考前45天系统沉淀训练17 统计与统计案例——2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦统计全流程，以真实情境为载体，系统覆盖抽样、估计、相关、回归、独立性检验五大模块，强化数据观念与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机抽样|2题|分层抽样计算、系统抽样编号|从数据收集切入，建立抽样方法与样本代表性的关联| |用样本估计总体|7题|百分位数、众数、频率分布直方图分析|通过样本数字特征与图表，实现对总体的推断| |相关与回归|4题|相关系数计算、回归方程应用与残差分析|从相关关系识别到回归模型构建，形成预测逻辑| |独立性检验|3题|列联表分析、卡方检验及应用|基于数据推断变量关联性，培养统计决策意识|

2026高考前45天 系统沉淀训练17 统计与统计案例（学生版） 主要考点：【1】随机抽样；【2】用样本估计总体；【3】变量间的相关关系；【4】回归分析；【5】独立性检验. 一、单选题 1．（2026·河南开封·二模）某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的4000张图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．160 2．（2026·天津·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 3．（2026·湖北宜昌·二模）有一组样本数据，其中．已知，设函数．则的最小值为（    ） A．19 B．100 C．190 D．200 4．（2026·河南周口·模拟预测）一组从小到大排列的数据：，，，，.若它们的第百分位数比平均数大，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东济南·二模）某机构用不同的人工智能系统对一幅素描作品进行评分，得到7个数据．去掉一个最高分和一个最低分后，得到的5个数据与原始数据相比一定不变的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 6．（2026·湖南·三模）一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（    ） A．40 B．39 C．36 D．35 7．（2026·河北邯郸·二模）已知一组数据：，1，2，3，4，5，17，若该组数据的第80百分位数为5，平均数不小于5，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 二、多选题 9．（2026·广东深圳·二模）某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（   ） A．变量与正相关 B． C．样本数据的下四分位数为1.8 D．当时，的预测值为4.1万元 10．（2026·河南郑州·二模）某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（    ） A．的值为0.04 B．估计样本成绩的众数约为85 C．估计样本成绩的上四分位数约为87.5 D．若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于90分 11．（2026·江苏·二模）下列说法正确的是（    ） A．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 B．已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 C．设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D．若样本数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为______. 13．（2026·湖南怀化·模拟预测）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成下面的频率分布直方图，则______；x的第80百分位数为______. 14．（2026·山东·一模）计划从560袋某品牌食品中抽取8袋进行质量检测，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1~560，并对编号依次分段，若抽出的编号中含有550，则从第1个号码段中抽出的编号应是______． 四、解答题 15．（2026·湖南·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数． (1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 16．（2026·江西新余·二模）在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． (1)求的值； (2)若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数； 17．（2026·安徽淮北·一模）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为元，当天以每个元售出，若当天白天售不出，则当晚后以元个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完． (1)若蛋糕店每天做个生日蛋糕，写出当天的利润单位：元关于当天蛋糕需求量 单位：个，的分段函数关系式； (2)蛋糕店记录了天生日蛋糕的日需求量单位：个整理得下表： 日需求量 频数 天 日利润 （i）假设蛋糕店在这天内每天制作个生日蛋糕，求，，，及这天的日利润单位：元的平均数； （ii）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕，以天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于元的概率． 18．（2026·山东泰安·二模）为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 (1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ (2)估计该校高三学生日均运动时间的平均数； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 附，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（2026·湖南·三模）在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表： 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 (1)分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由． (2)根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考前45天 系统沉淀训练17 统计与统计案例（详解版） 主要考点：【1】随机抽样；【2】用样本估计总体；【3】变量间的相关关系；【4】回归分析；【5】独立性检验. 一、单选题 1．（2026·河南开封·二模）某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的4000张图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．160 【答案】B 【详解】已知四类图片的数量之比为，则厨余垃圾图片占总图片数量的比例为， 有害垃圾图片占总图片数量的比例为. 因为采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，所以抽到的厨余垃圾图片数量为， 抽到的有害垃圾图片数量为. 由题意可得，解得. 2．（2026·天津·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【分析】借助分层随机抽样定义计算可得A；分别计算出购买燃油车的人数与购买新能源车的人数可得B；利用独立性检验定义可得C、D. 【详解】对A：，故新能源车主有人，故A错误； 对B：购买燃油车的人数为， 购买新能源车的人数为， 则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误； 对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联， 由，故此推断犯错误的概率不大于，故C正确、D错误. 3．（2026·湖北宜昌·二模）有一组样本数据，其中．已知，设函数．则的最小值为（    ） A．19 B．100 C．190 D．200 【答案】C 【分析】将所求函数式展开，代入已知条件，转化成二次函数求最小值问题. 【详解】因为， 而，则得. 所以当时，. 4．（2026·河南周口·模拟预测）一组从小到大排列的数据：，，，，.若它们的第百分位数比平均数大，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据百分位数定义求第百分位数，再由条件列方程求即可. 【详解】 因为， 所以第百分位数为第项和第项数据的平均值， 又这组数据的平均数为 ， 由已知 ，故， 解得，满足， 因此. 5．（2026·山东济南·二模）某机构用不同的人工智能系统对一幅素描作品进行评分，得到7个数据．去掉一个最高分和一个最低分后，得到的5个数据与原始数据相比一定不变的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】根据中位数的定义即可求解. 【详解】根据题意，将7个数据从小到大排列，去掉一个最高分和最低分，得到5个有效评分，原始数据和有效评分相比，最中间的数没有发生改变，所以中位数不改变. 6．（2026·湖南·三模）一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（    ） A．40 B．39 C．36 D．35 【答案】D 【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16， 因为，所以第60百分位数为19， 所以众数与第60百分位数之和为. 7．（2026·河北邯郸·二模）已知一组数据：，1，2，3，4，5，17，若该组数据的第80百分位数为5，平均数不小于5，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由百分位数计算公式确定，再结合平均数计算公式即可求解. 【详解】这组数据共个，因为， 则第个数据为第80百分位数， 由题意第80百分位数为，说明从小到大排序后，第个数是， 若，则第80百分位数为或17，不符合题意，因此， 又平均数不小于，则，即， 综上可得，. 8．（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 【答案】D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归方程为过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 二、多选题 9．（2026·广东深圳·二模）某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（   ） A．变量与正相关 B． C．样本数据的下四分位数为1.8 D．当时，的预测值为4.1万元 【答案】ABD 【分析】根据回归系数，可判定A正确；根据回归直线方程经过样本中心，列出方程，求得的值，可判定B正确；根据百分位数的计算方法，可判定C错误；根据回归直线方程，求得预测值，可判定D正确. 【详解】对于A，由回归直线方程，可得， 所以变量与正相关，所以A正确； 对于B，因为回归直线方程经过样本中心， 因为，所以， 又由，解得，所以B正确； 对于C，将样本数据的数据排序为：， 由，则样本数据的下四分位数为第个数据，所以C不正确； 对于D，当时，，所以的预测值为万元，所以D正确. 10．（2026·河南郑州·二模）某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（    ） A．的值为0.04 B．估计样本成绩的众数约为85 C．估计样本成绩的上四分位数约为87.5 D．若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于90分 【答案】ABC 【分析】由所有矩形的面积和为1，求出的值，即可判断A；由众数的定义求出其值，即可判断B；求出上四分位数，即可判断C；由题意可得绩不低于90分的同学占总体的，即可判断D. 【详解】对于A，由题意可得， 解得，故A正确； 对于B，设样本的众数为，则，故B正确； 对于C，设样本成绩的上四分位数为， 由题意可得， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为成绩不低于90分的同学占总体的，不满足题意，故D错误. 11．（2026·江苏·二模）下列说法正确的是（    ） A．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 B．已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 C．设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D．若样本数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为 【答案】AC 【分析】由残差的意义判断A；求出样本点的残差判断B；由题意可得，由独立事件的定义判断C；求出新数据的方差判断D. 【详解】对于A，回归分析中，残差平方和是实际值与预测值差的平方和，其值越小说明预测值与实际值越接近，拟合效果越好，故A正确； 对于B，残差定义为观测值(实际值)减去预测值，即，对于样本点，预测值， 所以其残差为，故B错误； 对于C，因为，所以，所以事件与事件相互独立，故C正确; 对于D，因为样本数据，，…，的方差为， 即，为数据，，…，的平均数， 设数据，，…，的平均数为， 则， 所以数据，，…，的方差为： ，故D错误. 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为______. 【答案】/ 【分析】根据相关系数的计算公式分别计算数据即可. 【详解】因为，， 则， ， 所以. 故答案为：. 13．（2026·湖南怀化·模拟预测）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成下面的频率分布直方图，则______；x的第80百分位数为______. 【答案】 / / 【详解】由图知，解得， 设销售额的第80百分位数为m，又， ，且，解得. 14．（2026·山东·一模）计划从560袋某品牌食品中抽取8袋进行质量检测，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1~560，并对编号依次分段，若抽出的编号中含有550，则从第1个号码段中抽出的编号应是______． 【答案】60 【分析】由系统抽样操作步骤即可求解. 【详解】由，可知每组70袋，且抽出的编号间距为70， 又550为第8组数据， 所以第一个号码段抽出的编号为， 故答案为：60 四、解答题 15．（2026·湖南·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数． (1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 【答案】(1)12，650 (2) (3)710亿元 【分析】（1）利用平均数的计算方法求和. （2）将所给数据代入相关系数计算公式进行计算即可. （3）根据线性回归方程必过样本中心点确定的值，再利用回归方程进行预测即可. 【详解】（1）平均每年的研发投入为 平均每年的营业额为 ． （2）将所给数据代入相关系数计算公式得 ． 其中，所以. （3）由题意知，回归直线过样本中心点，即，解得． 所以回归方程为．将代入回归方程，得，故预测该公司今年的营业额为710亿元． 16．（2026·江西新余·二模）在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． (1)求的值； (2)若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得答案. （2）先求出成绩小于70分的频率，根据总人数，即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1， 可得，解得. （2）由图象可得，成绩小于70分的频率为， 则成绩小于70分的人数为. 17．（2026·安徽淮北·一模）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为元，当天以每个元售出，若当天白天售不出，则当晚后以元个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完． (1)若蛋糕店每天做个生日蛋糕，写出当天的利润单位：元关于当天蛋糕需求量 单位：个，的分段函数关系式； (2)蛋糕店记录了天生日蛋糕的日需求量单位：个整理得下表： 日需求量 频数 天 日利润 （i）假设蛋糕店在这天内每天制作个生日蛋糕，求，，，及这天的日利润单位：元的平均数； （ii）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕，以天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于元的概率． 【答案】(1) (2)（i），，，，平均数；（ii） 【分析】（1）根据已知得出分段函数解析式； （2）（i）应用频率计算求解平均数；（ii）应用已知频率计算求解. 【详解】（1）当日需求量时，利润； 当日需求量时，利润； 利润关于当天需求量的函数解析式 （2）（i）由（1）得，，，， 这天的日利润的平均数为： ， （ii）当天的利润不少于元，当且仅当日需求量不少于个， 故当天的利润不少于元的概率为． 18．（2026·山东泰安·二模）为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 (1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ (2)估计该校高三学生日均运动时间的平均数； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 附，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)人 (2)小时 (3)根据小概率值的独立性检验，能认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联 【分析】（1）应用已知比例关系计算求解； （2）应用已知数据计算100名学生日均运动时间的平均数，即可求解； （3）先列表格计算，再与临界值比较判断求解. 【详解】（1）因为抽取的100人中日均运动时间不足1小时的人数占比为， 所以该校2000名学生中日均运动时间不足1小时人数约为人； （2）该校名学生日均运动时间的平均数约为 ， 所以该校高三学生日均运动时间的平均数为小时； （3）作出列联表如表所示 日均运动时间 合计 男 25 30 55 女 35 10 45 合计 60 40 100 零假设：“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 19．（2026·湖南·三模）在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表： 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 (1)分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由． (2)根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有关，理由见解析 (2)无关 【详解】（1）逻辑推理任务中信号同步的频率，创造性想象任务中信号同步的频率， 思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即； （2）零假设：思维任务类型与信号同步性无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $