精品解析：山东省临沂市平邑县金银花实验学校2025-2026学年八年级数学下学期期中素养监测

山东省临沂市平邑县金银花实验学校2025-2026学年八年级数学下学期期中素养监测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，对角线，交于点O，若，且的周长比的周长多2，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 5. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 6. 若有意义，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……，依此类推，第2021个三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（ ） A. 12千米 B. 16千米 C. 20千米 D. 24千米 9. 如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 10. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为__________． 12. 一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的5倍，则这个多边形的每个内角为________． 13. 如图，用一个面积为的正方形（图中阴影部分）和四个相同的长方形拼成一个面积为的正方形图案，这个长方形的周长为______cm． 14. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，P为上一点，连接，若四边形的面积为，纸条的宽为3，，则的长是___． 15. 如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则__________． 16. 如图，正八边形的边长为2，延长和交于点，则______． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，，解答下列各题： （1）求的值； （2）求的值． 19. 如图，在四边形中，分别是边的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，则四边形的周长为_________． 20. 某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域．     （1）求证： （2）教学楼会受噪声影响吗？为什么？ （3）若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 21. 阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）化简______；______．（） （2）方法迁移，解决变式问题：化简______． （3）化简：． 22. 如图①，如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N． （1）求证：； （2）如图②，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状． 23. 已知，四边形是菱形，对角线交于点，点是直线上一点． （1）如图1，若，，点是线段中点，连，直接写出的长（不需要说明理由）； （2）如图2，若为等边三角形，点为线段上任一点（异于点），点为边上一点，且，求的值； （3）如图3，若为等边三角形，点在的延长线上，点在的延长线上，，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市平邑县金银花实验学校2025-2026学年八年级数学下学期期中素养监测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的意义可得，求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 2. 以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】A、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意； D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知的三边满足，则是直角三角形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的加减运算．只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， B、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， C、，故该选项符合题意， D、，故该选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，在中，对角线，交于点O，若，且的周长比的周长多2，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，熟练掌握平行四边形性质是解答的关键．先根据平行四边形性质得到，再根据已知得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵的周长比的周长多2， ∴，即， ∴， 故选：B． 5. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形对角线的性质，根据规律：从边形的一个顶点出发的所有对角线，会将多边形分成个三角形，据此列方程求解即可得到边数. 【详解】解：∵从边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，题目中分成个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：． 6. 若有意义，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，得到a，b的取值范围，再利用二次根式的性质化简求解. 【详解】解：∵二次根式有意义要求被开方数为非负数，原式有意义， ∴， 由得，即； 由得，即， ∴， ∴． 7. 如图，已知的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……，依此类推，第2021个三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长，再总结规律，然后根据规律解答即可． 【详解】解：如图： ∵D、E、F分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴的周长， ∴第三个三角形的周长是， 同理可得，第四个三角形的周长是……， ∴第2021个三角形的周长是． 8. 如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（ ） A. 12千米 B. 16千米 C. 20千米 D. 24千米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 9. 如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明即可． 【详解】∵点分别在轴，轴正半轴上，点分别在轴，轴负半轴上， ， ∵四边形都是矩形，， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】先由矩形的对边得，结合折叠性质推得四边形四边相等，证得它是菱形，结论①正确；若平分，需满足直角三角形的特殊边长关系，该条件并非必然成立，结论②错误；当与重合时，设，用勾股定理列方程求得，再构造直角三角形计算得，结论③正确；最后分析临界位置：与重合时取最小值，与重合时取最大值，故，结论④正确． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故结论①正确； ②若平分，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 此时需满足，该条件并非必然成立，故不一定平分，结论②错误； ③当点与点重合时，设，则， 在中，由勾股定理得，即，解得， ∴，，即菱形的边长为． ∵， ∴，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，故结论③正确； ④当点与点重合时，取得最小值； 当点与点重合时，四边形是正方形， ∴，此时，即取得最大值， ∴线段的取值范围为，故结论④正确； 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列出方程，解方程求出a，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则， ， 故答案为：． 12. 一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的5倍，则这个多边形的每个内角为________． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，外角和，抓住内角，外角的关系列方程是解题的关键．设多边形的一个内角的度数是，则每个外角的度数为，根据内角和是外角和的5倍，可得每一个内角的度数是每一个外角度数的5倍，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设多边形的一个内角的度数是，则每个外角的度数为， 根据题意，得每一个内角的度数是每一个外角度数的5倍， 则， 解得， 则这个多边形的每个内角为． 故答案为：． 13. 如图，用一个面积为的正方形（图中阴影部分）和四个相同的长方形拼成一个面积为的正方形图案，这个长方形的周长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用．根据图形先求出大、小正方形的边长，结合图形求得长方形的长和宽，根据矩形的周长公式解答即可． 【详解】解：依题意，得： 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∴长方形宽为：， 长方形的长为：， ∴长方形的周长为：． 故答案为：． 14. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，P为上一点，连接，若四边形的面积为，纸条的宽为3，，则的长是___． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过作 ,过B作,则；由三角形的面积可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理可得，最后运用勾股定理即可解答 【详解】解：如图：过作 ,过B作, 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确做出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键． 15. 如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据题意先求出，，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，正八边形的边长为2，延长和交于点，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正八边形求出每一个外角的度数，证明是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出，即可求出面积． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， ， 正八边形的边长为2， ， 求出， ． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简根式，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）先根据完全平方公式及平方差公式展开，再合并即可得到答案； 【小问1详解】 解：原式； ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【点睛】本题考查化简二次根式及实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握， ． 18. 已知，，解答下列各题： （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）19 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化． （1）先进行分母有理化，再进行加减即可； （2）利变形为，再代入求值即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：由（1）知 ，， ． 19. 如图，在四边形中，分别是边的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，则四边形的周长为_________． 【答案】（1）见解析 （2）13 【解析】 【分析】（1）根据题意可知分别为的中位线，再利用中位线的性质可得，，进而可得四边形是平行四边形； （2）利用中位线定理可知，，再代入计算周长即可． 【小问1详解】 证明：分别是边的中点， 分别为的中位线， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）知， 又分别是边的中点， 分别为的中位线， ， 则四边形的周长为． 20. 某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域．     （1）求证： （2）教学楼会受噪声影响吗？为什么？ （3）若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 【答案】（1）证明见解析； （2）教学楼会受噪声影响，原因见解析； （3）货车影响教学楼持续的时间为． 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论； （3）设当时，正好影响教学楼，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据时间路程速度即可得解． 【小问1详解】 证：依题得：，， ， 即， ； 【小问2详解】 解：作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响； 【小问3详解】 解：如图，当时，正好影响教学楼， 中，， ， 同理可得， ， 货车的速度为， 货车影响教学楼持续的时间为． 21. 阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）化简______；______．（） （2）方法迁移，解决变式问题：化简______． （3）化简：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】根据题目所给的方法进行分母有理化并化简，有同类二次根式的要进行合并． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 22. 如图①，如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N． （1）求证：； （2）如图②，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理以及平行线的性质和等腰三角形的判定．通过添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． （1）取的中点H，连接，利用三角形中位线定理和平行线性质完成即可； （2）如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，即可证明是等腰三角形． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是等腰三角形； 证明：如图，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 23. 已知，四边形是菱形，对角线交于点，点是直线上一点． （1）如图1，若，，点是线段中点，连，直接写出的长（不需要说明理由）； （2）如图2，若为等边三角形，点为线段上任一点（异于点），点为边上一点，且，求的值； （3）如图3，若为等边三角形，点在的延长线上，点在的延长线上，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知菱形的性质和等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）延长到T，使得，连接，根据菱形对角线互相垂直平分得到的长，，再由勾股定理求出的长，证明是的中位线，则有； （2）由菱形的性质可得，，，再由等边三角形的性质得到，，证明，得到；利用勾股定理推出，据此可得答案； （3）由（2）可得，则，据此可证明；再证明，得到，导角证明，即可得到是等边三角形． 【小问1详解】 解：如图所示，延长到T，使得，连接， ∵四边形是菱形，对角线交于点， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点是线段中点，， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，对角线交于点， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：是等边三角形，理由如下： 由（2）可得，， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $