第01讲 半角模型（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第一讲 半角模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 半角模型是源于旋转变换思想的长期发展，阿基米德研究旋转对称性，为几何旋转提供物理与直观基础。托勒密、希帕霍斯在天文计算中使用半角弦长公式，涉及角度分割。 中世纪至近代，数学家系统研究图形旋转不变性：旋转后边长、角度不变（全等）、旋转可把分散线段拼接，半角模型本质是旋转全等的典型应用。现代初中数学教学中，为简化解题思路，把这类“共顶点、等线段、角含半角”图形统一为半角模型”，成为全等三角形的经典题型。 在解决涉及“一个角是另一个角的一半”的几何题时，直接利用角度关系往往难以建立边与边的联系。将包含半角的小三角形旋转，使半角的两边重合，可以强制制造出全等三角形或特殊图形（如正方形、等边三角形），从而将分散的条件集中化。 半角关系本身难以直接用于计算。通过“旋转”，将半角所在的小三角形绕顶点旋转，使得两个半角拼成一个整角，或者构造出对称的图形，利用旋转不变性（对应边相等、对应角相等）来证明线段和差关系。这属于典型的“辅助线思维”，旨在将复杂的角度关系转化为直观的边的关系。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 模型1：正方形中的半角模型 如图1,在正方形 ABCD中，点E,F分别在边 BC,CD上，∠EAF=45°,连 接EF,则 ： (1)EF=BE+DF; (2)如图2,过点A 作 AG⊥EF 于点G, 则 AG=AD; (3)如图3,连接BD, 与 AE 交于点H, 连 接FH, 则 FH⊥AE 【拓展1】如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CB,DC的延长线上， ∠ EAF=45°,连接EF,则EF=DF-BE. 【拓展2】将正方形变成一组邻边相等、对角互补的四边形：如图，在四边形ABCD 中 ，AB=AD,∠BAD+∠C=180°, 点E,F分别在边BC,CD 上，2,连接EF,则EF=BE+DF. 模型2：等腰直角三角形中的半角模型 如图，在△ABC 中 ，AB=AC,∠BAC=90°,点D,E 在边BC 上，且∠DAE=45°, 则： (1)△BAE△ADE∽△CDA; (2)BD²+CE²=DE². 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】问题提出 （1）如图1，四边形是正方形，______； 问题探究： （2）如图2，四边形是正方形，点分别在的延长线上，，若，，求正方形的边长； 问题解决： （3）如图3是某生态保护区示意图，和是两条互相垂直的河流，交点为．现计划修建科研基地和四个建在河边的监测站，按照技术要求，点分别在线段上，．并且规划把区域建设成为观光旅游区，区域建设为生态科普基地．若规划的观光旅游区的面积为9平方千米，那么生态科普基地的面积是否存在最大值？若存在请求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）45°；（2）2；（3）存在最大值，最大值为． 【思路引导】本题考查了正方形的性质的判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形等相关知识，熟练掌握这些知识点并正确作出辅助线是解题的关键； （1）根据正方形的性质即可求解； （2）连接，证明，进而可得，即可求解； （3）过点P做于点Q，于点C，于点D，得，，且P在的平分线上，连接，同（2）可得，所以千米，证明四边形为正方形，在的延长线上截取，证明，进而可证明，可得，即当有最小值时，则有最大值．设的外接圆圆心为，半径为r，作于R，连接、，由，即， 求得r的取值范围，进而可得当时，取得最小值，此时有最小值，即可求解． 【规范解答】解：（1）四边形是正方形， ， ， 故答案为：； （2）解：连接， 四边形是正方形， ， 则， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， 所以正方形的边长为2； （3）解：过点P做于点Q，于点C，于点D， ， ， ，且P在的平分线上， 连接，则， ， ， ， ， ， ， 的面积为9平方千米，所以，所以千米， 由角平分线的性质， ， ， 四边形为正方形， 在的延长线上截取， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即当有最小值时，则有最大值． 设的外接圆圆心为，半径为r，作于R，连接、， ， ， ， ， 即， 解得， ， 当时，取得最小值，此时有最小值，最小值为， 此时有最大值，最大值为． 【典例精讲二】（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【规范解答】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【思路引导】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【规范解答】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 2．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【思路引导】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【规范解答】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 3．如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF•DE；④OM＝OF（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】由旋转的性质可得AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，由“SAS”可证△AMN≌△AM′N，可得MN=NM′，可得MN=BM+DN，故①正确；由“SAS”可证△AEF≌△AED'，可得EF=D'E，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故②正确；通过证明△DAE∽△BFA，可得，可证BC2=DE•BF，故③正确；通过证明点A，点B，点M，点F四点共圆，∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，可证MO=EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④错误，即可求解． 【规范解答】解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADM′，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'， ∴AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°， ∴∠ADM'+∠ADC=180°， ∴点M'在直线CD上， ∵∠MAN=45°， ∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN， ∴∠M′AN=∠MAN=45°， 又∵AN=AN，AM=AM'， ∴△AMN≌△AM′N（SAS）， ∴MN=NM′， ∴M′N=M′D+DN=BM+DN， ∴MN=BM+DN；故①正确； ∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'， ∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'， ∴∠D'BE=90°， ∵∠MAN=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE， ∴∠D'AE=∠EAF=45°， 又∵AE=AE，AF=AD'， ∴△AEF≌△AED'（SAS）， ∴EF=D'E， ∵D'E2=BE2+D'B2， ∴BE2+DF2=EF2；故②正确； ∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE， ∴∠BAF=∠AEF， 又∵∠ABF=∠ADE=45°， ∴△DAE∽△BFA， ∴， 又∵AB=AD=BC， ∴BC2=DE•BF，故③正确； ∵∠FBM=∠FAM=45°， ∴点A，点B，点M，点F四点共圆， ∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM， 同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN， ∴∠EOM=45°=∠EMO， ∴EO=EM， ∴MO=EO， ∵∠BAM≠∠DAN， ∴∠BFM≠∠DEN， ∴EO≠FO， ∴OM≠FO，故④错误， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，则可证得△ABH≌△ADF，从而AH=AF，∠BAH=∠DAF，易证△AHE≌△AFE，可得HE=EF=3，则可求得BE的长． 【规范解答】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，如图 ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠ABC+∠ADC=180゜ ∵∠ABH+∠ABC=180゜ ∴∠ABH=∠ADF 在△ABH和△ADF中 ∴△ABH≌△ADF ∴AH=AF，∠BAH=∠DAF ∵∠BAD+∠BCD=180゜，∠BCD=120゜ ∴∠BAD=180゜-∠BCD=60゜ ∵∠EAF=30゜ ∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=30゜ ∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=30゜ 在△AHE和△AFE中 ∴△AHE≌△AFE ∴HE=EF=3 ∴BE=HE-BH=3-1=2 故选：B 【考点剖析】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形的问题的关键与难点． 二、填空题 5．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 【答案】2+2 【思路引导】将△ACN绕点A顺时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD＋DC，代入求出答案即可． 【规范解答】将△ACN绕点A顺时针旋转，得到△ABE，如图：                            由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN， ∵∠BAC＝∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ABD+∠ABE＝180°， ∴E，B，M三点共线， ∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°， ∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAM＝∠MAN， 在△AEM和△ANM中， ，             ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴MN＝ME， ∴MN＝CN+BM， ∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4， ∴CD＝BC＝2，BD＝＝2， ∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2， 故答案为：2+2． 【考点剖析】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键． 6．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 【答案】2 【思路引导】延长BA到点G，使AG=CF，连接DG，EF，利用SAS证明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，设AE=x，则BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题． 【规范解答】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF， ∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF， ∴△ADG≌△CDF（SAS）， ∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF， ∵∠EDF＝45°， ∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°， ∵DE＝DE， ∴△GDE≌△FDE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵F是BC的中点， ∴AG=CF=BF=3， 设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3， 由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2， 解得x＝2， ∴AE＝2， ∴DE＝， 故答案为：2． 【考点剖析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键． 7．在中，，点在边上，．若，则的长为__________． 【答案】 【思路引导】将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，从而得FG2＝AE2＋BF2，再证明△ECF≌△GCF，从而得EF2＝AE2＋BF2，进而即可求解． 【规范解答】解：将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF， ∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90° ∴∠ACE＝∠BCG． ∵在△ACE与△BCG中， ∵， ∴△ACE≌△BCG（SAS）， ∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG， ∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°． 在Rt△FBG中，∠FBG＝90°， ∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2． 又∵∠ECF＝45°， ∴∠FCG＝∠ECG−∠ECF＝45°＝∠ECF． ∵在△ECF与△GCF中， ， ∴△ECF≌△GCF（SAS）． ∴EF＝GF， ∴EF2＝AE2＋BF2， ∵， ∴BF=， 故答案是：． 【考点剖析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及旋转变换，二次根式的化简，通过旋转变换，构造全等三角形，是解题的关键． 8．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 【答案】4+4． 【思路引导】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD+DC，代入求出即可． 【规范解答】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图： 由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN， ∵∠BAC＝∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ABD+∠ABE＝180°， ∴E，B，M三点共线， ∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°， ∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAM＝∠MAN， 在△AEM和△ANM中， ， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴MN＝ME， ∴MN＝CN+BM， ∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4， ∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4， 故答案为4+4． 【考点剖析】此题主要考查利用三角形全等的性质和解直角三角形，进行等量转换，关键是做辅助线. 三、解答题 9．问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系． 方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明； （2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）CM＝AN+MN，详见解析；（2）CM＝MN﹣AN，详见解析 【思路引导】（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论； （2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答． 【规范解答】解：（1）CM＝AN+MN， 理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD， ∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴OA＝OC， 在△CDO和△ANO中， ， ∴△CDO≌△ANO（SAS） ∴OD＝ON，∠COD＝∠AON， ∵∠MON＝60°， ∴∠COD+∠AOM＝60°， ∵∠AOC＝120°， ∴∠DOM＝60°， 在△DMO和△NMO中， ， ∴△DMO≌△NMO， ∴DM＝MN， ∴CM＝CD+DM＝AN+MN； （2）补全图形如图2所示： CM＝MN﹣AN， 理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD， 在△CDO和△ANO中， ， ∴△CDO≌△ANO（SAS） ∴OD＝ON，∠COD＝∠AON， ∴∠DOM＝∠NOM， 在△DMO和△NMO中， ， ∴△DMO≌△NMO（SAS） ∴MN＝DM， ∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN． 【考点剖析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理． 10．问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【思路引导】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【规范解答】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 11．如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【思路引导】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 12．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【规范解答】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 13．在等边的两边所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且．探究：当M、N分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． (1)如图1，当点M、N边上，且时，之间的数量关系是___________；此时___________； (2)如图2，点M、N在边上，且当时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当M、N分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1) (2)结论仍然成立，详见解析 (3)，详见解析 【思路引导】对于（1），由，可证得是等边三角形，又由是等边三角形，，易证得，然后由直角三角形的性质，即可求得之间的数量关系，此时； 对于（2），在的延长线上截取，连接，可证，即可得，易证得，则可证得，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； 对于（3），首先在上截取，连接，可证，即可得，然后证得，易证得，则可得． 【规范解答】（1）解：如图1，之间的数量关系． 此时． 理由：∵， ∴是等边三角形. ∵是等边三角形， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形. ∵， ∴， ∴； 故答案为：，． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：， ∴； （3）， 证明：在上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【思路引导】（1）取的中点，并连接，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明，即可得出结论； （2）连接后，由点，分别为，的中点，推出为的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可； （3）结合（1）的结论，可得到，从而考虑运用“半角”模型，因此延长至点，使得，连接，运用两次基础全等证明即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：如图所示，取的中点，并连接， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵正方形外角的平分线为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图所示，延长至点，使得，连接， 由正方形基本性质得：，， ∴， ∴，， 由（1）知，，且， ∴， ∴， ∴，即：， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键． 15．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【思路引导】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【规范解答】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 16．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【思路引导】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【规范解答】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【考点剖析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 17．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【答案】(1)45 (2)DF＝BE+EF，证明见解析 (3)2 【思路引导】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）解：DF＝BE+EF    理由如下： 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型． 18．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)见解析 (2)∠DAE＝∠BAC，理由见解析 (3)DE＝BD 【思路引导】（1）根据旋转的性质可得AD＝A，∠CA＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据旋转的性质可得AD＝A，再利用“边边边”证明△ADE和△AE全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，从而得解； （3）求出∠CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍可得E＝C，再根据旋转的性质解答即可． 【规范解答】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴AD＝A，∠CA＝∠BAD， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， ∴∠AE＝∠CA＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DAE＝∠AE， 在△ADE和△AE中， ∵， ∴△ADE≌△AE（SAS）， ∴DE＝E； （2）解：∠DAE＝∠BAC． 理由如下：在△ADE和△AE中， ， ∴△ADE≌△AD′E（SSS）， ∴∠DAE＝∠AE， ∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠BAC； （3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠AC＝45°， ∴∠CE＝45°＋45°＝90°， ∵△EC是等腰直角三角形， ∴E＝C， 由（2）DE＝E， ∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴BD＝ ， ∴DE＝BD． 【考点剖析】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键． 19．将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF． （1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系； （2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系； （3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长． 【答案】（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）线段EF的长为或． 【思路引导】（1）延长FD至G，使DG=BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF即可； （2）在DC上截取DH=BE，连接AH，先证△ADH≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可； （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【规范解答】解：（1）结论：EF=BE+DF． 理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①， ∵ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°， ∴△ABE≌△ADG（AAS）， ∴AE=AG，∠DAG=∠EAB， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠DAF+∠DAG=45°， ∴∠GAF=∠EAF=45°， ∵AF=AF， ∴△GAF≌△EAF（AAS）， ∴EF=GF， ∴GF=DF+DG=DF+BE， 即：EF=DF+BE； （2）结论：EF=DF-BE． 理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②， ∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AH=AE，∠DAH=∠EAB， ∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°， ∴∠DAH+∠BAF=45°， ∴∠HAF=45°=∠EAF， ∵AF=AF， ∴△HAF≌EAF（SAS）， ∴HF=EF， ∵DF=DH+HF， ∴EF=DF-BE； （3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图： 设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x． 在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22， ∴x=， ∴EF=x+2=． ②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线， 设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH， ∵K为BC边的中点， ∴CK=BC=2， 同理可证△ABK≌FCK（SAS）， ∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x， 在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2， ∴x=， ∴EF=8-=． 综上，线段EF的长为或． 【考点剖析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 20．如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【思路引导】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，证明如下：    如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，   ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10． 【考点剖析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键． 21．【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【思路引导】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 【规范解答】（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲 半角模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型提升，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 半角模型是源于旋转变换思想的长期发展，阿基米德研究旋转对称性，为几何旋转提供物理与直观基础。托勒密、希帕霍斯在天文计算中使用半角弦长公式，涉及角度分割。 中世纪至近代，数学家系统研究图形旋转不变性：旋转后边长、角度不变（全等）、旋转可把分散线段拼接，半角模型本质是旋转全等的典型应用。现代初中数学教学中，为简化解题思路，把这类“共顶点、等线段、角含半角”图形统一为半角模型”，成为全等三角形的经典题型。 在解决涉及“一个角是另一个角的一半”的几何题时，直接利用角度关系往往难以建立边与边的联系。将包含半角的小三角形旋转，使半角的两边重合，可以强制制造出全等三角形或特殊图形（如正方形、等边三角形），从而将分散的条件集中化。 半角关系本身难以直接用于计算。通过“旋转”，将半角所在的小三角形绕顶点旋转，使得两个半角拼成一个整角，或者构造出对称的图形，利用旋转不变性（对应边相等、对应角相等）来证明线段和差关系。这属于典型的“辅助线思维”，旨在将复杂的角度关系转化为直观的边的关系。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 模型1：正方形中的半角模型 如图1,在正方形 ABCD中，点E,F分别在边 BC,CD上，∠EAF=45°,连 接EF,则 ： (1)EF=BE+DF; (2)如图2,过点A 作 AG⊥EF 于点G, 则 AG=AD; (3)如图3,连接BD, 与 AE 交于点H, 连 接FH, 则 FH⊥AE 【拓展1】如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CB,DC的延长线上， ∠ EAF=45°,连接EF,则EF=DF-BE. 【拓展2】将正方形变成一组邻边相等、对角互补的四边形：如图，在四边形ABCD 中 ，AB=AD,∠BAD+∠C=180°, 点E,F分别在边BC,CD 上，2,连接EF,则EF=BE+DF. 模型2：等腰直角三角形中的半角模型 如图，在△ABC 中 ，AB=AC,∠BAC=90°,点D,E 在边BC 上，且∠DAE=45°, 则： (1)△BAE△ADE∽△CDA; (2)BD²+CE²=DE². 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】问题提出 （1）如图1，四边形是正方形，______； 问题探究： （2）如图2，四边形是正方形，点分别在的延长线上，，若，，求正方形的边长； 问题解决： （3）如图3是某生态保护区示意图，和是两条互相垂直的河流，交点为．现计划修建科研基地和四个建在河边的监测站，按照技术要求，点分别在线段上，．并且规划把区域建设成为观光旅游区，区域建设为生态科普基地．若规划的观光旅游区的面积为9平方千米，那么生态科普基地的面积是否存在最大值？若存在请求出最大值，若不存在，请说明理由． 【典例精讲二】（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 2．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 3．如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF•DE；④OM＝OF（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 6．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 7．在中，，点在边上，．若，则的长为__________． 8．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 三、解答题 9．问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系． 方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明； （2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明． 10．问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 11．如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 12．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 13．在等边的两边所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且．探究：当M、N分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． (1)如图1，当点M、N边上，且时，之间的数量关系是___________；此时___________； (2)如图2，点M、N在边上，且当时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当M、N分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 14．如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 15．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 16．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 17．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 18．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 19．将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF． （1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系； （2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系； （3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长． 20．如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 21．【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $