第七章 复数 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

复数讲义 知识点1 复数的有关概念 1、 复数的定义 我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，，与分别叫做它的实部与虚部。 2、复数的分类 3、复数相等 （）且. 特别地，时，. 知识点2 复数的几何意义 1、 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做实轴。实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外都表示纯虚数。 2、复数的几何意义 （1）复平面内的点 （2）平面向量 3、复数的模 向量的模叫做复数的模，记作，即 4、两点间的距离 设，在复平面内对应的点分别为，则表示A与B两点间的距离。 注：（1）表示以原点为圆心，半径为1的圆； （2）表示以A为圆心，半径为r的圆； 5、共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数的共轭复数用表示，即 注： 知识点3 复数的四则运算 1、复数的加法 （1）加法法则：设，（）是任意两个复数，那么它们的和 . （2） 加法的运算律：对任意，有 交换律： 结合律：. （3）复数加法的几何意义：设，分别与复数，（）对应，且，不共线（如图），以，为邻边画平行四边形，则其对角线所表示的向量就是复数对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义. 2、复数的减法 （1）减法法则：设，（），则. （2）复数减法的几何意义：设，分别与复数，（）对应，且，不共线（如图），则与向量（等于）对应，因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义. （3）两点间的距离公式：设，（）在复平面内对应的点分别为，，则. 3、复数的乘法 （1）乘法法则：设，（）是任意两个复数，那么它们的积 . （3） 复数乘法的运算律：对于任意，有 交换律： 结合律： 分配律： 4、复数的除法 复数除法的运算法则：（，）.在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，使分母“实数化”. 知识点4 实系数一元二次方程在复数范围内的解 关于的方程，当判别式时，方程有两个互为共轭复数的虚数根，求根公式为，韦达定理： 题型一、复数的有关概念 【例1】下列说法中正确的是(    ) A. 复数由实数、虚数、纯虚数构成 B. 若复数是虚数，则必有 C. 在复数中，若，则复数一定不是纯虚数 D. 若，且，则 【变式1】设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的(    ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【变式2】若，则实数的值为          ． 【变式3】 求满足下列条件的实数，的值： ； ． 【变式4】当实数为何值时，复数为 实数虚数纯虚数零． 题型二、复数的几何意义 【例2】复平面内表示复数的点分别满足下列条件： 位于第四象限 位于第一象限或第三象限 位于直线上求实数的取值范围． 【变式1】已知复数为虚数单位，其共轭复数为． 若，求； 若复数为纯虚数，求实数的值； 若复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围． 【变式2】设，且满足，则在复平面内，复数对应的点的集合是什么图形？ 若复数满足，求的最大值和最小值． 【变式3】已知复数，，其中，，，若复平面内复数对应的点在第一象限． 求实数的取值范围 若存在实数，，，使得的共轭复数，求的取值范围． 题型三、复数的四则运算 【例3】已知复数满足，． 求； 设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求． 【变式1】已知复数，，计算： ；． 已知复数，是虚数单位若复数在复平面上的对应点在第四象限，求实数的取值范围． 【变式2】已知复数，为实数． 求； 若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值． 【变式3】设复数，，其中． 若复数为实数，求的值； 求的取值范围． 【变式4】已知复数，，其中是实数，求： ； ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 复数讲义 知识点1 复数的有关概念 1、 复数的定义 我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，，与分别叫做它的实部与虚部。 2、复数的分类 3、复数相等 （）且. 特别地，时，. 知识点2 复数的几何意义 1、 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做实轴。实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外都表示纯虚数。 2、复数的几何意义 （1）复平面内的点 （2）平面向量 3、复数的模 向量的模叫做复数的模，记作，即 4、两点间的距离 设，在复平面内对应的点分别为，则表示A与B两点间的距离。 注：（1）表示以原点为圆心，半径为1的圆； （2）表示以A为圆心，半径为r的圆； 5、共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数的共轭复数用表示，即 注： 知识点3 复数的四则运算 1、复数的加法 （1）加法法则：设，（）是任意两个复数，那么它们的和 . （2） 加法的运算律：对任意，有 交换律： 结合律：. （3）复数加法的几何意义：设，分别与复数，（）对应，且，不共线（如图），以，为邻边画平行四边形，则其对角线所表示的向量就是复数对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义. 2、复数的减法 （1）减法法则：设，（），则. （2）复数减法的几何意义：设，分别与复数，（）对应，且，不共线（如图），则与向量（等于）对应，因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义. （3）两点间的距离公式：设，（）在复平面内对应的点分别为，，则. 3、复数的乘法 （1）乘法法则：设，（）是任意两个复数，那么它们的积 . （3） 复数乘法的运算律：对于任意，有 交换律： 结合律： 分配律： 4、复数的除法 复数除法的运算法则：（，）.在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，使分母“实数化”. 知识点4 实系数一元二次方程在复数范围内的解 关于的方程，当判别式时，方程有两个互为共轭复数的虚数根，求根公式为，韦达定理： 题型一、复数的有关概念 【例1】下列说法中正确的是(    ) A. 复数由实数、虚数、纯虚数构成 B. 若复数是虚数，则必有 C. 在复数中，若，则复数一定不是纯虚数 D. 若，且，则 【答案】C  【变式1】设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的(    ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B  解：设，，满足、中至少有一个数是虚数，则是实数，则是虚数不成立，即充分性不成立； 若、都是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时， 则、中至少有一个数是虚数，即必要性成立； 故“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的必要不充分条件， 【变式2】若，则实数的值为          ． 【答案】  【解析】由题意知即解得． 【变式3】 求满足下列条件的实数，的值： ； ． 【答案】由可得解得 由可得 解得或，或． 【变式4】当实数为何值时，复数为 实数虚数纯虚数零． 【答案】当 即时，复数是实数． 当且， 即且时，复数是虚数． 当 即时，复数是纯虚数． 当 且时，， 解得． 题型二、复数的几何意义 【例2】复平面内表示复数的点分别满足下列条件： 位于第四象限 位于第一象限或第三象限 位于直线上求实数的取值范围． 【答案】解：由题可得 则 即 故复数对应点位于第四象限． 由或 即或 则复数对应点位于第一象限， 复数对应点位于第三象限． 由题可得若位于直线上， 则， 解得， ， 故当时复数对应点位于直线上 【变式1】已知复数为虚数单位，其共轭复数为． 若，求； 若复数为纯虚数，求实数的值； 若复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】解：当时，，则， 所以，． 因为为纯虚数， 所以，解得． ， 因为复数在复平面内所对应的点位于第二象限，所以，解得， 因此，实数的取值范围是． 【变式2】设，且满足，则在复平面内，复数对应的点的集合是什么图形？ 若复数满足，求的最大值和最小值． 【答案】根据模的几何意义，表示复数对应的点到复数对应的点的距离为． 满足的点的集合为以为圆心，以为半径的圆．   由于，即，因此在复平面内，复数对应的点到点的距离等于，故点的轨迹是以为圆心，半径的一个圆如图，而表示点到原点的距离，又圆心到原点的距离，故的最大值为，的最小值为． 【变式3】已知复数，，其中，，，若复平面内复数对应的点在第一象限． 求实数的取值范围 若存在实数，，，使得的共轭复数，求的取值范围． 【答案】解： 由题意，复数对应的点在第一象限，需满足： ，解得， 的取值范围为 由，知， 故，，， 令， 则表达式化为， 二次函数在时单调递增， 故，即，即的取值范围为，．  题型三、复数的四则运算 【例3】已知复数满足，． 求； 设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求． 【答案】解：可设，，， 又因为复数满足，， 所以，， 所以， 所以， 故； 由得， 则， ，则， ，则， 所以，， 故．  【变式1】已知复数，，计算： ；． 已知复数，是虚数单位若复数在复平面上的对应点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】 ． ，． 因为，而在复平面上对应点在第四象限，于是得解得，所以实数的取值范围是． 【变式2】已知复数，为实数． 求； 若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值． 【答案】解：由，为实数， 则为实数， 所以，，即，， ． 由在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 又为实系数方程的根，则， 所以，，又，所以．  【变式3】设复数，，其中． 若复数为实数，求的值； 求的取值范围． 【答案】解：由题意， 若复数为实数，则， 故，又， 所以 由题意 ， 由于，故， 所以， 则， 所以取值范围是 【变式4】已知复数，，其中是实数，求： ； ． 【答案】因为，， 所以； 由得，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $