专题03 函数（安徽专用）2026年中考数学一模分类汇编

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数 ☆3大考点概览 考点01一次函数 考点02反比例函数 考点03二次函数 考点01 次函数 单选题 1.(2026安徽马鞍山一模)我国无人机产业专利申请占全球70%以上，占据绝对优势.某型号无人机在测 试中，从竖直高度向下降落，无人机高度y(单位：m)随降落时间t(单位：s)的变化规律如图所示（不 考虑外界环境对速度的影响).则无人机下降高度从120m变化到30m所用的时间是() y/m◆ 120 246 A.6s B.18s C.24s D.36s 2.(2026安徽滁州一模)一次函数y=x+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=3k的解为() A.x=5 B.x=-5 C.x=1 D.x=-1 3.(2026安徽六安一模)如图，在平面直角坐标系中，己知A(3,0),B(0,2),C(3,2),过点A的直线 y=x+b与线段BC交于点D,过点D作DE⊥AD交y轴于点E,若AD=DE,则k的值为() B E A. B.-2 c D.-3 4.(2026安徽合肥一模)如图所示的计算程序中，可得y与x之间的函数关系，下列结论正确的是() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 输入x 取相反数 ×3 +2 输出y A.函数值y随自变量x的增大而增大 B.函数图象不经过第一象限 C.函数图象向下平移2个单位长度，新的函数图象过原点 D.函数图象与x轴的交点坐标是 5.(2026安微安庆一模)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点1，a和点(-a,1),若a<-1,则() A.k>0,b>0B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 6.(2026安徽合肥一模)某汽车公司研制了四款发动机，图中的横、纵坐标分别为发动机燃烧产生的能量 和输出的机械功，该公司准备将热效率最高的发动机批量生产并投入市场，则应选择（注：热效率 输出的机械功 )() 燃烧产生的能量 的 甲。 功 丙 燃烧产生的能量 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.(2026安徽芜湖一模)已知一次函数y=kx-2k+1k≠0)，且y随x的增大而减小.若点N在该函数的 图象上，则点N的坐标可以是() A.(1,2 B.2,2) C.（-3,1 D.(3,2 8.(2026安徽合肥一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,4)为y轴上一点，点B为正比例函数 y=mx(m>0)图象上一点，且OB=2,连接AB,若AB⊥OB,则m的值为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.1 C.5 D.3 3 9.(2026安徽合肥.一模)一次函数y=c+b(k,b为常数)的图像经过点P(一2，一1)且y随着x的增 大而减小，则该图像不经过的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.(2026安徽池州一模)将一次函数y=c-2k(k为常数，k≠0)的图象向上平移2个单位长度得到 的一次函数图象经过点(-1,5)，则k的值为() B C.-1 D.1 11.(2026安微六安·一模)为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A,B两地增加一条快速公交线 (即中途停站的站点少).一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A,B两地同时出发相向而行.快 速公交车、普通公交车两车离A地的距离y,(单位：km)与出发时间x(单位：h)之间的函数关系如 图所示.已知两地相距120km,普通公交车的速度为30km/h.则点P的坐标为() y/km 120 0 疝 3 A后0 C.(1,90) D.(1,100 12.(2026安徽芜湖一模)已知a是方程x2-2x=的实数根，则直线y=ax+1-a的图象大致是() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026安徽芜湖一模)我们把弹簧所受的拉力F与伸长量△L的比值称为弹簧的弹性系数.某学生将甲、 乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是() 拉力F 甲 伸长量△L A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 14.(2026安微蚌埠一模)新课标跨学科试题我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在 同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角.在平面直角坐标系中，放置一块平 面镜OH（点H在y轴上)，从点A4,0)处发射的光线照射到平面镜的点B处时，反射光线为BC,如图所 示.若BC恰好经过点(6,4)，则点B的坐标为() H 法线 B .(ag C.(0,2】 D. 15.(2026安微一模)点(+川2在一次函数y=号+b的图象上，其申1为实数，则与y的大 小关系为() A.y>y2 B.y=y2 C.<2 D.无法确定 二、解答题 16.(2026安徽合肥一模)一个车间有25名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件4个，每 制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元.在这25名工人中，车间每天安 排x名工人制造甲种零件，其余人制造乙种零件， ()求该车间每天所获利润y(元)与x之间的函数表达式： (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 考点02 反比例函数 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一、单选题 1.(2026安徽六安一模)如图，点A在反比例函数y=的图象上，点C在y轴负半轴上，0C=2,平行 四边形AOCB的面积为6，点B的纵坐标为1，则k=() A.-9 B.-3 C.-12 D.-6 2.(2026安徽合肥一模)如图，直线y=2x+b交反比例函数y=(k≠0的图象于A,B两点，交坐标轴 于C,D两点.已知S.ocD=4,CD=2AC,则k的值为() A.4 B.6 c:3 D.8 3.(2026安微准南一模)已知反比例函数)-，在下列结论中，正确的是〈） A.y随x的增大而减小 B.图象经过点(-1,3) C.图象位于第一、三象限 D.若x>-1,则函数值取值范围是y<-3 4.(2026安徽准南一模)下列函数中，y是x的反比例函数的是() A.y=- 3x B.y=-3 2 C.y= x+1 D.y=-x2 5.(2026安徽准南一模)已知点A(,y小，B(x,)都在反比例函数y=6的图象上，且<<0，则y 与的大小关系是() A.<y2 B.y>y2 C.=y2 D.无法确定 6.(2026安徽马鞍山一模)函数y=k(x-1)与函数y=(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图像可能是() 1 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026安徽马鞍山一模)如图所示，己知菱形0ABC,点C在x轴上，直线y=x经过点A,菱形OABC 的面积是92，若反比例函数y=(化≠0)的图象经过点B,则k的值为() VA A.3√2 B.9 C.9W2 D.9+92 8.(2026安徽蚌埠.一模)如图，AOB是边长为4的等边三角形，OB边在x轴正半轴上，点A在第一象 限，反比例函数y=《(x>0)的图象经过AB边的中点D,且与OA交于点C,则点C的坐标为() B A.（5,3 B.(25,3 C.(3,5 D.(35,3 二、填空题 9.(2026安微宣城一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线 y=25上，且点0在4C上，4D交x轴于点E.①当4点坐标为1，m时，D点的坐标为：②当 CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026安徽合肥一模)如图，A、B是第二象限内双曲线y=《上的点，A、B两点的横坐标分别是a, 3a,线段AB的延长线交x轴于点C,S。4oc=8.则k的值为· A B 1.(2026安徽滁州一模)如图，点A,B分别在反比例函数y=3(k≠0)和y=位于第一象限的图象上.分 别过点A,B向x轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则k= 12.(2026安徽阜阳一模)如图，反比例函数片=冬(k≠0)与一次函数为，=mr+n(m≠0)相交于点 A2,1)和点B(-1,-2),则不等式y<y2<0的解集为 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026安徽滁州一模)在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点.如图， k 己知双曲线y=二(x>0)经过点A2,2),记双曲线与两坐标轴之间的部分为G(不含双曲线与坐标轴). X (1)G内整点的个数为 个 (2)设点B(m,n(m>3)在直线y=2x-4上，过点B分别作平行于x轴，y轴的直线交双曲线y=(x>0) 于点C,D,记线段BC,BD,双曲线所围成的区域为W,若W内部（不包括边界）有不超过8个整点， 则m的取值范围是 14.(2026安微合肥.一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，R△ABC的顶点A在反比例函数y= (k>0,x>0)的图象上，∠BAC=90°，点B、C分别在坐标轴上，且AB=AC,若0B=3,0C=4, 则k的值为 B 15.（2026安徽合肥一模)如图，O为坐标原点，点A,B在坐标轴上，四边形0ACB是矩形，且点C在函数 y=4(x>0)的图象上，边AC,BC与函数y=的图象分别交于点M,N. (1)△A0M与aC0N的面积之和为； (2)若△M0N为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 M 1 y=X 0 16.(2026安微六安一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点A0,n), 与反比例函数y=《(k≠0，x>0)交于点Bm,3),则k+m+n的值为 A 三、解答题 17.(2026安徽阜阳一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例 函数y=(k+0)的图象交于点A-1,m),B2,- (1)求m的值； (②)根据图象，求出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围 18.(2026安徽安庆一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1与反比例函数y=《 (k是常数， 且k>0,x>0)的图象交于点A2,m. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求反比例函数的表达式： (2)点B(n,6)是反比例函数图象上的点，过点B作BC∥y轴，交一次函数y=2x-1的图象于点C,求线段 BC的长. 19.(2026安徽安庆一模)已知：如图，一次函数y=-2x-4的图象与反比例函数y=(k+0,x<0) 的图象交于点A-3,n),与x轴交于点B,以OB,AB为邻边构造口ABOC. (1)求反比例函数的解析式； (2)求ABOC的面积. 20.(2026安徽池州一模)如图，在平面直角坐标系xO中，一次函数y=x+2与反比例函数y=的图象 交于A,B两点，与x轴相交于点C,已知点A,B的坐标分别为n,3n)和m,-1. (①)求反比例函数的解析式： (2)点P为y轴上任意一点，若SAPOC=2S△4oa,求点P的坐标. 21.(2026安微毫州一模)在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴交于点A1,0), 与y轴交于点B0,-),与反比例函数y=《k≠0的图象交于点C,D,如图，若AC=AB. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ()求一次函数与反比例函数的表达式： (2)求△OCD的面积， 22.(2026安徽蚌埠一模)如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=《(k≠0)的图象交于A,B两 点，且一次函数与坐标轴分别交于点C,D.若D点的纵坐标为2，A点的横坐标为-3. (I)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)在x轴上是否存在一点E使得S△B=3,若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由 23.(2026安徽宣城一模)如图，反比例函数y=(x<0)与一次函数y=}x+5的图象交于4，B两点， 2 一次函数y=-2x的图象经过点A. (①)求k的值及点B的坐标. (2)连接OB,求SAo8· 24.(2026安徽阜阳一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=+b的图象与反比例函数y=”的 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图象相交于点A(-1,n),B(2,1). YA B (①)求一次函数y=+b、反比例函数y=”的表达式。 (2)若在x轴上存在一点P,使得△PAB的面积为6，求点P的坐标 25.(2026安徽准南一模)如图，一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与反比例函数 y=严的图象交于点C,E(6,-2引，B是AC的中点.连接OC,aOBC的面积为4. =x+2 B m (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (②)结合函数图象，直接写出满足m->2的x的取值范围. 26.(2026安徽宿州一发)如图、在平面直角坐标系巾，宜线片=x+k÷0)与双曲线 乃-(，+0，x>0)交于点AL,m),点B4,m),连接OA,OB,直线y=kx+与x轴、y轴分别交于点D 、点C VA B D (①)求k,飞3的值： ②直接写出不等式kx+≥人三的解集。 2 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 27.(2026安徽铜陵一模)如图，一次函数y=+b的图象与反比例函数y=”的图象交于 a两点，与y继交于点D: (1)求m,n的值； (②)连接0A,0B,E是y轴上一点，且SA4oB=2S△EoB,求点E的坐标， 考点03 二次函数 一、单选题 1.(2026安徽安庆一模)二次函数y=ar2+b+c的图象如图所示，则一次函数y=(c+3a)x-b的图象可 能是() 2.(2026安微合肥一模)在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象大致如图所示，则 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 函数y=ax+b(a≠0)和y=C(c≠0)的大致图象可能是（) x=-1 3.(2026安徽合肥一模)如图，二次函数y=ax+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、 B的横坐标分别为-1,3.与y轴负半轴交于点C,在下列结论中：①2a-b=0;②c=-3a;③当m≠1时， a+b<am2+bm;④ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是() \o A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2026安徽合肥一模)己知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)图像的顶点坐标是 (-1,n),且经过1,0)，(0，m)两点，3<m<4.有下列结论：①关于x的一元二次方程 ax2+bx+c-n+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根；②当x>-1时，y的值随x值的增大而减小；③ <a<-1,④4a-2b+c>0:⑤对于任意实数1，总有t+1川a1-a+b)≤0.以上结论正确的有(） 4 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026安徽芜湖一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点Ax,0),B(x2,0),对称轴为直线x=2 ,则下列结论中，正确的是() x=2 B A.ab>0 B.b2<4ac C.x1+x2=4 D.4a-b=0 6.(2026安微马鞍山一模)若A(-5,),B(-3,y2),C(0,%)为二次函数y=x2+4x-5的图象上 的三点，则乃、、y3的大小关系是() A.y2<y3<y B.y<y2<y; C.3y1<y2 D.y<y3<y2 7.(2026安徽蚌埠一模)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，图象对称轴为直线x=1,与x轴的 正半轴交点位于(2,0)与(3,0)之间，对于这个函数有下列四个结论：①对任意实数t,不等式 at2+bt+c≤a+b+c恒成立；②若方程ax2+bx+c=0的两根为x,x2,则3<x,-x<4;③若点(-2，)， ),2,(4,为在该函数图象上，则上<<乃；④关于x的方程a(x-2}+b(x-2)+c=0的两根之和为4 ·则结论正确的有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(2026安微马鞍山一模)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，对称轴是直线x=1,下列结 论：①2a+b=0;②abc<0;③9a+3b+c>0;④3a+c>0;⑤若m≠1，则m(am+b-a<b.其中正确 的个数是() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.2 C.3 D.4 二、填空题 9.(2026安微六安一模)己知点A(a+2,y),B(b,y2)是抛物线y=ax2+4ax(a≠0)上不重合的两点. (1)当a=4时，y1=y2,则b=: (2)若对于0<b<2,都有乃<2，则a的取值范围为 三、解答题 10.（2026安徽宣城一模)综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A(-3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3), 点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A,点C). 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (②)如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标： (3)如图2，过原点O作直线1交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m,点N的横坐标为n.求证：m 是一个定值 11.(2026安徽合肥.一模)定义：若两个二次函数的二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点 也相同，则称它们互为亲和同轴二次函数.例如：y=3x2-6x-5的亲和同轴二次函数为：y=-2x2+4x-5 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)函数y=-x2+2x+2的亲和同轴二次函数为_ (2)若函数y=(1-ax2-2(1-a)x+a2+a+1(a≠0且a≠1)的亲和同轴二次函数有最大值为5，求a的值. (3)已知点P(mp),Q(m,9)(m>0)分别在二次函数y,=ax2-4ax+c(a> 】且a+1)及其亲和同轴二次函数 2的图像上，比较P,q的大小，并说明理由 12.(2026安徽蚌埠.一模)已知抛物线y=x2-2mx-3（m为常数). (1)若该抛物线的顶点位于直线y=-4x上，抛物线的对称轴距y轴的距离小于3. ①求m的值； ②若-2≤x≤2，求y的取值范围. (2)若点Aa,0),B(b,0,C(a+1,s,D(b+1,)均在该二次函数的图象上，求st的最大值. 13.(2026安徽马鞍山一模)己知二次函数y=ax2+bx同时经过点(1，m和3，m). Q)求的值； (2)已知二次函数y=ax2+bx的最大值为-4a2+8. ①求抛物线表达式： ②点P,P叭：QLx9是次函数Ea十6：图像不重合的两凤4，且满定若 P,9且兰都是正整数，是否存在满足上述条件的P,9值，如果存在，求出P和9的值；如果不存在，请说明 D 理由 14.(2026安徽合肥.一模)已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中 A-1,0),B3,0),C(0,-3). 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且△PBC的面积与ABC的面积相等，求出点P的坐标： (3)若点Q在抛物线上，且满足∠QCB=∠OCA,请直接写出点Q的坐标。 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(2026安徽滁州.一模)己知二次函数y=ax2-4ax+4a+ca<0)与x轴交于Ax1,0,B(x2,0)两点，且 -2<x<-1,与y轴交于点D,抛物线顶点为C. B (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若0D=4，,求a的取值范围； (3)令m=ac,是否存在定值m,无论aa<0),c为何值，都存在ABC为等边三角形，如果存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由. 16.（2026安微六安一模)定义：对于二次函数片和，若二次函数y=my,-y2,我们称二次函数y为函 数，的“(m,n)级高星函数”.如y=3(x2+2x)-(x2+3),就是y1=x2+2x和y2=x2+3的“(3,1)级高星函 数” (1)若y=x2+x+2和的“(L,-1)级高星函数”y=-x2+3x,则y2=: (2)已知二次函数y=x2+ax图象的对称轴为直线x=1,二次函数y,=-x2+bx图象的顶点B的坐标为 (-2,4). ①求，的“(2,3)级高星函数”y的表达式及其最值； ②y=x2+ax的顶点为A,,的(m,n)级高星函数”y的图象的顶点为C,且经过点(L,0),若S△Ac=7 ,求m,n的值， 17、(226安徽合肥一模)已知抛物线y=ar产+2+ca:0)顶点纵坐标为-1。 (1)求c的值 (2)约定：若函数图象上存在点(x,),(x2,y2)满足(x+)+x+)2=0,且，+片0时，则称点 (x,y1)与(x2,y2)为一对“对偶点”，并称该函数为“对偶函数” (i)发现a=1时，上述二次函数是“对偶函数”，求出该函数的“对偶点”. (ⅱ)若二次函数y=ax2+2x+ca≠0)是“对偶函数”，直接写出实数a的取值范围. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(2026安徽阜阳.一模)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bxr+1(a≠0)经过1,3)点，对称 轴为x二一2 (1)求a,b的值； (2)已知A(x,),B(x2,y2)两点均在该抛物线上，且x≠x2,x+x2=2 ①求4-上的值： x1-x2 ②求证：+y2>6. 19.(2026安微安庆.一模)已知抛物线y=ax2+2ax-8aa≠0). (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过两个不同点P(x,y)、Q(x2,y2). ①当=片+0时，若-2-a=,求a的值： yx1+4 ②当1<x<2,x=m时，总有y>y2,求满足条件的m的取值范围. 20.(2026安徽芜湖一模)已知抛物线y,=x2+bx+3与抛物线y2=-x2-2x+c交于x轴负半轴上A点和y轴 上B点处，直线x=t分别交抛物线，y2于C,D两点(C,D不重合)，点C,D到直线AB之间距离分别记为 d,d2,CD两点之间距离记为d. (1)求b,c的值； (②)当d随t的增大而增大，求t的取值范围： (3)当t变化时，4，d之间有怎样的数量关系，猜想并证明. 21.(2026安徽阜阳.一模)已知抛物线y=x2-4x+m2-2m(m为任意实数). ()当m=1时，请回答下列问题： ①请求出抛物线的顶点坐标； ②若将点A(1,t)向左平移3n个单位长度后得点A:若将点A(1,t)向右平移4n个单位长度后得点A,若点A ，A都在此抛物线上，求t的值； (2)若抛物线与y轴交于点B(0,),且1≤n≤6，求此抛物线顶点到x轴的最远距离. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.(2026安徽合肥一模)己知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(-1,2,与y轴交点B在负半轴， OB=1,抛物线的顶点为C (1)求a-b的值： (2)当m<y<2时，-1<x<3,求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，当n≤x≤n+2时，函数最大值与最小值的差为2，求n的值. 23.(2026安微徽合肥一模)已知抛物线G:y=ax2-2axa≠0)与直线l:y=x-2交于A、B两点，其中 B点在x轴上. (1)若A点横坐标为-1，直线1与y轴交于点C. ①求a的值； ②P为线段BC上一点，过P点作PQ∥y轴交抛物线于点Q,求四边形PBQO面积最大时P点的坐标， 2若M(s,)、N(m川为该抛物线上不同的两点，且满足1=s(sm≠0，m≠1，s≠1，已知抛物线G m m-1 存在最小值一2+1，设！-n+-k,请判断人是否为定值，若为定值，请求出，若不是定值，请确定 t+1 其范围， 24.（2026安徽滁州一模)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(3,0). (1)求该抛物线的对称轴； ②若三次函数y=ar+bx的最大值为3a2 (i)求该二次函数的表达式： （i)若M(,m,N(5,网为该二次函数图象上的不同两点，m+0,且三_名-3=0，求证：m=n. m x-3 25.(2026安徽合肥一模)【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学 建模的综合实训场地、大棚横截面采用抛物线拱形矩形基座APD+ABCD”的组合结构，既符合力学承重原 理，又能最大化利用空间、提升采光效率，为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直 线为x轴，大棚横截面中的“抛物线拱形APD”的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系开展数学建模.经实 地测量：矩形基座AB和CD)高度为2米，底部地面跨度(BC)为10米；“抛物线拱形的最高点P到地面的 距离为6米 (I)结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形APD”对应的函数解析式， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 并注明自变量的取值范围. y E A D B F O GC x F O GC 图1 图2 【问题解决】 (②)为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架，如图1，矩形脚手架结构为：EF, HG均垂直于地面，EH平行于地面，且E、H两点落在抛物线上，F,G两点落在BC上.其中三根支架 EF,HG,EH的长度之和称为脚手架总长度，求出脚手架总长度的最大值； (3)在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形EFGH的样 式，且FG=5米，EF=5米，HG=4米.从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线 拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点E、H同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建.求此时抛物线 应下降的高度是多少米？ 26.(2026安微合肥一模)已知直线1：y=- x-2与》轴交于点A,与抛物线y=-2+c交于x轴上一点 4 B,P为直线1上方的抛物线上一点，设其横坐标为m, (1)求c的值； (2)当aPAB的面积最大时，求m的值； (3)点A关于x轴的对称点为A,设点P到x轴的距离为s,到点4的距离为t,已知m在某个范围时，S+t是 一个与m无关的定值，请确定这个范围，并求出这个定值 27.(2026安徽安庆一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+c经过点A(0,-1).点M,N在此抛 物线上，已知M,N两点的横坐标分别为m,2m(m>0). (I)当点N与此抛物线的顶点重合时，求m的值； (②)设此抛物线在点A与点M之间部分（包括点A和点M)的最高点与最低点的纵坐标的差为h,在点A 与点N之间部分（包括点A和点N)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2. ①当2<m<4时，若h2-h=4,求m的值： ②当1<m<2时，设H=h-h,求H的取值范围， 28.(2026安徽合肥.一模)如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比.图中的抛物线y=-2x2-4x-2与抛物线y=ax2+bx+c位 似，它们的顶点A,B是其中一对对应点，它们与y轴的交点C,D也是一对对应点，位似中心为坐标原点0， 位似比为04=1 OB 2 y=ax2+bx+c v=ax2+bx+c D A -2x2-4x-2 v=-2x2-4x-2 备用图 (1)求a,b,c的值； (②)点P为抛物线y=ax2+bx+c上一点；且在点B,D之间（包含点B、点D). (i)直线OP将四边形ACBD分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标； (ⅱ)求△ACP面积的最小值. 29.(2026安徽合肥一模)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2-3ax-3a+1a<0)与y轴交于点A, 过点A作AB∥x轴，与抛物线交于点B. (1)若抛物线经过点(-1,0)； ①求点B的坐标； ②当1-15≤时，抛物线取得最大值为}，求！的值： (2)已知点G(1,3),H(3,3),若抛物线与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H),求a的取值范围. 30.(2026安微毫州一模)已知抛物线y=ax2+bxa≠0)经过点(-1,3)和(2,0). (I)求a,b的值： (2)点Ax,)在抛物线y=ar2+r+2x上，点B(2x+h,+1)在抛物线y=x+2x上(4，B与原点不重 4 合). ①若t=h且4x+h≠0，求h的值： 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②若h=2x,求t的最小值. 31.(2026安徽六安一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a0)经过A(-1,0),B(3,0)两 点，与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点 E. C F E B B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，若PE=2DE,求点P的坐标； (3)如图2，连接AP与BC交于点F,连接BP,当△PFE与△PEB的面积都等于S时，求S的值. 32.（2026安徽马鞍山一模)已知点P是抛物线y=x2-2mx+m2-2的顶点. (1)当m=1时，直接写出点P的坐标： ； (2)若点1，a),(3,b)都在抛物线上，求证：a+b+2≥0； (3)若A(0,2),B(2,2)且抛物线与线段AB有公共点，求n的取值范围. 3.(2026安链无鐲一枚)抛物线为=r+k和直线=+2k>0位丁同一平面直角坐标系肉， 直线分别与x轴y轴交于点A,B. (1)若k=2,判断点P3k,1是否在抛物线片上，请说明理由； (2)若抛物线y与直线2只有一个交点，求k的值： (3)当k=1时，平移抛物线片，得到新抛物线，经过点A和点B,求y3-y2的最大值， 34.(2026安徽马鞍山一模)某公园要在小广场建造一个喷泉景观.在小广场中央0处垂直于地面安装一 个高为1.25米的花形柱子OA,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物 线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距 OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O地面文 B衣 图1 图2 图3 ()以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米， 求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）： (②)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此 时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围： (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示， 光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，且OP=4米，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离. 35.（2026安徽蚌埠.一模)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0), B3,0)两点，且与y轴交于点C(0,3). YA Y C B 图1 图2 备用图 (1)求该二次函数表达式； (②)如图2设抛物线顶点为E,连接BE,将线段BE绕着B点旋转90°，得到线段BD,连接AD,求经过A, D两点的直线表达式： (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求△PBC面积的最大值，及此时P 点坐标。 36.(2026安徽马鞍山一模)己知，抛物线y=ax2-3ax-3a+1(a<0)与y轴交于点A,过点A作AB∥x轴， 与抛物线交于点B. (1)若抛物线经过点(-1,0)； ①点B的坐标为： 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9 ②当1-1≤x≤1时，抛物线取得最大值为4，求的值： (2)若点E(m+1,),F(m-1,y2在抛物线上，且≤2，求m的取值范围： (3)己知，点G(1,3),H(3,3),若抛物线与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H),请直接写出a的 取值范围。 37.(2026安微阜阳一模)已知抛物线y=2+bx-3a(a≠0，a为整数)经过点A-3,0). (1)求该抛物线的对称轴， (2)若点P(x,y)在抛物线y=2+bx-3a上，点B(x2,y2在抛物线y=x2+2x-8上. ①若a=2,且x=2,试比较乃与2的大小 ②若x2=x-1,w=乃-y2,且w存在最大值 25 2 求a,b的值. 38.(2026安微芜湖一模)二次函数y1=a,x2+bx+ca1>0和y2=a2x2+bx+c2a2<0)图象交于点 A(-2,-I)和点B(2,),点P为x轴上一动点，且P点横坐标满足-2<x<2,过P点作直线1⊥x轴，分别交 二次函数片，的图象于M,N两点，交直线AB于Q点. (1)求b的值： @3a+4忆=0a,a,0.求0器的值 (3)在(2)的条件下，若四边形AMBN有两边平行，求所有满足条件的P点横坐标的值. 1/6 专题03函数 3大考点概览 考点01一次函数 考点02反比例函数 考点03二次函数 一次函数 考点01 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·一模）我国无人机产业专利申请占全球以上，占据绝对优势．某型号无人机在测试中，从竖直高度向下降落，无人机高度（单位：m）随降落时间（单位：s）的变化规律如图所示（不考虑外界环境对速度的影响）．则无人机下降高度从变化到所用的时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用待定系数法求得y与t的函数解析式，再求出当时，t的取值即可解答． 【详解】解：由函数图像可得：该函数是过点， 设该函数解析式为， 则，解得：， 所以该函数解析式为， 当时，，解得：， 所以无人机下降高度从变化到所用的时间是． 2．（2026·安徽滁州·一模）一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入一次函数解析式中，得到与的关系式，再将所求方程进行变形，求解即可． 【详解】解：观察图象可知，一次函数的图象经过点， ， ， 关于的方程可变形为：， 即， ， ． 3．（2026·安徽六安·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，过点A的直线与线段交于点D，过点D作交y轴于点E，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点A、B、C的坐标可推出四边形是矩形，由矩形的性质和可推出，即可利用证明，进而求得的长度，得到点D的坐标，最后由待定系数法可求得k的值． 【详解】解：∵，，， ∴轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点、代入直线， 得， 解得． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图所示的计算程序中，可得y与x之间的函数关系，下列结论正确的是（   ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．函数图象不经过第一象限 C．函数图象向下平移2个单位长度，新的函数图象过原点 D．函数图象与x轴的交点坐标是 【答案】C 【分析】先确定一次函数解析式为，然后根据一次函数的性质判断求解即可． 【详解】解：根据程序，得， ， 故y随x的增大而减小， 故A错误； ， 函数的图象分布在第一象限，第二象限，第四象限， 故B错误； 的图象向下平移2个单位长度，得， 的函数图象过原点， 故C正确； 与x轴的交点坐标是， 故D错误． 5．（2026·安徽安庆·一模）已知一次函数的图象经过点和点，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将两个点的坐标代入一次函数解析式，得到关于，和的关系式，化简得到，关于的表达式，再根据判断，的符号即可得到结果． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴，， ，， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， ，， ． 6．（2026·安徽合肥·一模）某汽车公司研制了四款发动机，图中的横、纵坐标分别为发动机燃烧产生的能量和输出的机械功，该公司准备将热效率最高的发动机批量生产并投入市场，则应选择（注：热效率）（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】由图象可知，纵坐标与横坐标的比值越大，热效率越高，其中甲设备的纵坐标与横坐标的比值最大，所以甲设备的热效率最高． 【详解】解：由函数图象可知， 甲设备的纵坐标与横坐标的比值最大， 甲设备的热效率最高． 7．（2026·安徽芜湖·一模）已知一次函数，且随的增大而减小．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据y随x增大而减小得到，再将各选项点的坐标代入解析式，求出k的值，验证是否满足即可得到答案． 【详解】解：∵ 一次函数中，随的增大而减小， ∴ ， A、 将代入解析式，得：， 解得，符合题意； B 、将代入解析式，得：， 整理得，等式不成立，不符合题意； C 、将代入解析式，得：， 解得，不符合的条件，不符合题意； D 、将代入解析式，得：， 解得，不符合题意． 8．（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点为轴上一点，点为正比例函数图象上一点，且，连接，若，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可得，解直角三角形得出，作轴于点，则，设点坐标为，则，，再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵点为轴上一点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，作轴于点， ， ∴， 设点坐标为，则，， ∴． 9．（2026·安徽合肥·一模）一次函数（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据题意分别求得和，再进行判断即可． 【详解】∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数中y随着x的增大而减小， ∴， ∴， ∵，， ∴该图像不经过的象限是第一象限， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2026·安徽池州·一模）将一次函数（k为常数，）的图象向上平移2个单位长度得到的一次函数图象经过点，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先根据“上加下减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再将已知点代入解析式求解的值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移2个单位长度， ∴平移后的一次函数解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入，得， 整理得， 解得：． 11．（2026·安徽六安·一模）为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形分别表示出，的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可． 【详解】快速公交从A地出发，全程，用时， 因此快速公交速度为 ， ∴解析式为： ； 普通公交从B地出发，速度向A地行驶， 因此离A地的距离解析式为： ， 联立方程： ，解得 ， 代入，得， 因此P点坐标为． 12．（2026·安徽芜湖·一模）已知a是方程x2﹣2x＝的实数根，则直线y＝ax+1﹣a的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程x2﹣2x＝的实数根，实际就是抛物线y1＝x2﹣2x，与双曲线y2＝交点的横坐标，通过画两个函数的图象，确定a的取值范围，再根据a的取值范围确定直线所经过的象限，从而确定位置，做出选择． 【详解】解：设y1＝x2﹣2x，y2＝， 抛物线y1＝x2﹣2x，与双曲线y2＝的图象如图所示： 方程x2﹣2x＝的实数根，实际就是抛物线y1＝x2﹣2x，与双曲线y2＝交点的横坐标， 抛物线y1＝x2﹣2x，与x轴的交点为O（0，0），A（2，0）， 由两个图象可得，交点B的横坐标一定要大于2，即：a＞2， 当a＞2时，1﹣a＜0，直线y＝ax+1﹣a的图象过一、三、四象限， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，利用图象法比较直观的得出结论，于是函数中常用的方法． 13．（2026·安徽芜湖·一模）我们把弹簧所受的拉力与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：作出辅助线，如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，值越大， ∴观察图象，弹性系数最大的是甲． 14．（2026·安徽蚌埠·一模）新课标 跨学科试题 我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一块平面镜（点H在y轴上），从点处发射的光线照射到平面镜的点B处时，反射光线为，如图所示．若恰好经过点，则点B的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设恰好经过点，光线所在直线的表达式为，则，法线为直线，则关于的对称点在直线上，再由待定系数法求解直线表达式，即可求解点B坐标． 【详解】解：设恰好经过点，光线所在直线的表达式为，则，法线为直线， ∴关于的对称点在直线上 ∴光线经过点、， ∴， 解得， ∴光线所在直线的表达式为， ∴此时在平面镜上入射点． 15．（2026·安徽·一模）点在一次函数的图象上，其中为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据一次函数的系数判断函数增减性，再作差比较两个点的横坐标大小，结合增减性即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， 对两个点的横坐标作差得，； ∵， ∴，即， ∵点都在该一次函数图象上，且，随增大而减小， ∴． 二、解答题 16．（2026·安徽合肥·一模）一个车间有25名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件4个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这25名工人中，车间每天安排名工人制造甲种零件，其余人制造乙种零件． (1)求该车间每天所获利润（元）与之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】(1) (2)至少应安排11名工人去制造乙种零件 【分析】（1）根据每天所获利润甲种零件所获利润乙种零件所获利润，可列出函数关系式； （2）根据车间每天所获利润不低于24000元，可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，可得； （2）解：由题意，知，即， 解得， 为整数， 最多安排名工人去制造甲种零件， 即至少应安排11名工人制造乙种零件． 反比例函数 考点02 一、单选题 1．（2026·安徽六安·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，点C在y轴负半轴上，，平行四边形的面积为6，点B的纵坐标为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，可推出轴，结合点B的纵坐标可得点A的纵坐标，然后根据平行四边形的面积公式，可推出点A的横坐标，最后由反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，点C在y轴负半轴上，， ∴，，即轴， 设点A的坐标为， ∵点B的纵坐标为1， ∴， ∵平行四边形的面积为6， ∴，即， ∴， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． 2．（2026·安徽合肥·一模）如图，直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点．已知，，则k的值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】过A作轴于E，证明，再利用求出b，得出 ，，，，从而求出点A的坐标，再代入求k即可． 【详解】解：过A作轴于E， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 令，则；令，解得， ∴，， ∴， 解得 ∵直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点． ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限， ∴， 将代入得： ∴． 3．（2026·安徽淮南·一模）已知反比例函数，在下列结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象经过点 C．图象位于第一、三象限 D．若，则函数值取值范围是 【答案】C 【分析】本根据k的正负判断图象所在象限、增减性，再逐一验证选项即可． 【详解】解：由于反比例函数为， 则其图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 故A错误，C正确， 当时，，则图象经过点，而非， 故B错误， ∵当时，，当时，， ∴当时，或， 故D错误． 4．（2026·安徽淮南·一模）下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的定义为形如（为常数，）的函数， ∴对各选项分析如下： A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，不合题意； B、符合反比例函数的形式，是反比例函数，符合题意； C、分母不是单独的，不符合反比例函数定义，不合题意； D、不符合反比例函数定义，不合题意； ∴答案选B． 5．（2026·安徽淮南·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质解题，先根据函数解析式判断比例系数的符号，得到函数在第三象限的增减性，再结合的大小关系比较的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， 点、都在第三象限的函数图象上， ． 6．（2026·安徽马鞍山·一模）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，由函数知直线必过这一点，据此可得． 【详解】解：由函数知直线必过这一点， 故选：C． 7．（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，已知菱形，点在轴上，直线经过点，菱形的面积是，若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】设A的坐标为，根据勾股定理求出，根据面积公式求出的值，即可得出B的坐标，代入求出即可． 【详解】解：过于， ∵直线经过点， ∴设的坐标为， 在 中，由勾股定理得：， ∵ 四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， ∵菱形的面积等于， ∴菱形的面积 =， ∴， 解得：， ∵在第一象限， ∴， ∵点的坐标为    ， 代入 得：. 8．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，是边长为4的等边三角形，边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过边的中点D，且与交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过中点D作轴，过点C作轴于点F，由等边三角形性质得，代入反比例函数得．设，则，代入解析式解得，即可得解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵是等边三角形，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 设，同理可得， 点C在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题以等边三角形与反比例函数结合为载体，通过作垂线转化几何性质求点坐标，利用反比例函数解析式建立方程求解，凸显了数形结合与方程思想的应用． 二、填空题 9．（2026·安徽宣城·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为______；②当平分时，正方形的面积为______．    【答案】 12 【分析】①先求解，如图，连接，过作轴于，过作轴于，证明，可得，从而可得答案； ∴； ②设，同理可得：，求解直线为，可得，求解，，如图，过作于，证明，可得，可得，而，求解，，从而可得答案． 故答案为：， 【详解】解：①∵在上， ∴，即， 如图，连接，过作轴于，过作轴于，    ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， 同理可得：， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，则， 解得：，即， ∴， ， 如图，过作于，    ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理可得：， ∴，而， ∴，， ∴正方形的面积． 故答案为：， 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的应用，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，角平分线的性质，本题难度较大，属于压轴题． 10．（2026·安徽合肥·一模）如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，线段的延长线交x轴于点C，．则k的值为______． 【答案】 【分析】设，，，过作轴于，过作轴于，则，得到，，代入对应线段长度解得，最后根据解方程即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，则， ∴， ∴， ∵A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，， ∴，， 设， ∴，，，，， ∴， 解得， ∴， ∵． ∴， 解得． 11．（2026·安徽滁州·一模）如图，点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则___________． 【答案】7 【分析】阴影部分的面积刚好等于以为斜边的大三角形的面积减去以为斜边的小三角形的面积，即可得． 【详解】解：如图， ∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上， ∴，， 又阴影部分的面积为2， ∴, 解得：． 12．（2026·安徽阜阳·一模）如图，反比例函数（）与一次函数（）相交于点和点，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据反比例函数与一次函数的交点即可求解． 【详解】解：∵反比例函数（）与一次函数（）相交于点和点， 将点和点代入得，解得：， 故一次函数， 令，则， ∴当时，或， 当时，，当时，， 则当时，， 故不等式的解集为． 13．（2026·安徽滁州·一模）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． （1）内整点的个数为________个； （2）设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线交双曲线于点，，记线段，，双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）有不超过8个整点，则的取值范围是________． 【答案】 5 【详解】解：（1）∵经过点， ∴， ∴， 则双曲线 ， 当时，， 在直线上，当时，有整点、、， 当时，， 在直线上，当时，有整点， 当时，， 在直线上，当时，有整点， 当时，， 在直线上，当时，没有整点． ∴G内整点的个数为5个． （2）如图， 当时，点， 点此时在区域W内(不包含边界)有、、共3个整点，线段上有4个整点，线段上有4个整点， ∵点重合，点在边界上， ∴当时，区域W内至少有个整点， 当时， ，， 线段上有4个整点，此时区域W内整点个数为8个， 当时，区域W内部整点个数增加， 若W内部(不包括边界)不超过8个整点， ． 14．（2026·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（，）的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】作轴，轴，根据题意证明，然后根据正方形的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图所示，作轴，轴，垂足分别为，． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形． ∴设，，， ∵， ∴， 解得：． ∴， ∴A点坐标为， 将代入， 得． 15．（2026·安徽合肥·一模）如图，为坐标原点，点在坐标轴上，四边形是矩形，且点在函数的图象上，边与函数的图象分别交于点． （1）与的面积之和为______； （2）若为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为______． 【答案】 或 【分析】（1）根据的几何意义，即可求解； （2）设，则，，，进而分类讨论，当为直角三角形的顶点，当为直角三角形的顶点，分别画出图形，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴与的面积之和为 （2）解：设，则，， ∴，， 当为直角三角形的顶点时， 如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 当为直角三角形的顶点时， 如图， 同理可得 ∴ ∴ 解得： ∴ 综上所述，直角三角形的顶点的横坐标为或 16．（2026·安徽六安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（，）交于点．则的值为__________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得、的值，再结合点的坐标可求出反比例函数系数． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（，）交于点， ，，， ，， 则． 三、解答题 17．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点， (1)求m的值； (2)根据图象，求出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入反比例函数求出反比例函数为，再将代入反比例函数即可求出答案； （2）根据图象直接作答即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数（）， 得， 反比例函数为， 将代入反比例函数， 得； （2）解：根据图象得，一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是或． 18．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入求出，然后代入求解即可； （2）将代入求出，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ，即 在反比例函数的图象上 ，解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：在反比例函数的图象上 ∴， 解得，即 轴 点的横坐标与点的横坐标相等， 将代入，得，即 ． 19．（2026·安徽安庆·一模）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点，以，为邻边构造． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先把点代入一次函数求出，然后再代入反比例函数（，）求出即可； （2）过点作轴于点，分别求出，的长，再利用即可求解． 【详解】（1）解：由题意将点代入一次函数得， 点的坐标为， 将点代入反比例函数（，）得， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）如图，过点作轴于点， ， ， 一次函数的图象与轴交于点， 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， ． 20．（2026·安徽池州·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为轴上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入中，得出，则，再代入反比例函数解析式，即可求解； （2）先求得，再求得点的坐标，根据得出，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得， 解得， ． 把代入中，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． （2）在中，当时，， ， ． 把代入中， 得． ， ， ， ， 即， ∴点的坐标为或． 21．（2026·安徽亳州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，如图，若． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，熟练运用数形结合与方程思想是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，将一次函数与坐标轴的交点坐标代入，求解一次函数解析式；再根据的几何条件，通过构造全等三角形求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式求得值； （2）联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组求出点的坐标；将的面积拆解为与的面积之和，利用坐标与坐标轴围成的三角形面积公式进行计算． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和点， ，解得， 一次函数的表达式为； 如图，过点作轴于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：令，解得，或，， 点的坐标为， ． 22．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数与坐标轴分别交于点，．若点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，或． 【分析】（1）利用点的坐标求出一次函数的表达式，进而求出点的坐标，再利用点的坐标求出反比例函数的表达式； （2）先求出点和点，设点，则，利用割补法表示出的面积，解方程求出的值． 【详解】（1）解：由题意可得，点的坐标为， 将代入，得， ∴一次函数的表达式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：假设存在，如图，设点的坐标为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 化简，得， ∴， 解得或， ∴假设成立，点的坐标为或． 23．（2026·安徽宣城·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A． (1)求k的值及点B的坐标． (2)连接，求． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) 【分析】（1）先求得点A坐标，进而可求得k值，得到，联立方程组可求得点B坐标； （2）设直线与轴交于点D，先求得点D坐标，再利用求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，解得， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴， 联立方程组，解得或， ∴点B的坐标为； （2）解：如图，设直线与轴交于点D， 令，则， ∴点D的坐标为，则， ∴． 24．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据反比例函数的图象过点，求出，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）求出直线与轴的交点坐标，设点的横坐标为，利用三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ∴反比例函数的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）设直线与轴交于点， ， ∴当时，， ∴点的坐标为， 设点的横坐标为，则， 的面积， 整理得， 解得， ∴点的坐标为或． 25．（2026·安徽淮南·一模）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，与反比例函数的图象交于点是的中点．连接的面积为4． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合函数图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）过点作轴于点，先求出点B的坐标，再由的面积为4，以及，可得点C的坐标，即可求解； （2）直接观察图象即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点． 对于，当时，， ∴点的坐标为，即． 的面积为4， ， ， ， ， 点 把代入，得：， 解得 一次函数的表达式为． 把代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为． （2）解：把变形得： 观察图象得：满足的的取值范围或． 26．（2026·安徽宿州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，点，连接，，直线与x轴、y轴分别交于点D、点C． (1)求，的值； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把，分别代入直线与双曲线，得到方程组和，分别消去m和n，得，再解方程组，即得答案； （2）由题意知，不等式即，即图中点A与点B之间部分满足题意，即可得出答案． 【详解】（1）解：把，分别代入直线与双曲线， 得和， 整理，得， 解得； （2）解：不等式的解集为． 27．（2026·安徽铜陵·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求的值； (2)连接是轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式的参数； （2）求出直线的解析式，然后求出点的坐标，求出的面积，利用面积求出长度，即可得出坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的解析式为， 将点代入，得； （2）解：将点代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； 将代入，得， 点的坐标为， ． ， ， 解得， 点的坐标为或． 二次函数 考点03 一、单选题 1．（2026·安徽安庆·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先根据抛物线对称轴为直线推出，再根据当时，，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴ ∵当时，， ∴，即， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，正确推出，是解题的关键． 2．（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线可得，，则，，再由一次函数与反比例函数经过的象限即可判断． 【详解】解：由抛物线可得，， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限 故D选项符合题意． 3．（2026·安徽合肥·一模）如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为．与轴负半轴交于点，在下列结论中：①；②；③当时，；④有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，，得出对称轴为，判断①，结合图象过点，判断②，根据开口方向顶点的纵坐标为最小值即可判断③，方程的解即为函数与交点的横坐标即可判断④． 【详解】解：①二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，， 该二次函数图象对称轴为：直线， ，即，故①错误； ②由题意可知：图象过点， ， 又， ，即，故②正确； ③由①可知，二次函数图象的顶点为， ， 又在二次函数中，当时， ， ，故③正确； ④由上知，，， ∴，而 ∴， ∴函数与有两个不同的交点， ∵方程的解即为函数与交点的横坐标， ∴有两个不相等的实数根，故④正确， ∴正确的有3个． 4．（2026·安徽合肥·一模）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：①关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；②当时，的值随值的增大而减小；③；④；⑤对于任意实数，总有．以上结论正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质（顶点、对称轴、增减性）、函数与方程的关系及代数式的变形，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 先根据二次函数的顶点坐标和过点情况，确定函数表达式，再结合的符号、对称轴等性质，逐一分析每个结论的正确性． 【详解】解：二次函数顶点为，且过， 由对称性，函数过， 设， ， 过， ， ， ， ，结论③正确； 顶点纵坐标，， ， 方程即， 函数最大值为，且， ∴方程有两个不相等的实数根，结论①正确； ，对称轴为 当时，y随x的增大而减小，结论②正确； ， ， ，结论④正确 ， ，， ，结论⑤正确； 综上，①②③④⑤均正确 故选：A． 5．（2026·安徽芜湖·一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数与轴的交点问题； 根据二次函数的开口方向和对称轴可得，A错误；根据二次函数与轴有两个交点可知，B错误；根据对称轴和二次函数图象的对称性可求得，C正确；根据二次函数的对称轴为，变形后可得D错误． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴； ∴，故A不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故B不符合题意； ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴， ∴，故C符合题意； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 6．（2026·安徽马鞍山·一模）若A（-5，），B（-3，），C（0，）为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∵2（5）=3， 2（3）=1， 0（2）=2， ∴点A距离对称轴最远，点B距离对称轴最近， ∴y2＜y3＜y1． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键． 7．（2026·安徽蚌埠·一模）如图是二次函数的图象，图象对称轴为直线，与轴的正半轴交点位于与之间，对于这个函数有下列四个结论：①对任意实数，不等式恒成立；②若方程的两根为，，则；③若点，，在该函数图象上，则；④关于的方程的两根之和为．则结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题针对开口向下、对称轴为的二次函数，逐一验证四个结论：①由顶点为最大值点，证得不等式恒成立，结论正确；②根据交点位置与对称性，推出两根距离范围，结论错误；③通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，结论错误；④分析平移后方程的对称轴与两根和，结论错误，最终确定仅①正确． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴顶点坐标为是最大值点， 故对任意实数，不等式恒成立，①正确； 已知抛物线与轴的一个交点位于与之间，对称轴为直线， 根据对称性，另一个交点在与之间， 设两根为，，可得，， ∴， ∴．即．②错误； ∵二次函数图象的开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越近， 函数值越大，点到对称轴的距离为．点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，即，③错误； 方程可看作原抛物线向右平移个单位， 则平移后方程的对称轴为， ∴两根之和为．④错误． 8．（2026·安徽马鞍山·一模）二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．由抛物线的开口向下知，与轴的交点在正半轴上得到，由对称轴为，可对①②进行分析判断；把代入解析式，根据函数图像可对③进行判断；当时，，再根据对称轴可对④进行判断；根据函数的性质可对⑤进行判断． 【详解】解：①抛物线的对称轴是直线， ， ，故①正确； ②抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， ， ， ，故②正确； ③把代入解析式，，根据图象时，， ，故③错误； ④当时，， ， ，故④错误； ⑤当时，为最大值， ， ， 故，故⑤正确． 故选：C． 二、填空题 9．（2026·安徽六安·一模）已知点，是抛物线上不重合的两点． （1）当时，，则________； （2）若对于，都有，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】（1）先求抛物线对称轴，再利用函数值相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质求解； （2）先将抛物线配方为顶点式，再作差得到的表达式，通过分类讨论的正负，结合不等式恒成立条件求解的取值范围即可． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为， 当时，点的横坐标为， ∵， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， 解得， 又∵点，不重合， ∴符合题意； （2）将抛物线配方得： ， ∵点横坐标为，点横坐标为， ∴， 由题意，即对任意都成立， ∵， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当时，不等式两边除以，得： ， 要使该不等式对满足的所有恒成立， 则需， 解得， 与无交集，此时无解； ②当时，不等式两边除以，得： ， 要使该不等式对满足的所有恒成立， 则需， 解得或， 结合，得； 综上，的取值范围为． 三、解答题 10．（2026·安徽宣城·一模）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】(1)； (2)，； (3)见解析． 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 11．（2026·安徽合肥·一模）定义：若两个二次函数的二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，则称它们互为亲和同轴二次函数．例如：的亲和同轴二次函数为：． (1)函数的亲和同轴二次函数为 ． (2)若函数（且）的亲和同轴二次函数有最大值为5，求a的值． (3)已知点，分别在二次函数（且）及其亲和同轴二次函数的图像上，比较p，q的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时，；见解析 【分析】（1）根据抛物线解析式可得抛物线中a，b，c的值，然后根据定义求解； （2）求出函数（且）的亲和同轴二次函数，利用配方或者顶点坐标公式得到顶点的纵坐标值等于5，解方程； （3）先求出的函数解析式，再将，分别代入、的函数解析式得到、，进而可得，再根据与零的关系分类讨论，分别解不等式． 【详解】（1）解：∵中，对称轴为直线，， ∴的亲和同轴二次函数中，对称轴为直线，， ∴的亲和同轴二次函数为； （2）解：由函数（且）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为； 利用配方或者顶点坐标公式得，， 解得， 函数有最大值， ； （3）解：由函数（且）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为， 把，分别代入，可得，，， 则， ， ， ①当时，，即，， 解得：或； ②当时，，即，， 解得：； ③当时，，即，， 解得：或； 又∵， 所以综上所述，当时，；当时，；当时，． 12．（2026·安徽蚌埠·一模）已知抛物线（为常数）． (1)若该抛物线的顶点位于直线上，抛物线的对称轴距轴的距离小于3． ①求的值； ②若，求的取值范围． (2)若点，，，均在该二次函数的图象上，求的最大值． 【答案】(1)①的值为1；② (2) 【分析】（1）①先将抛物线解析式化为顶点式得到顶点坐标，再将顶点坐标代入得到关于m的一元二次方程，解方程，再根据抛物线的对称轴距轴的距离小于3判断m的取值；②由①可知，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）根据题意得抛物线的对称轴是直线，即抛物线为，再由a，b是方程的两根，可得，将，代入，整理得，，继而可得答案． 【详解】（1）解：①， 该抛物线的顶点为． 把代入，得， 整理，得， 解得，， 当时，抛物线的对称轴为直线，，符合题意， 当时，抛物线的对称轴为直线，，不符合题意， 综上，的值为1； ②由①可知， ∴该函数图象的对称轴为直线，图象开口向上， ∴当时，y的值最小，最小值为， ∵， ∴当时，时y取得最大值，为， ∴当时，y的取值范围为； （2）解：该抛物线经过点，， 抛物线的对称轴是直线， 抛物线为， 又点，在抛物线上， ∴a，b是方程的两根， ∴， 又，均在该二次函数的图象上， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最大值为． 13．（2026·安徽马鞍山·一模）已知二次函数同时经过点和． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求抛物线表达式； ②点是二次函数图像不重合的两点，且满足，若且都是正整数，是否存在满足上述条件的值，如果存在，求出和的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①抛物线表达式为；②不存在满足所有条件的正整数．理由见解析 【分析】（1）由对称性可得函数图像对称轴为直线，再根据二次函数的性质可得二次函数的对称轴公式为，即，进而完成解答； （2）①由（1）可得：二次函数的对称轴为直线，进而得到．解得或．再结合函数有最大值，即可得到，进而确定b的值，从而确定函数解析式；②先化简并结合可得，从而得到，，易得、，进而确定可能的值为4，6，12．再逐个排除即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点和， ∴函数图像对称轴为直线． ∵二次函数的对称轴公式为， ∴，解得． （2）解：①由（1）可得：二次函数的对称轴为直线，， ∴ ∴顶点横坐标为，代入函数得最大值． ∵二次函数的最大值为， ∴．解得或． ∵函数有最大值， ∴抛物线开口向下，即． ∴，此时． ∴抛物线表达式为． ②不存在满足所有条件的正整数．理由如下： 当，分式无意义，即 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴，且是12的正因数， ∴可能的值为4，6，12． 当，则两点重合，不符合题意，舍去． 又∵函数最大值为4， ∴当或也不成立． 综上所述，不存在满足所有条件的正整数． 14．（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设直线 为 ，代入 ， ，求得直线 的解析式为 ，要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上，分两种情况讨论即可； （3）设，，由题意可知，作轴于M则，，中直角边满足​或，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意知抛物线经过，，， 则解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线 为 ， 代入 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上， 情况一：点 必在过点 且平行于 的直线 上， 过点 作 设直线 为 代入 得 直线 的解析式为 联立直线 与抛物线： 解得或4， 当时，， 则， 情况二：在与 关于 对称的直线 上， 则直线 的解析式为 ， 联立直线 抛物线：，即， ，方程无解， ∴点 的坐标为 ； （3）解：设，， 由题意可知， 作轴于M则 ， ∵， 且，，， ∴中直角边满足 ​或，； ①     ，解得(舍) 或，​     代入得 ​， ② 解得， ， ， ∴点Q的坐标为或． 15．（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；直线 (2) (3) 【分析】（1）将一般式化为顶点式即可，同时得到抛物线对称轴为直线． （2）根据题意知，得，则抛物线解析式为．进一步结合题意可知， 时，，以及时，，求解即可； （3）由对称轴对称得，连接和，对称轴与x轴交于点E，结合等边三角形，则，则有，解得，结合有，化简得，则有，即可． 【详解】（1）解：，抛物线对称轴为直线； （2）解：由题意可知，， ∴， 故抛物线解析式为． 由题意可知，当时，，即，解得； 当时，，即，解得， ； （3）解：当时，为等边三角形，证明如下： 关于对称轴对称， ． 如图，连接和，对称轴与x轴交于点E， 若为等边三角形，则， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 抛物线与轴交于两点，故顶点不可能在轴上， 故， ∴， ∵， ∴， 当时，无论为何值，都存在为等边三角形． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及二次函数的顶点式、二次函数的性质、解不等式、等边三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是掌握二次函数的性质． 16．（2026·安徽六安·一模）定义：对于二次函数和，若二次函数，我们称二次函数y为函数，的“级高星函数”．如，就是和的“级高星函数”． (1)若和的“级高星函数”，则________； (2)已知二次函数图象的对称轴为直线，二次函数图象的顶点B的坐标为． ①求，的“级高星函数”y的表达式及其最值； ②的顶点为A，，的“级高星函数”y的图象的顶点为C，且经过点，若，求m，n的值． 【答案】(1) (2)①，取得最小值，最小值为． 或 【分析】本题考查了二次函数与新定义运算，解题的关键是理解高星函数的定义并利用面积条件建立方程． （1）根据，将和代入，解方程求； （2）①由对称轴和顶点条件分别求出的解析式，代入定义配方法求最小值；②由过定点得，求出顶点坐标，过作的垂线，取距离为的点作平行线，代入求从而求出的值． 【详解】（1）解：由题意得， ； 故答案为：； （2）解：的对称轴为， ， 的顶点为， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值，最小值为． ②解：， 经过点， ，即， ， 顶点， 又，顶点，顶点， 设直线的解析式为， ， ， 直线为， ， 设点到的距离为，由， ， 过点作，交轴于，设的解析式为，代入， ，即直线为， 设上一点的坐标为， ， ， ， 当时，， 过作，则为即， 将代入，得， 即， ， 当时，， 过作，则为即 将代入，得 ，即， ， 综上，或． 17．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线顶点纵坐标为． (1)求c的值． (2)约定：若函数图象上存在点，满足，且时，则称点与为一对“对偶点”，并称该函数为“对偶函数”． （ⅰ）发现时，上述二次函数是“对偶函数”，求出该函数的“对偶点”． （ⅱ）若二次函数是“对偶函数”，直接写出实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）与；（ⅱ）且 【分析】（1）求出顶点横坐标，代入函数解析式得到顶点纵坐标，根据顶点纵坐标为即可求出c的值； （2）（ⅰ）根据非负数的性质得到，，根据，在函数上得到，进而得到，代入①得：，求解并检验是否符合即可； （ⅱ）同（ⅰ）得，根据根的判别式及作答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线对称轴为直线， 即顶点横坐标为， 将代入抛物线得：， ∵抛物线顶点纵坐标为， ∴， ∴； （2）解：（ⅰ）当时，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵函数对偶点为，， ∴， ∵，， ∴②可化为③ 得：， ∴， ∵， ∴， 即， 代入①得：， 解得或， ∴或， 经检验都满足， 此时或， ∴函数的对偶点为与； （ⅱ）∵是“对偶函数”， ∴且， ∵，， ∴②可化为③， 得：， ∴， ∵， ∴， 即， 代入①得：， 化简得：， ∵方程有解， ∴， ∴， 当时，原方程可化为， 解得， ∴， 此时，不符合题意， ∴， 综上所述，且． 18．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，对称轴为． (1)求，的值； (2)已知，两点均在该抛物线上，且， ①求的值； ②求证：． 【答案】(1)， (2)①3；②见解析 【分析】（1）把代入得出，根据对称轴得出，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出，的值即可； （2）①根据，两点均在该抛物线上得出，根据得出，代入求值即可； ②先求出，根据，代入并配方得出，根据得出，即可得出． 【详解】（1）解：∵抛物线（）经过点，对称轴为， ∴， 解得：． （2）解：①，两点均在该抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·安徽安庆·一模）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过两个不同点、． ①当时，若，求的值； ②当，时，总有，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，或 【分析】（1）根据解答即可； （2）①将原关系式整理为，再代入可得，进而得出，然后根据，可得，即可求出a； ；              ②先求出抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：当时和当时，根据抛物线增减性得出答案． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是直线； （2）解：①抛物线经过点和点 ， 把上式代入中，得：， ， ． 又， ， ；              ②由（1）可知抛物线的对称轴为直线， ， 点在对称轴右侧， 当时， 函数图象在对称轴右侧随增大而增大，在对称轴左侧随增大而减小， 对于，时，有， 当不在对称轴左侧时，则有； 当在对称轴左侧时，则有， 所以； 当时， 函数图象在对称轴右侧随增大而减小，在对称轴左侧随增大而增大， 对于，时，有， 当不在对称轴左侧时，则有； 当在对称轴左侧时，则有；     综上所述，当时，． 当时，或． 20．（2026·安徽芜湖·一模）已知抛物线与抛物线交于轴负半轴上点和轴上点处，直线分别交抛物线于两点不重合），点到直线之间距离分别记为两点之间距离记为． (1)求的值； (2)当随的增大而增大，求的取值范围； (3)当变化时，，之间有怎样的数量关系，猜想并证明． 【答案】(1)， (2)当或时，随着的增大而增大 (3)，理由见解析 【分析】（1）先将代入可得点B的坐标和c的值，然后令，从而求得点A的坐标，进而求得b的值； （2）根据点A和B的坐标，分；；三种情况讨论； （3）先求得直线的解析式，设直线与直线交于点，过点C作于点N，过点D作于点M，则，，，从而得到，然后根据点C、E、D的坐标表示出和即可证得结论． 【详解】（1）解：令，代入， ， 点坐标为， ， 令，代入可得， 解得， 又点在轴负半轴， 点坐标为， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）可知，，，，， 图象如图所示， ∴①当时，随的增大而减小； ②当时，， ∴抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； ③当时，随的增大而增大； 综上所述，当或时，随着的增大而增大； （3）解：，证明如下： 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得 ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， 设直线与直线交于点，过点C作于点N，过点D作于点M， 则，， ∵直线与y轴平行， ∴， ∴， ∵点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴， ， ， ∴． 21．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线（为任意实数）． (1)当时，请回答下列问题： ①请求出抛物线的顶点坐标； ②若将点向左平移个单位长度后得点；若将点向右平移个单位长度后得点，若点，都在此抛物线上，求的值； (2)若抛物线与轴交于点，且，求此抛物线顶点到轴的最远距离． 【答案】(1)①；② (2)3 【分析】（1）①当时，，故抛物线的顶点坐标为． ②由题得，，则点、关于对称轴对称，则，解得，则，将代入解析式即可求得． （2）根据得出顶点坐标为，求出，由题得，则顶点纵坐标为．根据，得出，则顶点到轴最远距离为3． 【详解】（1）解：①当时，， 故抛物线的顶点坐标为． ②由题意得，， ∵点，的纵坐标相等，点，都在此抛物线上，抛物线的对称轴为直线， ∴点、关于对称轴对称，则， 解得，则， 将代入解析式得． （2）解：， 故顶点坐标为， 令，则，则， 由题得， 则顶点纵坐标为． 又， 则， 则顶点到轴最远距离是顶点纵坐标绝对值的最大值，即为3． 22．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线经过点，与y轴交点B在负半轴，，抛物线的顶点为C． (1)求的值； (2)当时，，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，函数最大值与最小值的差为2，求n的值． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】（1）先求得，再将代入可得结论； （2）先根据题意得到直线与抛物线没有交点，且直线与抛物线交于和两点，则可得抛物线对称轴为直线，进而可求得a、b值，求得抛物线的最小值可得答案； （3）根据二次函数的图象与性质，分类讨论求得最大值和最小值，进而可列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交点B在负半轴，， ∴，则， 将代入，得， ； （2）解：∵抛物线经过点，且当时，， ∴直线与抛物线没有交点，且直线与抛物线交于和两点， 故抛物线对称轴为直线， 此时，， 代入，可得， 故抛物线解析式为， 由于直线与拋物线没有交点，故； （3）解：当时，，当时，． 抛物线对称轴为直线，当时，即时，在时，随增大而减小，此时， 解得，与假设矛盾，舍去； 当时，在时，随增大而增大， 此时，解得，与假设矛盾，舍去； 当，，即时，函数最小值为， 当，即， 时，解得，， ，∴取； 当，即时， ，解得，， 故取． 综上所述，当或时，函数最大值与最小值差为2． 23．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线：与直线：交于、两点，其中点在轴上． (1)若点横坐标为，直线与轴交于点． ①求的值； ②为线段上一点，过点作轴交抛物线于点，求四边形面积最大时点的坐标． (2)若、为该抛物线上不同的两点，且满足，已知抛物线存在最小值，设，请判断是否为定值，若为定值，请求出，若不是定值，请确定其范围． 【答案】(1)①；② (2)定值 【分析】（1）①把代入得，得出代入得出的值； ②根据题意，进而根据二次函数的性质，求得最值，即可求解； （2）根据已知得出，根据抛物线存在最小值得出，进而得出，再分别用表示出，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：①把代入得， ∴， 把代入， 得； ②， 抛物线， 当时，， ； 如图， 由题意得：， ∴， 时，四边形的面积最大， 把代入得， 四边形面积最大时点的坐标为； （2）解：， ，即， ∵抛物线存在最小值， ，解得（舍）， ， 、为该抛物线上不同的两点， ， ， ， 即为定值． 24．（2026·安徽滁州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若二次函数的最大值为． （ⅰ）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若，为该二次函数图象上的不同两点，，且，求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）先将代入函数解析式求出，再根据二次函数的性质求解即可； （2）（ⅰ）先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； （ⅱ）根据点在函数的图象上，得出，再将通分后求出，然后根据二次函数的对称性即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴． ∴该抛物线的对称轴为． （2）（ⅰ）解：由（1）可得， ∴该函数的解析式为． ∴函数图象的顶点坐标为． ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得，或（舍去）． ∴该二次函数的表达式为． （ⅱ）证明：∵点在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ． ∴，即． 不妨设， ∴． ∵该抛物线的对称轴为， ∴． 25．（2026·安徽合肥·一模）【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为轴，大棚横截面中的“抛物线拱形”的对称轴为轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米；“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． (1)结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 (2)为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：，均垂直于地面，平行于地面，且、两点落在抛物线上，，两点落在上．其中三根支架，，的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； (3)在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形的样式，且米，米，米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 【答案】(1) (2)脚手架总长度的最大值为米； (3)米 【分析】（1）理解题意，得出顶点坐标为，，再设解析式为，把代入，解得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，再设， 故，运用二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）理解题意得新抛物线解析式为，结合米，米，米，得，，将，，代入新抛物线，整理得：，解得，最后代入①计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． ∴如图1，即顶点坐标为， ∵矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米 ∴ 即， 依题意，设“抛物线拱形”对应的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， （2）解：∵，均垂直于地面，平行于地面， ∴， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， 设， 依题意，， 设三根支架，，的长度之和为， 即， ∵ ∴当时，有最大值， 把代入，得 即脚手架总长度的最大值为米； （3）解：设抛物线下降高度为米， ∴新抛物线解析式为， 设， ∵米， 得， ∵米，米 ∴，， 将，，代入新抛物线， 得：， 消去展开整理得：， 解得， 将代入①得：， 答：抛物线应下降的高度为米 【点睛】本题考查了抛物线的应用，求二次函数的解析式，矩形的判定与性质，二次函数的最值问题，，二次函数的平移问题，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26．（2026·安徽合肥·一模）已知直线：与轴交于点，与抛物线交于轴上一点，为直线上方的抛物线上一点，设其横坐标为． (1)求的值； (2)当的面积最大时，求的值； (3)点关于轴的对称点为，设点到轴的距离为，到点的距离为，已知在某个范围时，是一个与无关的定值，请确定这个范围，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)当时，是一个与无关的定值，这个定值为 【分析】（1）将代入求出，然后代入即可求出； （2）如图，设过点且与直线平行的直线的解析式为，根据题意得到当点P到的距离最大时，即当直线与抛物线只有一个交点时，的面积最大，然后联立求解即可； （3）首先求出，得到，然后分两种情况讨论，分别根据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线： ∴当时，， 解得，即， 把代入得，， 解得； （2）解：如图，设过点且与直线平行的直线的解析式为， ∵ ∴抛物线 ∵的长度是定值， 当点P到的距离最大时，即当直线与抛物线只有一个交点时，的面积最大， 联立和得， 整理得， ∵，且． ，即； （3）解：∵直线： ∴当时， ∴ ∴点关于轴的对称点， ∵， ∴当点在轴上方时，， ， ∴ 此时 解得； 当点在轴下方时，， ， ，不是定值，不符合题意； 当时，是一个与无关的定值，这个定值为． 27．（2026·安徽安庆·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点M，N在此抛物线上，已知M，N两点的横坐标分别为m，（）． (1)当点N与此抛物线的顶点重合时，求m的值； (2)设此抛物线在点A与点M之间部分（包括点A和点M）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点A与点N之间部分（包括点A和点N）的最高点与最低点的纵坐标的差为． ①当时，若，求m的值； ②当时，设，求H的取值范围． 【答案】(1)1 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）配方可得，则得到，即可求解； （2）（i）先求出顶点坐标为，由题意得，关于对称轴的对称点为， 当时，点M在直线的右侧且在直线下方，，点N在点M的右侧且在直线上方，即可求解，然后建立方程求解； （ii）当时，，则M，N在对称轴两侧，表示出，即可表示，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点的横坐标为2， ∴当点N与此抛物线的顶点重合时，， 解得； （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴抛物线解析式为，对称轴为直线． （ⅰ）， ∴顶点坐标为， 由题意得，关于对称轴的对称点为， 当时，点M在直线的右侧且在直线下方，，点N在点M的右侧且在直线上方，如图． ∵，， ∴． ∵， ∴， 解得或（舍去）， （ⅱ）当时，，则M，N在对称轴两侧，如图， 则， ， ∴． ∵时，H随m的增大而减小， ∴时，． 28．（2026·安徽合肥·一模）如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比．图中的抛物线与抛物线位似，它们的顶点是其中一对对应点，它们与轴的交点也是一对对应点，位似中心为坐标原点，位似比为． (1)求的值； (2)点P为抛物线上一点；且在点之间（包含点B、点D）． （ⅰ）直线将四边形分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据已知解析式求出点的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）（ⅰ）连接，证明，得出，确定当直线平分时，将四边形分为面积相等的两部分，求出直线的解析式为，联立解析式求解即可； （ⅱ）求出直线的解析式，过点P作轴，交于点Q，设，则，，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点， 当时，， ∴， ∴， ∵位似比为， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点式为， 将代入得， ， 解得， ∴， ∴； （2）解：（ⅰ）如图所示， 由（1）得，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∴当直线平分时，将四边形分为面积相等的两部分， 中点坐标为， 设直线的解析式为，将代入得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∵点在之间， ∴，此时， ∴； （ⅱ）设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点Q， 设，则， ∴， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为． 29．（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①求点的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），求的取值范围． 【答案】(1)①；②的值为或 (2)或 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由得抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论：当时，得；当即时，，分别求解即可； （2）求出抛物线对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），得与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即， 解得：，， ∴点， ②∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴左侧，随增大而增大， ∴时，为最大值，即， 解得或（舍）； Ⅱ．当即时，在对称轴右侧，随增大而减小， 时，为最大值，即， 解得或（舍）， 综上所述，的值为或； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时， 即：， 解得：； Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为， ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 30．（2026·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)求a，b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（A，B与原点不重合）． ①若且，求h的值； ②若，求t的最小值． 【答案】(1) (2)①h＝－4；②t有最小值，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）①首先将代入得到，然后将代入得到，将代入得，得到，整理得到，得到，进而求解即可； ②首先得到，代入得，然后得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点B（）在抛物线上，， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当h＝时，t有最小值，最小值为． 31．（2026·安徽六安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线的上方，过点P作轴，交直线于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若，求点P的坐标； (3)如图2，连接与交于点F，连接，当与的面积都等于S时，求S的值． 【答案】(1) (2)点 (3) 【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，并表示出P、E的坐标，进而得到和的长度表达式；根据列方程求解，得到m的值后即可得到点P的坐标． （3）先根据与的面积相等，推出；再结合与的相似关系，表示出相关线段长度，求解出点P的坐标，最后计算出S的值． 【详解】解：（1）由题意，把点，分别代入， 得，解得． ∴抛物线的表达式为． （2）当时，， ∴点． 设直线的表达式为， 把点和分别代入，得，解得， ∴直线的表达式为． 设点， ∵轴于点D，交直线于点E， ∴， ∴点，． ∴． ∴． 由，得． 解得，（不合题意舍去）． ∴，即点． （3）如答图，过点A作轴交延长线于点G，过点F作轴于点H． ∴． 同（2）设，则，，． 又由，得． ∵和的面积相等， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 解得，． 经检验，，，是原方程的解，但不符合题意，舍去． ∴，． ∴． 32．（2026·安徽马鞍山·一模）已知点是抛物线的顶点． (1)当时，直接写出点的坐标：___________； (2)若点，都在抛物线上，求证：； (3)若，且抛物线与线段有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）将的值代入解析式，化成顶点式求解； （2）利用解析式求出的值，利用完全平方式进行证明； （3）利用临界点坐标，求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ∴顶点的坐标为； （2）证明：将代入得， ， 将代入得， ， ∴； （3）解：将代入得， ， 解得或； 将代入得， ， 解得或； ∴时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段有交点， 时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段有交点． ∴若，且抛物线与线段有公共点时，或． 33．（2026·安徽芜湖·一模）抛物线和直线位于同一平面直角坐标系内，直线分别与x轴y轴交于点A，B． (1)若，判断点是否在抛物线上，请说明理由； (2)若抛物线与直线只有一个交点，求k的值； (3)当时，平移抛物线，得到新抛物线，经过点A和点B，求的最大值． 【答案】(1)点在抛物线上，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）当时，，点，计算出当时，，可判断出点在抛物线上； （2）联立方程，令，可得k的值； （3）分别求出和，求得A，B两点坐标，得，再计算，求出最大值即可． 【详解】（1）解：当时，， 点P的横坐标为：, 将代入，得： ， 与点P的纵坐标相同， 所以，点在抛物线上； （2）解：联立和解析式得：， 整理得：， 因为抛物线与直线只有一个交点，即有相等实数根， 所以判别式， 即， 解得：； （3）解：当时，，， 对于，当时，；当时，， ∴，， 设平移后的抛物线为， 将，代入得： ， 解得， 所以，， ∴ ； 这是一个开口向下的二次函数，最大值在顶点处，则 代入得最大值为：． 34．（2026·安徽马鞍山·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． （1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ∵， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 35．（2026·安徽蚌埠·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为，此时P点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得二次函数的顶点坐标为，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，可证明，可得，，则可得点D坐标为，再利用待定系数法即可求得直线的表达式； （3）设，过点P作轴于点，交于点H，先求得的表达式，则可得，则，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴设二次函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴，即． （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， ∴对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴， 过点E作轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点G，则， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为2， ∴点D的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得． ∴经过A，D两点的直线表达式为． （3）解：设， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作轴于点，交于点H， ∴， ∴， 过点作于点， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为． 36．（2026·安徽马鞍山·一模）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②的值为或 (2) (3)或 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由得抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论：当时，得；当即时，，分别求解即可； （2）由点，在抛物线上，结合可得，计算求解即可； （3）求出抛物线对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），得与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即， 解得：，， ∴点， 故答案为：； ②∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴左侧，随增大而增大， ∴时，为最大值，即， 解得或（舍）； Ⅱ．当即时，在对称轴右侧，随增大而减小， 时，为最大值，即， 解得或（舍）， 综上所述，的值为或； （2）解：∵点，在抛物线上， ∴，， 当时，即， 即：， 解得：； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时， 即：， 解得：； Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为， ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 37．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线（，为整数）经过点． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，且，试比较与的大小． ②若，，且存在最大值，求的值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)①；②， 【分析】（1）将点代入，得，再根据对称轴公式即可解答； （2）①当时，代入表达式，计算即可解答； ②由题意得，根据最值列方程即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：根据题意，可得，． ①当时，． ，， ． ， ， ． ②， ， ． 存在最大值， ，即，且为整数． 的对称轴为直线． 当时，取得最大值， ， 整理，得，解得，． ，且为整数， ，． 38．（2026·安徽芜湖·一模）二次函数和图象交于点和点，点P为x轴上一动点，且P点横坐标满足，过P点作直线轴，分别交二次函数，的图象于M，N两点，交直线于Q点． (1)求的值； (2)若（，），求的值； (3)在（2）的条件下，若四边形有两边平行，求所有满足条件的P点横坐标的值． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的P点横坐标为或 【分析】（1）将点和点代入求解即可； （2），同理可得，，则，，求出直线解析为．由题意可知，M点坐标为，N点坐标为，Q点坐标为，然后表示出，即可求解； （3）作轴，轴，由直线轴，得到，当时，根据平行线分线段成比例定理得到，由，得到，故D点横坐标为，即P点横坐标为；当时，同理可求． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得； （2）解：由（1）可知，，同理可得，， ，． 设直线解析式为， 把，代入中， 得 解得 ∴直线解析为． 由题意可知，M点坐标为，N点坐标为，Q点坐标为， ，， ． ，且，， ， ． （3）解：如图1，作轴，轴，由直线轴，得到， 当时， ， ， ． ， ， 故D点横坐标为，即P点横坐标为． 当时，过点作轴，轴， ， ， ． ， ∴， 故C点横坐标为，即P点横坐标为． 综上所述，满足条件的P点横坐标为或． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $