第06讲 将军饮马模型（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第六讲 将军饮马模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 几何最值问题中的将军饮马模型，是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结。将军饮马模型的来源可追溯至古代经典应用题，古人求解 “军营到河岸饮马再到营地” 的最短路径问题时，依托 “两点之间线段最短” 的基本公理与轴对称性质，通过作对称点将折线距离转化为直线距离，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。瓜豆原理模型则是以 “化繁为简” 为核心，通过转化思想将抽象最值问题转化为直观线段关系，是初中几何最值问题的核心解题手段。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 模型1：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小． 连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB. 模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小． 作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB' 模型3：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大． 连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB 模型4：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大． 作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最大值为AB' 模型8：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小． 连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最小值为0 模型6：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小． 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″ 模型7：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小． 作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图①，在中，，，点是边上一点，连结，在右侧作，使，，连结．求证：． ①小智同学从和都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为． ②小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图②，在线段上截取，连结，通过证明，将转化为． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【拓展延伸】（2）如图③，在正方形中，是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连结、，若，则周长的最小值为________． 【典例精讲二】综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 2．如图，立方体的棱长为2，P是上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，P、M、N分别是AB、AC、BC边上的动点，当的周长最小时，下列关于P点位置的描述中正确的是（   ） A．P在AB边的中点处 B．连接CP，CP是的角平分线 C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，等腰三角形的底边长为，面积是．若点为边的中点，点为线段上一动点，仔细观察图中利用尺规作图的痕迹，可知周长的最小值是_____． 9．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是、上的动点，则的最小值是______． 10．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为______． 11．如图，函数的图象与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点为直线上的动点，连接，则的周长的最小值为___________． 12．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 13．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 三、解答题 14．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点，线段的端点均在格点上．按要求画图（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）． (1)在图中画出一个以为边的等腰钝角三角形，使点C在格点上． (2)图中的面积为________． (3)在（1）的基础上，在线段上找点P，在线段上找点Q，使最短． 15．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点； (2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接，得到， ①求的面积． ②点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． 16．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请按要求完成下列问题． (1)画出关于直线对称的（与，与，与相对应）； (2)在直线上画出点，使的值最小． 18．解决下列问题： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，是边的中点，连接．是的中点，是上的一动点，则的最小值为_____． 【问题探究】 (2)如图2，四边形是平行四边形，，，．，是边上的动点，且，则的最小值为多少？ 【问题解决】 (3)如图3，为加强劳动实践课程的教学效果，某学校准备在一块四边形空地上，规划两条活动课专用小路和，两条小路交于点，校园规划管理办公室计划在和两条路上分别选取点，，在，，处铺设三条水管，方便后期用水浇灌种植的农作物，并使得的长度最小．已知，，，，．按照计划，每铺设一米水管的费用为600元，学校的预算费用是46000元．请你帮助学校计算一下，学校准备的费用够吗？（参考数据：） 19．等腰中，，点是轴上一个动点，点在轴上且点． (1)若时， ①如图1，求的长； ②如图1，求点的坐标； ③如图2，点在直线上且位于第一象限内，当时，求的面积； (2)如图3，移动点，连接，直接写出的周长的最小值． 20．问题探究 (1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______； (2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值． 21．如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线．上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段．上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，． ①求线段长度的最大值 ②当线段长度取最大值时，求的最小值； ③将该抛物线沿射线方向平移，使得新地物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，接写出所有符合条件的点Q的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲 将军饮马模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 几何最值问题中的将军饮马模型，是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结。将军饮马模型的来源可追溯至古代经典应用题，古人求解 “军营到河岸饮马再到营地” 的最短路径问题时，依托 “两点之间线段最短” 的基本公理与轴对称性质，通过作对称点将折线距离转化为直线距离，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。瓜豆原理模型则是以 “化繁为简” 为核心，通过转化思想将抽象最值问题转化为直观线段关系，是初中几何最值问题的核心解题手段。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 模型1：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小． 连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB. 模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小． 作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB' 模型3：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大． 连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB 模型4：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大． 作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最大值为AB' 模型8：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小． 连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最小值为0 模型6：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小． 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″ 模型7：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小． 作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图①，在中，，，点是边上一点，连结，在右侧作，使，，连结．求证：． ①小智同学从和都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为． ②小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图②，在线段上截取，连结，通过证明，将转化为． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【拓展延伸】（2）如图③，在正方形中，是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连结、，若，则周长的最小值为________． 【答案】（）证明见解析；（）． 【思路引导】（）选择小智同学的解题思路：由等腰直角三角形的性质可得，，，，进而得到，，即可得到，得到，即可求证； 选择小慧同学的解题思路：在线段上截取，连接，可得，又根据等腰直角三角形的性质可得，进而得，，由得，得到，即可证明，得到； （）在线段延长线上截取，连接、、，根据【问题初探】可知是的角平分线，由将军饮马模型可知，，当A、P、三点共线时，取最小值，即可求解． 【完整解答】解：（）选择小智同学的解题思路： ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择小慧同学的解题思路： 如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （）如图，在线段延长线上截取，连接、、， 由【问题初探】可知：， 又∵在正方形中，， ∴， ∴与时关于的对称， ∴， ∴，当A、P、三点共线时，取最小值，； ∴周长的最小值为：. 【考点剖析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，将军饮马模型，正确作出辅助线是解题的关键． 【典例精讲二】综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【思路引导】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【完整解答】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【完整解答】解：连接，， ∵直线垂直平分线段． ， ∵点为边的中点，， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ∵,， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：C． 2．如图，立方体的棱长为2，P是上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质． 延长到点T，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，则点E，D和直线在同一个平面内，根据垂直平分线的性质得到点E和T关于直线对称，则，可知，根据勾股定理计算即可． 【完整解答】解：延长到点T，使，连接，，． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴点E，D和直线在同一个平面内． ∵，， ∴点E和T关于直线对称， ∴， ∴. 故选：D． 3．如图，在中，，P、M、N分别是AB、AC、BC边上的动点，当的周长最小时，下列关于P点位置的描述中正确的是（   ） A．P在AB边的中点处 B．连接CP，CP是的角平分线 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了轴对称与最短路径问题（将军饮马模型），解题的关键在于正确构造对称点并识别出特殊图形，易错点主要在于对称模型应用错误；作出点关于和的对称点和，将周长最小转化为最短，再由对称可得，，所以在等腰中，顶角固定，要使得底边最短，可转化为最短，最短时为垂线段，即时，再根据角度计算得出． 【完整解答】作出点关于和的对称点和，连接，，； 由对称性可得，， 周长为，即最小即为． ∵，， ∴． 由对称可得： ，，， ∴． ∵在中，，， ∴要使最小，则最短， 最短时为垂线段，即， ∴在中，， 则． 故选：D． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了最短路径问题、坐标与图形的性质，关键是利用坐标求解出和的面积，得到点的运动路径是在的直线上，然后，作点关于直线对称的点，连接，利用 “将军饮马” 模型即可得出结果． 【完整解答】解：∵点，的坐标分别为， ∴， 与同底边，且的面积等于面积的， ∴点P到的距离是3，即点的纵坐标为， 点在直线上运动， 作点关于直线对称的点，连接，则点， ． 当三点共线时，的值最小． 设直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ．令，则， 解得， 当的值最小时，点的坐标为． 故选：C． 5．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 【完整解答】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了动点轨迹和最短路径问题，解题的关键是画出对应图形，找出G的轨迹在一个圆上，再由“将军饮马”模型求出最小值． 【完整解答】解：当E在上，F在上时，由这两点运动速度相同，故，由正方形性质知，， 由 ， ， ， ， 故由圆周角性质得G在以为直径，中点O为圆心的圆上，以为对称轴将点B翻转上去得到点，如图所示 则 ，故 三点共线时最短，若 三点不共线，则 中 ， 故当 三点共线时最短，此时 四点共线，由于圆的半径为1， ， 故由勾股定理得 ， 最小为 ， 此时实际上E在上，F在上，如图所示 此时，但不变 7．如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查轴对称的性质（最短路径问题，“将军饮马”模型）、三角形内角和定理、外角性质，解题的关键在于最短路径的转化；利用轴对称将的周长最小问题转化为“两点之间线段最短”， 利用轴对称性质得，，再通过三角形内角和或外角性质，推导与的关系． 【完整解答】解：作点关于的对称点；作点关于的对称点 连接，与交于点，与交于， 此时，周长最短. 由轴对称可得 设 ∴ ∵在中，， ∴① ∵， ∴② 得 则， 即． 故选D． 二、填空题 8．如图，等腰三角形的底边长为，面积是．若点为边的中点，点为线段上一动点，仔细观察图中利用尺规作图的痕迹，可知周长的最小值是_____． 【答案】 【思路引导】本题考查轴对称-最短路径问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 先连接，，由于是等腰三角形，点为边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据尺规作图的痕迹判断是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【完整解答】解：连接，． ∵等腰三角形，点为边的中点， ∴， ∵，， 又∵， ∴． ∵由图中尺规作图的痕迹可以判断出为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 9．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是、上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，角平分线的定义，作于T，在上截取，连接．证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，则．从而可得当B、M、F三点共线且（即F与T重合）时为最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【完整解答】解：作于T，在上截取，连接． ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴当B、M、F三点共线且（即F与T重合）时为最小值， 故答案为：． 10．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为______． 【答案】10 【思路引导】本题考查轴对称的应用和勾股定理的基本概念．解答本题的关键是读懂题意，知道根据正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 连接，，根据点与点关于对称和正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 【完整解答】解：∵四边形是正方形， ∴点关于的对称点是点． 连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小． ∵，正方形的边长为8， ∴，． 由，知． 又∵点与点关于对称， ∴且平分． ∴． ∴． ∴的最小值是10． 故答案为：10 11．如图，函数的图象与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点为直线上的动点，连接，则的周长的最小值为___________． 【答案】 【思路引导】根据题意和最短路线问题，作关于直线为对称点 ，连接，则的周长的最小；在根据勾股定理可求结果. 【完整解答】解：如图， ∵函数的图象与轴，轴分别交于两点 ∴ ∵点为直线上的动点，的周长的最小值 作关于直线为对称点 ，连接与直线交于点D，连接，则的周长的最小； ∴ ∵ ∴ 在中，根据勾股定理得： ∴ 故答案为：. 【考点剖析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，作出相应的辅助线，利用数形结合的思想解答． 12．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【思路引导】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形三边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【完整解答】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作， 则有， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， 垂线段最短， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 的最小值是． 13．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值． 【完整解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 作点C关于直线对称点Q，连接、， ， 当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度， 在中，，，， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 三、解答题 14．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点，线段的端点均在格点上．按要求画图（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）． (1)在图中画出一个以为边的等腰钝角三角形，使点C在格点上． (2)图中的面积为________． (3)在（1）的基础上，在线段上找点P，在线段上找点Q，使最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)1.5 (3)作图见解析 【思路引导】本题重点考查了轴对称的性质，割补法求三角形面积，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）在网格中，通过观察和尝试，找到一个格点C，使得，且为钝角即可； （2）利用割补法计算的面积，将放置在一个边长为3的正方形中，用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积以及一个小正方形的面积，即可得到的面积； （3）利用轴对称的性质求最短路径，要使最短，可以作点C关于线段的对称点，过作，根据垂线段最短，此时的长度即为最小值，从而确定点P，点Q． 【完整解答】（1）解：符合条件的点C有两个，如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，作点C关于线段的对称点，则， ∴， 过作，此时，P，Q三点共线，有最小值，最小值为的长，此时P，点Q即为所求． 同理，当点C在线段右侧，作图如下， 15．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点； (2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接，得到， ①求的面积． ②点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【思路引导】本题考查平面直角坐标系，割补法求三角形的面积，一次函数的应用． （1）点A和B的坐标确定原点O并建立平面直角坐标系即可； （2）①利用割补法计算即可； ②根据轴对称的性质作关于轴的对称点，连接交轴于点，进而可得 ，此时最小，再待定系数法求的解析式，进而求得点的坐标． 【完整解答】（1）解：根据和，确定原点O并建立平面直角坐标系如图所示： （2）解：①． ②如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴ ∴ ，此时最小， 设直线的解析式为， 代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 16．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】任务一: ,,,; 任务二:见详解； 任务三：见详解． 【思路引导】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． 【完整解答】解：任务一 ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴ ， ， ∴ ． ∵在中，， ∴ ，即最小； 任务二 如图，即为最短路径． 任务三 如图，即为最短路径． 17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请按要求完成下列问题． (1)画出关于直线对称的（与，与，与相对应）； (2)在直线上画出点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F，再顺次连接即可； （2）连接交直线l于点，点P即为所求． 【完整解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，连接交直线l于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 18．解决下列问题： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，是边的中点，连接．是的中点，是上的一动点，则的最小值为_____． 【问题探究】 (2)如图2，四边形是平行四边形，，，．，是边上的动点，且，则的最小值为多少？ 【问题解决】 (3)如图3，为加强劳动实践课程的教学效果，某学校准备在一块四边形空地上，规划两条活动课专用小路和，两条小路交于点，校园规划管理办公室计划在和两条路上分别选取点，，在，，处铺设三条水管，方便后期用水浇灌种植的农作物，并使得的长度最小．已知，，，，．按照计划，每铺设一米水管的费用为600元，学校的预算费用是46000元．请你帮助学校计算一下，学校准备的费用够吗？（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)学校准备的费用够用 【思路引导】（1）连接，，证是等边三角形，由三线合一得是的垂直平分线，，，当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，再根据勾股定理求解即可； （2）过点作于，向右平移个单位得到，作关于的对称点，连接，当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，构建利用勾股定理求解即可； （3）作点O关于直线对称点，点O关于直线对称点，连接，过作的延长线于点H，当点E，F，，四点共线时，使得的长度最小，即的长度，构建，利用直角三角形的相关计算和勾股定理求解即可． 【完整解答】（1）解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵是边的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度， ∵是的中点， ∴，，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：过点作于，向右平移个单位得到，作关于的对称点，连接、， ∴， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：作点O关于直线对称点，点O关于直线对称点，连接，过作的延长线于点H，连接，， ∴，，， ∴， ∴当点E，F，，四点共线时，使得的长度最小，即的长度， ∵，． ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴学校准备的费用够用． 19．等腰中，，点是轴上一个动点，点在轴上且点． (1)若时， ①如图1，求的长； ②如图1，求点的坐标； ③如图2，点在直线上且位于第一象限内，当时，求的面积； (2)如图3，移动点，连接，直接写出的周长的最小值． 【答案】(1)①；②；③； (2) 【思路引导】（1）①利用勾股定理即可求出的长； ②过点作轴于点，易证，利用全等三角形的性质可得，的长，从而可求出点的坐标； ③由且点位于第一象限内得，点的纵坐标为1，利用待定系数法求出直线的解析式，将代入即可求出点的坐标，从而可求的面积； （2）由得，则点在直线上运动，连接，作点关于直线的对称点，，可得当三点共线时，取得最小值，此时的周长取得最小值，据此求解即可． 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，过点作轴于点，通过证明得到点在直线上运动是解题的关键． 【完整解答】（1）解：①∵，， ∴； ②过点作轴于点，如图， ∴，， 在等腰中，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③∵，点位于第一象限内， ∴， ∴点的纵坐标为1， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴将代入得， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）②得，， ∴点在直线上运动， ∵连接，作点关于直线的对称点， ∴，， 则当三点共线时，取得最小值， 此时的周长取得最小值． 20．问题探究 (1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______； (2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)米 【思路引导】（1）利用平行四边形的性质与判定即可求解； （2）将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，由翻折的性质可得，，，，，推出，则有，再利用两点之间线段最短的性质即可求出周长的最小值； （3）过点作且，连接、、，作于点，交于点，利用勾股定理求出米，根据正方形的判定证出四边形是正方形，得到，，，由且米，得到四边形是平行四边形，，通过证明四边形是矩形，得到米，，，进而推出是等腰直角三角形，米，利用勾股定理求出的长，再利用两点之间线段最短的性质即可求出的最小值． 【完整解答】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：4． （2）解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，如图： 由翻折的性质可得，，，，，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 周长的最小值为． （3）解：过点作且，连接、、，作于点，交于点，如图： ，米，， 四边形是矩形， ， 米， ， 矩形是正方形， ，，， 且米， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是矩形， 米，，， ， 是等腰直角三角形，米， 米，米， 米， 米， ， 米， 米， 米， 的最小值米． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的性质与判定、翻折的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理与最短路径问题、正方形的性质与判定、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点，结合图形添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理求出最短路径是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 21．如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线．上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段．上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，． ①求线段长度的最大值 ②当线段长度取最大值时，求的最小值； ③将该抛物线沿射线方向平移，使得新地物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②；③或． 【思路引导】（1）由题意利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）①求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，即可求得最大值； ②证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； ③求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【完整解答】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得 ：， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴ ②由①得：，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； ③解：由①得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【考点剖析】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $