第二十六章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第二十六章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列函数是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意； B．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意； C．该函数是关于的反比例函数，此时，故此选项符合题意； D．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意． 2．在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将点的坐标代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 3．如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可，要注意图象所在的象限． 【详解】解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， ∴． 4．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系的判断，需依据“两个相关联的量乘积一定则成反比例关系”的知识点，逐项分析各选项的数量关系即可求解． 【详解】解：A：设进价为定值，售价为，利润为，则，是差的数量关系，乘积非定值，不成反比例关系； B：身高与体重无固定的乘积或比值关系，不成比例关系； C：设路程为定值，速度为，时间为，则，为定值，即与的乘积一定，与成反比例关系； D：设工作效率为定值，工作总量为，工作时间为，则，为定值，即与的比值一定，成正比例关系； 故选：C． 5．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应y值后，直接比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，， 都在反比例函数的图象上 ∴将各点横坐标分别代入解析式计算： 把代入得 把代入得 把代入得 ∵ ∴． 6．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【分析】仔细观察图象，得出与的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象中数据发现： ， 拉力与距离的乘积不变， 拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意； 由图象知，当时，，当时，，当时，， ， 的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．若函数是反比例函数，则m的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得到x的指数和系数需要满足的条件，列方程求解即可. 【详解】解：∵ 函数 是反比例函数， 根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数，可变形为， 因此可得， 解一元二次方程，移项得，开方得或， 验证，，，均满足系数不为0的条件， 故m的值为或． 8．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，将点代入反比例函数解析式，即可求解的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 9．反比例函数，当函数值时，自变量x的取值范围__． 【答案】或 【分析】根据反比例函数的性质，判断函数图象所在象限与单调性，分和两种情况讨论，即可得到自变量x的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，， ∴函数图象分布在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， 令，代入解析式得，解得， 当时，由于，恒成立，此时对应的自变量， 当时，由，结合在每一象限内，随的增大而减小的性质，可得， 综上，自变量的取值范围是或． 10．若反比例函数的图像经过第二、四象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得． 11．若点，在反比例函数（a为常数）的图像上，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再结合反比例函数的性质，根据两点横坐标的大小比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数. 根据反比例函数的性质，当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 已知点，，可得， ∴点、都在第三象限的图象上， 因此可得． 12．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据待定系数法求出k的值，再代入计算即可． 【详解】解：设，当f为240赫兹，长度为米， ∴，即， 当时，． 故答案为：． 13．如图，的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过的中点，且与边相交于点．若点的坐标为，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】直接根据点D是的中点即可求出D点的坐标，即可求出反比例函数的解析式，继而得到点C的坐标． 【详解】解：∵D是的中点，点的坐标为， ∴D的坐标为，即， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 根据题意得：轴， ∴点的横坐标为， 把代入得：， ∴点的坐标是． 14．如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 【答案】4 【分析】作于，根据反比例函数系数的几何意义得到，利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，，即可得到，由得到，根据等腰三角形三线合一，得出，即可得出，从而求得． 【详解】作于， 过原点的直线交双曲线于、两点， 点与点关于原点对称，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 【答案】6 【分析】过A作于D，设，根据三角形的面积公式得到，求得，求得，列方程即可得到结论． 【详解】解：过A作于D， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴设，则有， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∴， ∴． 16．某公司从2021年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件） 2021 2.5 14.4 2022 3 12 2023 4 9 2024 4.5 8 按照这种变化规律，若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是_______万元 【答案】7.2/ 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表格中的数据得出产品成本与投入技改资金成反比例关系是解题关键．设产品成本与投入技改资金的函数关系式为，根据表中数据可知反比例函数的关系式为，把代入即可求出2025年每件产品成本． 【详解】解：由表格数据可知，，，，， 则产品成本与投入技改资金成反比例关系， 设产品成本与投入技改资金的函数关系式为， 当时，， ， 产品成本与投入技改资金的函数关系式为， 当时，， 即若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是7.2万元， 故答案为：7.2． 17．如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据题意过点作轴于，设，则，进而，代入反比例函数解析式，求出，进而可求出的坐标，同样方法依次求出，的坐标，找出规律，继而求出本题答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ，，，，都是一边在轴上的等边三角形， 设，则， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 以此类推可得：， ． 18．如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的下方、函数图象的上方， 不等式组的解是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 【答案】(1) (2)22m 【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴y与x的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：当x= 5时，， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当x=6时，， ∵， ∴符合题意，此栅栏总长为： ； 答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值． 20．已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当时y的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】(1)设，得出，代入得出方程组，求出方程组的解即可； (2)把代入函数解析式，即可得出答案． 【详解】（1）设， 则， 把和代入得：， ， ∴， ∴y与x之间的函数表达式是； （2）把代入得：． 【点睛】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式． 21．已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 22．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【答案】(1) (2)这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于30的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要9分钟即可得到答案． 本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． 【详解】（1）解：图象经过点， 设， 则，解得， ； 当时，， ， ， 当时，图象是线段AB，则该段函数是一次函数，点， 设， 则， 解得， ； 当时，， ， （2）当时，， ， 当时，， ， 注意力指标不低于30的时间为分钟， ， 这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受． 23．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．    (1)若，求与的值； (2)关于的不等式的解集为______； (3)连接，，若的面积为12，则的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3)9 【分析】（1）将代入即可得出结果； （2）根据函数图象得出结论； （3）先求出，再得到，运用等面积的方法便可求出的值. 【详解】（1）解：当时， 将代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为． 将代入得． ∴，. （2）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴由图象可知，或， ∴关于的不等式的解集为或. （3）解：∵点，在比例函数上， ∴，即， ∴， 又∵点，在一次函数上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， 设一次函数与轴交于点，    ∴在中，当时，， ∴，即 ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的知识，掌握性质是解题的关键. 24．如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；；； 【分析】（1）根据二次根式的非负性、平方数的非负性求解即可； （2）为中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为，设，根据中点坐标公式可用含t的式子表示出点D的坐标，根据平行四边形的性质可表示出点C的坐标，将点代入反比例函数解析式求解即可； （3）设，，①当为边时：分为平行四边形和为平行四边形两种情形画出图形，再根据平行四边形的性质求解即可；②当为对角线时：利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∴，， ∴ ∵为中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为， ∴， ∴，设， 如图，过点D作轴于点F，过点C作于点G， ∴轴， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∴， ∵点，都在双曲线的图像上， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵在双曲线上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：设，， ①当为边时： 第一种情况：如图所示，若为平行四边形，则，，即轴 ， ∴点P的纵坐标为，即，解得：， ∴，即， ∴，解得：， ∴； 第二种情况：如图所示，若为平行四边形， ∴，解得：， ∴； ②当为对角线时：如图所示， ∵， ∴点P、B的横坐标相同，即，解得：， ∴，即， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上，；；． 25．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求反比例函数的关系式； (2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积． (3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标. 【答案】(1)反比例函数y=(x>0)； (2)线段OD扫过的面积为； (3)P点作标（，0） 【分析】（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，求出A点坐标，求出表达式即可． （2）将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，求出D′点的纵坐标为3，表示出DF、OO′再求出线段OD扫过图形的面积． （3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出直线的关系式，再求出P点坐标． 【详解】（1）作DF⊥x轴于点F， ∵点D的坐标为(4，3)， ∴FO=4，DF=3， ∴DO=5， ∴AD=5， ∴A点坐标为：(4，8)， ∴xy=4×8=32， ∴k=32； 反比例函数y=(x>0) （2） ∵将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上， ∴DF=3， =3， ∴点的纵坐标为3， ∴3=，x=， ∴=， ∴=−4=， ∴平行四边形 平移的面积S=×3=； （3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值， ∵OB＝OD＝5 ∴点B的坐标是(0，5)， ∴点的坐标是(0，-5)， 设直线的关系式 把A (4，8)，(0，-5)代入解析式得∶ 解得： 当y=0时，， ∴PA+PB有最小值，P点作标（，0 ） 【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积、待定系数法求一次函数，解题的关键是利用菱形性质找出点A、B的坐标，利用坐标求出一次函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 反比例函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列函数是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 3．如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 5．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．若函数是反比例函数，则m的值为_____． 8．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 9．反比例函数，当函数值时，自变量x的取值范围__． 10．若反比例函数的图像经过第二、四象限，则k的取值范围是______． 11．若点，在反比例函数（a为常数）的图像上，则________（填“”、“”或“”）． 12．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为__________． 13．如图，的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过的中点，且与边相交于点．若点的坐标为，则点的坐标是________． 14．如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 15．如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 16．某公司从2021年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件） 2021 2.5 14.4 2022 3 12 2023 4 9 2024 4.5 8 按照这种变化规律，若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是_______万元 17．如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 18．如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是___________ ． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym． (1)直接写出y与x的函数关系式为______； (2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长． 20．已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当时y的值． 21．已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 22．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 23．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．    (1)若，求与的值； (2)关于的不等式的解集为______； (3)连接，，若的面积为12，则的值为______． 24．如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求反比例函数的关系式； (2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积． (3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $