精品解析：上海市南洋模范中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试卷

上海市南洋模范中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试卷 （本次考试时间120分钟，满分150分，命题人：李振昕，审题人：周君铭） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为______（用反三角表示） 2. 轴被圆截得的弦长为_____. 3. 已知函数的定义域为，且为的导函数，在处可导，若，则______． 4. 若双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，它的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为______． 5. 已知、为抛物线上互异的两点，若，则______． 6. 曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为______． 7. 两平行直线与间的距离为______． 8. 已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 9. 直线l与抛物线相交于A，B两点，当时，弦AB中点M到x轴的距离的最小值为_______. 10. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 11. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”.若的导函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，则实数的最大值与最小值之差为______. 12. 已知是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为___________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13，14题4分，第15，16题5分） 13. 函数在区间上的平均变化率是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 14. 已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题 17. 已知三边所在直线方程为：，：，：. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）求直线与直线的夹角. 18. 已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点M在线段的延长线上，且. （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程； （2）过点的直线与Γ交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率为、，证明：为定值. 20. 已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． （1）当P为椭圆的上顶点时，求的大小； （2）若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； （3）若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 21. 定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为；我们称椭圆的“交换椭圆”为；我们称圆的“交换圆”为． （1）若双曲线的“交换双曲线”为自己本身，双曲线过点，求：双曲线的标准方程； （2）过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，求：直线的方程与“交换圆”的面积； （3）已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于5.2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市南洋模范中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试卷 （本次考试时间120分钟，满分150分，命题人：李振昕，审题人：周君铭） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为______（用反三角表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线得出斜率，再结合倾斜角及斜率的关系求出倾斜角即可. 【详解】设直线即的倾斜角为. 由直线方程可知，该直线的斜率，所以. 因为，所以. 故该直线的倾斜角为. 2. 轴被圆截得的弦长为_____. 【答案】 【解析】 【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到轴的距离为，则轴被圆截得的弦长为. 3. 已知函数的定义域为，且为的导函数，在处可导，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】，解得. 4. 若双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，它的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为______． 【答案】或 【解析】 【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，求出的值，利用可求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为、、， 直线的方程可化为， 若双曲线的焦点在轴上，则， 此时双曲线的离心率为； 若双曲线的焦点在轴上，则，即， 此时双曲线的离心率为. 综上所述，双曲线的离心率为或. 5. 已知、为抛物线上互异的两点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由斜率的几何意义确定直线过焦点，进而用抛物线焦半径公式将转化为，进而可求的值. 【详解】由题意得抛物线的焦点为，， 由可得，即直线过焦点， 因为，所以除去垂直于轴时的情况， 则， 则. 6. 曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出切线方程，可求出该切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，则，所以，，切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为，即， 在直线中，令可得， 故直线与轴、轴分别交于点、， 故曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为. 7. 两平行直线与间的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用直线平行可求出的值，利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为，即， 故这两平行直线间的距离为. 8. 已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由求得的轨迹为圆，结合直线与圆的位置关系即可求得c的最大值. 【详解】设， 由题意得， 整理得， 所以的轨迹为以为圆心，半径的圆， 因为在直线上， 所以与相切或相交， 则到的距离， 解得， 故c的最大值是. 9. 直线l与抛物线相交于A，B两点，当时，弦AB中点M到x轴的距离的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】分别过点往准线作垂线，垂足分别为，利用抛物线的定义以及三角形的性质即可求出. 【详解】拋物线即的准线为，焦点为， 分别过点往准线作垂线，垂足分别为， 则点M到x轴的距离为， 等号成立时，三点共线， 故弦AB中点M到x轴距离的最小值为. 10. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】## 【解析】 【分析】先分别设切点求导数得出切线斜率进而得出切线方程，由题意对照直线方程分别求出即得. 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故 ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 11. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”.若的导函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，则实数的最大值与最小值之差为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，根据“局部反比例对称函数”的定义，得到在上有解，令，换元后，利用二次函数在上有解，结合二次函数的性质解题即可. 【详解】， 因为的导函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以存在， ，即， 所以，在上有解， 令，设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以时，， 设，所以时有解， 当即时，在上单调递增，所以，解得； 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，又，所以不存在符合条件的. 综上可得，所以实数的最大值与最小值之差为. 故答案为： 12. 已知是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，得到点在以为圆心，半径为的圆上，点的轨迹为以为焦点的椭圆方程，数形结合得到与圆相切且与相切时，最大，并求出最大值. 【详解】不妨设，， 由，可得，故， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 由，可得， 即， 所以点到的距离之和为， 所以点的轨迹为以为焦点的椭圆方程，且，， 所以，椭圆方程为， 如图1所示，在椭圆上固定一个点，作⊥于点， 根据数量投影的概念，需为锐角，才能保证数量投影为正， 则的长即为在方向上的数量投影的大小， 其中， 由于固定点，故为定值，要想最大，则需最大， 所以需最小，显然需与圆相切（如图2所示）， 此时连接，则⊥，且， 所以，直线方程为， 现在移动点，显然当与相切时，最大， 由于，故，设直线方程为， 联立与得， 由得， 由图可知，，故直线方程为， 其中，解得， 故，， 所以，. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13，14题4分，第15，16题5分） 13. 函数在区间上的平均变化率是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算公式求得正确答案. 【详解】函数在区间上的平均变化率是. 14. 已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积之间的关系，结合椭圆的定义、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，， 在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断； 对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断. 【详解】判断命题①： 已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接. 根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件. 当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确. 判断命题②： 当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，. 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确. 故选：A. 三、解答题 17. 已知三边所在直线方程为：，：，：. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）求直线与直线的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出B点坐标，由点斜式写出直线方程，再化简成一般式即可； （2）由题意可得，，由两直线的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 解：由，可得， 即； 又因为， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为， 即； 【小问2详解】 解：因为，， 设直线与直线的夹角为， 则有， 所以. 18. 已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）直线与圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，由圆心和半径得圆的方程； （2）设直线的斜率为，利用圆的弦长公式求出的值即可. 【小问1详解】 因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点M在线段的延长线上，且. （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程； （2）过点的直线与Γ交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率为、，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明：（1）当直线斜率存在时，如图1，设：， 联立直线与椭圆方程，可得， 显然，设，，则，， 所以. 由已知得，则，，所以，即为定值. 当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图2，显然，可得，即. 综上所述，为定值. 【解析】 【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义计算求解. （2）通过设直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理、斜率公式进行计算求解. 【小问1详解】 由已知可得.又， 所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆. 设椭圆的方程为， 则，所以，，，， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 略 20. 已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． （1）当P为椭圆的上顶点时，求的大小； （2）若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； （3）若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 【答案】（1）4 （2）最大值为4，最小值为2 （3），四边形面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据条件分别求直线和的方程，再联立直线求交点，的坐标，即可求解； （2）首先根据离心率求椭圆方程，再根据向量的平行四边形法则转化为求的最值； （3）首先根据点的坐标求直线和的方程，通过联立直线方程求点，的坐标，再代入两点间距离公式，根据定值求，首先角的关系求，再根据为定值4，分两种情况，结合余弦定理和基本不等式求面积的最大值，再求四边形面积的最大值. 【小问1详解】 当点在椭圆的上顶点时，,，， 联立，得，即， 联立，得，即， 所以； 【小问2详解】 椭圆的离心率，得， 所以椭圆方程为； 由条件可知四边形是平行四边形，所以， 设，， 所以， 所以的最大值为4，最小值为2； 【小问3详解】 设，则，, 联立，解得：，， 即， 联立，解得：，， 即， 因为点在椭圆上，满足， 所以 因为为定值，所以与无关，所以，得，则； 此时， 如图：由条件可知，，则， ， 则，且为定值4， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 此时，四边形的最大值为4， 如下图：由以上可知，，， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 综上两种情况可知，四边形的最大值为. 21. 定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为；我们称椭圆的“交换椭圆”为；我们称圆的“交换圆”为． （1）若双曲线的“交换双曲线”为自己本身，双曲线过点，求：双曲线的标准方程； （2）过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，求：直线的方程与“交换圆”的面积； （3）已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于5.2． 【答案】（1）； （2），； （3） 由椭圆的长轴为，得，由其离心率，得，则， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则其方程为，椭圆的“交换椭圆”方程为， 因此曲线的方程为，依题意，矩形关于对称， 设在椭圆W上，则在“交换椭圆”上， ，由直线平行直线，得直线PN的斜率为1， 直线PN的方程为，即，设， 由，得， 则，，， 于是矩形的面积， 由点P在椭圆W上，得，令，， 由，得，不妨取第一象限部分，则，， 因此， 由，得，则当时，， 所以矩形的面积小于5.2. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，设出双曲线C的方程，代入点坐标，求出，即可得答案. （2）根据导数的几何意义，求出切线l的方程，根据题意，可得圆中，设出圆的方程，根据点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系，求出半径r的值. （3）求出椭圆的方程与其“交换椭圆”的方程，设，根据矩形的性质，可得对称点Q的坐标，进而可得的表达式，根据直线平行直线，求出直线PN的方程，与椭圆W联立，根据韦达定理，可得N点坐标，根据弦长公式，可得表达式，进而可得面积S的表达式，根据椭圆W的参数方程，结合三角函数的性质，即可得证. 【小问1详解】 由双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，得，设双曲线C的方程为， 而点在双曲线C上，则， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 由函数，求导得，设切点为， 则切线的斜率，又，切线的方程为， 由点在切线上，得，即，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，切线的方程为，即； 由“交换圆”是自己本身，得，设该圆的方程为， 由直线与圆相切，得， 所以“交换圆”面积为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $