第二十六章 反比例函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第二十六章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是4800Pa时，木板面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先设出反比例函数解析式，利用图象上已知点求出函数表达式，再将给定压强代入解析式求出对应木板面积． 【详解】解：设压强与木板面积的函数解析式为． ∵函数图象过点， ∴， ∴， ∴函数解析式为． 当时， ， ∴ ． 2．下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 3．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，连接，由轴可得，结合得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．下列各点中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于反比例函数，图象上的点横纵坐标乘积一定等于，只需计算各点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴函数中，若点在该反比例函数图象上，需满足， A、，满足，因此该点在函数图象上； B、，不满足条件； C、，不满足条件； D、，不满足条件． 5．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的一般形式（为常数，）． 根据反比例函数定义，逐一分析选项，判断是否符合为常数，的形式． 【详解】根据反比例函数定义，不是反比例函数， 符合反比例函数的定义，它是反比例函数， 故选：D． 6．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，可直接代入计算函数值再比较大小，也可利用反比例函数的增减性结合点所在象限分析. 【详解】解：方法一：直接计算比较 将代入， 可得：， 将代入， 可得：， 将代入， 可得：， ， 方法二：利用函数性质比较 反比例函数中，， 该函数在第一象限内随的增大而减小，且函数值为正；在第三象限内随的增大而减小，且函数值为负， 点，在第三象限，且， ， 点在第一象限， ， ∴. 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．已知点，都在反比例函数图象上，则_____． 【答案】 【分析】将点B坐标代入表达式，求出k值，再将点A坐标代入，可得a值． 【详解】解：将代入中，得， ∴，将代入，得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，属于基本问题． 8．若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于_____． 【答案】﹣1 【详解】试题分析：根据反比例函数的定义先求出m的值，再根据系数不为0进行取舍． 解：∵y=（m﹣1）是反比例函数， ∴m2﹣2=﹣1，m﹣1≠0， ∴m=﹣1． 故答案为﹣1． 考点：反比例函数的定义． 9．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，则动力关于自变量动力臂的函数解析式为_____．      【答案】 【分析】根据“阻力阻力臂动力动力臂”列式求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 10．如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的几何意义得，由求解即可． 【详解】解：由题意可得点在图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点为图象上一点， ∴， ∴． 11．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，二氧化碳气体的密度ρ（单位：）也随之变化．已知密度ρ与体积是反比例函数关系，函数图象如图所示，当时，．根据图象，当时，V＝______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入得， 反比例函数的解析式为， 将代入得， 解得， 故答案为：． 12．已知点，都在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则_____．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数的性质，由于，函数在 时随的增大而减小，结合点和的横坐标大小关系即可判断． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小． ∵点，都在函数图象上，且， ∴． 故答案为：． 13．若反比例函数的图像位于第一、三象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图像位于第一、三象限时，比例系数大于零是解题的关键． 反比例函数图像位于第一、三象限时，比例系数大于零，即，再解不等式即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴比例系数， 解得：． 故答案为：． 14．已知x、y是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x与y成反比例关系，则a的值为______________． x a y 8 32 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，掌握相关知识是解题的关键．根据反比例关系设，求出，，再将，代入即可求解． 【详解】解：由题意设， 当，时， ， 解得：， ， 当，时， ， 解得：， 故答案为：． 15．如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为________． 【答案】或 【分析】根据图象可知两个函数图象的交点的横坐标，由不等式可知，一次函数图象在反比例函数图象下方，即可求得答案． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方， 则不等式的解集为或． 16．如图，四边形是矩形，四边形是正方形，点A，D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在上，点B，E在反比例函数 （k为常数，）的图象上，，则E点坐标为_________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，进而得到点坐标，根据题意，得到两点的横纵坐标之积相等，进行求解即可. 【详解】解：设正方形的边长为， 由题意，， ∵点B，E在反比例函数 （k为常数，）的图象上， ∴， 解得或（舍去）； ∴. 17．如图，，是双曲线（是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点，若的面积为，则的值为_______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，由对称性可得点的坐标为，则，，根据三角形面积公式求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 由题意可知，点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 18．如图，的边在x轴上，连接，点D是的中点，反比例函数的图象经过A和D两点．若的面积为24，则k的值为_______． 【答案】8 【分析】设点、，由平行四边形的性质得，再由是中点，得．将代入反比例函数，化简得．结合平行四边形面积，代入后，进而求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴点的坐标为． ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即， ∵点在反比例函数上， ∴ ∵， ∴ 解得， ∵平行四边形的面积底高（A点的纵坐标）， ∴， 将代入得， 解得． 【点睛】本题以平行四边形与反比例函数为载体，通过设点坐标，利用平行四边形性质、中点坐标公式建立点D的坐标，再结合反比例函数解析式与平行四边形面积公式，将几何问题转化为代数方程求解． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求当时，y的值． 【答案】 【分析】此题考查求函数解析式，已知自变量的值求函数值，由题意设，代入对应值求出解析式，再将代入，求出y的值． 【详解】解：由题意设，则 当时，；当时，， ，解得， 函数解析式为 当时，． 20．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练运用函数图象上点的坐标满足函数解析式、联立方程组求解函数交点是解答本题的关键． （1）先将点代入一次函数解析式求出的值，确定点的坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，从而得到反比例函数的表达式； （2）联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组得到两组解，结合点的坐标，即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， 把代入，得， 解得，因此反比例函数的表达式为． （2）解：解方程组， 得，， 因此点的坐标为． 21．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，y与x之间的函数关系式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， 当时，， ∴与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交，于M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积S． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． （1）求出，进而得出，即可求解； （2）求出，然后利用“大小”求出面积即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，四边形是矩形， ∴， 把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的解析式是． （2）解：把代入，得， ∴， ∴， ， ． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)的面积为． 【分析】（1）结合题意可知，时的取值范围即为直线与反比例函数上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； （2）解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，， ，， 将，代入， 则 解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题、解分式方程（化为一元二次）、反比例函数与几何综合，解题关键是将求的面积转化为求和的和． 24．如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，求出点D坐标，然后确定点C、E的坐标，最后根据点C的坐标确定反比例函数解析式即可； （2）求出平移后E，B，C的对应点的坐标，求出直线的解析式，再构建方程组求出点F的坐标即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点D作于点H． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：对于反比例函数， 当时，， ∴平移后点E恰好在反比例函数的图象上时，点E的对应点， ∴菱形向右平移了4个单位， ∴B，C的对应点， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， 由，解得：或， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴点F的坐标为， ∴点F到x轴的距离为． 25．综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和_______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：；或_______，_______． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并回答：_______围出矩形地块（填“能”或“不能”）理由是：_______． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及a的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出a的取值范围_______． 【答案】（1）；4；2；（2）不能，见解析；（3），8；（4） 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题,利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解； （2）画出的图象，观察图象得到与函数图象没有交点即可求解； （3）由直线与反比例函数的图象有唯一交点，可知由唯一解，即：方程只有一个解，利用根的判别式求得（负值舍去），进而可求得交点坐标为； （4）和的长均不小于，可得，直线在、上面或之间移动，可得求的范围． 利用数形结合数学思想是解决问题的关键． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， 在中，当时，， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）不能围出面积为 的矩形； 理由如下： 的图象，如图中所示： ∵与函数 图象没有交点， ∴不能围出面积为 的矩形． 故答案为：与函数 图象没有交点； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴由唯一解，即：方程只有一个解， ∴，解得：（负值舍去）， 此时：，解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为； （4）∵和的长均不小于 ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，直线在、上面或之间移动， 把代入得， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是4800Pa时，木板面积为（   ） A． B． C． D． 2．下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 3．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．下列各点中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．已知点，都在反比例函数图象上，则_____． 8．若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于_____． 9．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，则动力关于自变量动力臂的函数解析式为_____．      10．如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 11．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，二氧化碳气体的密度ρ（单位：）也随之变化．已知密度ρ与体积是反比例函数关系，函数图象如图所示，当时，．根据图象，当时，V＝______． 12．已知点，都在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则_____．（填“”“ ”或“”） 13．若反比例函数的图像位于第一、三象限，则m的取值范围是______． 14．已知x、y是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x与y成反比例关系，则a的值为______________． x a y 8 32 15．如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为________． 16．如图，四边形是矩形，四边形是正方形，点A，D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在上，点B，E在反比例函数 （k为常数，）的图象上，，则E点坐标为_________． 17．如图，，是双曲线（是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点，若的面积为，则的值为_______． 18．如图，的边在x轴上，连接，点D是的中点，反比例函数的图象经过A和D两点．若的面积为24，则k的值为_______． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求当时，y的值． 20．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点坐标． 21．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，y与x之间的函数关系式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交，于M，N，反比例函数的图象经过点M，N． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积S． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 24．如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离． 25．综合与实践：如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和_______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：；或_______，_______． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并回答：_______围出矩形地块（填“能”或“不能”）理由是：_______． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及a的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出a的取值范围_______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $