2026年中考数学模拟猜题卷（湖北省卷专用）

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，绝对值最大的是（    ） A．2 B．0 C． D． 2．榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，体现中国传统文化和智慧，榫卯结构中，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫、卯”的实物图，“榫”的主视图和左视图如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是化学元素周期表中原子序数为的元素，从中随机选取一种元素，则这种元素恰好是非金属元素的概率是（    ） A． B． C． D． 5．老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置，则一定没有被书本遮住的点是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知斜面与水平面的夹角，一个木块静止在斜面上，其所受重力G方向竖直向下，支持力F方向垂直于斜面向上．若表示G与F两个方向之间的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少．现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数 B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加 C．当时，平均每人分到粮食12千克 D．这批粮食总量有500千克 9．如图，内接于，且圆心O在上，以点A为圆心，任意长为半径作弧分别交，于E，F两点，再以F为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连接并延长交于D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．点在该函数图象上 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．在某次演习中，我国火箭军成功发射了一枚“东风”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风”导弹的平均速度为__________米/秒． 12．若点和是一次函数图象上的两点，则____．（填“”“ ”“ ”） 13．扬州某古典园林内一矩形花圃面积为，长为，则宽为_________（其中）． 14．计算的结果是________． 15．抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，下列五个结论： ①； ②； ③若且，则； ④对任意实数，不等式恒成立； ⑤若一元二次方程两根为，则． 其中正确的是_______（填写序号）． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 计算：． 17．（6分） 已知：如图，点为平行四边形对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．求证：． 18．（6分） 在当今快速发展的时代，科技的力量不断重塑着各个领域的运作方式，无人驾驶的机械简称“无人机”，是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的设备，在航拍、农业、植保、灾难救援、监控测绘等领域都有应用．无人机搭载的高清摄像头和先进的图像识别系统，使其能够捕捉到高速公路上的每一个细节，为高速公路的管理与维护带来了诸多显著好处．为加强交通秩序管理，整治超速现象，某地区交通部门在重点路段采用雷达测速抓拍，如图，一架监测无人机位于道路正上方的点C处，其到道路的垂直距离为，有一辆货车沿方向行驶，无人机第一次抓拍时，货车处于点B的位置，此时测得货车的俯角为；无人机第二次抓拍时，货车行驶至点D的位置，测得俯角为．两次监测的时间间隔为．若该路段限速，超速未超过时，采取警告措施，超过，则需要缴纳罚款，请通过计算说明该司机是否需要缴纳罚款．（图中所有点在同一平面内，参考数据：） 19．（8分） 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： (1)统计表中，________，________； (2)统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为________，估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数为________人； (3)该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从2名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的四名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率． 20．（8分） 综合与实践：数学与音乐 【问题背景】制作尤克里里 尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定． 【建立模型】 小州设计了如下确定品丝（如图1的）位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为，以为直角边构造，在上截取．，在处确定第一根品丝，则第一根品丝的对应有效弦长为，过作交于点，接着在上截取，在处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为，以此类推确定后续品丝位置．在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取长为，长为． 【求解模型】 (1)求； (2)求第一根品丝的有效弦长及． 【检验模型】 (3)制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置到弦桥B的长度约为，若允许偏差是，请判断该品丝是否合格，并说明理由． 21．（8分） 如图，在中，，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为6，求的长． 22．（10分） 钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日  天气：阴  能见度：1.8千米 11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”． 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画． (1)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度． (2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？ (3)小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度） 23．（11分） 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 24．（12分） 已知二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．    (1)直接写出这个二次函数的解析式； (2)如图1，连接，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点，为轴上方的抛物线上两点（点在点的右边），直线、与轴分别交于，两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学模拟以猜题卷卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 5 6 8 9 10 D B B C A D D D B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.8.5×10 12.< 13.（x-2y月 14. x-2 15.①②④⑤ 三、解答题（本大题共9个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(6分) 【详解】解：原式=√2-1+1+(-3)(3分) =2-3,(6分) 17.(6分) 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD‖BC, ∴∠EA0=∠FC0,∠OEA=∠OFC, :点O为对角线AC的中点， .A0=CO, .aAOE≌aCOF(AAS),(3分) .AE=CF, .AD-AE BC-CF, .DE=BF.(6分) 18.(6分) 【详解】解：如图， 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ----…E D B 由题意，得∠A=90°，∠BCE=34°，∠DCE=45°，AC=67m,CE∥AB, ∠ABC=∠BCE=34°，∠ADC=∠DCE=45°，(1分) LACD=90°-∠ADC=90°-45°=45°=∠ADC, .AD=AC=67m,(2分) 在Rt△ABC中，：tan∠ABC=AC AB' AB=AC、67 tan34e≈0.67 =100(m,(4分) .BD=AB-AD=100-67=33m, v,=3=1(ms)=39.6(kmh),(5分) 33 :30x1+10%）=33km/h,39.6>33, ∴.该司机需要缴纳罚款.(6分) 19.(8分) 【详解】(1)解：：喜欢排球的有12人，占样本的10%， :样本容量为12÷10%=120； ·a=120×25%=30(人)，(1分) b=120-30-12-36-18=24(人)；(2分) (2)解：足球所对应扇形的圆心角的度数为18×360=54°(3分) 120 500×36=150(人)：(4分) 120 (3)设2名喜欢乒乓球分别为A,B、1名喜欢羽毛球为C,1名喜欢篮球的为D, 从四名学生中随机抽取2人，列树状图如下： 开始 术术术术 (4分) B C D A C D A B D A B C 2/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则从四名学生中随机抽取2人共有12种，其中2名同学都是喜欢乒乓球有2种， 所以被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率为2=】.(8分) 126 20.(8分) 【详解】(1)解：P2⊥AB, ∴∠QPB=∠CAB=90°. 又∠B=∠B, .△ACBn△PQB. :4B=AC=20 PBPg19·(2分) (2)解：由(1)得4B-20 PB19' .AP=AC=20, 9,即P+2020 :.AP+PB 20 PB PB 19 解得PB=380(mm. 在RtAPO,B中，tanB=2=19_1 PB38020·(5分) (3)解：合格，理由如下： PP2=P21=19, ∴.PB=PB-PP=380-19=361. 在Rt△PQ,B中， .P22=PB.tanB=361× 1=18.05 2 .PB=B-P2=PB-P02=361-18.05=342.95. 342.95-342=0.95mm. -2<0.95<2, 该品丝合格.(8分) 21.(8分) 【详解】(1)证明：如图，连接0D, 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D :⊙0与AB相切于点D, .OD⊥AB, .∠AD0=90°， .∠A+∠A0D=90°， :∠ACB=90°， ∴∠A+LABC=90°， ∠ABC=∠AOD, DE=DE .∠A0D=2∠ACD, ∠ABC=2∠ACD;(4分) (2)解：：⊙0的半径为6， .0C=0D=6, ∴A0=AC-0C=16-6=10, :∠AD0=90°， AD=VA02-0D2=V102-62=8, :∠AD0=∠ACB=90°，∠A=∠A, .△AOD∽△ABC, .OD_AD BCAC,即68 BC16' BC=12.(8分) 22.(10分) 【详解】(1)解：：11：40到1210经过的时间是30分钟， .点B(30,0),即m=30, :潮头从甲地到乙地的速度为12=04（千米/分钟）.(2分) 30 (2)解：：潮头的速度为0.4千米/分钟， :11:59时，潮头已前进19×0.4=7.6（千米）. 此时潮头与乙地之间的距离为12-7.6=4.4（千米）. 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设小红出发x分钟后与潮头相遇 依题意，得0.4x+0.48r=4.4, 解得x=5, :.小红5分钟后与潮头相遇.(5分) (3)解：把点B30,0),C(55,15)代入s=+M+c, 125 〔1 ×302+30b+c=0 得 125 1 ×552+55b+c=15 125 解得b=- 24 25’c 5 224 .S= -t- 125255 又.。=0.4， 5-0+ 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即v=0.48时， 3-0号=048. 解得1=35， 12-2-24=11 则当1=35时，s=125-25-55' 即潮头从开始加速到刚斑超过小红时离乙地的距离为}干米。(10分) 23.(11分) 【详解】(1)：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， .AG=AE,AD=AB,∠GAE=∠DAB=90°， :∠GAE-∠DAE=LDAB-∠DAE, ∠GAD=LEAB, 在△GAD和△EAB中， AG=AE ∠GAD=∠EAB, AD=AB :△GAD≌△EAB(SAS), 5/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DG=BE,∠ADG=∠ABE, 如图2，延长BE交GD于点M,交AD于点N, D C M E :∠DNM=∠ANB,∠ABN+∠ANB=90°， A B 图2 ·∠DNM+∠ADG=90°， ∠DMN=90°， ·直线DG与BE的夹角度数为90°， 故答案为：DG=BE,90°；(2分) (2)DG=BE;直线DG与BE的夹角度数为60°；理由如下： :四边形ABCD和四边形AEFG是菱形， AG=AE,AD=AB,∠GAE=LDAB=60°， .∠GAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE, ∠GAD=LEAB, :在△GAD和△EAB中， AG=AE ∠GAD=∠EAB, AD=AB :△GAD≌△EAB(SAS), DG=BE,∠ADG=∠ABE, 如图3，延长BE交DG的延长线于点H,交AD于点T, D G :∠DTH=∠ATB,∠H+∠DTH+LADG=180°， B 图3 ∠DAB+∠ATB+∠ABT=180 :∠H=∠DAB=60°， :直线DG与BE的夹角度数为60°；(6分) (3)如图4，：CE≥AC-AE 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·.当点E在AC上时，线段CE取得最小值， 连接BD,交AC于点O, G 0 C:四边形ABCD是菱形，LDAB=60°， B 图4 .∠0AB=30°，∠A0B=90°，AC=2A0, AB=2, ..OB=14B=1, 2 :0A=VAB2-0B2=V5, AC 20A 23, :AE=48=1, ·CE=AC-AE=2V3-1, 即线段CE的最小值为2√5-1.(11分) 【点晴】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定 理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键， 24.(12分) 【详解】(1)解：：二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(-3,0),B(1,0)两点， 0=9a-3b+3 y=a+b+3 a=-1 解得b=2 :.这个二次函数的解析式为y=-x2-2x+3;(3分) (2)解：如图，当点P在射线CA上时，连接BP,交CQ于R, 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 令x=0,则y=3, C(0,3, .设直线AC的解析式为y=x+3, 将A(-3,0)代入得0=-3k+3,解得k=1, .直线AC的解析式为yx3, :点B和点Q关于CQ对称， :CP=CB, 设P(,t+3, 由CP2=CB2得，22=10， t=-V5,t2=√5（舍去）. :p-5,3-5. :PQ∥BC, CR_BR=1, OR PR .CR=OR :.四边形BCPQ是平行四边形， :1+(-5-0=1-5,0+3-5)-3=-5, :01-5,-5): 如图，当点P在AC的延长线上时， 8/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P O B 由上可知：P(5,3+⑤，同理可得：Q1+V5,⑤： 综上所述：点0的坐标为1-5，-5)或1+V5,5);(7分) (3)解：直线GH经过定点 2-3 理由如下： G 设Gm,-m2-2m+3,H(n,-n2-2n+3, 设直线GH的解析式为y=x+d, mk+d=-m2-2m+3 则 nk+d=-n2-2n+3' [k=-m-n-2 解得： d=mn+3' 直线GH的解析式为y=(←m-N-2)x+mn+3, 同理可得：直线AG的解析式为y=-(m-1)(x+3), 直线AH的解析式为y=-(n-I)(x+3), 令x=0,则ys=-3(m-1),y7=-3(n-1), .0S=-3(m-1),0T=-3(n-1), 0S.0T=6, .-3(m-1)×[-3(n-10]=6, :-m-n=-m-3 1 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 代入直线GH的解析式将y=(mn-写2+mn+3, :当x=1时，y= 3 .直线GH经过定点 (12分) 10/10 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，绝对值最大的是（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义计算出每个数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得到结果． 【详解】解：，，，， 又 ∵ ， ∴ 绝对值最大的数是． 2．榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，体现中国传统文化和智慧，榫卯结构中，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫、卯”的实物图，“榫”的主视图和左视图如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得“榫”的俯视图的圆内都为虚线，选项B正确． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式，逐一判断即可． 【详解】解：A：与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项不合题意． 4．如图是化学元素周期表中原子序数为的元素，从中随机选取一种元素，则这种元素恰好是非金属元素的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从中随机选取一种元素，共有种等可能结果，其中这种元素恰好是非金属元素的情况有氢、氦、硼种结果， 从中随机选取一种元素，则这种元素恰好是非金属元素的概率是． 5．老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置，则一定没有被书本遮住的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，书本遮住的点位于第一、三、四象限． A、点位于第二象限，一定没有被书本遮住； B、点位于第四象限，有可能被书本遮住； C、点位于第一象限，有可能被书本遮住； D、点位于第三象限，有可能被书本遮住． 6．如图，已知斜面与水平面的夹角，一个木块静止在斜面上，其所受重力G方向竖直向下，支持力F方向垂直于斜面向上．若表示G与F两个方向之间的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得：，根据直角三角形的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，再判断出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答； 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 只有选项D符合条件． 8．《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少．现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数 B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加 C．当时，平均每人分到粮食12千克 D．这批粮食总量有500千克 【答案】D 【分析】根据题意可得平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，再结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少， ∴平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加，故A、B选项正确，不符合题意； 设该函数解析式为， ∵当时，， ∴， ∴该函数解析式为，这批粮食总量有600千克，故D选项错误，符合题意； 当时，，即当时，平均每人分到粮食12千克，故C选项正确，不符合题意； 9．如图，内接于，且圆心O在上，以点A为圆心，任意长为半径作弧分别交，于E，F两点，再以F为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连接并延长交于D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即可求解． 【详解】解：由题意可知，, ,, , ∴， ∵圆心在上，即为直径， , , ． 10．如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，结合菱形的性质得，，，进一步判定，有，根据题意可知点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，则和，结合图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，解得、和，利用勾股定理求得为，即可得到点E的信息；当点Q在线段运动时，同理可得，，，和，则，利用勾股定理求得，代入点即可． 【详解】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图， ∵菱形中，， ∴，，，， ∴为等边三角形． 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动， 由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则， 那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合， 当点Q在线段运动时， ∴，，， ∴，解得，， 则， 那么，为 ， 当时即为图2的点E，， 当时，， 当点Q在线段运动时， 同理可得，，， ∴，， 则， 那么，为 ， 当时，， 故选∶B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题的关键是应用动态的思想找到菱形的边长． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．在某次演习中，我国火箭军成功发射了一枚“东风”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风”导弹的平均速度为__________米/秒． 【答案】 【详解】解：导弹的平均速度：， ． 12．若点和是一次函数图象上的两点，则____．（填“”“ ”“ ”） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性． 再比较两点横坐标的大小． 即可得到纵坐标与的大小关系． 【详解】解∶在一次函数中，， 随的增大而增大， 点和，且． ∴． 13．扬州某古典园林内一矩形花圃面积为，长为，则宽为_________（其中）． 【答案】 【分析】根据矩形面积公式可知，宽等于面积除以长，对面积的多项式用平方差公式因式分解后约分即可求解． 【详解】解：∵扬州某古典园林内一矩形花圃面积为，长为， ∴宽为：． 14．计算的结果是________． 【答案】 【详解】解：． 15．抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，下列五个结论： ①； ②； ③若且，则； ④对任意实数，不等式恒成立； ⑤若一元二次方程两根为，则． 其中正确的是_______（填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据与轴交点坐标及得出对称轴为直线，，，抛物线开口向下，即可判断，，可得出①②正确；利用平方差公式化简得出，可得③错误；根据对称轴得出有最大值，可判断④正确；把变形为，可得、是与的交点的横坐标，根据二次函数及一次函数的性质可得，得出⑤正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点， ∴对称轴为直线，， ∴，故②正确； ∵， ∴抛物线的开口向下，， ∵对称轴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴，故③错误； ∵对称轴为直线，开口向下， ∴当时，有最大值， ∴对任意实数，不等式恒成立，故④正确； ∵， ∴， ∴、是与的交点的横坐标， ∵与轴交于和两点，经过一、三象限，抛物线开口向下， ∴，故⑤正确； 综上所述：正确的结论有①②④⑤． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 计算：． 【答案】 【详解】解：原式（3分） ．（6分） 17．（6分） 已知：如图，点为平行四边形对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，证明出，得，即可证出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， ∴，（3分） ∴， ∴， ∴．（6分） 18．（6分） 在当今快速发展的时代，科技的力量不断重塑着各个领域的运作方式，无人驾驶的机械简称“无人机”，是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的设备，在航拍、农业、植保、灾难救援、监控测绘等领域都有应用．无人机搭载的高清摄像头和先进的图像识别系统，使其能够捕捉到高速公路上的每一个细节，为高速公路的管理与维护带来了诸多显著好处．为加强交通秩序管理，整治超速现象，某地区交通部门在重点路段采用雷达测速抓拍，如图，一架监测无人机位于道路正上方的点C处，其到道路的垂直距离为，有一辆货车沿方向行驶，无人机第一次抓拍时，货车处于点B的位置，此时测得货车的俯角为；无人机第二次抓拍时，货车行驶至点D的位置，测得俯角为．两次监测的时间间隔为．若该路段限速，超速未超过时，采取警告措施，超过，则需要缴纳罚款，请通过计算说明该司机是否需要缴纳罚款．（图中所有点在同一平面内，参考数据：） 【答案】该司机需要缴纳罚款，说明见解析 【分析】证明得出，在中，求出，再求出，计算出货车的速度即可求解． 【详解】解：如图， 由题意，得， ∴，（1分） ， ∴，（2分） 在中，， ，（4分） ∴， ，（5分） ∵，， ∴该司机需要缴纳罚款．（6分） 19．（8分） 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： (1)统计表中，________，________； (2)统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为________，估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数为________人； (3)该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从2名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的四名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率． 【答案】(1)30，24 (2)，150 (3) 【分析】（1）首先用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；再用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值； （2）根据足球的占比乘以得到足球所对应扇形的圆心角的度数。用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可； （3）设2名喜欢乒乓球分别为、1名喜欢羽毛球为，1名喜欢篮球的为，通过列树状图即可求出被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率． 【详解】（1）解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%， ∴样本容量为； ∴（人），（1分） （人）；（2分） （2）解：足球所对应扇形的圆心角的度数为（3分） （人）；（4分） （3）设2名喜欢乒乓球分别为、1名喜欢羽毛球为，1名喜欢篮球的为， 从四名学生中随机抽取2人，列树状图如下： （4分） 则从四名学生中随机抽取2人共有种，其中2名同学都是喜欢乒乓球有2种， 所以被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率为．（8分） 20．（8分） 综合与实践：数学与音乐 【问题背景】制作尤克里里 尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定． 【建立模型】 小州设计了如下确定品丝（如图1的）位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为，以为直角边构造，在上截取．，在处确定第一根品丝，则第一根品丝的对应有效弦长为，过作交于点，接着在上截取，在处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为，以此类推确定后续品丝位置．在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取长为，长为． 【求解模型】 (1)求； (2)求第一根品丝的有效弦长及． 【检验模型】 (3)制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置到弦桥B的长度约为，若允许偏差是，请判断该品丝是否合格，并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)合格，理由见解析 【分析】（1）证明，即可求解； （2）由（1）得，可得，从而得到，即可求解； （3）根据题意可得，在中，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ． 又， ． ．（2分） （2）解：由（1）得， ， ，即． 解得． 在中，．（5分） （3）解：合格，理由如下： ， ． 在中， ． ． ． ， ∴该品丝合格．（8分） 21．（8分） 如图，在中，，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，则，由得到，得出，再根据圆周角定理得到，即可证明； （2）利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点D， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴；（4分） （2）解：∵的半径为6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴．（8分） 22．（10分） 钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日  天气：阴  能见度：1.8千米 11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”． 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画． (1)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度． (2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？ (3)小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度） 【答案】(1)，千米/分钟 (2)小红5分钟后与潮头相遇 (3)潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，这种阅读型的题目，弄懂题意、按照题设的顺序求解是解题的关键． （1）到的时间是30分钟，则，潮头从甲地到乙地的速度 (干米/分钟)； （2）潮头的速度为0.4千米/分钟，故到 时，潮头已前进 (千米)，则此时潮头离乙地 (干米)，进而求解； （3）把，代入，求出，当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，从即可求解． 【详解】（1）解：∵到经过的时间是30分钟， ∴点，即， ∴潮头从甲地到乙地的速度为（千米/分钟）．（2分） （2）解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟， 时，潮头已前进（千米）． 此时潮头与乙地之间的距离为（千米）． 设小红出发x分钟后与潮头相遇． 依题意，得， 解得， ∴小红5分钟后与潮头相遇．（5分） （3）解：把点，代入， 得， 解得，， ∴． 又∴， ∴． 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即时， ， 解得， 则当时，， 即潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米．（10分） 23．（11分） 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】（1），；（2） ；直线与的夹角度数为；理由见解析；（3）线段的最小值为． 【分析】（1）由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （2） 由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （3）如图，由于菱形绕点旋转，所以点的运动轨迹，是以点为圆心，半径为的圆，连接圆心点与圆外一点，当点在上时，线段取得最小值，连接，交于点，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 直线与的夹角度数为， 故答案为：，；（2分） （2）；直线与的夹角度数为；理由如下： 四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，， ， 直线与的夹角度数为；（6分） （3）如图，∵ ∴当点在上时，线段取得最小值， 连接，交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即线段的最小值为．（11分） 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 24．（12分） 已知二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．    (1)直接写出这个二次函数的解析式； (2)如图1，连接，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点，为轴上方的抛物线上两点（点在点的右边），直线、与轴分别交于，两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)是经过定点，定点为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论，设，当点在射线上时，利用对称的性质得到，列式求得点的坐标，再利用平移的性质即可求得点的坐标；当点在的延长线上时，同理可求； （3）分别求得直线、和的解析式，结合，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，两点， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为；（3分） （2）解：如图，当点在射线上时，连接，交于， 令，则， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∵点和点关于对称， ∴， 设， 由得，， ∴，（舍去）． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； 如图，当点在的延长线上时， 由上可知：，同理可得：； 综上所述：点的坐标为或；（7分） （3）解：直线经过定点．理由如下： 设，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 直线的解析式为， 令，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 代入直线的解析式得， ∵当时，． ∴直线经过定点．（12分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $