专题05 排列组合、二项式定理（期中真题汇编）高二数学下学期人教A版

专题05 排列组合、二项式定理 5大高频考点概览 题型01计数原理 题型02排列与排列数 题型03组合与组合数 题型04分组与分配、相邻与不相邻的问题 题型05二项式定理 ( 地 城 考点01 计数原理 ) 1．（25-26高二下·湖北·期中）有3封不同的信投入4个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（   ） A．81 B．64 C．24 D．12 【答案】B 【详解】根据题意，不同的投入方法种数有种． 2．（25-26高二下·重庆·期中）从甲地去乙地，可以乘船，也可以坐火车，还可以乘飞机，一天中，乘船有6个班次，坐火车有9个班次，乘飞机有2个班次，则从甲地去乙地一天中不同的走法种数为（   ） A．17 B．30 C．66 D．108 【答案】A 【详解】由分类加法计数原理可得，从甲地到乙地无论哪种交通工具都能到达，故不同的走法有：种. 3．（25-26高二下·河北邯郸·期中）已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（   ） A．4 B．19 C．60 D．480 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理即可直接求解. 【详解】选类，有6种选法，选类，有4种选法，选类，有5种选法，选类，有4种选法，故共有种. 4．（25-26高二下·福建福州·期中）中国古墨可分为松烟墨、油烟墨、药墨等种类.现有4名学生，每人从松烟墨、油烟墨、药墨中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】每个人有3种选择，根据分步乘法计数原理可知共有. 5．（25-26高二下·山东济南·期中）5名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（   ） A．8种 B．15种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】由题意知，每位大学生都有3种选择，根据分步乘法计数原理，共有种选法. 6．（25-26高二下·湖北·期中）某大学在东、南、西、北及东南五个方向上各有一个校门，如果一在校大学生从其中任意一个校门进入学校，并且要求从其它的校门出去，那么共有（   ）种进出学校的方式． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分步乘法计数原理，分别确定进校门和出校门各有多少种情况，两者相乘，即可解决总的进出学校的种数. 【详解】学校共有个校门，学生任选一个进入共有种选择；出校门则从其他个校门任选一个，共有种选择，所以，根据分步乘法计数原理，总的进出学校的方式共有种. 7．（25-26高二下·重庆·期中）多项式展开后的项数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】根据分步乘法计数原理，展开后的项数有：项. 8．（25-26高二下·山东济南·期中）从6本不同的数学书，4本不同的英语书中任取1本，则不同的取法种数是（   ） A．10 B．24 C． D． 【答案】A 【详解】分两类：第一类，取数学书，有6种不同的取法；第二类，取英语书，有4种不同的取法.故共有种不同的取法. 9．（25-26高二下·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解. 【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数．若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有，，共2个；若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标，则符合题意的点有，，，，共4个．综上，在第二象限内的点的个数为． 10．（25-26高二下·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 【答案】B 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类：若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法；若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种；若种4种花，有种，则不同的种法总数为． 11．（多选）（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【分析】根据所用颜色种数，以及各区域所用颜色的规定，运用两个计数原理逐一计算判断即可. 【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有种涂法，因三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误．故选：AB. 12．（（多选）25-26高二下·黑龙江大庆·期中）将编号为1，2，……，n的n个小球放入编号为1，2，……，2n的2n个盒子中，每个盒子至多放一个小球，且对任意，i号球所在的盒子编号小于号球所在的盒子编号，记为号球放入编号为k的盒子的概率，则下列说法正确的有（   ） A．当时，共有6种放小球的方法 B．当时，2号球放入的盒子编号不小于3的方法共有16种 C．当时， D．当时，在处取得最大值 【答案】ABD 【分析】利用组合的知识求得放球的方法数判断AB，计算出概率判断C，对选项D，为求，先求得总方法数为，再求出第号球放入编号为的盒子的方法数为，然后利用求得的最大值，从而得的最大值，然后判断D. 【详解】对A，，即为1，2号球放入编号为1，2，3，4的盒子中，由于球的序号不改变，因此方法数为，A正确；对B，，即为号球放入编号为的盒子中，共有方法数为， 2号球放入的盒子编号小于3即只能放入2号盒子，因此3号放入后4个盒子中，方法数为4， 所以2号球放入的盒子编号不小于3的方法共有种，B正确；对C，时，球有个，盒子有个，即为号球放入号盒子的概率，放球的总方法数是，号球放入号盒子的方法数为，所以，C错；对D，将编号为1，2，……，n的n个小球放入编号为1，2，……，2n的2n个盒子中，每个盒子至多放一个小球，且对任意，i号球所在的盒子编号小于号球所在的盒子编号，这相当于从个盒子中选出个并按球的编号顺序排列，总方法数为， 设号球放入编号为的盒子（），当号球放入编号为的盒子时，前个球放入编号中盒子中，按题意方法数为，第个球要从编号为中选一个，方法数为，所以第号球放入编号为的盒子的方法数为，，令，即，整理可得：，，，因为，所以，则，又因为为整数，所以当 时，取得最大值，从而取得最大值．D正确. 13．（多选）（25-26高二下·重庆·期中）商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网，如图，图中线段均为可行走的通道.甲从某点出发，随机地选择一条最短路线，到达另一点，则（   ） A．甲从出发经过到达的方法共有6种 B．甲从出发到达的方法共有100种 C．甲从出发经过到达的方法共有24种 D．甲从出发到达的方法比从出发到达的方法少27种 【答案】ACD 【分析】先建立空间直角坐标系标记方向，再结合分步乘法计数原理，依次讨论从出发到达对应点时沿轴三个方向走的段数，最后结合组合方法选出求解即可. 【详解】 对于A，甲从出发经过到达的最短路线分两步完成：第一步：甲从到，只能沿轴方向向上走2段，故只有1种最短路线；第二步：从到达的最短路线中，需要沿轴方向走2段，需要沿轴方向走2段，所以，只需明确4段中沿轴方向的2段情况即可，有种，所以从出发经过到达的最短路线共有6种，A选项正确； 对于B，甲从出发到达，需要沿轴三个方向各走2段，故只需要确定：在6段路里，哪2段是沿轴方向，剩下的4段里，哪2段是沿轴方向，最后剩下的2段自然是沿轴方向，故有种，故B选项错误； 对于C，甲从出发经过到达需要分两步完成，第一步：先从到达，需要沿轴2个方向各走1段，故只需要确定哪一段沿轴方向即可，共有种；第二步：从到达的最短路线中，需要沿轴三个方向分别走1，1，2段，只需要确定哪一段沿轴方向，只需要确定哪一段沿轴方向即可，有种方法，所以甲从出发经过到达共有种，C选项正确； 对于D，甲从出发到达，需要沿轴2个方向分别走2段，1段，故只需要确定哪一段沿轴方向即可，故有种；甲从出发到达，需要沿轴的负方向走2段，沿轴2个方向分别走1，2段，故只需要确定哪2段沿轴负方向走，哪一段沿轴方向即可，故有种.所以甲从出发到达的方法比从出发到达的方法少27种，D选项正确. 14．（25-26高二下·山东聊城·期中）现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是__________. 【答案】 【分析】根据分步计数原理直接求解即可. 【详解】7名同学每人有4种选择，所以共有种. 15．（25-26高二下·河北邯郸·期中）如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种． 【答案】13020 【分析】对最中间的4个方格进行分类讨论，分为中间4个方格中有2个方格涂红色、中间4个方格中只有1个方格涂红色、中间4个方格都不涂红色三种，每一种逐个根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】设方格从左至右分别命名为，因为两端都涂红色，且相邻方格不同颜色，所以中间4个方格也可以涂红色， ①当中间4个方格中有2个方格涂红色时，涂红色的位置有方格3、5或方格4、6或方格3、6共3种选择，剩下的4个方格，还有两个单独和两个相邻的，而其左右两边皆为红色方格， 对于两个单独的方格而言，除红色外其他颜色都可选取，共种，对于相邻的两个方格，其中第一块方格可选除红色外的5种颜色，第二块方格选取剩余4种颜色，共种， 所以该类涂法一共有种； ②当中间4个方格中只有1个方格涂红色时，涂红色的位置有4种选择，未涂色区域划分为两部分，其中对于每一部分，其中第一块方格都可以涂除红色外的5种颜色，剩余的都只能涂除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色，故剩下的共有种选择，所以该类涂法一共有种； ③当中间4个方格都不涂红色时，中间一大块区域每个方格均只能涂上除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色，共有种；综上，不同的涂色方法共有种． 16．（25-26高二下·湖北武汉·期中）的不同正因数有_____________个． 【答案】36 【分析】把进行质因数分解，然后结合分步乘法原理即可求解. 【详解】将进行质因数分解：，设的正因数为，其中，所以有种可能，有种可能，有种可能， 则根据分步乘法原理，共有个正因数. 17．（25-26高二下·山东济南·期中）五一长假期间，要从6人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天的情况，则不同的安排方法种数为__________. 【答案】3750 【详解】第一天的值班人员，从6人中选1人，有6种选择；第二天的值班人员，不能与第一天相同，有5种选择；第三天的值班人员，不能与第二天相同，有5种选择；第四天的值班人员，不能与第三天相同，有5种选择；第五天的值班人员，不能与第四天相同，有5种选择.故不同的安排方法种数为. 18．（25-26高二下·上海·期中）是的全排列，如果对任意的，和中至多有一个小于，则满足要求的排列的总数为__________. 【答案】 【详解】因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位，当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况；由上可知，当排在第一位时，共有种情况，同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件， 综上所述，共有种排列满足条件. 19．（25-26高二下·山东泰安·期中）在未来智慧城市的高空智能运维场景中，一只仿生机器狗需经6级垂直检修梯从一栋建筑的底层平台抵达顶层平台.机器狗配备三种攀爬模式：常规爬行1级，液压跨步2级，动力跳跃3级.受限于梯级结构，机器狗仅能向上行进，不可后退，不可单次跨越超过3级，攀爬过程中攀爬模式可自由变换.该机器狗从底层平台到顶层平台，共有______种不同的攀爬方法．（用数字作答） 【答案】24 【分析】总计要攀爬6级楼梯，就考虑如何用1、2、3这3个数相加得到6进行分类讨论 【详解】总计攀爬6级楼梯，可分几种情况 ①6次常规爬行，记作“”模式，此类模式只有1种攀爬方法； ②1次液压跨步，4次常规爬行，记作“”模式，此类模式根据液压跨步处于第几步的不同，总计5种攀爬方法； ③2次液压跨步，2次常规爬行，记作“”模式，此类模式总计种攀爬方法； ④3次液压跨步，记作“”模式，此类模式只有1种攀爬方法； ⑤1次动力跳跃，3次常规爬行，记作“”模式，总计4种攀爬方法； ⑥2次动力跳跃，记作“”模式，总计1种攀爬方法； ⑦1次常规爬行，1次液压跨步，1次动力跳跃，记作“”模式，此模式总计种攀爬方法 因此，总计 种攀爬方法 ( 地 城 考点0 2 排列与排列数 ) 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，解得，所以. 2．（25-26高二下·山东枣庄·期中）参加校运动会跳远决赛的同学共有5名，他们要决出从第1名到第5的名次.代表本班级进入决赛的甲和乙同学比赛结束后回到班级，同学们纷纷询问甲和乙比赛结果，甲同学回答说：“太遗憾了，我和乙都没得到冠军.”乙同学回答说：“让我感到安慰的是我不是倒数第一！”根据甲乙同学的回答分析，参赛的5位同学的名次排列情况有（   ）种 A．48 B．54 C．78 D．90 【答案】B 【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论： （1）甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况； （2）甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；故5人的名次排列可能有种不同的情况． 3．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）从4本不同的数学书中选出2本，赠送给2位同学，每人一本，则不同的赠送方法共有（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【详解】问题等价于：从4个不同元素中选出2个，按顺序分配给两位不同同学，直接用排列数计算： 种. 4．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某班级有5名男生和4名女生，现要选出3人组成代表队，并从中选出一名队长和一名副队长（队长和副队长不能由同一人担任），且要求代表队中至少有一名女生，则不同的选派方案总数可以用下列哪个式子计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用间接法，求出总的选法，去除不合题意的即可. 【详解】从9人中选出3人组成代表队，并从中选出一名队长和一名副队长，所有的选派方案总数为种；其中代表队中全是男生的选派方案总数为种.根据题意，代表队中至少有一名女生，故不同的选派方案总数为种. 5．（25-26高二下·福建福州·期中）现有4支救援队前往3个受灾点执行救援任务.若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法数是（ ） A．24 B．36 C．48 D．56 【答案】B 【详解】先将4支救援队分成3组，其中一组有2支，另外两组各有1支，方法数为种，再将这3组分配到3个不同的受灾点，有种分配方法，故不同的安排方法数是种. 6．（25-26高二下·山东菏泽·期中）某旅游团3名导游和30名游客站成两排拍照留念，要求第一排站15人，第二排站18人，则3名导游站在一起且站在第一排的排法总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用捆绑法，先排第一排，再排第二排，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】因为3名导游站在一起且站在第一排，先选12名游客，且3名导游站在一起排成一排，排法总数为；剩余18人站在第二排，排法总数为；所以排法总数为. 7．（25-26高二下·湖北·期中）涠水漾波映华灯，元宵欢歌满帝乡．某市元宵无人机灯光秀在淂水法治广场震撼启幕，架无人机以天为幕、以光为笔，为市民与游客献上一场兼具科技感、文化味与烟火气的视觉盛宴，让元宵之夜焕发出别样光彩．已知其中一幅无人机表演图片展示的是其名片之一——皇桃．现用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完，则一共有多少种不同的染色方法（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式可求得结果. 【详解】用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完，则不同的涂色方法种数为种. 8．（25-26高二下·山东聊城·期中）满足不等式（）的的值可能为（   ） A．8 B．9 C．7 D．11 【答案】D 【详解】由可得，故，化简得，故，D选项满足条件. 9．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）从5件不同的礼物中选出2件分别送给2位同学，不同的送法种数是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【详解】从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是种. 10．（25-26高二下·浙江衢州·期中）甲乙丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（   ） A．36种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】C 【分析】分甲在乙和丙中间、甲不在乙和丙中间两种情况，结合排列组合知识求解. 【详解】若甲在乙和丙中间，则再选取一人站在两者中间并将中间两人排列，最后将乙丙排列，有种排法，以及这四人作为一个整体与剩下两人排列，有种排法，共有种排法；若甲不在乙和丙中间，则先选取两人并排列，再将乙丙排列，有种排法，这四人作为一个整体与甲和余下的一人排列（保证甲不在两端），有两种排法，共有种排法，故不同排法共有. 11．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，其中偶数必须排在奇数位的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．72 【答案】C 【详解】由题意可得先排偶数有种，其余全排有种，由分步乘法原理可得种. 12．（25-26高二下·湖北武汉·期中）有六支球队争夺一次比赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品，A、B是六支球队中的两支，若A、B不都得奖，则不同的发奖方式共有（   ） A．144 B．216 C．336 D．360 【答案】B 【详解】当六支球队争夺一次比赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品时，不同的发奖方式为种，当A、B都得奖时，不同的发奖方式为种，所以A、B不都得奖，则不同的发奖方式共有种. 13．（多选）（25-26高二下·山东枣庄·期中）下列四个关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，， 所以，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，因为 ，所以，D正确. 14．（多选）（25-26高二下·重庆·期中）下列问题中，属于排列问题的是（   ） A．从5人中选2人担任正、副组长 B．从5人中选2人参加演讲比赛 C．从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点 D．从10个相同大小的球中选3个放入箱子里 【答案】AC 【详解】对于A，从5人中选2人担任正、副组长，与选出的两个人顺序不同是不同的安排方法，如选甲乙表示甲担任正组长，乙担任副组长，选乙甲表示乙担任正组长，甲担任副组长，故属于排列问题，故A符合题意；对于B，从5人中选2人参加演讲比赛，比如选甲乙与乙甲是同一种选法，所以不是排列问题，故B不符合题意；对于C，从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点与顺序有关，如选1，2两个景点表示第一天参观1号景点，第二天参观2号景点；如选2，1两个景点表示第一天参观2号景点，第二天参观1号景点，所以是排列问题，故C符合题意；对于D，从10个相同大小的球中选3个放入箱子里，因为小球相同，任意拿3个放入箱子里只有1种方法，故与顺序无关，故不是排列问题，故D不符合题意. 15．（25-26高二下·上海·期中）数字按如图形式排列，设第二行中的最大数为，若，则符合要求的排列数为__________．（结果用数值表示） 【答案】 【详解】①第种情况：在第一行，的位置：种选择，的位置：种选择，剩余数字排列：，所以，第1种情况总数为．②第种情况：在第三行，的位置：种选择，的位置：种选择，剩余数字排列：，所以，第种情况总数为．所以，符合要求的排列数为． 16．（25-26高二下·江苏扬州·期中）用1，2，3...，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为_________（用数字作答） 【答案】224 【详解】用1，2，3…，9这九个数字，要组成没有重复数字的三位数的偶数，个位数必须是偶数，偶数有2，4，6，8共4种选择，因此可以组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为. 17．（25-26高二下·江苏·期中）5名学生进行拍照，其中A不站在两边，B站在最中间，则不同的排法种数为______. 【答案】12 【分析】先安排，，再安排其他3个人，得到答案 【详解】A有两个位置可以选择，有一个位置可以选择，除了A和B，其他3个人有种选择，故不同的排法种数为. 18．（25-26高二下·山东枣庄·期中）学校在暑假的某一天给新生安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6科讲座． (1)如果数学讲座必须比物理讲座先开讲，则不同的排法有多少种？ (2)如果语文讲座不能排在第一场，数学讲座不能排在最后一场，则不同的排法有多少种？ (3)如果在安排新增的政治、历史、地理3场讲座时，原定的6场讲座的相对顺序保持不变，则这9场讲座总共的不同排法有多少种？ 【答案】(1)360 (2)504 (3)504 【详解】（1）如果数学讲座必须比物理讲座先开讲，则不同的排法种数有种. （2）分为两种情况讨论，当语文讲座排在最后一场时，不同的排法种数有种， 当语文讲座不排在最后一场，也不排在第一场时，不同的排法种数有种， 综上所述，如果语文讲座不能排在第一场，数学讲座不能排在最后一场，则不同的排法有种. （3）如果在安排新增的政治、历史和地理3场讲座时，原定的6场讲座的相对顺序保持不变，则这9场讲座总共的不同排法种数有种. 19．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）已知张不同的奖券中有张中奖，张不中奖，现对这张奖券依次进行抽取，直至找出所有中奖奖券则停止.（请列式计算结果用数字表示） (1)若恰在第次抽取时抽到第一张中奖奖券，且第四次抽取时才抽到最后一张中奖奖券，则共有多少种不同的抽取顺序？ (2)若至多抽取次就能找出所有中奖奖券，则共有多少种不同的抽取顺序？ 【答案】(1) (2) 【分析】结合题意进行分类讨论，利用排列组合，分步乘法求解. 【详解】（1）由题意可知，前次抽取的结果为：第次不中奖、第次中奖、第次不中奖、第次中奖：第次从不中奖张中选张：共种选择；第次从张中奖券中选张：共种选择；第次从剩余张不中奖券中选张：共种选择；第次从剩余张中奖券中选张：共种选择；总抽取顺序：. （2）至多次停止，即停止在第次、第次、第次，分三类计算： 停止在第次：前两次都是中奖券，总顺序； 停止在第次：第次一定是中奖，前次有张中奖张不中奖： 从前个位置选个放中奖，共种，排列中奖券，选张不中奖排列：，总顺序； 停止在第次：第次一定是中奖，前次有张中奖张不中奖： 从前个位置选个放中奖，共种，排列中奖券，选张不中奖排列：，总顺序； 三类相加：. 20．（25-26高二下·重庆·期中）（1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】利用排列数和组合数的公式运算求解即可. 【详解】（1）原式 （2） 由题可知且 ，则，整理得，解得或（舍去），故. （3）由题可知且，则，整理得， 解得，又因为且，故，即不等式的解集为. 21．（25-26高二下·江苏无锡·期中）(1)身高互不相同的6人按要求站队列，站成两排，每排3人，若要求后排每位同学比他正前方的同学身高高，求不同的站法种数． (2)7人站成两排，前排3人，后排4人． ①共有多少种不同站法？ ②甲、乙、丙也要加入队列，决定前排加2人，后排加1人，且原队列中各人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法？ （各小题答案请用数字作答） 【答案】(1)；(2)①；② 【分析】（1）利用分步乘法原理来求解即可； （2）①根据题意，相当于7个人在7个不同的位置（前排3个，后排4个）上进行全排列，进而即可求解； ②根据题意，分后排和前排两步分析，对于后排：后排4人有5个空位，先从甲、乙、丙3人中选1人插入；对于前排：前排3人有4个空位，将剩余2人插入，要分2人不相邻和相邻两种情况讨论，进而即可求解． 【详解】（1）由将6人排成2排，每排3人，且后排每位同学比他正前方的同学身高高， 即将6人排成3列，每列2人，且自动将矮的同学放前排，高的同学排在后排，从6人中选2人给第一列，有种站法；从剩余的4人中选2人给第二列，有种站法；则剩余的2人自动为第三列，有种站法，所以有种不同的站法． （2）依题意可得①依题意可得，相当于7个人在7个不同的位置（前排3个，后排4个）上进行全排列，所以有种排法． ②对于后排：由后排有4人，即有5个空位，从甲、乙、丙3人中选1人插入，则后排有种排法，对于前排：由前排有3人，即有4个空位，将剩余2人插入，若2人不相邻，则有种排法；若2人相邻，则有种排法，则前排有种排法，所以有种不同的加入方法． 22．（25-26高二下·山东泰安·期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数． (1)可以组成多少个六位数奇数； (2)可以组成多少个被5整除的五位数； (3)可以组成多少个比3201大的四位数． 【答案】(1)种 (2)个 (3)个 【分析】（1）先排个位，再排首位，根据分步计数原理即可求解； （2）分个位为0和个位为5两类，然后根据分步计数原理和分类计数原理即可求解； （3）法一：分首位比3大和首位为3两类，然后分步计数原理和分类计数原理即可求解； 法二：根据对立事件法即可求解. 【详解】（1）第一步：先排个位，从1，3，5中选一个放个位，有3种情况； 第二步：排首位，从剩下的（去掉0和已排的个位数）4个数中选一个共有4种情况，其他位置的数字任意排，故有种. （2）个位是0的有个；个位是5的有个，所以共个. （3）法一：首位比3大的有个，首位是3，百位是4或5时有个，当首位为3，百位为2，十位可以是1或4或5时，有个， 当首位为3，百位为2，十位为0时，个位可以是4或5，共2种，所以共有个. 法二：用数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字的四位数有个，不比3201大的包含首位是1或2的有个，首位是3，百位是0或1的有个，首位是3、百位是2且不大于3201的数有1个，所以，比3201大的四位数共有个. 23．（10-11高二下·辽宁·期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 【答案】(1)156 (2)216 (3)270 【分析】（1）由题意符合要求的四位偶数可分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数； （2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和； （3）由题意，符合要求的比1325大的四位数可分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和． 【详解】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个; （2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有个； 个位数上的数字是5的五位数有个,故满足条件的五位数的个数共有个； （3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个； 第二类：形如14□□，15□□，共有个； 第三类：形如134□，135□，共有个； 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：个． 24．（25-26高二下·江苏无锡·期中）从名男生和名女生中选出人去参加一项创新大赛． (1)如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法？（用数字作答） (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） (3)如果人中必须既有男生又有女生，且男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目要求直接选取即可； （2）先算出总选法数，减去甲乙都不在的选法数即可； （3）先算出既有男生又有女生的选法数，然后减去既有男生又有女生但甲乙都不在的选法数即可； 【详解】（1）对于男生，从个男生中选人，选法数为种，对于女生，从个女生中选人，选法数为种，根据乘法原理，总选法数为种，因此，如果男生女生各选人，共种选法. （2）根据题意，从人中选取人，总选法数为种，若男生中的甲和女生中的乙都不在，则从剩下的人中选取人，选法数为种， 因此，男生中的甲和女生中的乙至少有人在内的选法数为种 （3）由（2）得，从人中选取人，总选法数为种，从人中选取人，全部为男生的选法数为种，全部为女生的选法数为种，因此，从人中选取人，既有男生又有女生的选法数为种， 若男生中的甲和女生中的乙都不在，则从剩下的人中选取人，选法数为种，此时还剩下了个男生和个女生，在这种条件下选取的人全部为男生的选法数为种，选取的人全部为女生的选法数为种，因此，从人中选取人，男生中的甲和女生中的乙都不在且既有男生又有女生的选法数为种，综上所述，从人中选取人，男生中的甲和女生中的乙至少有人在内且既有男生又有女生的选法数为种， ( 地 城 考点0 3 组合与组合数 ) 1．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】，解得或（舍去），所以. 2．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据组合数的定义和性质分析求解. 【详解】由题意知，①，此时无解；②，解得.经检验可知符合题意. 3．（25-26高二下·安徽合肥·期中）现有11个优秀团员的名额分配给8个班级，每班至少有1个名额，则名额分配的方法共有（   ） A．56种 B．112种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同元素分组问题，利用隔板法求解即可. 【详解】现有11个优秀团员的名额要分配给8个班级，要求每班至少一个名额，利用隔板法，把11个元素排成一列形成10个空，再在10个位置放置7个隔板，则共有种方案， 4．（25-26高二下·山东枣庄·期中）口袋中装有4个白球和5个红球，每个球编有不同的号码，从中取出2个球，则至少有1个白球的取法数为（   ） A．26 B．30 C．32 D．52 【答案】A 【详解】至少有1个白球为2个白球或1个白球，所以至少有1个白球的取法数为. 5．（25-26高二下·重庆·期中）现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（   ） A．15 B．30 C．31 D．32 【答案】C 【分析】根据题意，分别任选一张、两张、三张、四张或全选，结合组合数求组成的币值种数. 【详解】根据题意一共可以组成的币值种数为种． 6．（25-26高二下·江苏无锡·期中）某药品研究所研制了5种消炎药、、、、和4种退热药、、、，现从中取出两种消炎药和一种退热药同时使用进行疗效试验，已知两种药必须同时使用，且两种药不能同时使用，则不同的试验方案有（   ）种． A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】B 【详解】当取时，再取退热药有（种）方案，此时不同的试验方案有4（种）方案；当不取，且取时，取另一种消炎药的方法有（种）方案，由于两种药不能同时使用，所以再取退热药有（种）方案，此时不同的试验方案有（种）方案；当取时，再取退热药有（种）方案，此时不同的试验方案有4（种）方案；综上所述，不同的试验方案共有（种）方案. 7．（25-26高二下·河北邯郸·期中）将12瓶完全相同的矿泉水随机分给8位建筑工人（含甲、乙），在每人至少分得1瓶的前提下，甲和乙都分得2瓶的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列组合，结合隔板法求概率即可． 【详解】解：若每人至少分得1瓶，则由隔板法可得分法数为，在每人至少分得1瓶的前提下，甲和乙都分得2瓶，则其余8瓶分给6位建筑工人，由隔板法可得分法数为，故所求概率为. 8．（25-26高二下·广西贵港·期中）移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．如微信，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群”里的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流．如果某人在微信上发了朋友圈，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．现有一个10人的“群”，其中1人在朋友圈上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（   ）种． A．256 B．255 C．128 D．84 【答案】D 【分析】由题意知10人的“群”里，与发信息这人是“好友”关系的有3人，不是好友关系的有人，再结合组合问题求解即可. 【详解】由题意知，如果某人在微信上发了朋友圈，他的“好友”都可以看到，因为1人在朋友圈上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，所以，10人的“群”里，与发信息这人是“好友”关系的有3人，不是好友关系的有人，这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有种. 9．（25-26高二上·浙江杭州·期中）文化节跳蚤市场某班摊位举办抽奖活动，已知10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，由于10张奖券中只有3张有奖，那么5个人购买，每人1张，所有的情况为，那么对于没有人中奖的情况为，那么可知没有人中奖的概率为，所以至少有1人中奖的概率. 10．（25-26高二下·江苏无锡·期中）元旦文艺汇演，因演出需要，身高互不相等的8位同学要排成一排成一个“波浪形”，即同学们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六，七、八个依次递增，则不同的排列方式有（    ）种． A．181 B．171 C．231 D．191 【答案】A 【分析】根据题意得到排位中3号位必须比1,2,4,5,6号位置高，1号位是1，2，3中最低的，6号位是3，4，5，6，7，8中最低的，8号位是6，7，8中最高的，再对学生从矮到高编号，由3号位置是从身高最高的后3名同学中选取讨论求解. 【详解】由题意得：排位中3号位必须比1,2,4,5,6号位置高，1号位是1，2，3中最低的，6号位是3，4，5，6，7，8中最低的，8号位是6，7，8中最高的，从矮到高将8位同学编号为1，2，3，4，5，6，7，8，则3号位最小选6号，最大选8号，当3号位选6号时，则7，8号放入最后两个位置是确定的，所以先从1，2，3，4，5号中选两个放入前两个位置，余下的3个号放入4，5，6号位置，顺序是确定的只有一种情况，此时共种情况；当3号位选7号时，则8号是确定的，放入最后一个位置，先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置，余下的4个号中最小的放入6号位置，剩下3个选2个放入4，5两个位置，余下的号放入7号位置，此时共种情况，当3号位选8号时，先从1，2，3，4，5，6，7号中选两个放入前两个位置，余下的5个号中最小的放入6号位置，剩下4个选2个放入4，5两个位置， 余下的2个号放入最后两个位置，此时共种情况，由分类计数原理得共有10+45+126=181种情况. 11．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）________． 【答案】 【详解】. 12．（25-26高二下·重庆·期中）将个相同的篮球分给个班级，每班至少分个，则不同的分法种数为______． 【答案】 【分析】利用隔板法可求得结果. 【详解】个相同的篮球中间形成个空位，只需在这个空位中插入两块板即可，所以将个相同的篮球分给个班级，每班至少分个，则不同的分法种数为种. 13．（25-26高二下·江苏无锡·期中）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有_________种．（用数字作答） 【答案】 【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果. 【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种，所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种. 14．（25-26高二下·江苏·期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，6，7．从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是_____________． 【答案】 【详解】从这7张卡片中随机抽取3张，总共，已知所抽取卡片上数字的最小值为2，必须抽到2，且不能抽到1，另外2张卡片必须从3，4，5，6，7中选取，故抽取组合数为，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是：． 15．（25-26高二下·北京丰台·期中）从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛． (1)如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？ (2)如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？ 【答案】(1)30 (2)51 【分析】（1）先选男生有种选法，再选满足条件的女生有种选法，再由分步乘法计数原理即可得出答案. （2）方法一直接法，求出符合条件的两类选法，由分类加法计数原理即可得出答案；方法二排除法，用总的方法总数减去两种不符合条件的情况，即可得出答案. 【详解】（1）选1名男生，有种选法，选3名女生，且女生甲必须在内，有种选法．                  所以符合条件的不同选法有（种）． （2）方法一（直接法）：符合条件的选法有两类：第1类，2名男生，2名女生的选法有种； 第2类，3名男生，1名女生的选法有种；所以男生不少于2名的不同选法有（种）． 方法二（排除法）：因为从9名学生中，选4名代表的选法共有种，其中包括1男3女和4女0男两种不符合条件的情况，所以男生不少于2名的不同选法有（种）．故共有51种不同的选法． 16．（25-26高二下·山东济南·期中）袋中装有9个白球和8个红球，每个球编有不同的号码，现从中同时取出2个球. (1)正好是白球、红球各1个的取法有多少种？ (2)正好是2个红球的取法有多少种？ (3)至少有1个白球的取法有多少种？ (4)2个球的颜色相同的取法有多少种？ 【答案】(1)72 (2)28 (3)108 (4)64 【分析】（1）由分步乘法即可得解； （2）利用组合的知识运算即可得解； （3）分为白球、红球各一个和两个全是白球，结合分类加法即可得解； （4）分为两球全是白球和两球全是红球，结合分类加法、组合即可得解. 【详解】（1）从9个白球中取1个白球，有9种取法，从8个红球中取1个红球，有8种取法，所以共有种取法. （2）从8个红球中取2个红球，有种取法. （3）至少有1个白球的取法包含两类：第一类是1个白球、1个红球，第二类是2个白球.由分类加法计数原理知共有种取法. （4）2个球的颜色相同包含两类：第一类是2个白球，有种取法；第二类是2个红球，有种取法.故共有种取法. ( 地 城 考点0 4 分组与分配问题、相邻与不相邻问题 ) 1．（25-26高二下·河北邯郸·期中）用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（   ） A．280 B．420 C．720 D．1680 【答案】A 【分析】通过捆绑法即可求解. 【详解】要求3个2相邻，因为3个2是相同数字，将3个2捆绑为1个整体，捆绑内部无需排列，捆绑后共 个元素，由重复元素的排列公式得，因此符合要求的十位数个数为280. 2．（25-26高二下·重庆·期中）某种产品的加工需要经过道工序，，是其中两道工序，如果工序不能放在最前，也不能放在最后且和两道工序必须相邻，那么不同的加工顺序种数有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先排工序，有种排法，再排工序，有种排法，最后排其他三道工序，有种，因此不同的加工顺序种数为． 3．（25-26高二下·浙江丽水·期中）某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（   ） A．18 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【详解】依题意，可将四名同学先按照分组，再对三个社团进行分配即可，故不同的参加方法的种数为. 4．（25-26高二下·湖北·期中）将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（   ）种不同的放法． A．480 B．540 C．1440 D．4320 【答案】C 【分析】若红色盒子放一个小球，则剩下三个盒子按照或来放；若红色盒子放两个小球，则剩下三个盒子按照来放，再利用分组分配知识解决. 【详解】若红色盒子放一个小球，则剩下三个盒子按照或来放，若按照来放，有种；若按照来放，有种,若红色盒子放两个小球，则剩下三个盒子按照来放，共有种；故一共有种不同的放法. 5．（25-26高二下·湖北武汉·期中）为调查当前的商品市场价格，国家统计局将5位调查员分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行商品价格调查，则不同的分配方案的种数为（   ） A．90 B．180 C．30 D．15 【答案】A 【详解】5人按的分组方法数为，再将分成的3组分配到3个地区有种方法，所以不同的分配方案的种数为. 6．（多选）（25-26高二下·山东泰安·期中）下列选项正确的是（    ） A．从5男3女中选2人，若至少有1名女生，则有21种不同的选法 B．5人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有48种不同的排列方法 C．3男3女排成一列，若女生互不相邻，则有144种不同的排法 D．10个相同小球分给3个小朋友，若每人至少1个，则有42种不同的方法 【答案】BC 【分析】根据对立事件法可判断A；根据捆绑法可判断B，根据插空法可判断C；根据隔板法可判断D. 【详解】对于A：从8人中选2人，总选法为，全是男生的选法为， 因此至少1名女生的选法为，A错误；对于B：将甲乙看作1个整体，共4个元素全排列，再乘甲乙内部的排列： ，B正确； 对于C：先排3名男生，全排列得，3名男生共形成4个空位，从4个空位中选3个排入3名女生，得，总排法为，C正确； 对于D：个相同元素分给个对象、每人至少1个，公式为，代入得，D错误. 7．（多选）（25-26高二下·四川成都·期中）从名男生和名女生任选人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（   ） A．若名男生入选，且排成一排，则男生甲与男生乙不相邻的排法有种 B．若至少有一名女生入选，则一共有种选法 C．若男生甲和女生乙至少要有一人入选，那么有种选法 D．入选的人恰为两名男生两名女生的概率为 【答案】AC 【分析】利用排列组合的插空法，间接法求解. 【详解】总共有人任选人，总选法为 ，逐一分析选项. 选项A， 名男生全入选后排队，求甲乙不相邻的排法：用插空法，先排其余名男生，共种排法，产生个空位，将甲乙插入空位共 种，总排法为种，A正确； 选项B，至少名女生入选，用间接法：总选法减去全男生的选法，全男生选法仅种，因此符合条件的选法为，B错误； 选项C， 甲、乙至少人入选，间接法：总选法减去甲乙都不入选的选法.甲乙都不入选时，从剩余人中选人，选法为，因此符合条件的选法为，C正确； 选项D，恰为男女的选法为，概率为，D错误. 8．（多选）（25-26高二下·湖北武汉·期中）有6个人排成一排，下列说法正确的是（   ） A．甲乙相邻的排法有240种 B．甲乙不相邻的排法有144种 C．甲不在排头，乙不在排尾的排法有504种 D．甲不在排头并且乙丙相邻的排法有192种 【答案】ACD 【详解】对于A，因为甲乙相邻，所以甲乙相邻的排法有种，因此本选项说法正确；对于B，6个人排成一排，共有种排法，因为甲乙相邻的排法有240种，所以甲乙不相邻的排法有种，因此本选项说法不正确； 对于C， 当乙在排头时，此时排法有种，当甲，乙都不在排头，此时排法有，所以甲不在排头，乙不在排尾的排法有种，所以本选项说法正确； 对于D，当乙或丙在排头时，此时排法有种，当甲，乙，丙都不在排头，此时排法有，所以甲不在排头并且乙丙相邻的排法有种，所以本选项说法正确. 9．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期中）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（   ） A．若五位同学排队，要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种 B．若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不排甲，则不同的排法共有42种 C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，其他人可以任意排列，则不同的排法有20种 D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学只能去一个社区，则不同的分配方案有72种 【答案】BC 【分析】根据排列组合的典型方法：捆绑法、插空法、优先法、定序法、分组分配法逐项判断即可. 【详解】对于A，若五位同学排队甲、乙必须相邻的安排有种，然后与戊全排列的安排种，丙、丁不能相邻的安排有种（插入甲乙捆绑体与戊形成的3个空位中），共有种，故A不正确；对于B，若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则当甲在左端时，则有种安排方法；当乙在左端时，甲有种安排方法，其他人有种安排方法，故符合的总的安排方法种数为种，故B正确；对于C，若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有种，故C正确；对于D，若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，先将4人分三组的分组方法数为，再把三个组分配到三个社区的种方法数为，所以不同的分配方案有种，故D不正确. 10．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．从5男3女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有65种选法 C．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 D．6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球的放法种数为10 【答案】BCD 【分析】利用分步计数原理判断选项A；结合组合数的定义判断选项B；由平均分组分配法判断选项C；应用隔板法计算判断D. 【详解】对于A，由于每封信都有3种投法，则5封信有种投法，故A错误；对于B，从8人中任选4人有种，若4人全是男生有种，若4人中必须有男有女，所以共有种选法，故B正确；对于C，将4个不同的小球分成两组有种分组方法，再将这两组分配给4个盒子中的两个有种不同的分配方法，故C正确；对于D，将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放1个小球，则不同的放法种数是种，故D正确. 11．（多选）（25-26高二下·安徽合肥·期中）现有6本不同的书需要分配，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有360种不同的分配方式 B．平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本，有540种不同的分配方式 C．甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有90种不同的分配方式 D．甲得1本，乙得1本，丙得4本，有30种不同的分配方式 【答案】ACD 【分析】根据排列、组合的定义，结合分步计数原理依次计算判断即可. 【详解】对于A，先从6本书中选1本，有种分配方法，再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法，剩余的是3本书，有种分配方法，所以总共有（种）分配方法，将这三份书分别分给甲､乙､丙三人，则分配方法共有（种）分配方法，故A正确； 对于B，甲先从6本书中选2本，有种分配方法，乙再从剩余4本书中选择2本，有种分配方法，丙从剩余2本书中选择2本，有种分配方法，所以共有种分配方法，故B错误； 对于C，先从6本书中选4本，有种分配方法，再从剩余的2本书中选1本，有种分配方法，最后还剩1本书，因为在最后2本书的选择中发生了重复，所以总共有（种）分配方法.将这三份书分别分给甲､乙､丙三人，则分配方法共有（种），故C正确； 对于D，完成该事件，分三步，甲选1本，有种选法，乙从余下的5本书中选1本，有种选法，余下的4本书留给丙，有种选法，所以总共有（种）选法，故D正确. 12．（多选）（25-26高二下·湖北·期中）下列说法正确的有（   ） A．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则有48种排法 B．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则有144种排法 C．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有360种不同的分法 D．将6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法 【答案】AD 【分析】根据捆绑及排列可判断A；利用插空法可判断B；由分组分配可判断C；应用隔板法可判断D． 【详解】解：对于A，先捆绑甲和乙，再全排，则有种排法，故A正确； 对于B，先排学生，再老师插空，中间两空必须有教师，则有种，故B错误； 对于C，根据题意，分组可为；；，当分组为时，共有种； 当分组为时，共有种；当分组为时，共有种； 综上，共有种，故C错误；对于D，根据隔板法可知，共有种，故D正确． 13．（25-26高二下·湖北·期中）3名女生和3名男生站成一排拍照留影，男生甲不站两端，女生乙和丙必须相邻，一共有___________种不同的站法．（用数字回答） 【答案】144 【分析】根据捆绑法结合特殊元素优先的原则首先排女生乙丙和男生甲，然后排没有限制的元素，最后根据分步计数原理即可得出答案. 【详解】因为女生乙、丙必须相邻，先将二人捆绑为一个整体，二人内部有2种排列方式， 此时原6人简化为5个元素（整体+其余4人），要求男生甲不站两端，5个元素的排列中共有2个端点位置，甲不能选，因此甲有个位置可选，即3种站法，剩余4个元素无特殊要求，全排列有种站法，根据分步乘法计数原理，总站法为：. 14．（25-26高二下·浙江·期中）六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 【答案】144 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将看成一个整体，与除外的两人进行排列，形成了四个空，再将插入这四个空中，所以所有不同排法有种. 15．（25-26高二下·山东枣庄·期中）某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 【答案】150 【详解】先将5位教师分成3组，且每组至少1人，一共有2种分组方式：其中1、1、3分配方式有种；1、2、2分组方式有种；再将分好组的3组教师分配到3所乡村中学，其分法有种，所以分配方案的总数为 16．（25-26高二下·上海松江·期中）某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______．（用数字作答） 【答案】30 【分析】根据分类加法计数原理以及分组分配的求解方法即可求解. 【详解】若三个教室的人数分配是1,1,3，则甲乙连同另一个同学一起去一个教室，剩下两个同学分别去另两个教室，则有种安排方法，若三个教室的人数分配是1,2,2，则甲乙一起去一个教室，丙丁分别去另两个教室，戊去剩下两个教室中的一个，则有种安排方法，故总的方法有. 17．（25-26高二下·重庆·期中）现将6名优秀学生分配到三个班级进行研学活动． (1)若每个班级分配2名学生，求不同的分法种数； (2)若每个班至少分配1名学生，且分配到各班的人数互不相同，求不同的分法种数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将6名学生平均分为3组，再分配到三个班级即可； （2）先将6名学生分成3组，其中1组1人，1组2人，1组3人，再将3组分配到三个班即可. 【详解】（1）先将6名优秀学生分为3组，每组2人，共有种情况，再将3组学生分配到3个班级，有种情况，所以，满足条件的不同分法为种. （2）6名学生分成3组，每组人数至少1名且互不相等，唯一的整数拆分方案为：，即将6名学生分成3组，其中1组1人，1组2人，1组3人，有种，再将3组分配到三个班，有种分法，所以，总的分法为种. 18．（25-26高二下·江苏无锡·期中）7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生3人，女生3人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（列式并计算结果） (1)3名女生相邻； (2)3名男生互不相邻； (3)若3名男生身高都不等，从左往右按从高到低的一种顺序站； (4)老师不站中间，女生不站两端. 【答案】(1)720 (2)1440 (3)840 (4)1296 【分析】（1）根据题意，把3名女生看作一个元素，进行排列，即可求解； （2）把除去3名男生后剩余的4个元素全排列，再在5个空隙中放入3名男生，即可求解； （3）先对7个元素进行全排列，再除以3名男生的排列，即可求解； （4）根据题意，分为当老师站在两端中的一个位置和老师既不站中间也不站两端，结合排列数公式，即可求解. 【详解】（1）因为3名女生相邻，可把3名女生看作一个元素，先进行5个元素的全排列，再对3名女生全排列，共有种站法； （2）先把除去3名男生后剩余的4个元素全排列，再在5个空隙中放入3名男生，共有种站法. （3）先对7个元素进行全排列，再除以3名男生的排列，共有种站法. （4）由题意知，老师不站中间，女生不站两端，可分为两类： ①当老师站在两端中的一个位置，且女生不站两端时，有站法； ②当老师不站在两端，且不站在中间时，有种站法，由分类计数原理得，共有种不同的站法. 19．（25-26高二下·重庆·期中）在一场婚宴上，4对夫妇（包含甲、乙两位男性）和A，B共10人安排在一张有10个座位的圆桌上就餐（旋转后视为相同的坐法）. (1)若4对夫妇都相邻而坐，A，B也相邻而坐，求不同的坐法种数； (2)若4对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙两人的妻子因是好友要相邻而坐，A，B不相邻，求不同的坐法种数； (3)就餐后进行合影留念，若随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻，求不同的排法种数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把每对夫妇看成一个整体，A，B也看成一个整体，转化为5个元素的排列，再求安排到圆桌的排法即可； （2）利用捆绑法与插空法求解即可； （3）先选出符合条件的6人，再利用捆绑法求解即可. 【详解】（1）每对夫妇看成一个整体，当作一个元素，A，B也看成一个整体，当作一个元素，所以问题就是5个不同的元素的排序问题，5个不同的元素排成一列有种不同的排法，把这一列的5个元素排在一个圆桌上时有种不同的排法；又每个元素内部各有2种不同的排法，所以共有； （2）甲、乙两对夫妇相邻，且甲妻与乙妻相邻，则这四人形成一个整体，内部排法有(甲-甲妻-乙妻-乙)和(乙-乙妻-甲妻-甲)2种把这两对夫妇看作一个元素，另外每对夫妇看作一个元素，这3个元素排成一列有种不同的排法，再安排到圆桌就座时有种不同的方法，再把，A，B插入前面三个元素形成的三个空位中有种不同的方法，又前面三个元素内部各有2种不同的排法，所以共有种不同的排法； （3）4对夫妇任选1对夫妇有种不同的选法，再从3对夫妇和A，B共选4人， 若A，B都选，从3对夫妇选2人（不是夫妇）有种选法，所以6人站成一排合影，选到的1对夫妇相邻的排法有，所以共有； 若A，B选1人，从3对夫妇选3人（不是夫妇）有种选法，所以6人站成一排合影，选到的1对夫妇相邻的排法有，所以共有； 综上所述：随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻的排法有. ( 地 城 考点0 5 二项式定理 ) 1．（25-26高二下·山东枣庄·期中）设，若，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】令，则，解得， 展开式中的的系数为，展开式中的的系数为，所以. 2．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）的展开式中的系数为（   ） A．12 B．36 C．54 D．108 【答案】D 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有，令，则， 故的展开式中的系数为. 3．（25-26高二下·山东泰安·期中）除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由题意得，又因为， 所以除以9的余数为. 4．（25-26高二下·河北邯郸·期中）展开式的常数项为（   ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【详解】展开式的常数项为. 5．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）若，其中a，b为整数，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】， 所以，所以. 6．（25-26高二下·江西赣州·期中）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的的系数为（   ） A．20 B． C． D．15 【答案】B 【详解】由二项式系数的对称性可知，当只有第4项的二项式系数最大时，共有7项，即， 由可知，第项，当时，解得，则的系数为. 7．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）的二项展开式中的常数项为（   ） A． B．20 C． D．15 【答案】B 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得答案. 【详解】的通项公式为，令可得，即其常数项为. 8．（25-26高二下·浙江·期中）设，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法，分别令、，即可判断AD；根据二项展开式的通项判断BD. 【详解】因为，令，可得，故A错误； 令，可得，故D错误；又因为的第7项为，所以，故B错误，C正确. 9．（25-26高二下·河南·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法，令、和，再列式求解即可． 【详解】解：令，得①，令，得②，①＋②，得，即，令，得，∴． 10．（25-26高二下·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为，当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数，因此只有为偶数时，能取到系数的最大值，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，因此当时，系数为是所有项中最大的系数，，因此系数最大的项是第7项. 11．（多选）（25-26高二下·河南·期中）已知的展开式的二项式系数之和为128，则下列结论正确的是（   ） A． B．的系数为560 C．展开式中各项系数和为1 D．展开式中二项式系数最大的项只有第4项 【答案】AC 【分析】对于A，由二项式系数之和为即可求解；对于B，列出展开式通项，再求特定项的系数即可；对于C，利用赋值法，令即可求；对于D，根据二项式系数的对称性即可得到． 【详解】对于A，由题知，，得，故A正确； 对于B，∵，令，得，∴的系数为，故B错误；对于C，令，得，故C正确；对于D，∵，∴展开式中共有8项，根据二项式系数的性质知，展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项，故D错误． 12．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．除以5的余数为4 D． 【答案】AC 【分析】对于选项A，因为求常数项，所以可令展开式中的，代入函数式计算；对于选项B，因为求奇数项系数和，所以可分别令和得到两个等式，再通过两式的运算得出奇数项系数和；对于选项C，先计算，再将底数转化为5的倍数加余数的形式，利用二项式定理展开分析余数；对于选项D，先对原函数式求导，再令代入导函数式计算. 【详解】选项A，令，代入得：，即，A正确； 选项B，利用赋值法求奇次项系数和：令：① 令：②，①②得：， 即，B错误；，根据二项式定理展开得： ，因为展开式中当时，所有项都含有因数，都能被整除， 所以除以的余数，仅看第一项（时）除以的余数.又因为除以的余数规律满足： 余，余，余，余，余，可见余数周期为，所以对周期取余：，因此的余数与的余数相同，即余，因此除以余数为，C正确； 选项D，对两边求导得：， 令，左边为：，右边恰好是，即结果为，D错误. 13．（多选）（25-26高二下·福建福州·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由赋值法逐项判断即可. 【详解】令，可得，所以A错误；令，可得， 即，所以，所以B正确； 令，所以，即， 又因为，两式相加得， 所以，所以C正确；因为，， 所以，所以D错误. 14．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．展开式中项数共有11项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 【答案】BD 【分析】利用二项式定理及二项展开式的通项公式，结合展开式中的特定项的求法即可求解. 【详解】依题意，展开式的通项公式为， 因为第6项为常数项，所以时，有，解得，故A错误；由，得展开式中项数共有项，故B正确；令，得，所求含项的系数为.故C错误；由,令，,则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取，所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确. 15．（25-26高二下·山东枣庄·期中）的展开式中的系数是_________（用数字作答）． 【答案】20 【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项. 【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：， 令，得，的通项公式为：， 令，解得：，,项为，的系数是20. 16．（25-26高二下·江苏无锡·期中）若，则_________． 【答案】10 【详解】令，则原等式变为， 展开式的通项为，令指数，解得，所以． 17．（25-26高二下·上海松江·期中）若的展开式中的系数为10，则实数______． 【答案】2 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，列出方程求出a的值. 【详解】，又令得，因为的展开式中的系数为10，所以. 18．（25-26高二下·湖北·期中）若，则的值被8除的余数为____________． 【答案】1 【分析】利用赋值法，可得系数之和，根据二项式定理可得展开式，可得系数的正负，从而可得系数绝对值之和，结合二项式定理，可得答案． 【详解】令，得，因为， 所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，所以， 又，故被除余1． 19．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知多项式，则=______． 【答案】25 【分析】将展开为，确定各因式中的系数，相加得到. 【详解】，展开式的通项为令得，则的展开式中项的系数是；令得，则的展开式中项的系数是；令得，则的展开式中项的系数是；所以. 20．（25-26高二下·上海·期中）（1）在的二项展开式中，求的幂指数是负数的项的个数； （2）设，若的展开式中第4项､第5项､第6项的系数成等差数列，求的值. 【答案】（1）9（2）或 【分析】（1）先根据二项式定理求得通项，进而求得所需的项的个数； （2）根据题意列得等式计算得到参数的值； 【详解】（1）根据二项式定理可得通项为， 要求的幂指数是负数，即，解不等式，解得 因为是整数，且，所以，共有项. （2）由题意可知第4项､第5项､第6项的系数成等差数列，则， 即，因为，所以，即，解得或 21．（25-26高二下·山东枣庄·期中）已知在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，并且所有项的系数之和为1． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求的展开式中的常数项． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）利用二项式系数的单调性求得的值，再利用展开式通项求解； （2）计算得，分别求的常数项，进而求解. 【详解】（1）由题意，展开式中第5项的二项式系数为，只有这一项的二项式系数最大，则展开式中一共有9项，可得，又所有项的系数之和为1，取代入，得，又因为，所以， 所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为 （2）由（1）知，， 因为二项式的展开式的通项为，所以的常数项为， 的常数项为，所以的展开式中的常数项为． 22．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知函数，其中，，．当时，． (1)求的值； (2)求时，的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式计算，建立关于的方程，解之即可； （2）根据求导公式和求导法则求出，两式相减即可求解； （3）由组合数的计算公式可得，结合二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】（1）当时，，， ∵，∴，∵，∴， （2）当时，， ， 当时，①， 当时，②， ①-②得：，∴． （3）∵， ∴=3. 23．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知（为正整数）展开式的所有项的二项式系数和为128. (1)求展开式中的第4项； (2)求展开式中有理项的个数； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2)共有4个有理项 (3)5103和 【分析】（1）借助二项式系数和计算可得，再利用二项式的展开式的通项公式计算即可得解； （2）利用二项式的展开式的通项公式，令的次数为整数计算即可得； （3）令，解出后代入二项式的展开式的通项公式即可得. 【详解】（1）由，可得， 则展开式的通项公式为，其中， 令，得，所以展开式中的第4项为； （2）当为整数时，对应的项为展开式中的有理项，故可以为1，3，5，7，所以共有4个有理项； （3）由题意，设第项为系数最大的项，则， 即有，整理得， 解得，又，所以或，则，， 所以展开式中系数最大的项为和. 24．（25-26高二下·浙江·期中）已知． (1)当时，展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍， ①求的值； ②求展开式中系数最大的项； (2)若时，在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)①9；② (2) 【分析】（1）①根据题目条件得到方程，求出；②写出通项公式，进而得到不等式组，求出，从而得到系数最大的项； （2）等价于 ，构造函数，求导，分两种情况，结合函数单调性，得到不等式，求出答案 【详解】（1）①由已知得：，所以，解得：． ②通项公式为，设，设最大， 令所以化简得，又，所以． 所以当时，系数最大项为． （2）若时，，则 ； 设，则恒成立；， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 又时，，所以，要想恒成立，需满足， 解得，结合，所以．当时，，， 所以在单调递减，在单调递增，故 ， 又，由，故．综上． 25．（24-25高二下·山西阳泉·期中）在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为． (1)求n的值； (2)求展开式中含的项的二项式系数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项式系数的定义列出和的方程，求解即得； （2）利用二项式的通项公式确定展开式中含的项，计算即得答案. 【详解】（1）第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为． 又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为， ，，，故的值为； （2）因，由解得， 故展开式中含的项的二项式系数为. 26．（25-26高二下·湖北·期中）已知在的展开式中常数项为，且． (1)求二项式系数最大的项和系数绝对值最大的项． (2)从展开式中的所有项中任取四项，取出的四项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法． 【答案】(1)， (2)111 【分析】（1）利用通项公式可求得，利用二项式的性质可求二项式系数最大的项，设第项系数的绝对值最大，可得的不等式，求解即可； （2）令，可求得展开式中有理项和无理项的项数，利用组合数公式可求得取出的四项中既有有理项也有无理项的取法数. 【详解】（1）根据展开式的通项可得，令，解得． 常数项，解得，所以二项式系数最大的项， 设第项系数的绝对值最大，则，即，又，所以或3， 即第3项和第4项系数的绝对值最大，即； （2）令，解得，即展开式中的有理项共有3项，无理项有6项； 所以从展开式中的所有项中任取四项，取出的四项中既有有理项也有无理项的取法共有种． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 排列组合、二项式定理 5大高频考点概览 题型01计数原理 题型02排列与排列数 题型03组合与组合数 题型04分组与分配、相邻与不相邻的问题 题型05二项式定理 ( 地 城 考点01 计数原理 ) 1．（25-26高二下·湖北·期中）有3封不同的信投入4个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（   ） A．81 B．64 C．24 D．12 2．（25-26高二下·重庆·期中）从甲地去乙地，可以乘船，也可以坐火车，还可以乘飞机，一天中，乘船有6个班次，坐火车有9个班次，乘飞机有2个班次，则从甲地去乙地一天中不同的走法种数为（   ） A．17 B．30 C．66 D．108 3．（25-26高二下·河北邯郸·期中）已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（   ） A．4 B．19 C．60 D．480 4．（25-26高二下·福建福州·期中）中国古墨可分为松烟墨、油烟墨、药墨等种类.现有4名学生，每人从松烟墨、油烟墨、药墨中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（25-26高二下·山东济南·期中）5名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（   ） A．8种 B．15种 C．种 D．种 6．（25-26高二下·湖北·期中）某大学在东、南、西、北及东南五个方向上各有一个校门，如果一在校大学生从其中任意一个校门进入学校，并且要求从其它的校门出去，那么共有（   ）种进出学校的方式． A． B． C． D． 7．（25-26高二下·重庆·期中）多项式展开后的项数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（25-26高二下·山东济南·期中）从6本不同的数学书，4本不同的英语书中任取1本，则不同的取法种数是（   ） A．10 B．24 C． D． 9．（25-26高二下·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（25-26高二下·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 11．（多选）（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 12．（（多选）25-26高二下·黑龙江大庆·期中）将编号为1，2，……，n的n个小球放入编号为1，2，……，2n的2n个盒子中，每个盒子至多放一个小球，且对任意，i号球所在的盒子编号小于号球所在的盒子编号，记为号球放入编号为k的盒子的概率，则下列说法正确的有（   ） A．当时，共有6种放小球的方法 B．当时，2号球放入的盒子编号不小于3的方法共有16种 C．当时， D．当时，在处取得最大值 13．（多选）（25-26高二下·重庆·期中）商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网，如图，图中线段均为可行走的通道.甲从某点出发，随机地选择一条最短路线，到达另一点，则（   ） A．甲从出发经过到达的方法共有6种 B．甲从出发到达的方法共有100种 C．甲从出发经过到达的方法共有24种 D．甲从出发到达的方法比从出发到达的方法少27种 14．（25-26高二下·山东聊城·期中）现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是__________. 15．（25-26高二下·河北邯郸·期中）如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种． 16．（25-26高二下·湖北武汉·期中）的不同正因数有_____________个． 17．（25-26高二下·山东济南·期中）五一长假期间，要从6人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天的情况，则不同的安排方法种数为__________. 18．（25-26高二下·上海·期中）是的全排列，如果对任意的，和中至多有一个小于，则满足要求的排列的总数为__________. 19．（25-26高二下·山东泰安·期中）在未来智慧城市的高空智能运维场景中，一只仿生机器狗需经6级垂直检修梯从一栋建筑的底层平台抵达顶层平台.机器狗配备三种攀爬模式：常规爬行1级，液压跨步2级，动力跳跃3级.受限于梯级结构，机器狗仅能向上行进，不可后退，不可单次跨越超过3级，攀爬过程中攀爬模式可自由变换.该机器狗从底层平台到顶层平台，共有______种不同的攀爬方法．（用数字作答） ( 地 城 考点0 2 排列与排列数 ) 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东枣庄·期中）参加校运动会跳远决赛的同学共有5名，他们要决出从第1名到第5的名次.代表本班级进入决赛的甲和乙同学比赛结束后回到班级，同学们纷纷询问甲和乙比赛结果，甲同学回答说：“太遗憾了，我和乙都没得到冠军.”乙同学回答说：“让我感到安慰的是我不是倒数第一！”根据甲乙同学的回答分析，参赛的5位同学的名次排列情况有（   ）种 A．48 B．54 C．78 D．90 3．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）从4本不同的数学书中选出2本，赠送给2位同学，每人一本，则不同的赠送方法共有（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 4．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某班级有5名男生和4名女生，现要选出3人组成代表队，并从中选出一名队长和一名副队长（队长和副队长不能由同一人担任），且要求代表队中至少有一名女生，则不同的选派方案总数可以用下列哪个式子计算（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建福州·期中）现有4支救援队前往3个受灾点执行救援任务.若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法数是（ ） A．24 B．36 C．48 D．56 6．（25-26高二下·山东菏泽·期中）某旅游团3名导游和30名游客站成两排拍照留念，要求第一排站15人，第二排站18人，则3名导游站在一起且站在第一排的排法总数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖北·期中）涠水漾波映华灯，元宵欢歌满帝乡．某市元宵无人机灯光秀在淂水法治广场震撼启幕，架无人机以天为幕、以光为笔，为市民与游客献上一场兼具科技感、文化味与烟火气的视觉盛宴，让元宵之夜焕发出别样光彩．已知其中一幅无人机表演图片展示的是其名片之一——皇桃．现用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完，则一共有多少种不同的染色方法（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·山东聊城·期中）满足不等式（）的的值可能为（   ） A．8 B．9 C．7 D．11 9．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）从5件不同的礼物中选出2件分别送给2位同学，不同的送法种数是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 10．（25-26高二下·浙江衢州·期中）甲乙丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（   ） A．36种 B．72种 C．96种 D．120种 11．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，其中偶数必须排在奇数位的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．72 12．（25-26高二下·湖北武汉·期中）有六支球队争夺一次比赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品，A、B是六支球队中的两支，若A、B不都得奖，则不同的发奖方式共有（   ） A．144 B．216 C．336 D．360 13．（多选）（25-26高二下·山东枣庄·期中）下列四个关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）（25-26高二下·重庆·期中）下列问题中，属于排列问题的是（   ） A．从5人中选2人担任正、副组长 B．从5人中选2人参加演讲比赛 C．从6个景点中选2个安排两天的游览，每天游览1个景点 D．从10个相同大小的球中选3个放入箱子里 15．（25-26高二下·上海·期中）数字按如图形式排列，设第二行中的最大数为，若，则符合要求的排列数为__________．（结果用数值表示） 16．（25-26高二下·江苏扬州·期中）用1，2，3...，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为_________（用数字作答） 17．（25-26高二下·江苏·期中）5名学生进行拍照，其中A不站在两边，B站在最中间，则不同的排法种数为______. 18．（25-26高二下·山东枣庄·期中）学校在暑假的某一天给新生安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6科讲座． (1)如果数学讲座必须比物理讲座先开讲，则不同的排法有多少种？ (2)如果语文讲座不能排在第一场，数学讲座不能排在最后一场，则不同的排法有多少种？ (3)如果在安排新增的政治、历史、地理3场讲座时，原定的6场讲座的相对顺序保持不变，则这9场讲座总共的不同排法有多少种？ 19．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）已知张不同的奖券中有张中奖，张不中奖，现对这张奖券依次进行抽取，直至找出所有中奖奖券则停止.（请列式计算结果用数字表示） (1)若恰在第次抽取时抽到第一张中奖奖券，且第四次抽取时才抽到最后一张中奖奖券，则共有多少种不同的抽取顺序？ (2)若至多抽取次就能找出所有中奖奖券，则共有多少种不同的抽取顺序？ 20．（25-26高二下·重庆·期中）（1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 21．（25-26高二下·江苏无锡·期中）(1)身高互不相同的6人按要求站队列，站成两排，每排3人，若要求后排每位同学比他正前方的同学身高高，求不同的站法种数． (2)7人站成两排，前排3人，后排4人． ①共有多少种不同站法？ ②甲、乙、丙也要加入队列，决定前排加2人，后排加1人，且原队列中各人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法？ （各小题答案请用数字作答） 22．（25-26高二下·山东泰安·期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数． (1)可以组成多少个六位数奇数； (2)可以组成多少个被5整除的五位数； (3)可以组成多少个比3201大的四位数． 23．（10-11高二下·辽宁·期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 24．（25-26高二下·江苏无锡·期中）从名男生和名女生中选出人去参加一项创新大赛． (1)如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法？（用数字作答） (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） (3)如果人中必须既有男生又有女生，且男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） ( 地 城 考点0 3 组合与组合数 ) 1．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26高二下·安徽合肥·期中）现有11个优秀团员的名额分配给8个班级，每班至少有1个名额，则名额分配的方法共有（   ） A．56种 B．112种 C．120种 D．240种 4．（25-26高二下·山东枣庄·期中）口袋中装有4个白球和5个红球，每个球编有不同的号码，从中取出2个球，则至少有1个白球的取法数为（   ） A．26 B．30 C．32 D．52 5．（25-26高二下·重庆·期中）现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（   ） A．15 B．30 C．31 D．32 6．（25-26高二下·江苏无锡·期中）某药品研究所研制了5种消炎药、、、、和4种退热药、、、，现从中取出两种消炎药和一种退热药同时使用进行疗效试验，已知两种药必须同时使用，且两种药不能同时使用，则不同的试验方案有（   ）种． A．12 B．14 C．18 D．24 7．（25-26高二下·河北邯郸·期中）将12瓶完全相同的矿泉水随机分给8位建筑工人（含甲、乙），在每人至少分得1瓶的前提下，甲和乙都分得2瓶的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·广西贵港·期中）移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．如微信，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群”里的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流．如果某人在微信上发了朋友圈，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．现有一个10人的“群”，其中1人在朋友圈上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（   ）种． A．256 B．255 C．128 D．84 9．（25-26高二上·浙江杭州·期中）文化节跳蚤市场某班摊位举办抽奖活动，已知10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·江苏无锡·期中）元旦文艺汇演，因演出需要，身高互不相等的8位同学要排成一排成一个“波浪形”，即同学们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六，七、八个依次递增，则不同的排列方式有（    ）种． A．181 B．171 C．231 D．191 11．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）________． 12．（25-26高二下·重庆·期中）将个相同的篮球分给个班级，每班至少分个，则不同的分法种数为______． 13．（25-26高二下·江苏无锡·期中）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有_________种．（用数字作答） 14．（25-26高二下·江苏·期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，6，7．从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是_____________． 15．（25-26高二下·北京丰台·期中）从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛． (1)如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？ (2)如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？ 16．（25-26高二下·山东济南·期中）袋中装有9个白球和8个红球，每个球编有不同的号码，现从中同时取出2个球. (1)正好是白球、红球各1个的取法有多少种？ (2)正好是2个红球的取法有多少种？ (3)至少有1个白球的取法有多少种？ (4)2个球的颜色相同的取法有多少种？ ( 地 城 考点0 4 分组与分配问题、相邻与不相邻问题 ) 1．（25-26高二下·河北邯郸·期中）用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（   ） A．280 B．420 C．720 D．1680 2．（25-26高二下·重庆·期中）某种产品的加工需要经过道工序，，是其中两道工序，如果工序不能放在最前，也不能放在最后且和两道工序必须相邻，那么不同的加工顺序种数有（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·浙江丽水·期中）某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（   ） A．18 B．36 C．48 D．72 4．（25-26高二下·湖北·期中）将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（   ）种不同的放法． A．480 B．540 C．1440 D．4320 5．（25-26高二下·湖北武汉·期中）为调查当前的商品市场价格，国家统计局将5位调查员分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三个不同的地区进行商品价格调查，则不同的分配方案的种数为（   ） A．90 B．180 C．30 D．15 6．（多选）（25-26高二下·山东泰安·期中）下列选项正确的是（    ） A．从5男3女中选2人，若至少有1名女生，则有21种不同的选法 B．5人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有48种不同的排列方法 C．3男3女排成一列，若女生互不相邻，则有144种不同的排法 D．10个相同小球分给3个小朋友，若每人至少1个，则有42种不同的方法 7．（多选）（25-26高二下·四川成都·期中）从名男生和名女生任选人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（   ） A．若名男生入选，且排成一排，则男生甲与男生乙不相邻的排法有种 B．若至少有一名女生入选，则一共有种选法 C．若男生甲和女生乙至少要有一人入选，那么有种选法 D．入选的人恰为两名男生两名女生的概率为 8．（多选）（25-26高二下·湖北武汉·期中）有6个人排成一排，下列说法正确的是（   ） A．甲乙相邻的排法有240种 B．甲乙不相邻的排法有144种 C．甲不在排头，乙不在排尾的排法有504种 D．甲不在排头并且乙丙相邻的排法有192种 9．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期中）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（   ） A．若五位同学排队，要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种 B．若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不排甲，则不同的排法共有42种 C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，其他人可以任意排列，则不同的排法有20种 D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学只能去一个社区，则不同的分配方案有72种 10．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．从5男3女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有65种选法 C．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 D．6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球的放法种数为10 11．（多选）（25-26高二下·安徽合肥·期中）现有6本不同的书需要分配，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有360种不同的分配方式 B．平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本，有540种不同的分配方式 C．甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有90种不同的分配方式 D．甲得1本，乙得1本，丙得4本，有30种不同的分配方式 12．（多选）（25-26高二下·湖北·期中）下列说法正确的有（   ） A．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则有48种排法 B．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则有144种排法 C．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有360种不同的分法 D．将6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法 13．（25-26高二下·湖北·期中）3名女生和3名男生站成一排拍照留影，男生甲不站两端，女生乙和丙必须相邻，一共有___________种不同的站法．（用数字回答） 14．（25-26高二下·浙江·期中）六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 15．（25-26高二下·山东枣庄·期中）某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 16．（25-26高二下·上海松江·期中）某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______．（用数字作答） 17．（25-26高二下·重庆·期中）现将6名优秀学生分配到三个班级进行研学活动． (1)若每个班级分配2名学生，求不同的分法种数； (2)若每个班至少分配1名学生，且分配到各班的人数互不相同，求不同的分法种数． 18．（25-26高二下·江苏无锡·期中）7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生3人，女生3人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（列式并计算结果） (1)3名女生相邻； (2)3名男生互不相邻； (3)若3名男生身高都不等，从左往右按从高到低的一种顺序站； (4)老师不站中间，女生不站两端. 19．（25-26高二下·重庆·期中）在一场婚宴上，4对夫妇（包含甲、乙两位男性）和A，B共10人安排在一张有10个座位的圆桌上就餐（旋转后视为相同的坐法）. (1)若4对夫妇都相邻而坐，A，B也相邻而坐，求不同的坐法种数； (2)若4对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙两人的妻子因是好友要相邻而坐，A，B不相邻，求不同的坐法种数； (3)就餐后进行合影留念，若随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻，求不同的排法种数． ( 地 城 考点0 5 二项式定理 ) 1．（25-26高二下·山东枣庄·期中）设，若，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）的展开式中的系数为（   ） A．12 B．36 C．54 D．108 3．（25-26高二下·山东泰安·期中）除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 4．（25-26高二下·河北邯郸·期中）展开式的常数项为（   ） A． B．20 C． D． 5．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）若，其中a，b为整数，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 6．（25-26高二下·江西赣州·期中）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的的系数为（   ） A．20 B． C． D．15 7．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）的二项展开式中的常数项为（   ） A． B．20 C． D．15 8．（25-26高二下·浙江·期中）设，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·河南·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 11．（多选）（25-26高二下·河南·期中）已知的展开式的二项式系数之和为128，则下列结论正确的是（   ） A． B．的系数为560 C．展开式中各项系数和为1 D．展开式中二项式系数最大的项只有第4项 12．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．除以5的余数为4 D． 13．（多选）（25-26高二下·福建福州·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 14．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．展开式中项数共有11项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 15．（25-26高二下·山东枣庄·期中）的展开式中的系数是_________（用数字作答）． 16．（25-26高二下·江苏无锡·期中）若，则_________． 17．（25-26高二下·上海松江·期中）若的展开式中的系数为10，则实数______． 18．（25-26高二下·湖北·期中）若，则的值被8除的余数为____________． 19．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知多项式，则=______． 20．（25-26高二下·上海·期中）（1）在的二项展开式中，求的幂指数是负数的项的个数； （2）设，若的展开式中第4项､第5项､第6项的系数成等差数列，求的值. 21．（25-26高二下·山东枣庄·期中）已知在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，并且所有项的系数之和为1． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求的展开式中的常数项． 22．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知函数，其中，，．当时，． (1)求的值； (2)求时，的值； (3)求的值． 23．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知（为正整数）展开式的所有项的二项式系数和为128. (1)求展开式中的第4项； (2)求展开式中有理项的个数； (3)求展开式中系数最大的项. 24．（25-26高二下·浙江·期中）已知． (1)当时，展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍， ①求的值； ②求展开式中系数最大的项； (2)若时，在上恒成立，求的取值范围． 25．（24-25高二下·山西阳泉·期中）在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为． (1)求n的值； (2)求展开式中含的项的二项式系数． 26．（25-26高二下·湖北·期中）已知在的展开式中常数项为，且． (1)求二项式系数最大的项和系数绝对值最大的项． (2)从展开式中的所有项中任取四项，取出的四项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $