专题03 三大函数的应用（复习讲义）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 三大函数的应用 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 一次函数的应用（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 一次函数建模 题型二 销售折扣问题 必备知识 知识1 一次函数的应用 命题预测 考点二 反比例函数的应用（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 反比例函数建模 必备知识 知识1 反比例函数的应用 命题预测 考点三 二次函数的应用（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 拱桥问题 题型二 销售问题 题型三 投球问题 题型四 喷水问题 题型五 二次函数建模 必备知识 知识1 二次函数的应用 命题预测 项目 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 命题形式 以填空题、基础解答题为主，核心聚焦一次函数实际建模应用，是上海中考代数应用的核心命题点；反比例函数、二次函数近五年中考虽无独立实际应用命题，但今年部分区二模出现二次函数应用新题型，备考时也要重点关注。 一次函数实际应用 T15：苹果零售数量与售价的一次函数建模，求销售利润 无独立命题 T22：加油卡促销的一次函数建模，求函数解析式与实际优惠金额 T13：商品销售额与广告投入的一次函数建模，求对应销售额 T21：储水机水量与时间的一次函数建模，求解析式、定义域及对应水温 命题预测 一次函数必考核心，仍以生活消费、生产经营、工程数据等本地贴合的情境命题，固定考查解析式求解、定义域标注、函数值实际应用三大核心，偶与不等式结合考查方案优化。 备考建议 1. 锚定核心：重点一次函数实际应用题，固化“审题→找等量关系→求解析式→标注定义域→代入求解→解读实际意义”的标准化解题流程。 2. 严控细节：强化定义域的实际意义标注、计算准确率，规避因忽略实际情境限制导致的解题失误。 3. 拓展融合：针对性训练一次函数与不等式、方程结合的综合应用题，提升建模与综合分析能力。 4. 精准减负：反比例、二次函数无需投入精力攻克实际应用题型，聚焦其核心考查的图象性质与综合问题即可。 考点一 一次函数的应用 题型一 一次函数建模 解题关键：从图象中读取关键信息（如与坐标轴的交点、特殊点的坐标），转化为数学条件，建立一次函数模型，再结合实际情境分析和求解。 1．（2025•上海）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量（升和时间（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度（摄氏度）和（分钟）的关系：． （1）求与的函数关系式，并写出定义域； （2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 2．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元千克，现以8元卖出，挣得 　 　元． 题型二 销售折扣问题 结合题意，判断函数类型，利用待定系数法求出函数解析式，再代入所给x或y值求出对应结果. 1．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买加油卡？ （2）减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式（不用写出定义域）． （3）油的原价是7.30元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 2．（2024•上海）某种商品的销售额（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售额5000万元．则投入80万元时，销售额为 　 　 万元． 知识1 一次函数的应用 1. 基础形式： 2. 三类热点题型分类 1．（2026·上海闵行·二模）小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点，，都落在了线段上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度． (1)求叠放在一起的纸杯总高度（厘米）关于纸杯数量（个）的函数解析式（不写定义域）； (2)为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量． 2．（2026·上海静安·二模）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 3.（2025·上海奉贤·二模）小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是_______分钟． 4．（2025·上海徐汇·二模）弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 考点二 反比例函数的应用 题型一 反比例函数建模 1. 反函数模型判定方法 乘积为定值，变量一增一减，图像为第一象限双曲线（如压强、载重问题） 2. 解题步骤 找定值→验变量关系→待定系数法求k→结合实际场景求最值、范围 3. 最值解题技巧 反比例实际问题中变量反向变化，一个量最大，对应另一个量最小（最大压强→最小面积、最小速度→最大载重） 1．（2025·上海普陀·二模）2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（表示体重，单位：公斤；表示身高，单位：米）成年人火女值标准见下表： 范围 胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（   ） A．数值随着体重的值的增加而减少 B．数值与体重的值之间成正比例关系 C．数值与体重的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支 D．如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常 2．[跨学科]（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 3．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 知识1 反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 1．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（　　） A． B． C． D． 3．建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 4．视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 5．某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 考点三 二次函数的应用 题型一 拱桥问题 1．[项目式问题]（2026•宝山区二模） 【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到的距离为，矩形的边、、为支撑架的架骨，点、在边上，点、在抛物线上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）当支撑架为正方形时，求架骨的长； （3）为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 2．（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是_____米．（结果保留根号） 3．【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 题型二 销售问题 1．某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 2．根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 3．某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． (1)求游客人数与门票单价的函数表达式； (2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ (3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． 题型三 投球问题 1．（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 2．（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 3．（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为__________米． 题型四 喷水问题 1．综合与实践 【项目背景】点茶是中国古代的一种沏茶方法，始于唐，盛于宋，是宋代斗茶与文人雅士日常品饮的核心沏茶技艺，其中“分茶”更是将沏茶升华为兼具实用性与观赏性的艺术．茶艺师复刻“分茶”技艺时，倒茶的水流轨迹、茶壶壶嘴造型、茶碗的移动与承接，看似是行云流水的技艺展现，实则暗藏着丰富的数学规律． 【项目准备】 模型抽象：在一次茶会上，我们将茶艺师表演“分茶”技艺时倒茶的情景抽象为如图所示的数学模型．已知茶壶壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点C，曲线与茶水轨迹在同一条抛物线上；点B、C所在直线与x轴（桌面）平行，茶碗边沿点E与壶口C的连线垂直于x轴．      核心条件： ①，； ②壶柄与竖直方向夹角为，，线段AB与壶柄平行； ③茶碗的底面直径为，碗口直径为，高度为，茶碗的侧内壁剖面图可以抽象为二次函数的部分图象，茶碗底部中心初始坐标为，茶碗碗口中心F与底部中心的连线垂直于桌面； ④当点A相对桌面的高度时，点A的横坐标为0，抛物线水流恰好经过F点，且抛物线的顶点在线段的垂直平分线上． 【项目任务】 (1)任务一：求曲线BC所在抛物线的解析式； (2)任务二：点茶时，前期调膏要低注慢淋，避免冲散茶末，因此要求茶艺师在前期注水时水流距离茶碗壁的竖直高度不得超过．判断此次倒茶过程中，水流距离茶碗壁的竖直高度是否符合要求； (3)任务三：若为了节目效果，茶碗盛水后会匀速上浮，上浮速度为，同时沿x轴正方向以的速度平移．茶艺师手持茶壶竖直向上平移（横坐标不变），平移高度为，平移后茶水轨迹为原抛物线竖直平移后的图形．设茶碗移动时间为，当茶水轨迹经过茶碗上沿点E处时，分茶效果最佳，因此要求茶水落点始终在茶碗边沿E，求h与t的函数关系式，并求出当时，点A距离桌面的高度． 2．如图（1）市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地高度为1.6米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底部边线的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方．当米时，请通过计算说明上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．如不能，喷水车应该怎样操作才能恰好使整个绿化带都被浇灌． 题型五 二次函数建模 1．（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    2．某数学兴趣小组开展综合与实践活动，记录如下： 活动主题 测量帐篷内自由活动区的面积 活动准备 1．准备皮尺等测量工具； 2．查阅并绘制帐篷的示意图． 方案示意图 图1某帐篷的示意图，该帐篷是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的（点B在直线l上，点A在水平地面上，曲线段为抛物线上的一段曲线，点B为抛物线的顶点）． 采集数据 ①帐篷的底圆半径是； ②帐篷最高点B距离地面． 确定思路 以直线l与地面交点为坐标原点，以水平地面所在的直线为x轴，以直线l为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，点B为抛物线的顶点，点A在x轴上，点C为抛物线上一点，轴于点D． 备注 某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)某同学的身高是，求他在帐篷内自由活动区的面积（结果保留π） 知识1 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1．（2025•浦东新区模拟）某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为　 　 ． 2．（2025•宝山区模拟）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分．某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是1.8米，水平距离3米时达到最大高度，最大高度为3.2米． （1）如图，以该学生所在直线为轴，球落地的水平距离所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）； （2）若实心球落地后距离投掷点8.4米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分． 3．（2025•浦东新区三模）某企业生产一种新产品，每件成本50元．由于新产品市场占有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，图销售量（件与月份（月满足一次函数关系；随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量（件与月份（月满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）已知去年1至6月每件该产品的售价（元与月份之间满足函数关系：，为整数），除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费元，与月份之间满足函数关系：，为整数）从1月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在第6月的水平．去年1至12月，该产品在第几月获得最大利润？丙求出最大利润． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $行程问题：匀速运动的路程-时间关系（s三vt) 费用问题：固定费用+单价×数量的总费用计算 实际应用场景 比例分配：按比例分配资源 工程问题：工作效率与工作时间的关系 次函数 温度换算：摄氏温度与华氏温度的换算关系 根据题意确定自变量x和因变量y 找出题目中的“k”(变化率)和“b”(初始值) 解题要点 建立函数关系式y=kx十b 利用函数解决实际问题（求值、求范围、比较大小等） 面积一定时：矩形的长与宽的关系 工作量一定时：工作效率与工作时间的关系 反比例函数 实际应用场景 行程问题：速度与时间的关系（路程一定） 三大函数实际应用 物理问题：压强与受力面积的关系 (压力一定) 经济问题：单价与数量的关系（总价一定） 最值问题：求最大面积、最大利润、最小成本等 抛体运动：物体抛射的高度时间关系 三、二次函数 实际应用场景 桥梁设计：拱形结构的形状 经济问题：利润与销量的二次关系 几何问题：图形面积与边长的二次关系 当两个变量成正比例关系时→一次函数y=kx十b 1.函数选择策略 。当两个变量的乘积为定值时一反比例函数y=会 当问题涉及最值或曲线变化时→二次函数y=ax2十bx十c 综合应用技巧 ①审题：明确问题中的变量和常量 ②设元：设定自变量x和因变量y 2.建模步骤 ③建模：根据数量关系建立函数表达式 ④求解：利用函数性质解决问题 ⑤检验：验证结果是否符合实际意义 专题03 三大函数的应用 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 一次函数的应用（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 一次函数建模 题型二 销售折扣问题 必备知识 知识1 一次函数的应用 命题预测 考点二 反比例函数的应用（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 反比例函数建模 必备知识 知识1 反比例函数的应用 命题预测 考点三 二次函数的应用（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 拱桥问题 题型二 销售问题 题型三 投球问题 题型四 喷水问题 题型五 二次函数建模 必备知识 知识1 二次函数的应用 命题预测 项目 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 命题形式 以填空题、基础解答题为主，核心聚焦一次函数实际建模应用，是上海中考代数应用的核心命题点；反比例函数、二次函数近五年中考虽无独立实际应用命题，但今年部分区二模出现二次函数应用新题型，备考时也要重点关注。 一次函数实际应用 T15：苹果零售数量与售价的一次函数建模，求销售利润 无独立命题 T22：加油卡促销的一次函数建模，求函数解析式与实际优惠金额 T13：商品销售额与广告投入的一次函数建模，求对应销售额 T21：储水机水量与时间的一次函数建模，求解析式、定义域及对应水温 命题预测 一次函数必考核心，仍以生活消费、生产经营、工程数据等本地贴合的情境命题，固定考查解析式求解、定义域标注、函数值实际应用三大核心，偶与不等式结合考查方案优化。 备考建议 1. 锚定核心：重点一次函数实际应用题，固化“审题→找等量关系→求解析式→标注定义域→代入求解→解读实际意义”的标准化解题流程。 2. 严控细节：强化定义域的实际意义标注、计算准确率，规避因忽略实际情境限制导致的解题失误。 3. 拓展融合：针对性训练一次函数与不等式、方程结合的综合应用题，提升建模与综合分析能力。 4. 精准减负：反比例、二次函数无需投入精力攻克实际应用题型，聚焦其核心考查的图象性质与综合问题即可。 考点一 一次函数的应用 题型一 一次函数建模 解题关键：从图象中读取关键信息（如与坐标轴的交点、特殊点的坐标），转化为数学条件，建立一次函数模型，再结合实际情境分析和求解。 1．（2025•上海）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量（升和时间（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度（摄氏度）和（分钟）的关系：． （1）求与的函数关系式，并写出定义域； （2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 【答案】（1）； （2）32摄氏度． 【分析】（1）求出每分钟加水量，从而写出与的函数关系式，当时，求出对应的值，从而写出定义域即可； （2）将对应的的值代入与的关系式，求出对应的值即可． 【解答】解：（1）每分钟加水量为（升， 则， 当时，解得， 与的函数关系式及定义域为． （2）当时，， 储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度． 2．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元千克，现以8元卖出，挣得 　 　元． 【答案】． 【分析】根据图象求出函数关系式，计算售价为8元时卖出的苹果数量，即可求解． 【解答】解：设卖出的苹果数量与售价之间的函数关系式为， ， 解得：， ， 时，， 现以8元卖出，挣得， 故答案为：． 题型二 销售折扣问题 结合题意，判断函数类型，利用待定系数法求出函数解析式，再代入所给x或y值求出对应结果. 1．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买加油卡？ （2）减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式（不用写出定义域）． （3）油的原价是7.30元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 【答案】（1）900； （2）； （3）1.00． 【分析】（1）根据打九折列出算式，计算即可； （2）根据每一升油，油的单价降低0.30元知：； （3）当，可得，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可． 【解答】解：（1）由题意知，（元， 答：实际花了900元购买会员卡； （2）由题意知，， 整理得， 关于的函数解析式为； （3）当时，， ， 优惠后油的单价比原价便宜1.00元． 2．（2024•上海）某种商品的销售额（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售额5000万元．则投入80万元时，销售额为 　 　 万元． 【答案】4500． 【分析】设，根据当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售额5000万元，可得，令得． 【解答】解：设， 当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售额5000万元， ， 解得， ， 当时，， 故答案为：4500． 知识1 一次函数的应用 1. 基础形式： 2. 三类热点题型分类 1．（2026·上海闵行·二模）小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点，，都落在了线段上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度． (1)求叠放在一起的纸杯总高度（厘米）关于纸杯数量（个）的函数解析式（不写定义域）； (2)为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量． 【答案】(1)； (2)纸杯的数量为30个． 【详解】（1）解：我们可以先分析图②：6个纸杯叠放增加的高度是，所以每增加1个纸杯，高度增加， 由图①知，当时，， ∴函数解析式为； （2）解：由题意得， 解得， 答：纸杯的数量为30个． 2．（2026·上海静安·二模）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 【答案】(1)，定义域为 (2)18元 (3)200元 【分析】（1）先求出张爷爷月份共就餐的顿数，再求出总扣款的钱数，即可得出y关于x的函数解析式，根据，且，即可求出定义域； （2）求出当时的值即可得出结果； （3）先消费的总餐费标价，再结合总优惠包括政府补贴和餐费九折优惠，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，张爷爷月份共就餐（顿）， 每顿实际扣款为元，则总扣款为（元）， ∴y关于x的函数解析式为， ∵，且， ∴； （2）解：当时，， 解得：， 故他该月每餐标价是元； （3）解：设消费的总餐费标价为元， 由题意可得：， ∴， 故餐费九折优惠的金额为：（元）， ∵政府补贴80元， 故实际共获得优惠金额为（元）． 3.（2025·上海奉贤·二模）小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是_______分钟． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可． 【详解】解：由图象可知： 设的解析式为：， ∵经过点， ∴，得， ∴函数解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张到达乙地所用时间为48（分钟）； 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张比小王早到乙地的时间是（分钟）． 故答案为：12． 4．（2025·上海徐汇·二模）弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 【答案】(1)C (2)（D）处应填充： (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练应用待定系数法求出函数关系式． （1）依据题意，该函数可能是一次函数，即可得解； （2）依据题意，结合（1）可设所求函数为一次函数即可判断得解； （3）依据题意，设y关于x的解析式是，则，从而可得解析式，然后结合弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过，故，可得x的范围，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，该函数可能是一次函数， 故选：C． （2）解：结合（1）可设所求函数解析式为， 故（D）处应填充：． （3）解：设y关于x的解析式是， 由题意得：， ∴ ∴y关于x的解析式是； 又∵， ∴． ∴， 答：所挂重物的重量最多为． 考点二 反比例函数的应用 题型一 反比例函数建模 1. 反函数模型判定方法 乘积为定值，变量一增一减，图像为第一象限双曲线（如压强、载重问题） 2. 解题步骤 找定值→验变量关系→待定系数法求k→结合实际场景求最值、范围 3. 最值解题技巧 反比例实际问题中变量反向变化，一个量最大，对应另一个量最小（最大压强→最小面积、最小速度→最大载重） 1．（2025·上海普陀·二模）2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（表示体重，单位：公斤；表示身高，单位：米）成年人火女值标准见下表： 范围 胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（   ） A．数值随着体重的值的增加而减少 B．数值与体重的值之间成正比例关系 C．数值与体重的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支 D．如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数的应用，根据题意及反比例函数图象上点的坐标特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、某位成年人身高为1.6米，数值随着体重m的值的增加而增加，原说法错误，不符合题意； B、某位成年人身高为1.6米，数值与体重m的值之间成正比例关系，原说法正确，符合题意； C、某位成年人身高为1.6米，数值与体重m的值之间的函数图象为第一象限内的直线，原说法错误，不符合题意； D、某位成年人身高为1.6米，这位成年人的体重为64公斤，则数值是25，属于偏胖，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．[跨学科]（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． （1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值． （2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积． 【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入，得， 地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，， 答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米． 3．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数关系， (3)12千克 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，连线即可作图得解； （2）依据题意可得，函数是反比例函数图象，从而可设，又图象过，求出，进而可以判断得解； （3）依据题意， 8分钟内将货物运送至2400米，从而（米/秒），故可得此时机器狗能承载的最大货物重量（千克），即可得解． 【详解】（1）解：由题意，连线作图如下． （2）解：由题意可得，v与W成反比例函数关系， ∴可设， 又∵图象过， ∴． ∴， 代入上式，均符合． ∴函数关系式为． （3）解：由题意，∵8分钟内将货物运送至2400米， ∴（米/秒）． ∴此时机器狗能承载的最大货物重量（千克）． 答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克． 知识1 反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 1．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【答案】 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当和时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案． 【解答】解：设功率（单位：与做功的时间（单位：的函数解析式为， 把，代入解析式得：， 解得：， 功率（单位：与做功的时间（单位：的函数解析式为； 反比例函数的图象在第一象限内，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ， 故选：． 2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据图象中随的变化情况判断即可． 【解答】解：根据图象，当时，， 当电阻大于时，电流可能是，不可能是、或， 符合题意，不符合题意． 故选：． 3．建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：，，，为中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中，得： 解得：， 抛物线表达式为； （2）解：根据题意得：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式为， 将、两点坐标代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称， 联立， 解得， ∴， 联立， 解得：， ∴， ． 【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 4．视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 5．某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 【答案】(1)100，40，图见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据反比例函数中为定值可填表，求出函数关系式，再描点画出图象即可； （2）求出，结合（1）可得的值； （3）用表示出，再代入得关于的不等式组，即可解得答案． 【详解】（1），，补全表格如下： 120 100 60 50 40 30 5 6 10 12 15 20    阻值与压力的函数关系式为； 故答案为：100，40； （2）电流表的示数为时，， 解得， 把代入得： ， 解得， 该台秤最大可称的物体； （3），， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解，，，的关系． 考点三 二次函数的应用 题型一 拱桥问题 1．[项目式问题]（2026•宝山区二模） 【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到的距离为，矩形的边、、为支撑架的架骨，点、在边上，点、在抛物线上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）当支撑架为正方形时，求架骨的长； （3）为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 【答案】（1），为； （2）； （3）． 【分析】（1）依据题意得，顶点为，则可设抛物线为，又图象过，进而计算可以得解； （2）由四边形为正方形，则，又设，则，，故，结合在抛物线的图象上，可得，求出后即可得解； （3）依据题意，设，则，故，结合，，从而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，顶点为， 可设抛物线为， 又图象过， ． ． 抛物线的表达式为； （2）四边形为正方形， ． 设，则，， ． 又在抛物线的图象上， ． ，（不合题意，舍去）． ； （3）设，则， ． ，， ，即． 2．（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是_____米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】设该抛物线的解析式是， 由题意结合图象可知，点在函数图象上， 代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式是， 则水面上升了米，此时， ∴，解得：， 则此时水面的宽度是米， 故答案为：． 3．【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 题型二 销售问题 1．某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量，即可推导得到函数关系式． 【详解】解：每件利润为元， 实际每天销售量为：， ∴． 2．根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【答案】(1)型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， (2)A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【分析】（1）列二元一次方程求解即可； （2）根据题意，构造二次函数，求最大值即可． 【详解】（1）解：设型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， 解得：， ∴型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， （2）解：设总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系为：， 将，代入得 ， 解得：， ∴， 设A型机器人的销售单价定为万元， ∴A，B两种型号的机器人利润之和为：， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 3．某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． (1)求游客人数与门票单价的函数表达式； (2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ (3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． 【答案】(1) (2)​；单价为元时利润最大，最大利润为元 (3)；的值为 【分析】（1）用待定系数法求游客人数与门票单价的一次函数表达式即可； （2）先用待定系数法求环保费的二次函数表达式，再根据利润公式列总利润表达式，利用二次函数性质求最大值即可； （3）列出成本降低后的新利润表达式，求出对称轴，结合的取值范围确定能取到最大值的值，代入计算即可得出在此条件下利润的最大值，再将最大利润代入，解方程即可求出此时的值． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将表格中、代入，得 ， 解得， ∴游客人数与门票单价的函数表达式为； （2）解：设环保费与的二次函数关系式为，代入、，得 ， 解得 ∴， ∴ ​， ∵， ∴二次函数开口向下，函数有最大值， ∵对称轴，满足， ∴当时，， 即单价为元时利润最大，最大利润为元； （3）解：运营成本每人降低元后， ​， ∵， ∴二次函数开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴， ∴， ∵，即，， ∴当时，， 当时，， 解得， ∴当利润最大值为元时的值为． 题型三 投球问题 1．（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，投球问题(实际问题与二次函数)，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．先根据题意得出函数过，，从而可求得待定系数，求得函数表达式，代入求得函数值即可． 【详解】解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米， ∴过，， ∴， ∴， ∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为， 当时，函数有最大值为， ∴铅球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 2．（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 3．（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为__________米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 题型四 喷水问题 1．综合与实践 【项目背景】点茶是中国古代的一种沏茶方法，始于唐，盛于宋，是宋代斗茶与文人雅士日常品饮的核心沏茶技艺，其中“分茶”更是将沏茶升华为兼具实用性与观赏性的艺术．茶艺师复刻“分茶”技艺时，倒茶的水流轨迹、茶壶壶嘴造型、茶碗的移动与承接，看似是行云流水的技艺展现，实则暗藏着丰富的数学规律． 【项目准备】 模型抽象：在一次茶会上，我们将茶艺师表演“分茶”技艺时倒茶的情景抽象为如图所示的数学模型．已知茶壶壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点C，曲线与茶水轨迹在同一条抛物线上；点B、C所在直线与x轴（桌面）平行，茶碗边沿点E与壶口C的连线垂直于x轴．      核心条件： ①，； ②壶柄与竖直方向夹角为，，线段AB与壶柄平行； ③茶碗的底面直径为，碗口直径为，高度为，茶碗的侧内壁剖面图可以抽象为二次函数的部分图象，茶碗底部中心初始坐标为，茶碗碗口中心F与底部中心的连线垂直于桌面； ④当点A相对桌面的高度时，点A的横坐标为0，抛物线水流恰好经过F点，且抛物线的顶点在线段的垂直平分线上． 【项目任务】 (1)任务一：求曲线BC所在抛物线的解析式； (2)任务二：点茶时，前期调膏要低注慢淋，避免冲散茶末，因此要求茶艺师在前期注水时水流距离茶碗壁的竖直高度不得超过．判断此次倒茶过程中，水流距离茶碗壁的竖直高度是否符合要求； (3)任务三：若为了节目效果，茶碗盛水后会匀速上浮，上浮速度为，同时沿x轴正方向以的速度平移．茶艺师手持茶壶竖直向上平移（横坐标不变），平移高度为，平移后茶水轨迹为原抛物线竖直平移后的图形．设茶碗移动时间为，当茶水轨迹经过茶碗上沿点E处时，分茶效果最佳，因此要求茶水落点始终在茶碗边沿E，求h与t的函数关系式，并求出当时，点A距离桌面的高度． 【答案】(1) (2)符合要求，见解析 (3)，当时，，此时A距离桌面的高度为． 【分析】（1）根据题意得到和，求出对称轴为，求出，将和代入，即可得到答案； （2）由题意可知，，，求出EG解析式为，得到，求出对称轴为，即可得到答案； （3）平移后的解析式为，，将代入平移后抛物线解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ，线段AB与壶柄平行， 的水平增量为，竖直增量为， ， ， ， 中点横坐标为，对称轴为， ， 底面直径为，碗口直径为，高度为， ， 设抛物线解析式为， 将和代入， ， 解得， ； （2）解：由题意可知，，， 故茶碗内壁侧面抛物线EG解析式为． ， 对称轴为，且． 当时，，故符合要求； （3）解：平移后的解析式为，， 将代入平移后抛物线解析式为， 得， 当时，，此时A距离桌面的高度为． 2．如图（1）市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地高度为1.6米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底部边线的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方．当米时，请通过计算说明上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．如不能，喷水车应该怎样操作才能恰好使整个绿化带都被浇灌． 【答案】(1)上边缘喷出水的最大射程为8米 (2)当米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动米或使米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌 【分析】（1）易得上边缘抛物线的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点H的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式，取，求得合适的x的值，即为上边缘喷出水的最大射程； （2）易得点E的横坐标为7，取，代入（1）中得到的解析式，求得y的值，与的高0.9比较即可判断上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌． 【详解】（1）解：根据题意可得：喷水口的坐标为，上边缘抛物线的最高点A的坐标为， 设上边缘抛物线的解析式为： 将代入得：， ， 解得． 因此，上边缘抛物线的解析式为： 当时，， （舍），． 即米． 答：上边缘喷出水的最大射程OC为8米． （2）解：因为绿化带水平宽度米，竖直高度米． 所以，当时， 当时：（米）米 当时：（米）米 因为时，，所以上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌． 解决方法： 设抛物线向右平移个单位，则关系式为 将代入上边缘函数关系式，得： （舍）， （米） 当米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动米或使米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌 题型五 二次函数建模 1．（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 2．某数学兴趣小组开展综合与实践活动，记录如下： 活动主题 测量帐篷内自由活动区的面积 活动准备 1．准备皮尺等测量工具； 2．查阅并绘制帐篷的示意图． 方案示意图 图1某帐篷的示意图，该帐篷是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的（点B在直线l上，点A在水平地面上，曲线段为抛物线上的一段曲线，点B为抛物线的顶点）． 采集数据 ①帐篷的底圆半径是； ②帐篷最高点B距离地面． 确定思路 以直线l与地面交点为坐标原点，以水平地面所在的直线为x轴，以直线l为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，点B为抛物线的顶点，点A在x轴上，点C为抛物线上一点，轴于点D． 备注 某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)某同学的身高是，求他在帐篷内自由活动区的面积（结果保留π） 【答案】(1) (2)他在帐篷内自由活动区的面积 【分析】（1）可设抛物线的顶点式表达式，代入点A的坐标求解参数，得到抛物线表达式． （2）先将身高对应的y值代入抛物线表达式，求出对应的值，再利用圆的面积公式计算面积． 【详解】（1）由题意得，，， 设抛物线表达式为， ∴， ∴， ∴抛物线表达式为； （2）当时，， ∴， ∴自由活动区的面积为， 答：他在帐篷内自由活动区的面积． 知识1 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1．（2025•浦东新区模拟）某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为　 　 ． 【答案】． 【分析】用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可． 【解答】解：根据题意得：二次函数经过，， ， 解得， 二次函数解析式为， 当时，， 第三年的增长率为， 故答案为：． 2．（2025•宝山区模拟）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分．某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是1.8米，水平距离3米时达到最大高度，最大高度为3.2米． （1）如图，以该学生所在直线为轴，球落地的水平距离所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）； （2）若实心球落地后距离投掷点8.4米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分． 【答案】（1）； （2）这名同学实心球成绩不能得满分，计算见解析． 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与8.4比较即可． 【解答】解：（1）由题意，可设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得． 该实心球运动时符合的抛物线解析式为； （2）令， 解得（负值已舍去）， 实心球出手点与着陆点的水平距离为7.5． 这名同学实心球成绩不能得满分． 3．（2025•浦东新区三模）某企业生产一种新产品，每件成本50元．由于新产品市场占有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，图销售量（件与月份（月满足一次函数关系；随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量（件与月份（月满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）已知去年1至6月每件该产品的售价（元与月份之间满足函数关系：，为整数），除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费元，与月份之间满足函数关系：，为整数）从1月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在第6月的水平．去年1至12月，该产品在第几月获得最大利润？丙求出最大利润． 【答案】（1）；；（2）12月获得的利润最大，这个最大值为11660元． 【分析】（1）依据题意，设出一次函数与二次函数解析式，利用待定系数法求出即可； （2）依据题意，利用获得的利润（每件产品的利润额外支出的杂费）月销售量，列出函数分段对比即可． 【解答】解：（1）由题意，设，把，，代入解析式得， ， ． ； 把代入得； 设， 把代入得， 得， ． （2）由题意，设所获得的利润为， 当时， ； 在4月份时，获得的最大利润为8100元； 当时， ， 随增大而增大， 当时，获得的利润最大，最大利润为元； 综上，12月获得的利润最大，这个最大值为11660元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $