精品解析：上海市南洋模范中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

南洋模范2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 5名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有________种不同的排法. 【答案】 【解析】 【分析】先安排甲在排头，再利用全排列数计算其余四人即可. 【详解】因为甲已经站在排头，所以其余4人进行全排列，有种排法， 所以甲必须站在排头，有种24不同的排法. 故答案为：24. 2. 已知直线：，：，若，则实数_________． 【答案】－3或0 【解析】 【分析】直线垂直，分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，斜率存在，乘积为-1，可得答案. 【详解】当时，直线：，：，此时显然，符合题意； 当时，整理可得直线：，：， 由，则，解得. 故答案为：－3或0 3. 曲线在处的切线方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义分析运算. 【详解】由题意可得：， 当时，． 即切点坐标为，切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为，即． 故答案为：． 4. 直线被曲线截得的线段的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】联立方程，利用弦长公式计算即可. 【详解】设直线与曲线交于点， 将代入整理得：， 则有， 故. 故答案为： 5. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，，P是它们的一个公共点，则______________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据曲线共焦点，求得参数a.联立两曲线，求得交点P的坐标，由面积公式求得面积. 【详解】由题，则点满足解得，则. 故答案为：1 6. 中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可知，利用导数判断单调性和最值，进而可得结果. 【详解】设圆的直径为， 则，即， 由题意可得：，则， 令时， 解得；令时， 解得； 可知在单调递增， 在单调递减，则时，取最大值． 此时． 所以 故答案为：. 7. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，给出下列三个判断： ①到、、、四点的距离之和为定值； ②曲线关于直线、均对称； ③曲线所围区域面积必小于36； 上述判断中正确命题的为________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】当在上时，不为定值，①错误；根据对称性得到②正确；图形在边长为的正方形内部，③正确，得到答案. 【详解】对于①，不考虑交点的情况，当在时，不为定值，故①错误； 对于②，两个椭圆，关于均对称， 故曲线关于直线均对称，故②正确； 对于③，曲线包含在边长为的正方形内部， 故面积小于36，故③正确. 故答案为：②③. 8. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果. 【详解】 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内， ， 即，，且，， ，，解得：． 在双曲线中，，； 在椭圆中，，； ； ，，则，， 可得：， 的取值范围为. 故答案为： 9. 已知，，，，使恒成立的有序数对有________对． 【答案】 【解析】 【分析】只需恒成立，设当和时，求出函数的最小值即得解. 【详解】由题得函数定义域为， 要想恒成立， 只需恒成立， 只需恒成立， 设， 所以当时，， 令，解得或，令，解得, 又,所以在上单调递减，在上单调递增， 则，使恒成立的b可取1； 所以当时，， 令，解得或，令，解得, 又,所以在上单调递减，在上单调递增， 则，使恒成立的b可取1，2，3， 所以一共有共4种. 故答案为：4. 10. 拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，再设直线方程并联立，得到点坐标关系，结合三角形面积公式，将面积之比转化为高之比，最后求解直线斜率可得结论 【详解】分别以直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线方程为，则焦点， 设直线，，， 联立，可得， 则，． 因为，所以． 则，， 则， 即，解得， 结合图象可得，则， 因为直线与直线的夹角与直线的倾斜角互余，且， 所以直线与直线的夹角的正切值为． 故答案为： 11. 若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由空间想象得到为棱长为5的正方体，去掉中心处棱长为1的正方体，各角去掉正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后余下部分，各棱处去掉长方体减去一条高为轴，1为底面半径的圆柱后的部分，再结合正方体、球体、圆柱的体积公式求体积. 【详解】由题设，动球在运动过程中经过区域可看作棱长为5的正方体，先去掉中心处棱长为1的正方体， 8个角处去掉：棱长为1的正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后剩余部分， 12条棱处去掉：底面边长为1，高为3的棱柱减去一条高为3，底面半径为1的圆柱后剩余部分， 综上，的体积为. 故答案为： 12. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，，分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，，且底面椭圆的离心率为，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥体积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，要使三棱锥体积最大，只需的面积和到平面距离之和都最大，求解即可. 【详解】连接，，由， 要使三棱锥体积最大， 只需的面积和到平面距离之和都最大， ，令，且，则， ， 当时，有最大值， 在下底面内以为原点，构建如图所示的直角坐标系， 由题设，长轴长， 因为底面椭圆的离心率为，所以焦距为，所以短轴长， 则椭圆方程为，，且，设， 联立椭圆得，， ，， 令，， 由对勾函数性质可知在上递增，， 综上，三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题是解析几何与立体几何的综合问题，解析几何部分要用好椭圆的定义、方程和性质，确定图形中各点的位置，利用韦达定理解决弦长；椭圆中立体几何部分要用好几何体的结构特征. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解. 【详解】由，得， 又，， 则符号相反，符号相反， 所以符号相同， 所以直线的斜率，在轴上的截距， 所以直线不通过第三象限. 故选：C. 14. 若函数在处导数为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义即可直接求解. 【详解】 , 故选：D. 15. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的性质判断的符号，进而确定的单调性即可知极大值点. 【详解】由的图象知， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和， 故的极大值点为. 故选：D 16. 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①②都是假命题 D. ①②都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得. 【详解】椭圆是“自稳定曲线”. 设椭圆方程为，令，则，设， 由是的重心，知，直线过点， 当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 则当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 当时，，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与椭圆交于两点，且是的重心， 即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心， 综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题； 双曲线不是“自稳定曲线”. 由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设， 假设是的重心，则，直线过点， 当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此， ，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与双曲线不相交， 所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证. 三、解答题（本大题共5题，满分78分，第17-19题14分，第20-21题18分） 17. 如图，在长方体中，，. （1）设O、E分别为和AB中点，求证：OE平行于平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1） 取中点，连接、，如图所示： 因为O为中点，所以，且. 又是长方体，为中点， 所以，且，即，且， 四边形为平行四边形，所以. 又在平面内，在平面外，因此，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）首先取中点，连接、，易证四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判定即可得到答案. （2）连接，得到是异面直线与所成角，再计算其大小即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如图所示： 因为平面，平面， 所以，又， 所以是异面直线与所成角（或其补角）. ，故. 因此，异面直线与所成角的大小为. 18. （1）解方程：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据排列数、组合数公式得到关于的方程，解得即可； （2）令，求出，再写出展开式的通项，利用通项求出，即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 即，因，即， 整理得，解得或（舍去）， 故原方程的解为. （2）因为， 令，得. 因为，而展开式的通项为（且）， 所以， 所以. 19. 如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD（含边界和内部，A为坐标原点），AD长10米，在AB边上距离A点4米的F处放一只电子狗，在距A点2米的E处放一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫“成功点”． （1）求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程； （2）若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件可得，设出点的坐标，进而求出轨迹方程. （2）由过点且与线段相交的直线与点M的轨迹相离求解即得. 【小问1详解】 分别以AD，AB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，设成功点， 依题意，，即， 则，化简得， 所以这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是. 【小问2详解】 由（1）知，点M的轨迹是以为圆心，为半径的右半圆， 由电子狗在线段FP上总能逃脱，得直线与点M的轨迹在轴右侧且相离， 此时直线的斜率，方程为，即， 由，得，则有，即， 此时，而， 所以的取值范围是. 20. 已知椭圆． （1）若，求椭圆的离心率； （2）设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值； （3）若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率定义即可得出答案； （2）设，求出E点的坐标，表示出，由数量积的定义求出，即可求出m的值； （3）设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，讨论直线与双曲线的渐近线平行和直线与双曲线的渐近线不平行结合P为椭圆上一点即可得出答案. 【小问1详解】 当时，椭圆，焦点在上， 则，则. 【小问2详解】 因为为椭圆的左右顶点，所以， 令中，则， 若，， ， 解得：. 若，， ， 解得：. 【小问3详解】 若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线， 设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点， ①直线与双曲线的渐近线平行时， 则双曲线的渐近线为：，所以. 因为P为椭圆上一点，所以，所以不满足题意. ②直线与双曲线的渐近线不平行时， ，则， 则，解得：， 解得：，因为，所以. 又因为P为椭圆上一点，所以，则， 则，解得：， 所以，所以，综上所述：. 则m的取值范围为： 21. 定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切． （1）设．若曲线与曲线在点P处相切，求m的值； （2）设，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值； （3）若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论． 【答案】（1）9； （2）； （3） 假设存在满足题意， 则有，对函数求导得：， 于是，即， 平方得， 即有，因此， 整理得，而恒有成立，则有， 从而，显然，于是，即与恒成立矛盾， 所以假设不成立，即不存在点满足条件. 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求解作答. （2）设出切点坐标，利用导数和几何意义结合圆的切线性质，建立函数关系，再利用导数求函数最小值作答. （3）假定存在点满足题意，利用导数的几何意义结合同角公式导出矛盾作答. 【小问1详解】 设点，由，求导得， 于是，解得，由，得，解得， 所以m的值为9. 【小问2详解】 设切点，由求导得，则切线的斜率为， 又圆M：的圆心，直线的斜率为， 则由，得，令，求导得， 当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增， 因此当时，， 所以当时，. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南洋模范2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 5名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有________种不同的排法. 2. 已知直线：，：，若，则实数_________． 3. 曲线在处的切线方程为______________． 4. 直线被曲线截得的线段的长是________． 5. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，，P是它们的一个公共点，则______________. 6. 中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为______． 7. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，给出下列三个判断： ①到、、、四点的距离之和为定值； ②曲线关于直线、均对称； ③曲线所围区域面积必小于36； 上述判断中正确命题的为________． 8. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是________． 9. 已知，，，，使恒成立的有序数对有________对． 10. 拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________． 11. 若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为______. 12. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，，分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，，且底面椭圆的离心率为，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥体积的最大值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 若函数在处导数为，则等于（ ） A. B. C. D. 15. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 16. 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①②都是假命题 D. ①②都是真命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分，第17-19题14分，第20-21题18分） 17. 如图，在长方体中，，. （1）设O、E分别为和AB中点，求证：OE平行于平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 18. （1）解方程：； （2）已知，求的值. 19. 如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD（含边界和内部，A为坐标原点），AD长10米，在AB边上距离A点4米的F处放一只电子狗，在距A点2米的E处放一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫“成功点”． （1）求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程； （2）若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取值范围． 20. 已知椭圆． （1）若，求椭圆的离心率； （2）设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值； （3）若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围． 21. 定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切． （1）设．若曲线与曲线在点P处相切，求m的值； （2）设，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值； （3）若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $