10.第四章 第10课 利用三角形全等测距离（课堂本）-【分层导学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

86分层导学案数学七年级下册BS版 肉盟学皇 第10课利用三角形全等测距离 课堂导学 知识点利用三角形全等测距离：延长一倍、作垂直、作平行，构造全等三角形 延长一倍构造全等三角形条件：两 作垂直构造全等三角形条件：只 作平行构造全等三角形（需 类型 有一个点可以到达（常用于在河 点可以同时到达（简单、易操作） 要借助测量仪器) 岸的一边测量)》 图例 1I如图，某工程队欲测量山脚两端A,B间的变I(BS七下P112T2改编)如图，要测量河 距离，在山旁的开阔地取一点C,连接AC,BC并 两岸相对的两点A,B之间的距离，先在AB的垂 分别延长至点D,E,使得CD=AC,CE=BC,测线BF上取C,D两点，使CD=BC,再作出BF的 得DE的长就是AB的长，那么判定△ABC≌垂线DE,可以证明△EDC≌△ABC,得ED=AB, △DEC的理由是 ）因此，测得ED的长就是AB的长，则上述操作 中，判定△EDC≌△ABC的理由是 A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 例2如图，小明利用一根长3m的竿子来测量 变式2(BS七下P112T1改编)如图，在湖的两 路灯AB的高度.他的方法如下：在路灯前选一 岸A,B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直 点P,使BP=3m,并测得∠APB=70°，然后把接度量A,B两点间的距离.某数学兴趣小组采 竖直的竿子CD(CD=3m)在BP的延长线上移 用以下方法进行测量：在湖岸上选一点O,连接 动，使∠CPD=20°，此时测得BD=11.2m.请根 B0并延长到点C,使得OC=B0,连接AO并延 据这些数据，计算出路灯AB的高度. 长到点D,使OD=AO,连接CD,则AB=CD,测 A路灯 量CD的长度即为AB的长度. (1)请根据题意，画出测量图案： (2)该小组得出结论“CD的长度就是A,B两点 间的距离”，请说明理由. 阅盟学堂 第四章三角形 87 课堂总结 方法 利川角形余等测距离 (1)延长法构造全等角形： (2)证直法构沿全等角形： (3)平行法构选全等三介形 分层训练 4基獾训练 5.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在 1.如图，为了测量点B到河对面的目标A之间 秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚 的距离，在点B同侧选择了一点C,测得 在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B ∠ABC=65°，∠ACB=30°，然后在点M处立 处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若 了标杆，使∠CBM=65°，∠MCB=30°，得到 妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为 △MBC≌△ABC,.测得MB的长就是A,B两 点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理 1.4m和1.8m,∠B0C=90°.爸爸在C处接 由是 住小丽时，小丽距离地面的高度是( A.SAS B.AAA C.ASA D.SSS A.Im B.1.6m C.1.8m D.1.4m M 第1题图 第2题图 马能力调练 2.如图，张华同学用7块高度都是4cm的相同6.小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的 长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙， 长度，经过实地测量，绘制如图，点B,F,C,E 木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板 在直线1上（点F,C之间的距离为池塘的长 (AC=BC,∠ACB=90),点C在DE上，点A 度)，点A,D在直线I的异侧，且AB∥DE, 和点B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙 ∠A=∠D,测得AB=DE. 之间的距离DE的长是 ( (1)求证：△ABC≌△DEF; A.12 cm B.16 cm C.24 cm D.28 cm 3.如图，将两根钢条A4',BB'的中点O连在一 (2)若BE=120m,BF=38m,求池塘FC的 起，使A4A',BB可以绕着点O自由转动，就做 长度 成了一个测量工件，由三角形全等得出A'B的 长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA'B' 的理由是 A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边 第3题图 第4题图 4.(BS七下P117T6改编)茗茗用同种材料制 成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E, AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为 24cm,CF=3cm,则制成整个金属框架所需 这种材料的长度为 A.51 cm B.48 cm C.45 cm D.54 cm 88分层导学案数学七年级下册BS版 阅盟学堂 C拓展调练 7.如图，在△ABC中，AB=BC=CA,∠A=∠ABC=∠ACB,在△ABC的顶点A,C处各有一只小蚂 蚁，它们同时出发，分别以相同速度由点A向点B,由点C向点A爬行，经过1s后，它们分别爬 行到了点D,E处，设DC与BE的交点为F (1)求证：△ACD≌△CBE. (2)小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由. ) EAB∥CD,∴.∠1=∠2 ∠B=90°，DE⊥AC, ∠B=∠3 在△ABC和△CED中， r∠1=∠2， AB=CE, ∠B=∠3， ·.△ABC≌△CED(ASA). (2)解：△ABC≌△CED, ∴.AC=CD. ∠2=50°， 44=3(180-42) 1 =2×(180°-50) =65°. DE⊥AC, .∠ADE=90°-∠4 =90°-65° =25°. 例2 (1)证明：，∠AEB=∠DEC, ∠A=∠D,AB=DC, .△ABE≌△DCE(AAS). (2)解：AD∥BC.理由如下： 如图所示， B :△ABE≌△DCE, ∴AE=DE,BE=CE. ∴.∠DAE=∠ADE, ∠CBE=∠BCE. '∠AED=∠BEC, .LADE+LDAE=LBCE+LCBE ∴.∠ADE=∠CBE. AD∥BC. 例3 (1)证明：，∠BAC=∠DAE, .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE, LAD=AE, ·.△BAD≌△CAE(SAS). (2)解：∠BAC=∠DAE=100°， AB=AC, 阅盟学堂 ∴.∠B=∠ACB=40° ∴∠ACN=∠B. △BADY△CAE, 在△ACN和△CBE中， ∴∠B=∠ACE=40°」 ,∠CAN=∠BCE, ∴.∠DCE=80 AC =CB. DE DC, I∠ACN=∠B, ∴.∠DEC=∠DCE=80 .△ACN≌△CBE(ASA). :∠DCE+∠DEC+∠CDE=180°， .CN=BE. .∠CDE=20°. (3)解：AD=CE+DE.理由如下： 分层训练 由(2)可知△ACN≌△CBE, 1.A2.A .AN CE,CN BE. 3.∠C=∠B(答案不唯一) :CN平分LACB, 4.(1)证明：D是BC的中点， .∴.∠BCN=45°=∠B. ∴.BD=CD. D是BC的中点， :AB∥CG, .CD=BD. ∴.∠B=LDCG. 在△CDN和△BDE中. 在△BDE和△CDG中， CN=BE, ∠DCN=∠B, ∠BDE=∠CDG. CD =BD. BD=CD. .△CDW≌△BDE(SAS). ∠B=∠DCG ∴DN=DE ∴△BDE≌△CDG(ASA). AD =AN DN. ∴.BE=CG .AD CE DE. (2)解：BE+CF>EF.证明如下： 第10课利用三角形全等测距离 如图，连接FG, 课堂导学 例1B 变式1B 例2 解：∠CPD=20°， :△BDE≌△CDG, ∠APB=70°， .DE DG. ∠CDP=∠ABP=90°， DF⊥EG, ∴∠DCP=∠BPA=-70% 在△CPD和△PAB中， ∴.∠EDF=∠GDF=90°. 又，DF=DF ∠CDP=∠PBA, CD=PB. ∴.△EFD≌△GFD(SAS). ∠DCP=∠BPA. ∴.EF=GF .∴.△CPD≌△PAB(ASA) 在△CFG中，CG+CF>GF, .PD =AB .BE +CF>EF. BD =11.2 m,BP=3 m, 5.(1)证明：∠ACB=90°， .PD=BD BP =8.2(m). ∴.∠ACE+∠BCE=90°. .AB=8.2m ·CE⊥AD, 答：路灯AB的高度是8.2m ·.∠AMC=90 变式2 .∠CAD+∠ACE=90 解：(1)如图所示. .∠BCE=∠CAD. (2)证明：AC=BC ∠ACB=90°， ·.∠B=45° :CN平分∠ACB, ∴.∠ACN=45°. 数学七下FCBS17参考答案 (2)理由如下： 在△AOB和△DOC中， A0=D0. ∠AOB=∠DOC. BO=CO. ∴.△AOB≌△DOC(SAS). ∴AB=DC 即CD的长度就是A,B两点间的 距离。 分层训练 1.C2.D3.A4.C5.D 6.(1)证明：：AB∥DE, ∠ABC=∠DEF 在△ABC和△DEF中， LABC=LDEF, AB=DE, IA=∠D ∴△ABC≌△DEF(ASA). (2)解：△ABC≌△DEF, .BC EF. ∴BF+FC=EC+FC ∴.BF=EC .BE=120m,BF=38m, .FC=BE-BF-EC=44(m). 7.(1)证明：小蚂蚁同时从点A,C 出发，速度相同， .ts后两只小蚂蚁爬行的路程AD =CE. 在△ACD和△CBE中， AD=CE, ∠A=∠BCE LAC=CB, ∴.△ACD≌△CBE(SAS) (2)解：∠BFC的大小没有变化理 由如下： ,△ACD≌△CBE, ∴∠ACD=∠CBE. ,∠A=∠ABC=∠ACB, ∴∠ACB=60 ·∠BFC =180°-∠CBE-∠BCD =180°-∠ACD-∠BCD =180°-∠ACB=120°. ∴.∠BFC的大小没有变化 第11课三角形单元复习 1.7cm或9cm2.26或223.C 4.115°5.2 6.∠A=∠D(答案不唯一)7.D 阅盟学堂 8.解：(1)理由如下： ∴，∠POE=∠POF BC是△ABD的角平分线， 又：OP=OP, .∠CBA=∠CBD. ∴.△POE≌△POF(AAS). 又：∠DBA=180°-∠D-∠A ∴.PE=PF =180°-50°-30° :∠A0B=90°，∠CPD=90°， =100°， ∠CPO+∠OPD+∠PD0+∠AOB ·.∠CBA=∠CBD +∠PCE=180°×2=360°， =7LDM=50 ∴.∠PCE+∠PDO =360°-90°-90°=180° ∴.∠CBA=∠D. 又：∠PD0+∠PDF=180°， 在△CBA和△CDE中， ∴∠PCE=∠PDF ,∠A=∠E, 在△PCE和△PDF中， ∠CBA=∠D ∠PCE=∠PDF, CB CD, ∠PEC=∠PFD, ∴△CBA≌△CDE(AAS). PE =PF, .AB DE. ..△PCE≌△PDF(AAS). (2)由(1)知∠CBD=∠D=50°， .PC=PD. ∴.∠CBE=180°-∠CBD=130 微专题3全等三角形中的 ∴，∠BCE=∠180°-∠CBE-∠E 一线三等角模型(K字型) =20°. 1.解：(1)AC=CE,AC1CE. 9.证明：AD⊥CE, (2)证明如下： ∴.∠AGE=∠AGC=90. AB⊥BD,ED⊥BD, :AD平分LBAC, ∴.∠ABC=∠CDE=90° .∠DAE=∠DAC. 在△ABC和△CDE中， 在△AGE和△AGC中， .AB=CD. LGAE=∠GAC, ∠ABC=∠CDE, AG=AG. BC DE, L∠AGE=∠AGC .△ABC≌△CDE(SAS). ∴.△AGE≌△AGC(ASA). ,∴.AC=CE,∠A=∠ECD. ..GE=GC. 又，∠ABC=90°， 在△GED和△GCD中， .∴.∠A+∠ACB=90°. .GE=GC, 六.∠ECD+∠ACB=90. ∠EGD=LCGD, .∠ACE=90 .CD=GD, AC⊥CE. ∴.△GED≌△GCD(SAS) 2.解：AE⊥EF,CF⊥EF ∴.∠DEC=∠DCE. .∠AEB=∠BFC=90. EF∥BC, ∴.∠EAB+∠ABE=90°. .∠FEC=∠DCE. ∠ABC=90°， ∴.∠DEC=∠FEC. .∴.∠ABE+∠FBC=90 10.证明：如图，过点P分别作PE⊥ .∠EAB=∠FBC. OA于点E,PF⊥OB于点F, 在△ABE和△BCF中， ,∠AEB=∠BFC, ∠EAB=∠FBC, E LAB=BC. ,∴.△ABE≌△BCF(AAS). D F B .'AE BF =5 cm, 则∠PE0=∠PEC=∠PF0=90°. BE=CF=6 cm. ·OM是∠AOB的平分线， .EF =BE +BF =11(cm). 数学七下FCBS18参考答案