，即可求得的长． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴． 8．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 【答案】A 【分析】先证明，可得，如图，过点D作于M，于N，可得，证明，，，再进一步分析即可. 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作于M，于N， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故D正确，不符合题意； ∴， ∴ ； 故A错误，符合题意； ∵，， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴， 故C正确，不符合题意； 故选：A. 9．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，是的高，，分别是和的平分线且交于点，与交于点，已知，，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明得到，推出，进而得到，可判定A，得到是的垂直平分线，可判定B，根据等腰直角三角形、角平分线的性质、三角形的外角性质可判定C，证明得到，结合可判断D． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， 平分，即， ， ，故A正确； ，， 是的垂直平分线， ，故B正确； 是等腰直角三角形，，分别是和的平分线， ， 又， ， ， ， ，即，故C正确； ，，， ， ， 又， ， ，故D错误； 故选：D． 【点睛】注意全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义以及三角形的外角性质的结合． 锐角三角函数与解直角三角形 考点04 1．（2026·安徽淮南·一模）已知在中，，，，则的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据直角三角形中正切的定义，等于的对边与邻边的比值． 【详解】∵ 在中，， ∴ ， ∵ ， ∴ = ， 故选：A． 2．（2026·安徽淮南·一模）在中，，若，则的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义可得，据此解答即可． 【详解】解：如图： 在中，， 、， ， 故答案为：C． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在矩形中，，连接，过点作交于点，交于点，连接，则为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，由得，设，则，，进而可求，再根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ， ， ∴， 设，则，， ∴， 则． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，点，，，在上，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．关键是通过圆周角定理求出相关圆心角的度数，结合垂径定理确定的度数，进而计算其正弦值．首先利用圆周角定理，由的度数求出弧所对的圆心角的度数；再根据垂径定理得出，从而得到；最后根据特殊角的三角函数值计算的值． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴； ∵，是的半径， ∴， ∴； ∴． 故选：C． 5．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，，若，则AC的长为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键；过点A作于E，由求得，再由正弦函数关系即可求得． 【详解】解：如图，过点A作于E， 则； 在中，， ∴； 在中，， ∴ 6．（2026·安徽阜阳·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两点的坐标，再根据勾股定理和正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴. 二、填空题 7．（2026·安徽淮南·一模）在锐角中，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性、特殊三角函数的值、三角形的内角和定理，能够根据三角函数值反推特殊角是解题的关键． 根据绝对值的非负性求出，，再根据特殊三角函数的值推出，，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， 即，， ∵是锐角三角形， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 8．（2026·安徽淮南·一模）如图，某大型商场的电梯长，电梯与地面的夹角，内部房顶与水平线的夹角．已知点到地面的距离，，，在同一条直线上，，，，在同一平面上，求点到地面的距离．参考数据：，，，，，． 【答案】点到地面的距离约为 【分析】延长交于点．则四边形为矩形，由矩形的性质可得，在中，解直角三角形得出，在中，解直角三角形求出的长即可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于点． 则， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，． ，， ． 在中，， ，， ， ， ． 答：点到地面的距离约为． 9．（2026·安徽宣城·一模）某山区为应对突发情况，设立救援指挥部．已知指挥部，补给点，山脚在同一条直线上，标记点在指挥部的东北方向，补给点的北偏西方向，瞭望塔在标记点的北偏东方向米处，且距补给点的距离与标记点距补给点的距离相等．瞭望塔距山脚米．（参考数据：，，） (1)求指挥部A与山脚的距离（结果保留整数）； (2)某次救援行动中，有求救者在山脚求救，巡逻队员发现后通知救援队并让求救者向补给点撤离，同时救援队员从瞭望塔出发，并以求救者倍的速度赶往补给点，当救援队员与求救者相距米时可建立联系．求救援队员行驶多少米后能与求救者联系．（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)指挥部A与山脚的距离约为米 (2)救援队员行驶约米后能与求救者联系 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交于点，过点作，过点作交于点，求得，可得为等腰直角三角形，则可得米，分别解直角三角形求得即可解答； （2）设求救者为点，救援队为点，过点作于点，设米，则米，分别表示出，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点，过点作，过点作交于点， 由题意可得， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 米，， 在中，米，米， 在中，米，米， ，， 米， 在中，米， 米； （2）解：如图，设求救者为点，救援队为点，过点作于点， ， 设米，则米， 米，米， ， 米，米， 米， ， 当米时，可得， 解得，， ，故舍去， ， 则米， 即救援队员行驶约米后能与求救者联系． 10．（2026·安徽合肥·一模）项目式学习：某数学实践小组观测太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）与物体影长的关系，并借助相关知识探究合肥骆岗公园“大蘑菇”的高度．下面是小组成员进行交流展示时的部分资料及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 项目主题：                      测量骆岗公园“大蘑菇”建筑的高度 项目素材 合肥市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表： 时刻 太阳高度角（度） 47 35 22 参考数据：，， 示意图 项目成果 “自律”小组 “自强”小组 下午时，在观测点C处测“大蘑菇”的影子．但因为“大蘑菇”周围有一圈栅栏，所以无法直接测量影子的长度． 下午时，从C向“大蘑菇”方向前进27米到达点D，在点D处用高1米的测角仪测得塔顶A的仰角为． 项目任务 请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）． 项目任务：请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）． 【答案】约61米 【分析】延长交于，根据题意得，，，米，设米，则,米，然后根据，即可列方程求解． 【详解】解：延长交于，则四边形为矩形， ∴，， 根据题意得，，，米， ∴， 设米，则,米， ∴， ∴， 解得， 经检验：是原方程的根， ∴米， 答：“大蘑菇”的高度约为米． 11．（2026·安徽蚌埠·一模）根据以下素材，探索完成任务： 素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摇臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整.如图2，，米．    素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 2 1 素材 3：小明身高（头顶到地面的距离）约为 1米，如图2，小明所站的位置离墙角的距离（）为 1.2 米. 问题解决 任务1 确定高度 这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点O到墙角的距离（）的长. 任务2 判断是否碰到蓬面 如图2，为不被阳光照射到，旋转摇臂，B的对应点为，使得离墙壁距离为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？ 任务3 探究合理范围 如图3，不改变的位置，小明打算在这天12-14点之间在遮阳蓬下休息，为使得全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距离（）的范围． 【答案】米；他的头顶不会碰到遮阳蓬面；米， 【分析】任务1，作于M，解直角三角形即可；任务2，类比任务1的方法，求出的长，和小明身高比较即可；任务3，分别求出12点、14点时，小明所站位置离墙角距离（）即可． 【详解】解：任务1，作于M， 所以，四边形是矩形， 根据题意得，米， 因为米， 所以米， 12点太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值是4， 所以，解得米．   ； 任务2，作于F，，交于G，于H，    ∵米，米， ∴米，米， ∵米， ∴米， 由辅助线作法可知，四边形是矩形，   ∴米， ∴， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， ∴米， ∵， ∴他的头顶不会碰到遮阳蓬面． 任务3，由任务2可得，米， ∴， ∴米， ∵， ∴米， ∵米，小于1米，   设小明在点位置时，头顶刚好碰到遮阳蓬面， 所以米， 米， ∵， ∴米， 米， 的求值范围是米，   ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形解决问题． 12．（2026·安徽合肥·一模）一辆带有曲杆的起重机在工作状态下如图所示，支撑点距地面有，起重臂与水平面的夹角为，与的夹角，，求吊篮的边沿点到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】吊篮的边沿点到地面的距离是 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则．求出，解得到，再求出，则可解得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则． 在中，，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在中，， ∴， ∴， ． 答：吊篮的边沿点到地面的距高是 13．（2026·安徽滁州·一模）根据我国现行的建筑设计规范和相关标准，居民楼的间距一般在至之间，如图，和是两栋居民楼，比高，，，在同一水平线上，在点处测得处仰角为，测得处仰角为，通过计算说明和之间的楼间距是否符合设计规范（参考数据：，，结果精确到）． 【答案】和之间的楼间距符合设计规范 【分析】过点作，垂足为点．求出，则可得，从而可求出，进而求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点．则四边形是矩形， ∴， 由题意可知，， ， ． ． ， 故和之间的楼间距符合设计规范． 14．（2026·安徽六安·一模）如图1，地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线，也叫纬线圈．从赤道向北和向南，各分90度，称为北纬和南纬．纬度角是指地球上某一点与地球球心的连线和赤道平面所成的角度．合肥市的纬度约为北纬，即纬度角为．如图2，赤道半径约为，弦，求合肥市的纬度北纬的纬线直径的长度．（，，，结果精确到） 【答案】 【分析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解． 【详解】解：设表示南北方向经过圆心的直线与交于点，如图： 根据题意， ，， ，， ， 在中，， ， 北纬的纬线直径的长度为：， 答：纬度北纬的纬线直径的长度是． 15．（2026·安徽合肥·一模）九年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度．由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告． 调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度． 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为． 建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，， ，，． 测量工具 卷尺、测角仪器、无人机 参考数据 ，， 问题解决 求松树的高度．（结果精确到） 【答案】 【分析】延长，过点G作交延长线于点M．根据矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正切函数的应用，求解即可． 【详解】解：延长，过点G作交延长线于点M． ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 根据太阳光线是平行的， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设， ， ∴， 根据题意，得四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 解得， 答：松树的高度约为． 16．（2026·安徽安庆·一模）综合与实践 [项目主题] 安庆大南门特色文化街是安庆市文旅融合的标杆项目，其核心地标镇海门（俗称大南门）承载着古城八百年的历史记忆某学校的数学兴趣小组，想利用无人机测量复建的镇海门的门洞高度． [项目准备] 无人机、卷尺等测量工具 [项目实施]如图2 ．第一小组成员利用卷尺测得门洞宽为8米； ．第二小组成员利用无人机的测绘系统，在点处观测到门洞左侧底端点处的俯角即为，在点处观测到门洞右侧底端点处的俯角即为，测得门洞最高处点的俯角即为． 备注： ．查阅资料得知镇海门的门洞为轴对称图形； ．图上所有点均在同一平面内； ．参考数据：，，；，，． [项目分析] 请你根据以上实验过程和测量的数据 (1)求点此时距离地面的高度； (2)求镇海门门洞高度．（即点到地面的距离） 【答案】(1)点此时距离地面的高度为12米 (2)镇海门门洞高度即为的长度是5.6米 【分析】（1）过点作交的延长线于点，则，，设，解得到，解得到，即可得到方程，再解方程即可； （2）过点作于点，过点作于点，则，那么（米），解，得到（米），再由求解即可． 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点， 由题意可知， ∴， 在中，设        在中，， 即           解得： 答：点此时距离地面的高度为12米； （2）解：过点作于点，过点作于点 ∵ ∴四边形是矩形， 门洞是轴对称图形，且点是门洞的最高点 平分，即 （米） 由题意得，， ∴， 在中， （米）           （米） 答：镇海门门洞高度即为的长度是5.6米． 17．（2026·安徽淮南·一模）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）原式． （2）解：原式． 18．（2026·安徽淮南·一模）2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地．合肥骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园，从硬地到生态奇迹．下图是骆岗公园的标志性建筑——全向信标台．小明利用周末时间，前往骆岗公园，借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在点用垂直于地面放置的测角仪测得顶端的仰角为，在处测得的仰角为两点水平距离为，测角仪高为．求全向信标台的高度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】全向信标台的高度约为． 【分析】本题考查了与俯角仰角有关的解直角三角形的应用问题，利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键． 根据题意得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，在中，根据三角函数的定义得到，结合即可解答． 【详解】解：根据题意，得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：全向信标台的高度约为． 19．（2026·安徽阜阳·一模）打印机作为现代办公和家庭学习的重要设备，经过不断地更新迭代，产品也更加成熟，各类零件也很全面．下图1是一台打印机的出纸托盘，图2是它的示意图，托盘完全打开时，长，长．且与水平面的夹角为，与水平面的夹角为，求托盘完全打开时，点到打印机的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，；） 【答案】 【分析】作出辅助线，则四边形是矩形，得出，根据题意可得，，，解直角三角形得出，，结合即可求解． 【详解】解：如图所示，过点B作，过点A作，过点O作并延长交于点D，过A作，则四边形是矩形， ∴， 根据题意可得，，， 则，， ． 即点到打印机的水平距离为． 20．（2026·安徽合肥·一模）某房屋在水平面上如左图所示，右边是它的示意图，它是由矩形和组成，，，，从A处测C处仰角为，测O处仰角为，求O到的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】O点到距离约为 【分析】过O点作，交于点M，交于点N．由等腰三角形三线合一得．结合，可得，进而得出．再利用三角函数解即可． 【详解】解：如图，过O点作，交于点M，交于点N，则， 在中，，， ． ，， ． 又， ， ． 在中，，，， ， ． 答：O点到距离约为 21．（2026·安徽合肥·一模）暑假期间，小华一家到某山景区游玩．他们从山脚入口出发，先沿斜坡步行到达缆车入口，再从坐缆车经过秒到达山顶平台．已知斜坡的坡角，缆车行驶路线（近似看成线段）与水平面的夹角，山顶平台到山脚水平面的垂直高度．假设、、、在同一平面内，求缆车行驶的平均速度．（结果精确到，参考数据：，，，） ． 【答案】缆车行驶的平均速度约为． 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，在直角中，利用三角函数计算出，容易证明四边形是矩形，则，进而求出．再利用三角函数求出，最后除以行驶时间即可得到速度． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， 由题意可知，，，，， 在直角中，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 在直角中，， ∴缆车行驶的平均速度为． 答：缆车行驶的平均速度约为． 22．（2026·安徽滁州·一模）冬季，滑雪项目成为许多人休闲娱乐的新选择．图1是某滑雪赛道，图2是其侧面简化示意图，是滑雪赛道的高度，斜坡的坡比，坡面长10米．小华从处测得处的仰角为，从处测得处的仰角为，求滑雪赛道的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】米 【分析】设米，米，根据勾股定理得出，求出米，米，设米，作，垂足为，根据，得出，求出a的值，即可得出答案． 【详解】解：斜坡坡比， ， 设米，米， 根据勾股定理得：， 解得， 米，米， 设米，作，垂足为， ， 米， 米，米， 在中，，， 即， 解得， 答：滑雪赛道高度约为米． 23．（2026·安徽合肥·一模）如图，为巢湖边上东西走向的滨湖大道，小宇沿滨湖大道参加“低碳生活、绿色出行”健步走公益活动、当小宇在点处时，某艘湖中作业船位于小宇南偏东的点处，作业船到滨湖大道的距离为400米；当小宇沿滨湖大道向东步行400米到达点时，作业船沿南偏西的方向航行至点处，此时作业船恰好在小宇的正南方向．求作业船从处航行到处的距离．（参考数据：，） 【答案】925米 【分析】过点作于点，根据题意解直角三角形可得，由矩形的判定和性质得出，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，， 在中，， ， 米， 米， ， 四边形为矩形， 米， 在中，， ， 米， 答：作业船从C处航行到D处的距离为925米． 24．（2026·安徽合肥·一模）某山林瞭望塔建在山坡上，用于观测火情或特殊目标．山坡的坡度为，坡长为26米，瞭望塔高3米，塔顶为观测点．巡山员在将某信号弹从地面点垂直发射前，在观测点测得点的俯角为37°，发射3秒后，测得信号弹升至处的仰角为53°，请根据以上数据，估算巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度．（参考数据：，，） 【答案】巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度约为 【分析】过点作于点，延长交直线于点，设，则，结合勾股定理求得，，再由正切函数求出、即可求解． 【详解】解：过点作于点，延长交直线于点， ，， ， 的坡度为， 设，则， 在中，， 由， 解得， ，， 在中，， 在中，， ． ． 答：巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度约为． 25．（2026·安徽安庆·一模）项目式学习 项目背景 飞来石（图），位于安徽省黄山风景区平天红的一块平坦岩石上，由中细粒斑状花岗岩经风化作用形成．图为其侧面示意图．某学校科技小组想用所学知识使用无人机测量飞来石的高度（飞来石的底部不可到达）． 图示及说明 如图所示，无人机从点竖直上升到点，测得的长为，飞来石顶部的仰角为．接着无人机沿着与水平线成角的方向继续飞行到点，此时无人机正好在的正上方，测得的长为． 任务 求飞来石的高度；（结果保留整数） 参考数据 ，，，． 【答案】． 【分析】过点作于点，得四边形为矩形，设，在直角中，，在直角中，，由求出，从而得出，则，代入数据计算得． 【详解】解：如图，过点作于点，可得四边形为矩形， ，，， ， 设， 在直角中，， ， 在直角中，， ， ， ， 则， ， ， 答：飞来石的高度约为． 26．（2026·安徽合肥·一模）如图，太阳光线与水平地面所成的夹角为，学校旗杆在水平地面上的影长为4米，在倾斜角为的斜坡上的影长为2米，求旗杆的高度．(参考数据：) 【答案】米 【分析】作，垂足分别为点E，点F，在中，可得到的长，从而得到的长，在中，求出的长，即可． 【详解】解：如图，作，垂足分别为点E，点F， 在中，米，， ∴米， 米， ∴米，米， 在中，，， ∴米， ∴米， 答：旗杆的高度约为米． 27．（2026·安徽合肥·一模）如图，为测量平台上一旗杆的顶端距离地面的高度，先用测角仪在地面处使点，点和测角仪所在点在一直线上，此时测得，，再将测角仪移到地面处，测得，，已知图中所有点都在同一竖直平面内，，四边形和均为矩形，，求距离地面的高度（结果精确到） 参考数据：，，；，，． 【答案】距离地面的高度 【分析】先根据矩形的性质得，，，再证明四边形是矩形，结合在中，，以及在中，，故，解得，则，即距离地面的高度． 【详解】解：∵四边形和均为矩形， ∴，， 延长，，记它们的交点为点，如图所示： ∵，， ∴ 即四边形是矩形， ∴， 设， 则 在中，， 即， ∴， 即， 在中，， 即， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 则， 即距离地面的高度． 28．（2026·安徽合肥·一模）如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)山坡的长为米 (2)此时无人机离地面的高度的长米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，由题意可得米，由山坡的坡比，求出米，再由勾股定理计算即可得解； （2）延长交于点，则，易得四边形为矩形，由矩形的性质可得米，，证明为等腰直角三角形，得出，设米，则米，米，解直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于， 由题意可得：米， ∵山坡的坡比， ∴， ∴米， ∴米， ∴山坡的长为米； （2）解：如图：延长交于点，则， 则：， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，米， ∵， ∴， ∴米，即此时无人机离地面的高度的长米． 29．（2026·安徽合肥·一模）假日里，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌的小河，他们萌生了探究的冲动：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度．在亲近自然的过程中，他们也体会到了数学的实用与探索的乐趣．测量中，他们在河边的缓坡上的点处安装测角仪，，绘制测量示意图如图，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为，点，，，，，在同一平面上，点，，在同一水平直线上，且．请你帮亮亮和华华计算出河宽．（精确到参考数据：，，，）     【答案】河宽约为 【分析】延长，交于点，先解直角三角形求出的长，再在中，解直角三角形即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， 由题意得：，，，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：河宽约为． 30．（2026·安徽阜阳·一模）安徽广播电视中心又名安徽广电新中心、安徽广播大楼，位于安徽省合肥市蜀山区．某校数学实践小组开展测量广播大楼高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量安徽广播大楼的高度 测量工具 无人机、测角仪、电子测量器等． 数据采集 如图，是广播大楼最顶点，为广播大楼所有结构组成部分的总高度．无人机在广播大楼上方点处时，测得广播大楼顶部处的俯角，底部处的俯角，沿水平方向由点飞行168米到达点处，在点处测得点处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内． 方案修改：⋯⋯ 数据应用： (1)请根据以上数据，求广播大楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：，） 方案反思： (2)小明对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（米，）中至多可以删减的数据为_______． 【答案】(1)300米 (2)168米和 【分析】（1）延长交于点G，则，解得到，设米，则米；解得到，则，解方程求出，的长，再解求出的长即可得到答案； （2）根据题意可得无人机可直接显示的长，那么解可求出的长，解可求出的长，则可求出的长，因此不需要知道的长和的度数． 【详解】（1）解：如图，延长交于点G，则． 在中，， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴，即， 解得（已检验是原方程的解，且符合题意）． ∴米，米， 在中，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：广播大楼的高度约为300米； （2）解：结合（1）可知，利用数据，，求得的长度即可， 所以原数据采集方案中至多可以删减的数据为168米和． 31．（2026·安徽·一模）一辆高空作业的工作示意图如右图所示，支撑点A距地面有，主臂与水平面的夹角，与的夹角，，，求吊篮的边沿点C到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点C作于点，过点B作于点，过点作于点G，反向延长射线交于点H，则，， 在中，求出，再求出，在中，求出 ，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点C作于点，过点B作于点，过点作于点G，反向延长射线交于点H，则，， 在中，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ． 即吊篮的边沿点C到地面的距离为． 相似三角形 考点05 一、单选题 1．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，中，，，垂足为，平分，分别交，于点，．若，则为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 2．（2026·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，，分别平分和，E为的中点，和交于点G，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义可得到 ，，再根据等角对等边得到，，则，设,利用勾股定理求得，然后证明，利用相似三角形的性质推导出，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵E为的中点， ∴，设, ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·安徽滁州·一模）如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（　　）    A．当时， B．当时， C．当时， D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求解可判断A；根据三角形的中位线性质证得，再证明，，，然后根据直角三角形的性质和相似三角形的性质可判断B；设，则，，过点B作交的延长线于点N，结合题意以及直角三角形的性质，利用全等三角形的判定证明得到，再证明，进而利用相似三角形的性质可判断C；当最短时，点F为的中点，进而求解即可判断D． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵垂直， ∴， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； 如图，过点D作交于点M，    当时， ∴是的中位线， ∴， ∵，垂直， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B正确，不符合题意； 当时，设，则， ∴， 过点B作交的延长线于点N，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； ∵， ∴点H在以为直径的圆上， 当最短时，点F为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、圆的基本知识等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，，点分别在线段上，与交于点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作交于点，证明，设，，利用直角三角形的性质求得，，，，再证明是等腰直角三角形，求得，根据，求得，据此求解即可． 【详解】解：作交于点， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，，点是边上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，直线与相交于点．设，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B． C．当时， D．的面积随增大先减小后增大 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形，全等三角形，等腰三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据题意，求出，根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，；根据垂线段最短，当点与点重合时，此时且，有最小值，最小值为：；过点作于点，过点作于点；过点作于点；求出，根据相似三角形的判定和性质，可得，根据线段的和差，表示出，，求出，根据，得到，进行解答，即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴； ∴选项B正确； ∵ ∴当时，； ∴选项C错误； 过点作交于点， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形 ∴； 当点与点重合时，此时且，有最小值，最小值为：； ∴选项A错误； 过点作于点，过点作于点；过点作于点； ∵ ∴是等腰直角三角形；四边形是正方形； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴是一个三次函数，其单调性并非简单的先增大后减小， ∴D错误； 故选：B． 6．（2026·安徽亳州·一模）如图，在中，点D是边的中点，点E在的延长线上，，连接交于点F，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过点作交延长线于点，则，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， ∴， ∵点D是边的中点， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 7．（2026·安徽六安·一模）如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分边，推出，，，结合，推出和，根据性质可判断选项的值． 【详解】∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点为的中点， ∴， ∴， ∵设，， ∴， ∴． 选项A正确，不符合题意． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项B正确，不符合题意． ∵， ∴设，则，， ∴． ∴． ∴选项C正确，不符合题意． ∴． ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 8．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，点在边上，且，，过点作，交的延长线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例关系得出，根据两直线平行，内错角相等得出，结合对角线相等和相似三角形的判定和性质即可求出的值． 【详解】∵， ∴， 故． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 故． 9．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在Rt中，，，，点，分别是上的动点，且满足，则下列结论错误的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为6 【答案】C 【分析】先求解，，，结合垂线段最短可得当时，最小，证明，作的外接圆，连接，记的交点为，再进一步分析即可. 【详解】解：如图，∵，，， ∴，，， 当时，最小， ∴，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，记的交点为， 当的面积最大，则， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴的最大面积为，故A正确，不符合题意； 如图，当共线时，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：；故B正确，不符合题意； ∵的运动轨迹是， ∴当重合时，最大，最大值为，故C错误，符合题意. 10．（2026·安徽芜湖·一模）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 11．（2026·安徽宿州·一模）如图，与交于点，已知，与交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可知，，根据相似三角形的性质可得：，，把等式两边分别相加可得：，解方程即可求出结果． 【详解】解：， ，， ①，②， 由①+②，得， 即， 解得：． 故选：A． 12．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在中，是高，点E为边上一点，且，连接交于点F，，，，则的长为（  ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】A 【分析】过点C作交延长线于点G，由是高、得，故，；由得，得，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G． ∵是高，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ， ， ， ． 二、填空题 13．（2026·安徽安庆·一模）定义：若的内部存在一点，满足，称点是的等角点．如图，在中，，点为的等角点，若，则： （1）的值为__________； （2）线段的长为__________． 【答案】 ； ． 【分析】（1）先判断为等腰三角形，过点作于点，从而得到，通过即可得出的值； （2）设，根据点为的等角点得出，利用三角形内角和从和中求出，然后证明，从而利用相似三角形的性质求得，从而求出的长． 【详解】解：（1）， 为等腰三角形， 如图，过点作于点， ， ， 即； （2）设， 点为的等角点， ， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ，． 14．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，中，，，D为边的中点，将线段以B点为中心逆时针旋转得到线段，连接 （1）若，则长为___________． （2）长最大为___________． 【答案】 4 【分析】（1）利用勾股定理以及旋转的性质进行求解； （2）以为直径画，过点作，使，连接，以线段的中点为圆心，长为半径画，证明，，得出点在以为直径的圆弧上，连接并延长，交于点，此时长最大，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴由勾股定理得， ∵D为边的中点， ∴， 由旋转可得； （2）如图，以为直径画， ∵， ∴点在上， 过点作，使，连接， 以线段的中点为圆心，长为半径画， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆弧上， 连接并延长，交于点，此时长最大， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 15．（2026·安徽芜湖·一模）如图，中，，平分，，点E为中点，． （1）________； （2）点F为延长线上一点，且满足，则________． 【答案】 5 【分析】（1）过点B作，则，有，结合角平分线即可证明，则，进一步结合直角三角形的性质即可求得； （2）过D点作交于点G，则和，结合直角三角形的性质和等腰三角形的性质得，即可证明，有．利用解直角三角形和勾股定理即可列出，解得，进一步求得，结合平行线的性质得到，即可求得，根据求解即可． 【详解】解：（1）过点B作，如图， 则， ∴， 平分， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 则， ∵点E为中点，， ∴； （2）如图，过D点作交于点G， 则，， ∵点E为中点，， ∴， ∴， ∴， 则， ∵ ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴，解得， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ． ∵，， ∴， ∵，即， ， 则． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、解直角三角形和勾股定理的应用等知识点，解题的关键是作辅助线． 16．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在和中，，，点E在线段上，点A在线段上，且．连接． （1）若，则的大小为________；（用含的代数式表示） （2）当时，连接交于点P，则的长为________． 【答案】 / 【分析】（1）由得，证，得，结合等腰的，进而即可求解； （2）由推得，求得、，故；由证，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图（1）， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ， 由题意得，是等腰三角形， ∴， ； （2）如图（2），设，交于点G， ∵， ，即， ∴， 又由（1）知， ， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴． 设，则． 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题以双直角三角形为载体，综合运用全等、相似三角形的判定与性质，结合三角函数推导角度与线段长度，体现了转化化归与数形结合的核心数学思想． 三、解答题 17．（2026·安徽合肥·一模）已知：如图1，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，在上取点G使，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）可证，从而； （2）先证，得出，即，设，则，在中，，据此列方程求解即可； （3）在上截取，连接，先证，根据全等三角形的性质得，，从而可证四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴在和中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得或（舍负）， ； （3）证明：在上截取，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（2）知， ∴， ∴， 由（1）知， 又∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 18．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，在四边形中，为中点，延长线交于点，为中点，连接， ． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，当，求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由三角形外角的性质以及等量代换可得，再说明是的中位线，即可得，再根据两种对应角相等的三角形相似即可证明结论； （2）先说明是的中位线，即．设，则，由（1）可知，利用相似三角形的性质可得，即，最后根据求解即可； （3）设，则．由（1）可知，利用相似三角形的性质可得，再根据正切的定义可得进而完成解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵分别为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵分别为中点，， ∴是的中位线，即． 设，则， 由（1）可知，， ∴，即，解得∶（负值舍去）， ∴， ∴． （3）解：设，则． 由（1）可知，， ∴，即，整理得：，解得：（已舍去负值）， ∴． 19．（2026·安徽合肥·一模）按问题背景、进行迁移、拓展应用完成下列问题： (1)【问题背景】如图，在中．点D，E分别在边，上，，点F为线段上一点，连接并延长交于点G，求证：． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，点D，E分别在边，上，，点F为线段上一点，，延长交于点G，连接，，过点A作,垂足为H，求的长． (3)【拓展提高】 如图,在中，点D，E分别在边，上，，，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，过点C作，分别交，的延长线于点M，N若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证,,得即可解答； （2）由得，利用勾股定理求出，证，得，再证，依据求解即可； （3）设,,则,,,,证，依据求解即可． 【详解】（1）证明：∵, ∴,. ∵,, ∴,, ∴, ∴. （2）解：∵, ∴. ∵, , , ∴, ∴, , ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴,, ∴,. ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴. （3）解：∵ ∴,. ∵, ∴, ∴, ∴. ∵, ∴,, ∵点F为的中点, ∴. 由（1）知,, ∴, ∴, ∴. 设,, 则,, ,, ∴. ∵, ∴, ∴, ∴, ∴. 20．（2026·安徽滁州·一模）如图，在四边形中，点在边上，且，，． (1)求证：； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，延长交于点，过点作交于点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由得，根据可证明;; （2）过点作，垂足为点，由结合勾股定理求出，，，再证明，可求出； （3）证明，，可得出，由得点到距离相等，从而得出结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴． 在和中， ∴． （2）解：如图，过点作，垂足为点， 由（1）知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 解得：（负值舍去） ． 又， ∴， ∴； ∵， ， ∵， ， ， ，即， ． （3）证明：， ∴，， ，． ，即， ， ． 又， 点到距离相等， ． 21．（2026·安徽合肥·一模）如图1，等腰直角三角形中，为斜边中点，为上任一点，交于点F，交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，当为中点时，求证：； (3)当点在上移动时，猜想和的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，结合为斜边中点可得，，，从而可证明，则．由等角的余角相等可得，结合可得，因此命题得证； （2）结合（1）的结论容易证明，则，从而得到，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，命题得证； （3）过点作的平行线，交的延长线于点，由（1）可知，，则，由平行可判定，则，因此，同理可得，则，结合，可得． 【详解】（1）证明：如图，设与的交点为， ∵在等腰直角三角形中，为斜边， ∴，， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵为中点， ∴， 由（1）可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，过点作的平行线，交的延长线于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 22．（2026·安徽淮南·一模）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 23．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，，是两个全等的等腰直角三角形，，，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）连接，根据，得出，再由，得出，即可证明． （2）①证得，，则，根据，得出，即可得． ②如图2，延长，交于点，证，得．由，得．设，则，解得，．再由，得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵，是两个全等的等腰直角三角形，， ∴，， ∴． ∵， ∴，即， ∴． （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ②解：如图2，延长，交于点， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设， 则，即， 解得：， 则， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（2026·安徽滁州·一模）在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G． (1)如图1，若是等边三角形． ①求证：； ②求的长． (2)如图2，若，，求的面积． 【答案】(1)①见解析；②； (2)． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得， 从而得到，，即可；②过点作交于点，可得，，从而得到，，进而得到，即可； （2）过点作交于点，可得，，从而得到，进而得到，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）①证明：，是等边三角形的高， ，，，分别平分和， ， ，， ； ②解：过点作交于点， ，， ，， ，是的中点， ，， ，， ， ，等边三角形的边长为8， ， ； （2）解：过点作交于点， ，， ，， ∵是的中点， ∴， ， ， ． ， ， ． ， ，， ． ，， ， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 25．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在中，，于点，是线段上一点（不与点，重合），点是线段上一点，若． (1)求证：； (2)在直线上方有一点，，连接． （i）如图2，若点在边上，求证：； （ii）如图3，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)（i）见解析；（ii） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）（i）根据三角形外角的性质以及，可得，再由，可得，即可求证；（ii）连接，过点G作，交于点H，证明，，再结合等腰三角形的判定和性质可得，根据题意可设，则，可得，由（1）得：，可得，从而得到，可证明，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）（i）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （ii）如图，连接，过点G作，交于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴可设，则， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（2026·安徽合肥·一模）在中，点C是的平分线上一点，过点C作，垂足为点D，过点D作，垂足为点E，直线交于点F，过点C作，垂足为点G． (1)观察猜想:如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系；______． (2)类比探究:如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用:当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)不成立，，见解析 (3)的值为或 【分析】（1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （2）解：不成立，，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 27．（2026·安徽合肥·一模）如图，中，分别以，向外作和，其中，，，，分别是边，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)的度数为_____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余易得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角和三角形外角的定义可求得，即可证得结论； （2）连接、，根据三角形中位线的性质可证得，，，即可根据证得，最后由全等三角形的对应边相等的性质可得结论； （3）根据全等三角形的性质和平行线的性质可得，，结合三角形外角的定义、三角形内角和定理以及平角的定义，通过角度的和差运算即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，即， 又∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接、， ∵，，分别是边，，的中点， ∴，，，， ∴， ∴ 由（1）可知，，，，且 ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，，， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）可知， ∴ ． 28．（2026·安徽芜湖·一模）在中，，点在上，点在上，连接，，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，已知于点． （ⅰ）求证：； （ⅱ）如图3，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明； （2）（ⅰ）根据相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质进行证明即可；（ⅱ）证明点是的黄金分割点，即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：， ， ， ， ， 又， ； （2）（ⅰ）证明：如图，作交延长线于点. ， ，， ，， ，， ， . ，， ， 在与中， ， ， ， ， 即； （ⅱ）， ，， ， ， 由（ⅰ）知， ， ， ，， ， ， ， 点是的黄金分割点， ， . 29．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在中，，，点是延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，延长交于点，连接，为中点，连接． （i）当，时，求的值； （ii）如图3，过点作交于点，与交于点，若与全等，求． 【答案】(1)且，见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件，，，，判定，即可得出和之间的关系，即可得出结论； （2）（i）证明是的中位线，则，再根据勾股定理求出，从而可求出； （ii）连接，证明为等腰直角三角形，，得出当才有与全等，再证明为等腰直角三角形，设，则，得出，，再证明，根据相似三角形的判定与性质可得结论． 【详解】（1）解：且， 在中，，， 为等腰直角三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ，， ， ， 综上，且； （2）解：（i）， 是直角三角形， 为的中点， 当时， 此时是的中位线，则， ，， ， ； （ii）如图，连接， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 为中点， ， 为中点， ，且， ， ， ， ， ， ， ， 与全等， 或者， 由于， 只有当才有与全等， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， 设，则， ， ， ， ， ． 30．（2026·安徽阜阳·一模）在中，，D和E分别是和上的点，已知． (1)如图1，若，求证：； (2)作于点F，设，G是上一点，且． （ⅰ）如图2，求的度数；（用含的代数式表示） （ⅱ）如图3，H是的中点，连接，判断的形状并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）证明得到，，即可得到； （2）（i）延长至点K，使得，连接，先证明，则．可得是的中位线，则，那么； （ii）先证明，再证明，则，则，那么，故，即可证明为等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：（ⅰ）如图，延长至点K，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴； （ⅱ）是等腰三角形，理由如下： ∵H是的中点，， ∴． 由（ⅰ）知， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，则． 由（ⅰ）知， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 基础作图 考点06 一、解答题 1．（2026·安徽淮南·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点的坐标为． (1)将绕原点顺时针旋转，得到，在所给的网格图中画出； (2)在所给的网格图中找到两点，使得均在线段的垂直平分线上，并写出点和点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，点（答案不唯一） 【分析】（1）根据旋转的性质找到点的对应点，即可求解； （2）利用网格作垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求， （2）解：如图所示即为所求， 点（答案不唯一）． 2．（2026·安徽宣城·一模）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，且三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出将向右平移6个单位长度得到的． (2)在图中画出将绕点C逆时针方向旋转得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，作旋转图形等知识．熟练掌握平移作图，作旋转图形是解题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）利用旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：由平移的性质作图，如图1，即为所作； （2）解：由旋转的性质作图，如图2，即为所求． 3．（2026·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，． (1)画出线段； (2)将线段向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以O为位似中心，在第三象限内把线段缩小到原来的一半，得到线段，画出线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）在直角坐标系中标出点A、B，再连接即可； （2）根据平移性质得到对应点的位置，再连接即可； （3）连接、，分别取、的中点，再连接即可． 【详解】（1）解：线段如图所示； （2）解：线段如图所示； （3）解：线段如图所示． 4．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上， (1)将向右平移2个单位，再向下平移4个单位，请在网格内画出平移后的； (2)将以点B为中心，顺时针旋转90°，请在网格图中画出旋转后的； (3)请仅用无刻度直尺在线段上确定一点P，使（保留作图痕迹，不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移变换、旋转变换、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （3）连接，由旋转的性质可得，，易得，即可获得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求． 5．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点），点为线段上任一点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)以为边长，在网格中画一个正方形； (2)在上找一点，使得（保留画图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理和网格的特点作图即可； （2）如图：连接相交于点O，连接并延长交于F． 【详解】（1）解：如图：正方形即为所求． （2）解：如图：连接，连接，交于点，延长交于点，则点即为所求． ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点F即为所求． 6．（2026·安徽合肥·一模）如图，格点（顶点均是网格线的交点）和格点O． (1)以点O为对称中心，作出的中心对称图形； (2)借助网格仅用无刻度的直尺，过点A作线段的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求． （2）解：如图所示，直线即为所求作线段的垂线． 理由：，为的中点， ． 7．（2026·安徽滁州·一模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点，，都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)将向右平移个单位，得到对应，请画出平移后的； (2)将绕点点逆时针旋转得到对应，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 8．（2026·安徽六安·一模）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，现作如下操作： ①以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转，点B与点D、点O与点E对应，得到； ②以点C为位似中心，放大，得到，其中点A与点G、点E与点F、点D与点H对应，使与对应边的比为，且点G在第三象限． (1)在图中画出和； (2)直接写出点H的坐标：________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据旋转的性质确定点B的对应点D、点O的对应点E，然后顺次连接可得；再根据位似的定义确定点A的对应点G、点E的对应点F、点D的对应点H，再顺次连接即可得到； （2）直接根据（1）的作图读出点H的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：，即为所求． （2）解：由（1）作图可知：． 9．（2026·安徽合肥·一模）在边长为的正方形的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． (2)求的面积． (3)用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留画图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，然后画图即可； （2）分割法计算的面积即可； （3）过点、作，且满足，，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：． （3）解：如图所示，点即为所求． 过点、作，且满足，，连接，与的交点即为所求的点， ， ． 10．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将先向下平移个单位，再向左平移个单位，得到，画出； (2)点为的中点，则的面积为______． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）分别将点、、先向下平移个单位，再向左平移个单位，得到点、、，用线段顺次连接点、、，即可得； （2）由割补法可得，根据题意可得，即可得的面积． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：， ∵点为的中点， ∴． 11．（2026·安徽安庆·一模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为旋转中心，将绕点逆时针方向旋转得到；请在所给网格图中画出； (2)在第一象限的网格中标出格点，使得，并写出点坐标_____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将点A，C绕点B逆时针旋转得到点，，再首尾顺次连接得出图形； （2）根据网格的特点标出格点，然后写出点坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点D即为所求； ∴点坐标为． 12．（2026·安徽芜湖·一模）项目式学习 项目主题 风筝的设计与制作 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史，以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． (1)步骤一：设计    如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，请你以轴为对称轴画出风筝骨架的另一半，并直接写出点的对称点的坐标为___________． (2)步骤二：制作      将设计与制作的风筝进行试飞，根据当天风速等实际状况试飞，发现当与比值为黄金分割比时，风筝飞的最稳，则的长应设置为___________． (3)步骤三：结论      在步骤二的条件下，风筝所需材料（四边形）的面积为___________． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）找出点关于轴对称的点，然后连接，再写出坐标即可； （2）根据题意，可知，求解即可； （3）根据三角形面积公式求得，再根据，即可求得答案． 【详解】（1）解：下图即为所求： ∵与点关于轴对称， ∴坐标为； （2）解：∵当与比值为黄金分割比， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵与关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴风筝所需材料（四边形）的面积为． 13．（2026·安徽阜阳·一模）如图的顶点在格点上，点，也在格点上，按要求完成下列问题． (1)若点为原点，点坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)平移，使点移动到点位置，画出平移后的． 【答案】(1)坐标系见解析， (2)见解析 【分析】（1）根据原点与点C的坐标可建立坐标系，且每个小网格的边长为1个单位长度，根据坐标系可直接写出点的坐标； （2）将向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图，． （2）解：如图，为所求． 14．（2026·安徽安庆·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于直线l对称的； (2)连接，直接写出四边形的面积； (3)在图中利用无刻度的直尺画出的一条中位线． 【答案】(1)作图见详解 (2)25 (3)均为中线（任取一条即可），作图见详解 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，网格与矩形的特点，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据轴对称性质作图即可； （2）结合图形可得四边形是梯形，，点到的高是，由面积公式计算即可求解； （3）运用格点，运用矩形的对角线相互平分得到线段中点即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴即为所求图形； （2）解：连接如图（1）中图示， ∴， ∴四边形是梯形，，点到的高是， ∴； （3）解：如图所示， ∴均为的中位线（任取一条即可）． 15．（2026·安徽合肥·一模）如图网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上．利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹）． (1)将绕点C顺时针旋转得到对应，画出； (2)以点C为位似中心，将作位似变换得到，和的相似比为（任意作出一种即可）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据位似图形的性质得到对应点，然后顺次连接可画出图形． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，或即为所求． 16．（2026·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标分别为． (1)以点为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以为顶点的四边形的周长； (3)在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，写出点的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)图见详解， 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）证明四边形是平行四边形，勾股定理求出，即可求出四边形的周长． （3）取格点，连接，根据，点是中点，利用等腰三角形三线合一的性质即可得出射线平分． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，， 根据旋转的性质可得， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长． （3）解：如图，点即为所求，． 17．（2026·安徽合肥·一模）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．请按要求完成下列任务： (1)以点为对称中心，作出的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)在第一象限内确定一点，使四边形为平行四边形，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】（1）根据中心对称图形的性质作图，再写出坐标即可； （2）根据平行四边形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为； （2）解：点如图所示，其坐标为． 18．（2026·安徽合肥·一模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图平移变换、作图轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）在的右侧作，且，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）如图，在的右侧作，且，连接交于点， 此时为等腰直角三角形， ， 即， 则点即为所求． 19．（2026·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，， (1)以原点为位似中心，将放大得到，使与的相似比为2，请在网格图中作出（点，，分别为点，，的对应点）； (2)若绕原点逆时针旋转，得到，请在网格图中作出（点，，分别为点，，的对应点）；旋转过程中，点经过的路径长为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）利用网格和位似的性质找出各个对应点，连线即可解答； （2）利用网格和旋转的性质即可画出所求作的三角形，利用勾股定理算出的长度，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 根据题意得：， ∴旋转过程中，点经过的路径长为． 20．（2026·安徽池州·一模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)若为内一点，平移得到，使点移到点处，请在图上画出，并直接写出点的坐标为________； (2)将原来的绕点顺时针旋转得到，请在图上画出，并直接写出点到运动路线的长度为________． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析，． 【分析】（1）由题意得，向左平移个单位长度得到，由此作图即可，可得出点的坐标． （2）根据旋转的性质作图即可，根据网格求出的长，最后利用弧长公式可得出答案． 【详解】（1）∵若为内一点，平移得到， 又∵移到点处， ∴向左平移个单位长度得到， 如图所示， 点的坐标为． （2）如图所示，为所求的三角形，连接、， ∵， 又， ∴点到运动路线的长度为弧的长． 21．（2026·安徽亳州·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于y轴成轴对称的； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)直接写出四边形的周长______ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据关于y轴成轴对称的特征作图即可； （2）根据关于原点O成中心对称的特征作图即可； （3）根据勾股定理求出四边形的边长，进而可知四边形的周长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）解：连接， ∵，，，， ∴的周长． 22．（2026·安徽六安·一模）在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别为点，，． (1)将向上平移4个单位长度，得到，画出； (2)以点O为位似中心，在第三象限画出的位似，与的相似比为，画出； (3)若点在内，则在（1）的变换后的对应点的坐标为 ，在（1）（2）的变换后的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律求解； （2）把、、三点的横纵坐标都乘以，得到、、的坐标，即可画出； （3）根据点平移的坐标变换规律，即可求出点的坐标；根据位似变换的规律，使点的横纵坐标都乘以，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示： 点，，， 由平移可知，使，，三点的纵坐标加4，得出、、三点的坐标，即，，， 即为所求． （2）解：如图所示： 点，，，与的相似比为，且点O为位似中心， 使、、三点的横纵坐标都乘以，得出、、三点的坐标，即，，， 即为所求． （3）解：向上平移4个单位长度，得到， 使点的纵坐标加4得出对应点的坐标，即的坐标为； 与的相似比为，且点O为位似中心， 使点的横纵坐标都乘以得出对应点的坐标，即的坐标为． 23．（2026·安徽马鞍山·一模）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点） (1)以C点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；（A的对应点是，的对应点是） (2)求出的面积； (3)请用无刻度的直尺画出的高（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)14 (3)见解析 【分析】（1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，后画图即可． （2）分割法计算的面积即可． （3）构造直角长分别为1和3的两个全等直角三角形，利用平行线的性质，直角三角形的性质，画图． 【详解】（1）解：以C点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得面积为： ． （3）解：构造直角长分别为1和3的两个全等直角三角形，利用平行线的性质，直角三角形的性质，画图如下： 则即为所求． 【点睛】本题考查了位似基本作图，网格图形面积计算，勾股定理与网格，三角形的全等，熟练掌握基本作图是解题的关键． 24．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，在平面直角坐标系中，点都在网格线的格点上，点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在O点同侧将放大为原来的2倍，得到，画出；（点A的对应点为D，点B的对应点为E） (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________； (3)请仅用无刻度的直尺，在线段上找一点． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析 【分析】本题主要考查了作位似图形，旋转中心的确定，相似三角形的性质和判定， 对于（1），连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接并延长至F，使，再连接，则就是所求作的三角形； 对于（2），连接，并作的垂线，交于点H，写出点P的坐标即可； 对于（3），取，连接交于点，可知，可得. 【详解】（1）解：如图所示，就是所求作的三角形； （2）解：如图，点； 故答案为：； （3）解：如图所示，取，连接交于P，点P即为所求作． 三视图 考点07 一、单选题 1．（2026·安徽蚌埠·一模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．球 【答案】B 【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱． 【详解】解：∵主视图和左视图是长方形， ∴该几何体是柱体， ∵俯视图是三角形， ∴该几何体是三棱柱． 2．（2026·安徽阜阳·一模）如图，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从左边看得到的图形是左视图，根据简单几何体三视图的画法画出它的左视图即可． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 3．（2026·安徽芜湖·一模）如图所示的几何体水平放置，该几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形进行分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，该几何体的左视图为． 4．（2026·安徽宣城·一模）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键． 从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图． 根据主视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱， ∴根据主视图的画法，从前往后看，看到的是一个长方形， 故选：C． 5．（2026·安徽阜阳·一模）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图，这是一种斗形构件“三才升”的示意图，则它的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主视图是从物体正面观察得到的平面图形．观察正面结构，要呈现正面看到的轮廓与内部可见的棱线，所以需区分可见的实线和不可见的虚线（若有）． 【详解】解：从该立体图形的正面看，得到主视图为 【点睛】 6．（2026·安徽淮南·一模）如图的组合体是在一个圆柱的上方放置底面半径相同的小圆柱和圆锥，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：分析可得：该几何体的俯视图为． 7．（2026·安徽芜湖·一模）如图所示的几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】左视图是从几何体左面看到的图形的形状． 【详解】解：左视图是从几何体左面看到的图形的形状，由几何体的形状及摆放位置可知，几何体的左视图为B选项图形的形状． 8．（2026·安徽芜湖·一模）如图是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题干几何体的特征可知，俯视图为B． 9．（2026·安徽宿州·一模）若一种机器零部件如图所示，则该零部件的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从正面观察，外部正方体轮廓可见为实线，内部圆柱通孔看不到为虚线，所以D答案正确． 10．（2026·安徽合肥·一模）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】B 【分析】根据展开图的面数，面的形状和大小进行判断即可． 【详解】解：这个几何体有个面，两个底面是全等的四边形，个侧面是全等的长方形，且侧面垂直于底面， ∴该几何体是四棱柱． 11．（2026·安徽芜湖·一模）笔、墨、纸、砚是中国传统文房四宝．如图所示的是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：这个砚台的俯视图是 12．（2026·安徽阜阳·一模）如图是将两个正方体组合得到的一个几何体，则该几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据看得见的轮廓用实线，看不见的轮廓用虚线，题目中几何体从左边看是一个正方形，正方形的右下角有一个看不见的小正方形，画虚线．故D选项符合． 13．（2026·安徽蚌埠·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的定义：主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键． 根据三视图进行判断即可解题． 【详解】解：由几何体的三视图看，主视图是三角形，左视图是矩形，俯视图是矩形（中间有竖线，代表该几何体的棱）， ∴这个几何体是A选项中的三棱柱． 故选A． 14．（2026·安徽铜陵·一模）如图所示是一个物体的三视图，则这个物体是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：这个物体是： ． 15．（2026·安徽阜阳·一模）已知一种机器零部件如图所示，则该零部件的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据俯视图是从物体的上面往下看到的视图，即可解答． 【详解】解：从上面往下看，有个长方形，且中间的长方形有一组对边是虚线， ∴该零部件的俯视图如图所示： ∴D选项符合题意． 16．（2026·安徽阜阳·一模）如图所示的机械零件的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵左视图是左侧投影面上的正投影，且看得见的轮廓画实线， ∴该几何体的左视图是图B． 17．（2026·安徽·一模）某款饮水机的示意图如图所示，则它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据从左边看到的图形是左视图进行解答即可． 【详解】解：根据题意，从左边看到的图如下： 故选：C． 18．（2026·安徽阜阳·一模）如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图可确定该几何体是圆柱体． 【详解】根据三视图可确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是，所以该几何体的体积为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三视图，能根据三视图得到立体图形是解题的关键． 19．（2026·安徽阜阳·一模）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 20．（2026·安徽阜阳·一模）下列每个选项中，几何体的主视图和左视图可能不相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据选项中的几何体得到其主视图与左视图，并判断其主视图与左视图是否相同，即可解题． 【详解】解：A、圆柱的主视图为长方形，左视图为一样的长方形，主视图与左视图相同，不符合题意； B、球的主视图为圆，左视图为一样的圆，主视图与左视图相同，不符合题意； C、圆锥的主视图为三角形，左视图为一样的三角形，主视图与左视图相同，不符合题意； D、三棱柱的主视图为长方形或正方形，左视图为长方形或正方形，主视图与左视图可能不同，符合题意． 21．（2026·安徽安庆·一模）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此可得答案． 【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两个部分，上部分是一个较大长方形，下部分也是一个较小的长方形，即看到的图形如下： ， 故选：A． 22．（2026·安徽阜阳·一模）如图，该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判断即可． 【详解】解：该几何体的俯视图是 23．（2026·安徽淮南·一模）将一个正方体的左边切掉一部分得到如图所示的剩余部分，将剩余部分水平放置，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图,找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】 解：根据俯视图的定义可得，将剩余部分水平放置，其俯视图是． 24．（2026·安徽蚌埠·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，根据主视图得选项B中的几何体主视图是直角三角形，同时其左视图与俯视图都是长方形． 【详解】解：由四个选项知，主视图是直角三角形的只有选项B中的几何体，同理其左视图与俯视图都是长方形，符合题意． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $