专题02 反比例函数与一次函数的综合（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题02 反比例函数与一次函数的综合 题型一：反比例函数与一次函数的图象性质 题型二：反比例函数与一次函数图象交点问题 题型三：反比例函数与一次函数的增减性 题型四：反比例函数与一次函数的面积问题 题型五：反比例函数与一次函数的实际应用问题 题型六： 反比例函数与一次函数的几何综合问题 题型01 反比例函数与一次函数图象性质 1．函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 【答案】D 【分析】分两种情况讨论直线和双曲线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一，三象限，函数位于第一，三象限，则（2）符合题意； 当时，函数经过第二，四象限，函数位于第二，四象限，则（4）符合题意， 所以函数与在同一坐标平面的大致图象是（2）和（4）． 2．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 3．在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，先根据一次函数中的，得一次函数交于轴的负半轴，再结合，则经过第一、三象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴一次函数交于轴的负半轴， 故B和D选项不符合题意； ∵， ∴经过第一、三、四象限，经过第一、三象限， 故选：A． 4．在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 5．已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，掌握k对正比例函数和反比例函数图象的影响成为解答本题的关键． 先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限即可解答． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴函数的图象在第一、三象限，函数的图象经过第一、三象限， ∴D选项满足题意． 故选：D． 6．已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数图象与一次函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数与一次函数的图象的性质分析当不同取值时，反比例函数图象与一次函数图象所在的象限，然后根据给出的图象进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数在二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， ∴选项B符合题意； 当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、四象限， ∴选项中没有图象符合． 故选：B． 题型02 反比例函数与一次函数图象交点问题 1．如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】两个函数图象有公共点，说明联立两个函数的解析式得到的方程组有非零解，利用平方的非负性得到的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵函数与的图象有公共点， ∴联立有解，且． 消去得：， 两边同乘（）得：， 整理得：， ∵（）， ∴，即分子分母同号． 可得两种情况： ①，解得； ②，解得； 结合选项，只有满足条件． 2．反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，则另一个交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握正比例函数图象和性质，反比例函数的图象和性质，是解题的关键．由交点求出正比例函数的比例系数k，再联立两个函数方程求解另一个交点． 【详解】解：∵点在正比例函数上， ∴， 解得， ∴正比例函数为． 联立得：， ∴， 两边乘以x（），得， ∴， ∴或． 当时，， ∴另一个交点为． 故选：A． 3．正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，正比例函数的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据交点的纵坐标，利用正比例函数求出交点的横坐标，再代入反比例函数求k． 【详解】解：∵交点的纵坐标为2，且点在正比例函数上， ∴，解得：． ∴交点坐标为． 代入反比例函数，得， 即， 故答案为：2． 4．直线与双曲线交于，两点，已知点坐标，则点坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数，熟练掌握利用待定系数法求解析式是解题的关键． 将点代入双曲线方程求，再代入直线方程求，再联立直线与双曲线方程求解交点，得到点坐标． 【详解】解：将点代入双曲线得 ， 解得， 则双曲线方程为 将点代入直线得 ， 解得， 则直线方程为， 联立方程：， 解得或， 对应点， 则为点的横坐标，代入得 故点坐标为 故答案为：． 5．正比例函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，解题关键是掌握待定系数法求解函数解析式． 依据题意，将A代入，求出a，再通过待定系数法可以得解． 【详解】解：将代入得， ∴点A坐标为． 将代入得， ∴反比例函数解析式为． 6．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求k与m的值； (2)求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】该题考查了一次函数和反比例函数交点问题． （1）将代入一次函数求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数求解即可． （2）联立一次函数和反比例函数解析式即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴． 把代入得． （2）解：联立得， 即， 解得或， 当时，， ． 7．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像交于点C，过点B作x轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接． (1)求A、B两点的坐标； (2)如果，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别令和即可得到答案； （2）过点作，垂足为，证明，设点，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ； （2）解：过点作，垂足为， ， ， ， 设点，则， ， 整理得，， 解得（舍去）或， ， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． (1)求点、的坐标； (2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数上点的坐标特征、一次函数解析式的求解以及一次函数的平移性质． （1）先利用反比例函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标确定直线的解析式，最后将点的纵坐标代入直线解析式求出点的坐标； （2）由直线的解析式得到，结合，根据同位角相等判定轴，从而得到点的横坐标与点相同，再代入反比例函数求出点的坐标；最后设出平移后直线的解析式，代入点的坐标求出参数． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴代入得，故. ∵直线过点， ∴，解得 ∴直线的解析式为. ∵点在直线上， ∴代入得，故； （2）解：如图，点在点右侧，设点， ∵， ∴点到两坐标轴的距离相等， ∴. ∵， ∴轴， ∴点的横坐标与点的横坐标相同，即点的横坐标为， ∴将代入，得， ∴点的坐标为. 设平移后所得直线的解析式为， 将点代入解析式，得，解得， ∴平移后所得直线的表达式为． 题型03 反比例函数与一次函数的增减性 1．如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 本题先把点代入，求得，然后观察函数图象即可求解； 【详解】解：把代入，解得：， ∴， 观察函数图象得到当时，， 由题意可得：， ∴不等式的解集为； 故选：D； 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象交点及不等式解集的结合，利用函数图象的位置关系确定不等式的解集，即一次函数图象在反比例函数图象上方(包括交点)时对应的的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是一次函数的图象在反比例函数图象上方(包括交点)时的取值范围． 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足； 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足． 综上，不等式的解集为或． 故答案为：B． 3．正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了双曲线的对称性和反比例函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系，根据双曲线的对称性求出点B的横坐标是解题关键．根据双曲线的对称性得到点B的横坐标为1，根据图象即可求出当时，x的取值范围为或． 【详解】解：∵正比例函数的图像与反比例函数的图像都关于原点对称，则两函数的交点也关于原点对称， ∵点的横坐标为， ∴点B的横坐标为1， 根据函数图象可得：当时，或． 故答案为：或． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【答案】或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 5．反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点，当时，请写出自变量x的取值范围_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用交点坐标确定不等式的解集，待定系数法，利用数形结合法解答是解题的关键． 先利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，然后根据交点坐标确定不等式的解集即可． 【详解】解：将代入得， ， ∴反比例函数的解析式为； ∴将代入得， ， 解得， ∴， 将，代入得， 解得， ∴； 根据函数解析式画出图象得， 当时，或， 故答案为：或． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点． (1)求m与n之间的关系式； (2)求一次函数与反比例函数的表达式； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）将点，分别代入，得，，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：将点，分别代入，得： ∴，， ∴； （2）解：∵点在上， ∴． 将点，分别代入 ∴， ∵． ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （3）解：由图象可知不等式的解集为或． 7．如图，直线与双曲线相交于，B两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为 (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）当时，可以理解为一次函数的图象在反比例函数图象上方的部分，根据图象可直接写出的范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得，， 一次函数的表达式为； 将代入得， ， 解得，． 反比例函数的表达式为． （2）解：直线与双曲线相交于，B两点， 联立得，， 解得，或， 点的坐标为． 观察图象可得， 当时，关于的不等式的解集是． 8．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点． (1)求出两函数解析式； (2)根据图像回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？ 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，比较函数值的大小，解题的关键是正确理解图像中的信息． （1）用待定系数法求解析式即可； （2）观察图像，写出一次函数图像在反比例函数图像上方的的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵、在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数的图像上， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为， 答：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）解：由图像可知，一次函数图像在反比例函数图像上方对应的的取值范围是或， ∴当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值， 答：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 题型04 反比例函数与一次函数的面积问题 1．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．1 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，轴于点A，交于点B， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】过点D作轴于点H，设，则点，点，证明和全等得，由此得点D的坐标为，进而得点，再根据反比例函数的图象经过点E得，再由勾股定理得，由的面积为得，由此即可得出k的值． 【详解】解：过点D作轴于点H，如图所示： ， 设， 点A的坐标为，点B的坐标为， 四边形是正方形，且边长为3， ，点E为的中点， ， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， 点D的坐标为， 又点B的坐标为，点E为的中点， 点E的坐标为， 反比例函数的图象经过点E， ， 在中，由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 3．如图，过反比例函数的图象上一点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接、，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（为常数，）图象上任一点，向轴和轴作垂线，以点及点的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点及点的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．先根据反比例函数求出的面积，再求出的面积，然后根据的几何意义即可求出的值 【详解】解:如图，设交轴于点， ∵轴，，， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴，则． 故选：D． 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为______． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．由于正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，则点与点关于原点对称，所以，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，所以的面积为1． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， 点与点关于原点对称， ， 轴于点， 的面积． 故答案为：1． 5．如图，中，点C在x轴上，，轴，，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式． 根据，轴，可设，根据三角形面积公式求出，即，即可求出k的值． 【详解】解：∵，轴， ∴可设， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴． 故答案为：． 6．如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为_______________ 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数的图象上．若菱形的面积是8，则这个反比例函数的表达式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质、反比例函数的比例系数k的几何意义等知识点．正确作出辅助线、根据菱形性质求出是解题的关键． 如图：连接交于D，由菱形的性质可知，根据反比例函数 中k的几何意义以及菱形的面积求出k的值即可． 【详解】解：如图：连接交于D， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ∴， 由反比例函数的一支在第二象限，则，即， ∴． 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作坐标轴的平行线分别交反比例函数的图像于，两点，连接，，．若阴影部分的面积为8，则的值为______． 【答案】14 【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义， 延长，分别交轴、轴于点，，过点作轴于点，过点作轴于点，先根据，再结合阴影部分的面积为，可得，求出解即可. 【详解】解：如图，延长，分别交轴、轴于点，，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵， ∴. ∵阴影部分的面积为， ∴， 解得． 故答案为：14． 9．如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) 【分析】（1）利用正方形的性质得到点坐标，再把点坐标代入即可得到的值；然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设正方形的边长为，利用正方形的性质易表示点的坐标为， 然后把点坐标代入反比例函数解析式中，再解关于的一元二次方程即可得到正方形的边长． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ， 点坐标为， 把代入得，， ； 设直线的解析式为， 把代入得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（负值，舍去）， 正方形的边长为． 10．如图，矩形的面积为，其顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上．反比例函数的图像与、分别交于点、，．连结、、． (1)若的面积为3，求：的面积； (2)若，求反比例函数解析式． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，，根据的面积为3，可求得，由此可得出，再求出，然后利用的面积为；求解； （2）当时，作，交延长线于点M，作，交延长线于N，构造等腰直角三角形，先求出的解析式，再用表示出的坐标，从而可求出反比例函数解析式． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，， ， ， ， ∵矩形的面积为， ∴，，， ∴， ∴， 的面积为3， ∴， ∴，解得：， ∴， 又点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式 又在反比例函数的图象上， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， ，， ， ， 的面积为； ； （2）∵矩形的面积为，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， 当时，作，交延长线于点M，作，交延长线于N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴M的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为, ∵点在直线上， ∴，解得：， ∴直线的解析式为, 又点在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），反比例函数与几何综合，全等的性质和（）综合（或者），根据矩形的性质求面积，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 题型05 反比例函数与一次函数的实际应用问题 1．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 3．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 4．下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由（1）得， 在中，当时，， 解得或（舍去）， 小时， 答：这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次． 5．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 6．一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键． （1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域． （2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内． 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 7．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． （1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图象分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 8．某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成正比例函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态，机器温度与时间成一次函数关系； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如图所示为某次制作三明治时机器温度（）与时间（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)当时，求机器温度与时间的函数关系式； (2)求三明治机工作温度在及其以上持续的时间． 【答案】(1)当时，机器温度与时间的函数关系式为 (2)三明治机工作温度在及其以上持续8.8分钟 【分析】本题考查一次函数解应用题、反比例函数解应用题，读懂题意，利用待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． （1）由待定系数法列方程组求解即可得到答案； （2）由（1）可知，当时，求出此时对应的时间，再由待定系数法求出反比例函数关系式，当时，求出此时对应的时间，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：设机器温度与时间的函数关系式为， 将代入得， 解得， ∴当时，机器温度与时间的函数关系式为； （2）解：当时，得，解得， 设断电阶段机器温度与时间的函数关系式为， 将代入，得，     解得， ∴断电阶段机器温度与时间的函数关系式为， 当时，得， 解得， 经检验是原方程的解， 则（分钟）． 答：三明治机工作温度在及其以上持续8.8分钟． 题型06 反比例函数与一次函数的几何综合问题 1．如图，点和点A在反比例函数的图象上，连接．若，且，则k的值为________． 【答案】 【分析】过点P作轴于点，过点A作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得a的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点P作轴于点，过点A作于点，      ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵． ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（舍去） ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点，分别过点A，B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，C．当四边形为平行四边形时，k的值为________． 【答案】 【分析】设出点坐标，根据平行四边形的对边相等，进行求解即可． 【详解】解：∵，分别过点A，B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，C， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，解得． 3．如图，四边形是菱形，，点，双曲线经过点C，与边交于点 D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点B作轴于点E．根据菱形的性质、等边对等角以及相关已知条件可得，利用勾股定理可得，进而得到，即；再结合图形确定，然后代入解析式求得k的值即可； （2）如图，过点D作轴于点F．易得，设，则，即．代入函数解析式可求得n的值，即的长度，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作轴于点E． ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∴． ， ∴． ∵， ∴ ， 在中，根据勾股定理，得 ∴． ∴， ∴， ∴点C的横坐标为 ∴， 将点代入得： ∴双曲线的解析式为． （2）解：如图，过点D作轴于点F． ∴． ∴． 设，则． ∴． 将点代入得， 解得 (不合题意，舍去)． ∴， ． 4．如图，在中，，且点A的坐标为，过点的直线轴，分别交、于D、E两点．反比例函数的图象与线段相交于点M，将点沿直线l对折后，点 A的对应点H恰好落在该反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求点M的坐标．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成轴对称的点的坐标变化特点求得点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式； （2）结合等腰三角形的性质求得点坐标，然后利用待定系数法求得直线的函数解析式，然后联立方程组求两函数图象的交点坐标． 【详解】（1）解：∵将沿直线l对折后，点的对应点恰好落在该反比例函数的图象上，且过点的直线轴， ∴点与点关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴H点坐标为， 将代入中，，解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，点在轴上，且点的坐标为， 根据等腰三角形三线合一的性质可得， 则点坐标为， 设直线的函数解析式为， 把代入，可得：， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得：（经检验，两个解都成立）， ∵点在线段上， ∴M点的横坐标大于1， ∴M点坐标为． 5．如图，等腰直角的直角顶点B的坐标为，平行于轴，点C在反比例函数的图象上，若交轴于点D，． (1)求反比例函数的解析式； (2)将沿轴正方向平移，使边与反比例函数的图象正好只有一个交点时，设平移距离为，请直接写出的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2) 【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和等腰直角三角形中边的关系，结合坐标与图形性质求出点的坐标，代入反比例函数解析式求出值，即可得到反比例函数解析式； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，得出直线平移后的解析式，与反比例函数解析式联立，根据边与反比例函数的图象正好只有一个交点时，，即可求出的值． 【详解】（1）解：如图，设交轴于点，过点作轴于点． 是等腰直角三角形，点为直角顶点， ， 轴， ， 又， ， ， ∵， ∴， 点B的坐标为， ， ， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵等腰直角的直角顶点B的坐标为，平行于轴，点的坐标为， ∴点A和点C关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， ∵、， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 直线沿x轴正方向平移个单位后，直线方程为：， 与反比例函数解析式得， 整理得：， 当直线和反比例函数只有一个交点时，， 解得：​．（沿轴正方向平移，故负值舍去） 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且与两坐标轴分别相交于，两点，过点作轴，垂足为点，是的中位线． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，且点的横坐标为，求四边形的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）先求出，两点的坐标，再根据中位线定理可求出点的坐标，最后利用待定系数法求解即可； （2）求出的纵坐标为，由（1）知，得到，根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，则，令，则， 解得， ，， ， 是的中位线， ，， ， 将代入中，得， 反比例函数的表达式为； （2）点的横坐标为， ， 的纵坐标为， 由（1）知， ， ． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，C是线段上一点，点D在线段上，将沿翻折，得到． (1)求一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数图象上，且，，求m的值及点C的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)m的值为1，点C的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法将点A、B分别代入一次函数中，建立二元一次方程组求得k、b的值，即可得解； （2）根据已知条件设，再设，利用翻折的性质列出方程求解并验根，得出m的值，再设点C的坐标为，利用翻折性质找等量关系，联立方程组求解，即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：将点A、B分别代入一次函数中， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵，， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点的横坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， 由翻折的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当时，，， 设点C的坐标为， ∵点C在直线上， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∴， 化简得：， 联立方程组：， 解得：， ∴点C的坐标为． 8．如图，在中，点B在y轴上，，，反比例函数的图象经过点，直线垂直平分，交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求点的坐标及的长． (2)求点的坐标． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）将代入反比例函数解析式得到，即可得到点坐标； （2）证明，求出，证明，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 点的横坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， , , 直线垂直平分， ; （2）解：由（1）知，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数与一次函数的综合 题型一：反比例函数与一次函数的图象性质 题型二：反比例函数与一次函数图象交点问题 题型三：反比例函数与一次函数的增减性 题型四：反比例函数与一次函数的面积问题 题型五：反比例函数与一次函数的实际应用问题 题型六： 反比例函数与一次函数的几何综合问题 题型01 反比例函数与一次函数图象性质 1．函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 2．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A．B． C． D． 5．已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 6．已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（    ） A．B．C． D． 题型02 反比例函数与一次函数图象交点问题 1．如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，则另一个交点是（    ） A． B． C． D． 3．正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则_____． 4．直线与双曲线交于，两点，已知点坐标，则点坐标为__________． 5．正比例函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 6．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求k与m的值； (2)求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标． 7．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像交于点C，过点B作x轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接． (1)求A、B两点的坐标； (2)如果，求k的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． (1)求点、的坐标； (2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 题型03 反比例函数与一次函数的增减性 1．如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 3．正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是___________． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 5．反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点，当时，请写出自变量x的取值范围_________． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点． (1)求m与n之间的关系式； (2)求一次函数与反比例函数的表达式； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 7．如图，直线与双曲线相交于，B两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，关于的不等式的解集． 8．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点． (1)求出两函数解析式； (2)根据图像回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？ 题型04 反比例函数与一次函数的面积问题 1．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．1 D．无法计算 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 3．如图，过反比例函数的图象上一点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接、，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为______． 5．如图，中，点C在x轴上，，轴，，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为________． 6．如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为_______________ ∵轴， ∴轴， 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数的图象上．若菱形的面积是8，则这个反比例函数的表达式是______． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作坐标轴的平行线分别交反比例函数的图像于，两点，连接，，．若阴影部分的面积为8，则的值为______． 9．如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 10．如图，矩形的面积为，其顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上．反比例函数的图像与、分别交于点、，．连结、、． (1)若的面积为3，求：的面积； (2)若，求反比例函数解析式． 题型05 反比例函数与一次函数的实际应用问题 1．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 3．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 4．下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 5．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 7．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 8．某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成正比例函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态，机器温度与时间成一次函数关系； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如图所示为某次制作三明治时机器温度（）与时间（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)当时，求机器温度与时间的函数关系式； (2)求三明治机工作温度在及其以上持续的时间． 题型06 反比例函数与一次函数的几何综合问题 1．如图，点和点A在反比例函数的图象上，连接．若，且，则k的值为________． 2．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点，分别过点A，B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，C．当四边形为平行四边形时，k的值为________． 3．如图，四边形是菱形，，点，双曲线经过点C，与边交于点 D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接，求的面积． 4．如图，在中，，且点A的坐标为，过点的直线轴，分别交、于D、E两点．反比例函数的图象与线段相交于点M，将点沿直线l对折后，点 A的对应点H恰好落在该反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求点M的坐标．（结果保留根号） 5．如图，等腰直角的直角顶点B的坐标为，平行于轴，点C在反比例函数的图象上，若交轴于点D，． (1)求反比例函数的解析式； (2)将沿轴正方向平移，使边与反比例函数的图象正好只有一个交点时，设平移距离为，请直接写出的值． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且与两坐标轴分别相交于，两点，过点作轴，垂足为点，是的中位线． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，且点的横坐标为，求四边形的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，C是线段上一点，点D在线段上，将沿翻折，得到． (1)求一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数图象上，且，，求m的值及点C的坐标． 8．如图，在中，点B在y轴上，，，反比例函数的图象经过点，直线垂直平分，交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求点的坐标及的长． (2)求点的坐标． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $