第七章 复数 综合复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学复数单元复习讲义通过知识清单系统构建复数知识体系，从虚数单位概念出发，依次梳理复数的定义、分类、几何意义及四则运算，按“概念-几何-运算”逻辑递进，突出复数分类、几何意义、模的性质等重难点，呈现知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，涵盖概念辨析（如纯虚数参数求解）、几何应用（如复平面内点的象限判断）、运算综合（如模的范围计算）等题型，培养数学抽象与几何直观素养，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力教师精准教学与学生自主复习。

复数综合练习卷 知识清单 一、虚数单位的概念 虚数单位：，规定，则，， 所以虚数单位是以为周期循环的。 二、复数的概念 ①我们把形如(a、b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足。 其中a和b分别叫做复数z的实部与虚部。 ②全体复数构成的集合叫做复数集，用来表示，复数集包含实数集和虚数集。 ③为实数，为虚数，为纯虚数 ④虚数不能比较大小，但不能说复数不能比较大小，因为复数集包含实数集和虚数集。 ⑤设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d． 三、复数的几何意义 ①复平面的概念：用平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． ②复数的几何意义 1.复数与复平面内的点是一一对应关系． 2.复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系． 如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量表示． ③复数的模：复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝． 复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． 四、复数的加、减运算 ①复数的加法与减法运算法则 若设，是任意两个复数， 则， ②复数加法的运算律 1.交换律：z1＋z2＝z2＋z1； 2.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 五、复数的乘、除运算 ①复数代数形式的乘法法则 设，(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． ②共轭复数的概念 已知，则的共轭复数为 ③复数代数形式的除法法则 六、复数的模的运算性质 ①， ②，题型预览 题型一 复数的概念 题型二 复数的几何意义 题型三 复数的四则运算 一、复数的概念 1．已知集合，，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 3．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 4．复数的虚部为（    ） A．i B． C．1 D． 5．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 6．（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 7．若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 10．设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 二、复数的几何意义 11．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．复数和在复平面内的对应点关于（   ） A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 13．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 14．已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 15．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 18．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 19．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 三、复数的四则运算 20．表示复数z的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 21．已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 23．已知复数，，且，下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B．是实数 C．是虚数 D．若，则是实数 24．若复数满足，则复数虚部为（   ） A．1 B． C． D． 25．已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 26．若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 27．若复数z满足 则 （    ） A． B． C． D． 28．已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 29．设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 30．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 31．复数对应的点在以两复数，分别对应的点为端点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数对应的点的轨迹围成的图形面积为______． 32．设是复数且，则的最小值为___________. 33．若，则（    ） A． B．   C． D． 34．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复数综合练习卷 知识清单 一、虚数单位的概念 虚数单位：，规定，则，， 所以虚数单位是以为周期循环的。 二、复数的概念 ①我们把形如(a、b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足。 其中a和b分别叫做复数z的实部与虚部。 ②全体复数构成的集合叫做复数集，用来表示，复数集包含实数集和虚数集。 ③为实数，为虚数，为纯虚数 ④虚数不能比较大小，但不能说复数不能比较大小，因为复数集包含实数集和虚数集。 ⑤设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d． 三、复数的几何意义 ①复平面的概念：用平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． ②复数的几何意义 1.复数与复平面内的点是一一对应关系． 2.复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系． 如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量表示． ③复数的模：复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝． 复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． 四、复数的加、减运算 ①复数的加法与减法运算法则 若设，是任意两个复数， 则， ②复数加法的运算律 1.交换律：z1＋z2＝z2＋z1； 2.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 五、复数的乘、除运算 ①复数代数形式的乘法法则 设，(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． ②共轭复数的概念 已知，则的共轭复数为 ③复数代数形式的除法法则 六、复数的模的运算性质 ①， ②，题型预览 题型一 复数的概念 题型二 复数的几何意义 题型三 复数的四则运算 一、复数的概念 1．已知集合，，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，故， 又因为，故. 2．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用求解. 【详解】，虚部为－1 故选：A. 3．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 【答案】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】复数的虚部为2，的实部为，故新复数为． 故答案为： 4．复数的虚部为（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据虚部的定义求解. 【详解】由复数虚部定义可知，的虚部为. 故选：D. 5．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 6．（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 【答案】（1）；（2）；（3）或1，或2. 【分析】（1）利用复数加减运算法则计算出答案； （2）利用复数相等的条件得到方程组，求出答案； （3）利用复数相等的条件得到方程组，求出答案. 【详解】（1）； （2），故，解得， （3），故， 解得或1，或2. 7．若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据复数相等进行求解即可. 【详解】. 故选：D 8．已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，代入，结合纯虚数的概念即可求解. 【详解】将，代入，得，A为实数；，B为纯虚数； ，C为实数；，D为虚数，但不为纯虚数． 故选：B. 9．已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 【答案】 【分析】根据复数，可知其实部为0，虚部不为0，由此可求解. 【详解】复数是纯虚数， 故，解得，故. 10．设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义，结合对数的真数为正数进行求解即可； （2）根据复数表示实数的性质，结合对数的真数为正数进行求解即可. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以当时，z是纯虚数． （2）因为复数是实数， 所以，解得，所以当时，z是实数． 二、复数的几何意义 11．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数乘法运算法则，写成的形式，得其对应点的坐标，判断即可. 【详解】因为. 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 12．复数和在复平面内的对应点关于（   ） A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 【答案】A 【分析】确定复数对应点的坐标，即可判断. 【详解】由复数的性质得对应的点为，对应的点为， 易知与两点在复平面内关于实轴对称. 故选：A． 13．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）当复数在第二、四象限时，实部与虚部异号，列式即可解出答案； （4）当复数在上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为, 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． 14．已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 代入直线，可得，即， 则，在复平面内对应的点为. 故选：C 15．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 16．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先求出所求复数，再判断其对应点所在象限即可. 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为， 故选：B 17．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合相等向量的意义求解. 【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由， 得，则，解得， 所以点D表示的复数为. 故答案为： 18．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何表示即可得. 【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以. 故选：A. 19．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 【答案】B 【详解】因为，所以，解得． 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以． 三、复数的四则运算 20．表示复数z的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以. 21．已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】由题意知，，则， 故复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 22．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意， 则z的共轭复数 23．已知复数，，且，下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B．是实数 C．是虚数 D．若，则是实数 【答案】AD 【详解】A. 为纯虚数，故A正确； B.，只有时，才是实数，故B错误； C.，只有时为虚数，为实数，故C错误； D. 为实数，故D正确. 24．若复数满足，则复数虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 所以复数虚部为. 25．已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据复数的概念及复数乘法计算求解. 【详解】复数，则. 26．若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用化简原式，计算求解． 【详解】， ， ． 27．若复数z满足 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法法则和共轭复数的定义可得. 【详解】由，所以，所以. 28．已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由，则， 所以. 29．设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，利用几何图形求解该圆上点到原点距离的范围即为的取值范围； （2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，利用几何图形求解即可. 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. （1）解法代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即. 解法2：由不等式，得，即，解得. （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6. 30．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 31．复数对应的点在以两复数，分别对应的点为端点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数对应的点的轨迹围成的图形面积为______． 【答案】 【分析】设，则，根据，可得，从而可得对应的点的轨迹，进而可得出答案. 【详解】设，则，所以， 因为，所以， 说明对于给定的，对应的点在以对应的点为圆心、1为半径的圆上运动， 又对应的点在连接和对应的点线段上移动， 所以对应点的移动范围的面积为， 即复数对应的点在复平面上移动的范围的面积是． 故答案为：． 32．设是复数且，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故答案为：. 33．若，则（    ） A． B．   C． D． 【答案】BC 【分析】复数的几何意义得出复数z所对应的点的轨迹，由共轭复数的定义及复数的运算可判断各选项. 【详解】利用复数的几何意义知在复平面内，对应的点在对应线段的中垂线即y轴上， 所以不一定是实数，所以A错误； 因为与关于实轴对称，且在y轴上，所以B，C正确； 取，则，所以D错误． 故选：BC. 34．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $