专题06 离散型随机变量及其分布（期中真题汇编）高二数学下学期人教A版

专题06 离散型随机变量及其分布 5大高频考点概览 题型01条件概率与全概率 题型02离散型随机变量分布列及其数字特征 题型03二项分布与超几何分布 题型04正态分布 ( 地 城 考点01 条件概率与全概率 ) 1．（25-26高二下·浙江·期中）在一个装有大小、形状都一样的3个白球，2个黑球和1个红球的箱子内，无放回地摸球，每次摸一个，在已知第一次摸到白球的条件下，第二次仍摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南·期中）已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广西贵港·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“两个点数都出现偶数”，表示事件“在第一枚的点数是偶数的条件下，第二枚的点数也是偶数”，则关于事件、的概率大小关系成立的是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 4．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某智能设备的运行状态每秒钟按照以下规则随机切换（状态为A，B，C）： 当前状态为A时，下一秒保持A的概率为0.2，变为B的概率为0.5，变为C的概率为0.3； 当前状态为B时，下一秒保持B的概率为0.1，变为A的概率为0.4，变为C的概率为0.5； 当前状态为C时，下一秒保持C的概率为0.4，变为A的概率为0.3，变为B的概率为0.3； 已知初始状态为A，在状态B下，设备会以0.8的概率发出警报，在其他状态下，设备以0.1的概率发出警报，则第2秒末设备发出警报的概率为（   ） A．0.268 B．0.272 C．0.286 D．0.294 5．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知 ，，=，则=（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江西赣州·期中）一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）一个袋子中有4张卡片，分别标有数字1，2，3，4，不放回地随机抽取两张卡片，记事件A：“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，事件B：“两次抽到的数字之和为偶数”，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二下·河南许昌·期中）寒假期间，甲同学早上去博物馆有三种出行方式：步行、坐轻轨、坐出租车，概率分别为，，.当他步行、坐轻轨和坐出租车时，到达博物馆能立即找到讲解器的概率分别为，，，则下列说法中正确的是（   ） A．甲同学今天早上步行出行与坐轻轨出行是互斥事件 B．甲同学今天早上坐轻轨出行与坐出租车出行相互独立 C．甲同学到达博物馆能立即找到讲解器的概率大于 D．若甲同学今天早上到达博物馆立即找到了讲解器，则他是步行出行的概率为 9．（多选）（25-26高二下·江西吉安·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A．事件相互独立 B．事件互斥 C． D． 10．（多选）（25-26高二上·浙江杭州·期中）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（    ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是 11．（25-26高二下·上海·期中）三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为.将三批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为__________. 12．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________． 13．（25-26高二下·河南·期中）某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 14．（25-26高二下·北京丰台·期中）某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 15．（25-26高二下·江苏南京·期中）从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为______. 16．（25-26高二下·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 17．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这两个球都是黄球的概率为__________． 18．（25-26高二下·山东泰安·期中）现有甲，乙两个不透明箱子，甲箱内装有3个白球，2个红球，乙箱内装有2个白球，4个红球，所有小球除颜色外完全相同． (1)从乙箱中每次随机取出1个球，取出后不再放回，求在第1次取出的是白球的条件下，第2次取出红球的概率； (2)先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球．已知从乙箱中取出的球为白球，求从甲箱中取出的两个球均为白球的概率． ( 地 城 考点0 2 离散型随机变量分布列及其数字特征 ) 1．（25-26高二下·河南·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 2．（25-26高二下·广西贵港·期中）已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 3．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某人对一个密码锁进行密码尝试，最多尝试4次，一旦输入正确就停止尝试，记尝试次数为X，则事件表示的试验结果是（   ） A．第4次尝试正确 B．第4次尝试错误 C．前3次尝试均错误 D．前3次尝试均正确 4．（25-26高二下·浙江丽水·期中）抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（   ） A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 5．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知随机变量的分布列如表所示，且满足，则（   ） 0 3 A． B． C．4 D．5 6．（25-26高二下·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 7．（25-26高二下·福建福州·期中）一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸球，每次摸取 1 个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为，则的数学期望（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知随机变量的分布列如下表所示，设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（多选）（25-26高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列为 -1 0 1 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（25-26高二下·江苏常州·期中）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则___． X 0 1 P 2m m 13．（25-26高二下·江西吉安·期中）有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机抽取3次，每次抽取1张，记为标有数字i的卡片被取出的次数，记，则______． 14．（25-26高二下·河南许昌·期中）为迎接国庆佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的4个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球，若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；若摸到两红球，可获得价值百元代金券；若摸到两白球，可获得价值百元代金券（，均为正整数）.已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者至多获得_________百元代金券. 15．（25-26高二下·河南·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 16．（25-26高二下·江苏南京·期中）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 17．（25-26高二下·山东临沂·期中）将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排. (1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列，期望. 18．（25-26高二下·上海·期中）甲､乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)设，记比赛结束时的场数为，求的分布､期望和方差； (2)已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求的值. 19．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． (1)求恰有1个红球的概率； (2)设3个球中，黑球的个数为X，求X的分布列及数学期望； 20．（25-26高二下·浙江丽水·期中）甲、乙、丙三个人组团参加某闯关游戏，规定闯关时每次只能派一人上场，且每人最多只能上场一次，若前一个人在规定时间内不能完成闯关，则再派下一个人继续闯关，直至有人闯关成功或三人均闯关失败则游戏结束．现已知甲、乙、丙三人各自在规定时间内能完成闯关的概率分别为，且，假定各人能否完成任务的事件相互独立． (1)若，求这三人闯关成功概率，并回答闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序是否有关？ (2)设游戏结束时所需要派出人员数目为，求的分布列和期望的最小值． 21．（25-26高二下·北京丰台·期中）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.40 m以上（含9.40 m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.90，9.78，9.65，9.54，9.42，9.40，9.38，9.35，9.30，9.25； 乙：9.79，9.58，9.52，9.50，9.39，9.37，9.36，9.33，9.27，9.23； 丙：9.85，9.75，9.66，9.50，9.46，9.41，9.35，9.30，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 22．（25-26高二下·江苏南京·期中）有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的个红球和个白球． (1)取出五个盒子，分别编号为， 第一步，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子中的红球放入号盒子，白球放入号盒子； 第二步，从号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回号盒子中； 第三步，从号盒子中随机摸出一个球，查看颜色． ①求第三步摸到的球是红球的概率； ②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从号盒子里摸出的两个球是放入号盒子中，还是放回号盒子中，哪种可能性更大呢？ (2)取出个盒子，重新编号，依次为， 从号盒子里随机摸出一个球放入号盒子，再从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，重复上述操作，直至从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，最后从号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时号盒子中红球个数的期望为，试比较与的大小． 23．（25-26高二下·江苏无锡·期中）设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段．实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立．其中实验室检测阶段包括环节Ⅰ和环节Ⅱ，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立．某公司汽车研发出甲、乙两款车型，现对其进行性能检测．实验室检测阶段中甲车通过Ⅰ、Ⅱ环节的概率分别为，，乙车通过Ⅰ、Ⅱ环节的概率分别为，，路面检测环节中甲、乙款车合格的概率分别为，． (1)已知甲款车型进入到路面检测，求甲在Ⅰ、Ⅱ环节都通过的概率； (2)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (3)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值． 24．（25-26高二下·上海·期中）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 25．（25-26高二下·浙江衢州·期中）我校有两个相互独立的消防安全警报系统（简称系统）甲和乙，系统甲和乙在任意时刻发生故障的概率分别为和． (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值； (2)设系统甲在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望． 26．（25-26高二下·广东·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. ( 地 城 考点0 3 二项分布与超几何分布 ) 1．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知随机变量，则（   ） A． B． C．15 D．16 2．（25-26高二下·北京丰台·期中）若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山东临沂·期中）某试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建福州·期中）甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏连云港·期中）某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 7．（多选）（25-26高二下·河北邯郸·期中）一箱脐橙共有12个，其中有若干个为烂果，从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率不大于，则这箱脐橙的烂果个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（多选）（25-26高二下·河北邯郸·期中）若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（   ） A．恒小于 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 9．（多选）（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知袋子中放有大小质地完全相同的6个红球和4个黄球，则下列说法正确的有（    ） A．若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则 B．若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数，则 C．若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，为摸出红球的次数与摸出黄球的次数之差，则 D．若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则 10．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为，则的数学期望______________. 11．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，，则______． 12．（25-26高二下·上海松江·期中）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______． 13．（25-26高二下·浙江丽水·期中）袋中装有大小相同的五个小球，其编号分别为1，2，3，4，5．每次从袋中随机摸出一个小球，记下编号后放回袋中，搅拌均匀再进行摸取，设第次摸取小球的编号为，则在中：圆的个数的方差为________． 14．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设随机变量，其中且，若，，则________________. 15．（25-26高二下·江西吉安·期中）某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上、下山的方式互不影响． (1)从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率； (2)从该景区出口随机选取4名下山的游客，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列及数学期望． 16．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）． 17．（25-26高二下·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 18．（25-26高二下·河北邯郸·期中）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 19．（25-26高二下·福建福州·期中）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 20．（25-26高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． ( 地 城 考点0 4 正态分布 ) 1．（25-26高二下·浙江·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 2．（25-26高二下·河北邯郸·期中）若随机变量，且，则（   ） A．0.13 B．0.26 C．0.14 D．0.27 3．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26高二下·浙江衢州·期中）已知随机变量，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 5．（25-26高三上·云南曲靖·期中）某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 6．（25-26高二下·重庆·期中）下列说法错误的是（    ） A．若随机变量，则 B．若，，，则事件与事件独立 C．若随机变量的方差，则 D．若随机变量服从正态分布，若，则 7．（多选）（25-26高二下·浙江丽水·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．已知随机变量的分布列为，则 B．若随机变量且，则 C．在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则 D．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 8．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量ξ服从正态分布，若，则 C．某射击运动员每次射击击中目标的概率均为0.8，设击中目标的次数为X，则在9次射击中，当且仅当时概率最大 D．对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立 9．（25-26高二下·上海松江·期中）某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 10．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则_________． 11．（24-25高二下·辽宁大连·期中）经统计，某市高三学生期末数学成绩，且，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于80分的概率是________. 12．（25-26高二下·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 13．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 14．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 离散型随机变量及其分布 5大高频考点概览 题型01条件概率与全概率 题型02离散型随机变量分布列及其数字特征 题型03二项分布与超几何分布 题型04正态分布 ( 地 城 考点01 条件概率与全概率 ) 1．（25-26高二下·浙江·期中）在一个装有大小、形状都一样的3个白球，2个黑球和1个红球的箱子内，无放回地摸球，每次摸一个，在已知第一次摸到白球的条件下，第二次仍摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一次摸到白球后，还剩2个白球，2个黑球和1个红球，所以第二次仍摸到白球的概率是. 2．（25-26高二下·湖南·期中）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以. 3．（25-26高二下·广西贵港·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“两个点数都出现偶数”，表示事件“在第一枚的点数是偶数的条件下，第二枚的点数也是偶数”，则关于事件、的概率大小关系成立的是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】B 【分析】本题主要考查古典概型和条件概率，关键是分清事件和事件的区别，分别计算出它们的概率，再比较大小即可. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的点数为，，，，，，其中偶数点数有个，即，，，所以两枚骰子的总基本事件数为种，事件表示两个点数都出现偶数，共有种，因此，. 设事件为第一枚的点数为偶数，事件为第二枚点数为偶数，则， ，所以，因此. 4．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某智能设备的运行状态每秒钟按照以下规则随机切换（状态为A，B，C）： 当前状态为A时，下一秒保持A的概率为0.2，变为B的概率为0.5，变为C的概率为0.3； 当前状态为B时，下一秒保持B的概率为0.1，变为A的概率为0.4，变为C的概率为0.5； 当前状态为C时，下一秒保持C的概率为0.4，变为A的概率为0.3，变为B的概率为0.3； 已知初始状态为A，在状态B下，设备会以0.8的概率发出警报，在其他状态下，设备以0.1的概率发出警报，则第2秒末设备发出警报的概率为（   ） A．0.268 B．0.272 C．0.286 D．0.294 【答案】A 【分析】先求第秒末设备处于各状态的概率，再由转移规则求出第秒末设备处于，， 三种状态的概率，最后利用全概率公式求第秒末发出警报的概率. 【详解】因为初始状态为，所以第秒末的状态分布为，，， 第秒末处于状态的概率为， 第秒末处于状态的概率为， 第 秒末处于状态的概率为， 检验可得，第秒末发出警报的概率为，所以第秒末设备发出警报的概率为. 5．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知 ，，=，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式和并事件的概率公式即可求解. 【详解】代入，， . 6．（25-26高二下·江西赣州·期中）一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设事件为“第一次取得二等品”，事件为“第二次取得一等品”，利用全概率及贝叶斯公式计算概率即可． 【详解】解：设事件为“第一次取得二等品”，事件为“第二次取得一等品”，则事件为“第一次取得二等品，且第二次取得一等品”，，， 所以． 7．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）一个袋子中有4张卡片，分别标有数字1，2，3，4，不放回地随机抽取两张卡片，记事件A：“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，事件B：“两次抽到的数字之和为偶数”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举出事件和事件的基本事件个数，利用条件概率公式即可求解. 【详解】事件为“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，所有满足条件的基本事件为：共个.事件要求“两次抽到的数字之和为偶数”，和为偶数需要两个数字同奇偶，结合的条件，满足要求的基本事件只有共个.因此 . 8．（多选）（25-26高二下·河南许昌·期中）寒假期间，甲同学早上去博物馆有三种出行方式：步行、坐轻轨、坐出租车，概率分别为，，.当他步行、坐轻轨和坐出租车时，到达博物馆能立即找到讲解器的概率分别为，，，则下列说法中正确的是（   ） A．甲同学今天早上步行出行与坐轻轨出行是互斥事件 B．甲同学今天早上坐轻轨出行与坐出租车出行相互独立 C．甲同学到达博物馆能立即找到讲解器的概率大于 D．若甲同学今天早上到达博物馆立即找到了讲解器，则他是步行出行的概率为 【答案】ACD 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，由全概率公式求解判断；对D，由条件概率的计算公式求解判断. 【详解】设“甲同学今天早上步行出行”为事件，“甲同学今天早上坐轻轨出行”为事件， “甲同学今天早上坐出租车出行”为事件，“甲同学到达博物馆能立即找到讲解器”的事件为B．对于A，A1与A2不可能同时发生，故A正确；对于B，因为，，但， 故，故B错误；对于C，由，，，，，，由全概率公式得： ．故C正确； 对于D，由题意可知所求概率为，故D正确． 9．（多选）（25-26高二下·江西吉安·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A．事件相互独立 B．事件互斥 C． D． 【答案】AC 【详解】事件相互独立的充要条件是，由，，，结合，可得：， 由，则，即事件相互独立，故A正确； 互斥事件充要条件是，这里，故B错误；因为，所以，因为，所以，故C正确；根据条件概率公式计算：，因为，所以，即，故D错误. 10．（多选）（25-26高二上·浙江杭州·期中）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（    ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是 【答案】ABC 【分析】分别分析甲、乙、丙、丁四位同学随机选择选项的情况，计算各自能得分的概率，逐一判断即可. 【详解】对于A：甲同学仅随机选一个选项，能得3分的情况为在中选择或， 所以其概率为，故A正确；对于B：乙同学仅随机选两个选项，能得5分的情况为在中选择，所以其概率为，故B正确；对于C：丙同学随机选择选项，能得分的情况为在中选择中的一种， 所以其概率为，故C正确；对于D：丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的情况为在中选择，所以其概率为，故D错误； 11．（25-26高二下·上海·期中）三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为.将三批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为__________. 【答案】 【详解】由全概率公式可知：从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率 . 12．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________． 【答案】/ 【分析】记棋子在位置时最终获胜的概率为，根据概率之间的关系建立方程组求解即可. 【详解】记棋子在位置时最终获胜的概率为，则，因为棋子位于0时向左右移动的概率都为，所以，又因为棋子位于1时向左移动的概率为，向右移动的概率为，所以，代入可得，解得. 因为棋子初始位于0，所以获胜概率即为. 13．（25-26高二下·河南·期中）某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 【答案】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算． 【详解】解：设事件：抽到1，2，3，4号签，事件：抽到5，6号签，事件B：抽到一等奖奖券，则，，，，∴，∴． 14．（25-26高二下·北京丰台·期中）某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算. 【详解】乘火车、飞机的事件分别为，这人迟到的事件为，则，，因此，所以这个人迟到的概率为0.38. 15．（25-26高二下·江苏南京·期中）从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为______. 【答案】 【详解】记事件“女生甲被选中”，事件“两名男生被选中”，从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动共有种选法.女生甲被选中的概率，女生甲被选中且两名男生被选中的概率.女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率. 16．（25-26高二下·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 【答案】/0.5 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据概率加法公式和、的值求出，最后根据对立事件概率公式求出． 【详解】由条件概率公式，可得，故， 又因，则，所以． 17．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这两个球都是黄球的概率为__________． 【答案】/ 【详解】在第一个盒子中取到的两个球都是黄球的概率为，在第二个盒子中取到的两个球都是黄球的概率为，从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球， 则这两个球都是黄球的概率为. 18．（25-26高二下·山东泰安·期中）现有甲，乙两个不透明箱子，甲箱内装有3个白球，2个红球，乙箱内装有2个白球，4个红球，所有小球除颜色外完全相同． (1)从乙箱中每次随机取出1个球，取出后不再放回，求在第1次取出的是白球的条件下，第2次取出红球的概率； (2)先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球．已知从乙箱中取出的球为白球，求从甲箱中取出的两个球均为白球的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可 （2）先对从甲箱中取出的两球的颜色分类，再由全概率公式或贝叶斯公式求解即可. 【详解】（1）设A=“第1次取出白球”，B=“第2次取出红球”，则第1次取出白球且第2次取出红球为事件AB，∴，，∴，∴在第1次取出白球的条件下，第2次取出红球的概率为 （2）设C=“从乙箱中取出1个白球”，=“从甲箱中取出2个白球”，=“从甲箱中取出1白1红两球”，=“从甲箱中取出2个红球”，则，且，，两两互斥， 根据题意，，，，且，，，由全概率公式，得 ，则， ∴已知从乙箱中取出的球为白球，从甲箱中取出的两个球均为白球的概率为. ( 地 城 考点0 2 离散型随机变量分布列及其数字特征 ) 1．（25-26高二下·河南·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【详解】因为X服从两点分布，所以，结合条件得，． 2．（25-26高二下·广西贵港·期中）已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 【答案】C 【详解】因为概率和为1，所以，化简得，解得或， 又因为，概率不能为负数，故. 3．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某人对一个密码锁进行密码尝试，最多尝试4次，一旦输入正确就停止尝试，记尝试次数为X，则事件表示的试验结果是（   ） A．第4次尝试正确 B．第4次尝试错误 C．前3次尝试均错误 D．前3次尝试均正确 【答案】C 【分析】根据变量的意义进行判断. 【详解】事件表示尝试次数为4次.根据规则，进行第4次尝试的充要条件是前3次尝试均错误，故事件与‘前3次尝试均错误’等价. 4．（25-26高二下·浙江丽水·期中）抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（   ） A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 【答案】B 【详解】抛掷一枚均匀硬币两次，则抛掷硬币的次数为，不是随机变量，A不满足；出现正面的次数是随机的，可作为随机变量，B满足；出现正面或反面的次数，标准不明确，不是随机变量，C不满足； 出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，不是随机变量，D不满足. 5．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知随机变量的分布列如表所示，且满足，则（   ） 0 3 A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用分布列性质来求参数，再利用期望和方差公式计算即可求解. 【详解】由分布列的性质，所有概率和为1，得：①，由得：②，联立①②得，解得：，.由方差公式，可得，代入公式得：. 6．（25-26高二下·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质，得，所以；所以的均值为 ，解得. 7．（25-26高二下·福建福州·期中）一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸球，每次摸取 1 个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为，则的数学期望（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算. 【详解】依题意知：的取值为，故（第一次摸到红球）， （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）， （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）， （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）， 期望：. 8．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知随机变量的分布列如下表所示，设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数学期望计算公式计算，然后根据代入计算即可. 【详解】由随机变量的分布列可知， 因为，则，故D正确. 9．（25-26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用期望和方差公式将数学期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可． 【详解】∵，同理，由已知，∴， ∵，而， ∴，同理，且有， ∴，故． 10．（多选）（25-26高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列为 -1 0 1 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A：由分布列的性质，得，解得，所以，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误． 11．（多选）（25-26高二下·江苏常州·期中）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意得，解得，所以，， ，． 12．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则___． X 0 1 P 2m m 【答案】 【分析】由离散型随机变量的性质，概率之和为1即可求解. 【详解】由概率之和为1可得：，解得. 13．（25-26高二下·江西吉安·期中）有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机抽取3次，每次抽取1张，记为标有数字i的卡片被取出的次数，记，则______． 【答案】 【分析】列出随机变量的所有取值为1、2、3，再计算所有取值的概率，最后再由期望公式求解即可. 【详解】依题意，的可能取值为1､2､3，总的选取可能数为，， ，，所以. 14．（25-26高二下·河南许昌·期中）为迎接国庆佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的4个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球，若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；若摸到两红球，可获得价值百元代金券；若摸到两白球，可获得价值百元代金券（，均为正整数）.已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者至多获得_________百元代金券. 【答案】18 【分析】根据题意可知百元代金券的所有可能取值为，根据超几何分布可得随机变量取各个值的概率，即可得的分布列，再求期望可知，最后结合基本不等式求的最大值，即可得解． 【详解】设抽奖一次可获得百元代金券，则的所有可能取值为， 摸到一红球一白球的概率，摸到两红球的概率， 摸到两白球的概率．则的分布列如下： a b ，即，．由题意知，运气最好者获得百元代金券，则， 当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为18. 15．（25-26高二下·河南·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先利用组合数公式分别求出甲、乙面试合格的概率，再根据事件的独立性，通过两概率相乘计算出甲乙都合格的概率； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再针对每个取值，用组合数公式计算出对应概率，最后整理得到分布列. 【详解】（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格， 由题知，A，B相互独立，，∵，， ∴，∴甲、乙面试都合格的概率为． （2）由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P 16．（25-26高二下·江苏南京·期中）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过把甲同学所有可能选择答案的样本空间列出，再使用古典概型计算公式计算甲同学得4分的概率； （2）列出2道多项选择题的总得分变量的取值情况，再通过独立事件乘法公式计算出每种情况的概率，列出变量的分布列. 【详解】（1）设“甲同学得4分”为事件，该同学所有可能的选择答案的样本空间，包含6个样本点，而事件A包含3个，所以 所以他本题得4分的概率为． （2）设“这2道多项选择题的总得分”为随机变量，可能取值为0，3，6，9，12， 则，，，       ，， 所以随机变量的概率分布如下： 17．（25-26高二下·山东临沂·期中）将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排. (1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列，期望. 【答案】(1)36种 (2)分布列见解析，1 【详解】（1）先从中间的 3 个空位中选出 2 个空位排 2 个白球， 再把 3 个红球全排放入剩下的 3 个空位，共 (种)，所以 2 个白球均不排在两端的所有排法种数为36 . （2）由题意知 的所有可能取值为0，1，2，3， 则 ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以. 18．（25-26高二下·上海·期中）甲､乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)设，记比赛结束时的场数为，求的分布､期望和方差； (2)已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）先确定的取值并计算相应的概率，通过列出分布列再根据期望和方差的公式求解； （2）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4局的概率，然后利用条件概率求解. 【详解】（1）可能的取值为，， ， ， 所以的分布列为 ，. （2）设甲队获胜为事件，比赛恰好进行4局为事件，， ，根据题目可知，， 代入条件概率公式可得， 化简可得 ， 令，可得 ，解得或，所以或. 19．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． (1)求恰有1个红球的概率； (2)设3个球中，黑球的个数为X，求X的分布列及数学期望； 【答案】(1) (2) X 0 1 2 3 P 【分析】（1）根据给定条件，利用组合数公式及古典概率公式求解. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【详解】（1）设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件A，则. （2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望． 20．（25-26高二下·浙江丽水·期中）甲、乙、丙三个人组团参加某闯关游戏，规定闯关时每次只能派一人上场，且每人最多只能上场一次，若前一个人在规定时间内不能完成闯关，则再派下一个人继续闯关，直至有人闯关成功或三人均闯关失败则游戏结束．现已知甲、乙、丙三人各自在规定时间内能完成闯关的概率分别为，且，假定各人能否完成任务的事件相互独立． (1)若，求这三人闯关成功概率，并回答闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序是否有关？ (2)设游戏结束时所需要派出人员数目为，求的分布列和期望的最小值． 【答案】(1)，闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序无关 (2) 1 2 3 ； 【分析】（1）根据对立事件及独立事件乘法公式计算求解； （2）根据独立事件概率计算公式确定分布列，结合实际逻辑利用作差法确定最小值. 【详解】（1）因为无论以怎样的顺序派出人员，闯关不能成功的概率都是， 所以闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序无关， 并等于； （2）设依次派出的三个人各自完成任务的概率分别是，其中是对于的任意排列，随机变量的分布为 1 2 3 ； 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值． 即 下面证明：．（*） 当且时，， 当或时，因为， 所以 综上：成立． 21．（25-26高二下·北京丰台·期中）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.40 m以上（含9.40 m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.90，9.78，9.65，9.54，9.42，9.40，9.38，9.35，9.30，9.25； 乙：9.79，9.58，9.52，9.50，9.39，9.37，9.36，9.33，9.27，9.23； 丙：9.85，9.75，9.66，9.50，9.46，9.41，9.35，9.30，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】(1)；(2)；(3)甲 【分析】（1）用频率估计概率结合古典概率计算可得； （2）依题意列出的可能取值，求出对应的分布列，再代入期望公式计算可得； （3）由概率比较可得. 【详解】（1）甲以往的10次成绩中有6次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为；由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为； （3）由于铅球比赛成绩最远者胜，且甲、丙取得优秀奖的概率相同，均大于乙，但甲的最好成绩高于丙，故甲获得冠军的概率最大. 22．（25-26高二下·江苏南京·期中）有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的个红球和个白球． (1)取出五个盒子，分别编号为， 第一步，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子中的红球放入号盒子，白球放入号盒子； 第二步，从号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回号盒子中； 第三步，从号盒子中随机摸出一个球，查看颜色． ①求第三步摸到的球是红球的概率； ②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从号盒子里摸出的两个球是放入号盒子中，还是放回号盒子中，哪种可能性更大呢？ (2)取出个盒子，重新编号，依次为， 从号盒子里随机摸出一个球放入号盒子，再从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，重复上述操作，直至从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，最后从号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时号盒子中红球个数的期望为，试比较与的大小． 【答案】(1)①；②放回1号盒子的可能性更大；(2) 【分析】（1）先确定第一步结束后1号盒子和2号盒子中红球和白球的数量，然后分别计算3种情况下摸到红球的概率，然后利用全概率公式求解答案即可，利用贝叶斯公式分别计算出第三步摸到的是白球，第二步从1号盒子里摸出的两个球放入2号盒子和放回1号盒子的概率，然后根据概率的大小确定可能性. （2）先通过全概率公式和构造不动点等比数列去确定摸到红球的概率是不变的，然后列出的分布列并计算期望，再化简和比较大小即可. 【详解】（1）第一步结束后，1号盒子中有3个红球和2个白球，2号盒子中有3个白球和2个红球． ①设“第三步从2号盒子中摸出红球”为事件 设“第二步从1号盒子中摸出2个红球”为事件，则.此时2号盒子中有4红3白，. 设“第二步从1号盒子中摸出2个白球”为事件，则.此时2号盒子中有2红5白，则.设“第二步从1号盒子中摸出1个红球和1个白球”为事件，则. 此时2号盒子中有2红3白，则，则 故第三步从2号盒子中摸出红球的概率是. ②设“第三步从2号盒子中摸出白球”为事件，则. . .最大，所以放回1号盒子的可能性更大. （2）记“从号盒子中摸出的球为红球”，所以， 则由全概率公式可得：. 又，， 又，，.设号盒子中红球个数为，可能取值为， ，，.. 而.. 23．（25-26高二下·江苏无锡·期中）设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段．实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立．其中实验室检测阶段包括环节Ⅰ和环节Ⅱ，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立．某公司汽车研发出甲、乙两款车型，现对其进行性能检测．实验室检测阶段中甲车通过Ⅰ、Ⅱ环节的概率分别为，，乙车通过Ⅰ、Ⅱ环节的概率分别为，，路面检测环节中甲、乙款车合格的概率分别为，． (1)已知甲款车型进入到路面检测，求甲在Ⅰ、Ⅱ环节都通过的概率； (2)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (3)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值． 【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析，； 【分析】（1）由条件的概率公式求解即可； （2）先求出甲乙两款车分别能进入路面检测的概率，再根据要求求解即可； （3）由题意可得，分别求出各自的概率，列出分布列，再求均值即可. 【详解】（1）记事件：“甲在Ⅰ、Ⅱ环节都通过”，事件：“甲款车型进入到路面检测”， 则，，所以 （2） 记事件：“甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测”，为甲款车进入路面检测；为乙款车进入路面检测，则有，， 则 （3）由题意可得， 由题意可得：甲款车进入量产的概率，乙款车进入量产的概率， 所以，，， 所以的分布列如下： 所以 24．（25-26高二下·上海·期中）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 【答案】(1),，事件与事件不独立. (2) 0 1 3 5 ， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得的值，利用条件概率公式可求得的值，利用独立事件的定义可判断出事件和事件的关系； （2）分析可知，随机变量的可能取值有，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出和的值. 【详解】（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得，由条件概率公式可得，因为，所以，故事件与事件不独立. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：，则， ，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 0 1 3 5 故. 方差 25．（25-26高二下·浙江衢州·期中）我校有两个相互独立的消防安全警报系统（简称系统）甲和乙，系统甲和乙在任意时刻发生故障的概率分别为和． (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值； (2)设系统甲在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析为： 0 1 2 3 期望为. 【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件同时发生的概率建立方程求解； （2）根据次独立重复试验的概率公式求出分布列，计算期望即可. 【详解】（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件A，那么，解得. （2）由题意，的可能取值为，则， ，，， 所以随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 所以 26．（25-26高二下·广东·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知的可能取值为，根据古典概型计算概率即可写出分布列； （2）由分布列即可计算期望与方差； （3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”. 【详解】（1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则. ( 地 城 考点0 3 二项分布与超几何分布 ) 1．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知随机变量，则（   ） A． B． C．15 D．16 【答案】D 【分析】借助二项分布方差公式与方差性质计算即可得. 【详解】由，则，则. 2．（25-26高二下·北京丰台·期中）若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布方差计算公式和方差运算性质即可求解. 【详解】由题意可得，则. 3．（25-26高二下·山东临沂·期中）某试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记表示试验成功的次数，试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率. 4．（24-25高二下·福建福州·期中）甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相互独立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为甲队与乙队实力之比为，所以每局比赛中甲获胜的概率为，则甲队打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，其概率为，故选：D. 5．（25-26高二下·江苏连云港·期中）某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，结合二项分布的数学期望公式与方差公式即可求与；根据排列组合知识和古典概型可知Y取0，1，2，4时的概率，再由公式即可求与，比较大小即可求解. 【详解】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知，由二项分布的数学期望公式与方差公式可知：，.由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4，，，，，， ，. 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以.根据条件概率公式，可得.再根据条件概率公式，可得.所以随机变量，令，解得，因为，所以当时，取得最大值.故选：B 7．（多选）（25-26高二下·河北邯郸·期中）一箱脐橙共有12个，其中有若干个为烂果，从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率不大于，则这箱脐橙的烂果个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【详解】设这一箱脐橙中有个烂果，则从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率，解得或，结合各选项，所以这箱脐橙的烂果个数可能为． 8．（多选）（25-26高二下·河北邯郸·期中）若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（   ） A．恒小于 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】利用二项分布得到，，，，再由即可判断A；根据即可判断B；分别计算即可判断C；根据即可判断D． 【详解】因为， 所以，， ，，因为与相互独立， 所以， ，A正确，B错误. ， ， 则，C正确； ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以等号取不到，D错误． 9．（多选）（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知袋子中放有大小质地完全相同的6个红球和4个黄球，则下列说法正确的有（    ） A．若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则 B．若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数，则 C．若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，为摸出红球的次数与摸出黄球的次数之差，则 D．若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则 【答案】ABD 【分析】根据独立事件概率乘法公式求解判断A，利用超几何分布列的概率求解判断B，由二项分布的方差公式及方差性质求解判断C；求出的所有可能取值并求出概率，再由公式求得即可判断D. 【详解】对选项A，若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数， 则，故A正确；对选项B，若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数，则，故B正确；对选项C，若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，记摸到红球次数为X，则，摸到黄球次数为，则， 所以，故C错误；对选项D，若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则的可能取值为3，4，5，6，7，则，，，，，则，故D正确；故选：ABD 10．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记三次罚球中命中的次数为，则的数学期望______________. 【答案】/ 【分析】由二项分布的均值公式即可求解. 【详解】由题意可得，则. 11．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，，则______． 【答案】 【分析】根据二项分布的期望以及方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】，故，所以, 故. 12．（25-26高二下·上海松江·期中）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______． 【答案】3 【分析】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个,再结合超几何分布求解即可. 【详解】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个，设从中任取2个球，白球的个数为，则的可能取值为0,1,2，所以，， 所以取到白球个数的数学期望为，即，整理得，解得，所以口袋中白球的个数为3个. 13．（25-26高二下·浙江丽水·期中）袋中装有大小相同的五个小球，其编号分别为1，2，3，4，5．每次从袋中随机摸出一个小球，记下编号后放回袋中，搅拌均匀再进行摸取，设第次摸取小球的编号为，则在中：圆的个数的方差为________． 【答案】/ 【分析】由题意知若表示圆，则，计算出，则，利用二项分布的方差计算公式即可得解. 【详解】若表示圆，则，则符合的情况有：，，，，，则，又，所以. 14．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设随机变量，其中且，若，，则________________. 【答案】/ 【分析】先利用期望的性质及，求出，再根据二项分布的期望，方差的公式求出，再利用方差的性质求解即可. 【详解】因为，，又因为，所以，解得.因为随机变量，其期望，所以. 因为二项分布的方差，解得. 因为，将，代入可得. 15．（25-26高二下·江西吉安·期中）某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上、下山的方式互不影响． (1)从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率； (2)从该景区出口随机选取4名下山的游客，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用全概率公式即可求解； （2）由二项分布列概率公式和期望公式计算即可. 【详解】（1）设事件A为“游客步行上山”，事件B为“游客乘观览车上山”，事件C为“游客步行下山”， 由题意可知，，，， 由全概率公式，即该游客是步行下山的概率为． （2）由（1）可知每位游客步行下山的概率均为，故这4人中步行下山的游客人数， 故， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X的数学期望． 16．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）1100万元 【分析】（1）利用古典概型的定义即可求解； （2）（ⅰ）记事件“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），根据概率加法公式和事件相互独立定义即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，然后根据二项分布期望公式结合条件即得. 【详解】（1）根据题意，6名部门领导参加，恰有3人来自A部门，2人都来自于A部门的概率为 （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第i轮培训达到优秀”（，2，3）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ．即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记A，B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y，则，则， 所以（万元），即估计A，B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 17．（25-26高二下·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列: 数学期望为. 【详解】（1）设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品． ，，． （2）由已知可得：，则． 所以的分布列为： ． 18．（25-26高二下·河北邯郸·期中）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【答案】(1)0.93； (2)11； (3)他愿意购买“准时保”. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）由（1）的结论，利用二项分布的方差公式列式求解. （3）由（1）的结论，求出购买“准时保”的期望，与给定条件比对即可. 【详解】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 依题意，，， 由全概率公式得， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. （2）依题意，的所有可能取值为，，则，由的方差大于，得，解得，所以的最小值为11. （3）他愿意购买“准时保”.设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， ，， 显然，即亏损期望不超过元，所以他愿意购买“准时保”. 19．（25-26高二下·福建福州·期中）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ， (3)该系统会得到推广，理由见解析 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则，则； （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布，则， ，，， 的分布列为： 0 1 2 3 ，； （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 20．（25-26高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，由题意分析服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列即可； （2）利用第一问直接求出能过关的概率． 【详解】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布，所以，所以，，，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 （2）他能过关的概率为 ( 地 城 考点0 4 正态分布 ) 1．（25-26高二下·浙江·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【分析】利用正态分布曲线对称性求解即可. 【详解】根据正态分布曲线可知图象关于对称，则． 2．（25-26高二下·河北邯郸·期中）若随机变量，且，则（   ） A．0.13 B．0.26 C．0.14 D．0.27 【答案】A 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为，且，所以，则. 3．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求解本题. 【详解】已知随机变量，实数满足，所以，解得. 4．（25-26高二下·浙江衢州·期中）已知随机变量，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为，，所以. 5．（25-26高三上·云南曲靖·期中）某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 【答案】A 【分析】利用正态分布的性质，结合区间概率，即可求解. 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布， 则， 由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为，故选：A． 6．（25-26高二下·重庆·期中）下列说法错误的是（    ） A．若随机变量，则 B．若，，，则事件与事件独立 C．若随机变量的方差，则 D．若随机变量服从正态分布，若，则 【答案】C 【详解】对A：随机变量，则，故A正确； 对B：，所以，即事件与事件独立，故B正确；对C：随机变量的方差，则，故C错误；对D：随机变量服从正态分布，，则，故D正确． 7．（多选）（25-26高二下·浙江丽水·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．已知随机变量的分布列为，则 B．若随机变量且，则 C．在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则 D．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 【答案】ABD 【分析】利用分布列的性质可判断A选项；利用正态分布的对称性可判断B选项；利用超几何分布的概率公式可判断C选项；利用二项分布的期望和方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由分布列的性质可知，解得，A对； 对于B选项，若随机变量且，则，B对；对于C选项，在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则，C错；对于D选项，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，，解得，，D对. 8．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量ξ服从正态分布，若，则 C．某射击运动员每次射击击中目标的概率均为0.8，设击中目标的次数为X，则在9次射击中，当且仅当时概率最大 D．对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立 【答案】ABD 【分析】由二项分布的均值可求出概率判断A；由正态分布的对称性可判断B；根据二项分布的概率计算公式列不等式组求解参数范围可判断C；由乘法公式可判断D. 【详解】对于A，因为随机变量，所以，则，故A正确； 对于B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称， 又，所以，则，故B正确； 对于C，设最有可能击中k次，则，， 则，得，即或8，故C错误； 对于D，，又，所以，即事件A与B相互独立，故D正确；故选：ABD. 9．（25-26高二下·上海松江·期中）某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 【答案】4.6% 【分析】用表示糖果质量，可知，令，则，根据正态分布的三段区间法即可求解. 【详解】用表示糖果质量，由题意可知，要求的概率，即求的值，令，则，因此有 . 10．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则_________． 【答案】/ 【分析】利用正态分布的对称性求出对称轴，根据正态分布的性质可得. 【详解】由于随机变量服从正态分布，且，所以，则 11．（24-25高二下·辽宁大连·期中）经统计，某市高三学生期末数学成绩，且，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于80分的概率是________. 【答案】 【分析】由已知条件结合正态分布曲线对称性可得答案. 【详解】因，则，又，则.则. 12．（25-26高二下·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 . (3)数学期望为8，方差为7. 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【详解】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”，设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）的可能取值为0，1，2，3，，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； （3）由题意得，，， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 13．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】(1)1587 (2)0.0989 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且.又， 即.所以学生在甲市的大致名次为名. （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为.所以随机变量Y服从二项分布， 即，所以. 14．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 【答案】(1)甲有资格参加决赛；(2) 【分析】（1）根据正态分布的概率算出不低于88分的人数，从而判断； （2）根据二项分布的期望性质，方差性质进行求解. 【详解】（1）由题意得 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为，所以甲有资格参加决赛； （2） 设决赛中学生乙答对的题数为，其决赛成绩为，则，由题意得， 则，所以. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $