专题03 一次函数实际应用的四种题型（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题03 一次函数实际应用的四种题型 题型一：根据问题中的数量关系列出函数表达式 题型二：根据表格信息解决实际问题 题型三：根据图像信息解决实际问题 题型四：根据增减性解决实际问题 题型01 根据问题中的数量关系列出函数表达式 日常生活中，很多问题中两个变量一个随之另一个匀速变化，它们之间的对应关系往往都是一次函数关系，在分析问题时一定要注意找准自变量与函数；辨清两者之间的数量关系；结合实际意义，写出自变量取值范围. 1．（2025·上海徐汇·期末模拟）某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）一个游泳池在排水口匀速放水．假设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系．已知放水10分钟时，剩余水量为240立方米；放水20分钟时，剩余水量为180立方米．那么游泳池的初始水量是______立方米． 3．（24-25八年级下·上海·期中）已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油 126升；行驶250千米，油箱中还剩油120升．这辆汽车加满油最多能行驶_______千米． 4．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）某品牌鞋子的长度与鞋子的码数(码)之间满足一次函数关系．如果码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，那么长度为的鞋子码数是_________码． 5．（2026·上海静安·二模）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从四月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 6．（24-25八年级下·上海宝山·期末）为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．） (1)小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示： ①求y关于x的函数解析式（不写定义域）； ②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？ (2)小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速． 7．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： (1)像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度与饭碗数（个）之间的函数解析式； (2)把图中这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ (3)如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 题型02 根据表格信息解决实际问题 生活中两个变量之间的“依赖”关系，有时是通过表格呈现规律性的数据显现。表格中自变量等距变化时，函数值差值恒定。由表格中的数据判断出变量之间存在线性关系（若描点画图，它的图像呈现“直线状”，即一次函数的图像），从而建立一次函数模型并进行实际推算解决问题. 1．（24-25八年级下·上海·期中）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（   ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径 树高 已知树高是其胸径的一次函数．如表几对数值中不能满足与的函数关系式的是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·上海·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量间有如下关系，下列说法中不正确的个数是（ ） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 （1）y是x的函数，此函数的图像是条直线． （2）所挂物体的质量为时，弹簧长度为， （3）弹簧的长度增加，所挂物体质量增加， （4）弹簧不挂重物时的长度为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.（24-25八年级下·上海·期中）小明乘坐出租车，路程 （公里）与车费 （元）的对应关系如下表（该出租车未涉及远途费，只收起步价和里程费）： 行驶路程 （公里） 0 2 4 6 8 车费 （元） 14 14 18 22 26 （1）求车费 与路程 的函数关系式。 （2）若小明下车时支付了34元，请问他乘坐了该出租车多少公里？ 5.（24-25八年级下·上海·期中）某观光电梯从地面（高度为0）开始匀速上升，小明记录了电梯运行时间 （秒）与电梯离地高度 （米）的几组数据如下表： 运行时间 （秒） 0 5 10 15 20 高度 （米） 2 12 22 32 42 （注：起始高度2米是因为电梯井道底部有缓冲距离） （1）请直接写出高度 与时间 的函数关系式。 （2）若该楼高为100米，电梯从地面到达顶层需要多少秒？ 6．（25-26八年级下·上海·月考）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． (1)请用一次函数分别表示与与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 题型03 根据图像性质解决实际问题 根据图像性质解决实际问题要注意： · 分清横、纵坐标的实际含义。 · 抓起点、交点、拐点、端点，理解实际意义。 · 折线图要分段分析、分段列式。 · 注意自变量实际取值范围，图像多为线段。 1．（24-25八年级下·上海·月考）某公司打算与出租车公司签订租车合同．每月行驶千米时，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，与之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是（  ） A．千米时，两家公司的租车费用相同； B．千米时，甲公司的租车费用为元； C．千米时，甲公司的费用比乙公司低； D．千米时，两公司的租车费用相差150元． 2．（2024·上海·模拟预测）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，F拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 3．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用（元）是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是____________千克． 4．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 5．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）小敏上午8∶00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程（单位：）和所经过的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市停留了多长时间？ (2)请写出与的函数关系式； (3)小敏几点几分返回到家？ 6．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，表示某电动车厂一天的销售收入与销售量x之间的关系；表示该电动车厂一天的销售成本与销售量x之间的关系． (1)求出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)求出销售成本与销售量之间的函数关系式； (3)当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利（利润收入成本）？ 7．（24-25八年级下·上海·月考）年前月，陕西省新能源汽车产量已达万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程； (2)求当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量． 8．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 9．（24-25八年级下·上海静安·期末）从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟：高峰时段（时和时），相邻班次间隔时间t（分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可以近似看成是t关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图像如图所示）， (1)请分别将每天时三个时段，相邻班次的间隔时间t（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析式填入表内． 时段 峰段 t（分钟）关于x（时）的函数解析式 时 高峰段 时 非高峰段 时 高峰段 (2)游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午7~12时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由． 10．（24-25八年级下·上海·月考）甲乙两人先后由地沿同一路线前往地，甲先出发，一小时后乙再出发，半小时后在离地12千米处乙追上甲，此时两人正好到达的中点．然后两人各自保持原速不变，先后到达地．若甲由地出发的行驶时间为小时，甲、乙离开地的距离为千米和千米，函数图象如图所示． (1)请直接写出甲的速度是 千米/小时； (2)请直接写出和关于的函数关系式，并写出定义域； (3)乙到达地后立即从原路返回地．过程中，他离开地的距离（千米）关于（小时）的函数图象如图所示．请直接写出乙在返回途中与甲相遇时， 小时． 题型04 根据函数增减性解决实际问题 当一道题中的两个变量呈一次函数关系时，且题干含“最值、最优方案、费用最少、利润最大”等词汇时，常用一次函数的增减型解决问题，此类题目要注意： · 自变量有有限取值范围，不是无限取值； · 依靠k的正负判断增减，进而确定最值位置。 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 2．（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 3．（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 4．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 5．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． (1)用含x的代数式表示y，则___________；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，___________； 【优化决策】 (2)为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 6．（24-25八年级下·上海虹口·期末）根据以下素材，完成任务： 制定订餐方案 素材一 某店家有两种午餐套餐，套餐价格如下表所示： 套餐类别 套 套 套餐单价 元 元 素材二 某学校八年级组织活动需要订购午餐，已知1班人数比2班多5人，如果1班全部选套，2班全部选套，那么这两个班级都花费1400元． 素材三 “六一”儿童节，店家搞促销，套餐满30份及以上打9折． 问题解决 任务一 求的值和1班的人数． 任务二 “六一”促销期间，设1班有人选择套餐，全班订餐总费用为元，当该班选择套餐人数不少于30人时，求与的函数关系式． 任务三 求“六一”促销期间1班订餐的最低总费用． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数实际应用的四种题型 题型一：根据问题中的数量关系列出函数表达式 题型二：根据表格信息解决实际问题 题型三：根据图像信息解决实际问题 题型四：根据增减性解决实际问题 题型01 根据问题中的数量关系列出函数表达式 日常生活中，很多问题中两个变量一个随之另一个匀速变化，它们之间的对应关系往往都是一次函数关系，在分析问题时一定要注意找准自变量与函数；辨清两者之间的数量关系；结合实际意义，写出自变量取值范围. 1．（2025·上海徐汇·期末模拟）某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费问题的方法是解题的关键． 根据出租车收费标准，起步价10元覆盖，超过后每公里加收2元，当时，总费用由起步价和超过部分的费用组成． 【详解】解：∵起步价10元覆盖，则超过部分为， 根据题意得：． 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）一个游泳池在排水口匀速放水．假设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系．已知放水10分钟时，剩余水量为240立方米；放水20分钟时，剩余水量为180立方米．那么游泳池的初始水量是______立方米． 【答案】300 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．用待定系数法求出存水量V与放水时间t之间的一次函数关系式，然后再把代入函数关系式，求出V的值，即可得出答案． 【详解】解：设剩余水量V与放水时间t之间的一次函数关系式为：，把点，代入函数关系式得： ， 解得：， ∴一次函数关系式为， 把代入得：， ∴游泳池的初始水量是300立方米． 故答案为：300． 3．（24-25八年级下·上海·期中）已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油 126升；行驶250千米，油箱中还剩油120升．这辆汽车加满油最多能行驶_______千米． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设出函数关系式，待定系数法求出函数解析式，再令，求出自变量的值即可． 【详解】解：设某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）的函数关系式为， 由题意，得：，解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴这辆汽车加满油最多能行驶千米， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）某品牌鞋子的长度与鞋子的码数(码)之间满足一次函数关系．如果码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，那么长度为的鞋子码数是_________码． 【答案】38 【分析】本题主要考查一次函数关系；设，代入得出，再把代入计算即可． 【详解】解：设， 代入得： ， 解得：， 所以 ∴当时，， 解得：， 故答案为：38． 5．（2026·上海静安·二模）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从四月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 【答案】(1)，定义域为 (2)18元 (3)200元 【分析】（1）先求出张爷爷月份共就餐的顿数，再求出总扣款的钱数，即可得出y关于x的函数解析式，根据，且，即可求出定义域； （2）求出当时的值即可得出结果； （3）先消费的总餐费标价，再结合总优惠包括政府补贴和餐费九折优惠，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，张爷爷月份共就餐（顿）， 每顿实际扣款为元，则总扣款为（元）， ∴y关于x的函数解析式为， ∵，且， ∴； （2）解：当时，， 解得：， 故他该月每餐标价是元； （3）解：设消费的总餐费标价为元， 由题意可得：， ∴， 故餐费九折优惠的金额为：（元）， ∵政府补贴80元， 故实际共获得优惠金额为（元）． 6．（24-25八年级下·上海宝山·期末）为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．） (1)小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示： ①求y关于x的函数解析式（不写定义域）； ②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？ (2)小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速． 【答案】(1)①②不一致，160 (2)该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，利用待定系数法求函数解析式，列分式方程解决实际问题等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，并找出等量关系列出方程． （1）①利用待定系数法即可求出函数解析式； ②求出实际流速进行比较即可，利用待定系数法求出正比例函数，代入求值即可； （2）假设液体C的实际流速为，则液体B的实际流速为，根据等量关系列出分式方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：①假设函数解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴函数解析式为； ②不一致，理由如下： 当函数值为0时， ， 解得， ， ， ， 所以，液体A的实际流速是否与设定流速不一致， 假设液体A的实际流速为，设定流速为，， 将代入上式得，， 解得， ∴ 当时，代入得， ， ， 所以，应该把旋钮式输液器的流速设定为160毫升/小时； （2）解：假设液体C的实际流速为，则液体B的实际流速为， 根据题意得， 解方程得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 此时，， 所以，该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为． 7．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： (1)像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度与饭碗数（个）之间的函数解析式； (2)把图中这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ (3)如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 【答案】(1) (2) (3)13个 【分析】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 根据题意得：当时，；当时，， ∴，解得：， ∴该函数解析式为； （2）解：当时，， 即这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是； （3）解：当时，， 解得：， ∵x为正整数， ∴x取13， ∴一摞最多能放13个碗． 题型02 根据表格信息解决实际问题 生活中两个变量之间的“依赖”关系，有时是通过表格呈现规律性的数据显现。表格中自变量等距变化时，函数值差值恒定。由表格中的数据判断出变量之间存在线性关系（若描点画图，它的图像呈现“直线状”，即一次函数的图像），从而建立一次函数模型并进行实际推算解决问题. 1．（24-25八年级下·上海·期中）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 … 油箱剩余油量 … 下列说法中不正确的是（   ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，由时，，可判断；由表格数据可知，轿车每行驶，耗油， 可判断，综上即可求解，看懂表格数据的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵时，， ∴该车的油箱容量为，故选项正确，不合题意； 由表格数据可知，轿车每行驶，耗油， ∴该车每行驶耗油，故选项正确，不合题意； ∵景点离家， ∴当小明一家到达景点时，油箱中剩余，故选项错误，符合题意； ∵轿车每行驶，耗油， ∴，故选项正确，不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径 树高 已知树高是其胸径的一次函数．如表几对数值中不能满足与的函数关系式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 设，将，代入解方程组，得到，把代入，得． 【详解】解：设， 将，代入， 得， 解得， ∴； 当时，． 当时，． 当时，． ∴不能满足y与x的函数关系式的是． 故选：C 3.（24-25八年级下·上海·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量间有如下关系，下列说法中不正确的个数是（ ） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 （1）y是x的函数，此函数的图像是条直线． （2）所挂物体的质量为时，弹簧长度为， （3）弹簧的长度增加，所挂物体质量增加， （4）弹簧不挂重物时的长度为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格数据，弹簧长度与物体质量满足线性关系，据此逐一判断各说法的正确性，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：由表格数据可得，当每增加时，的值增加，即与之间存在线性关系，y是x的函数， 设函数为，代入，可得， 解得：， 即， 故其函数图象为线段，故说法（1）错误； 当时，，故说法（2）不正确； 由表格可得弹簧的长度增加，所挂物体质量增加，故说法（3）不正确； 由表格可得弹簧不挂重物时的长度为，故说法（4）正确； 故不正确的说法有（1）（2）和（3），共3个， 故选：C． 4.（24-25八年级下·上海·期中）小明乘坐出租车，路程 （公里）与车费 （元）的对应关系如下表（该出租车未涉及远途费，只收起步价和里程费）： 行驶路程 （公里） 0 2 4 6 8 车费 （元） 14 14 18 22 26 （1）求车费 与路程 的函数关系式。 （2）若小明下车时支付了34元，请问他乘坐了该出租车多少公里？ 【答案】（1） 乘坐了 12公里。 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格数据发现这是一个分段函数，前两公里是起步价，2公里后车费和路程之间存在“线性”关系. 【详解】由表可知，每2公里增加4元， ，截距为14（起步价）。解析式为： 令 ， ，解得 ,乘坐了 12公里。 5.（24-25八年级下·上海·期中）某观光电梯从地面（高度为0）开始匀速上升，小明记录了电梯运行时间 （秒）与电梯离地高度 （米）的几组数据如下表： 运行时间 （秒） 0 5 10 15 20 高度 （米） 2 12 22 32 42 （注：起始高度2米是因为电梯井道底部有缓冲距离） （1）请直接写出高度 与时间 的函数关系式。 （2）若该楼高为100米，电梯从地面到达顶层需要多少秒？ 【答案】（1） ； （2）需要 49秒. 【分析】这是一道一次函数应用题，核心在于通过表格数据判断出变量之间存在线性关系（它的图像呈现“直线状”，即一次函数的图像），从而建立并进行实际推算一次函数模型并解决问题. 【详解】（1）由表可知， 时 （截距），每5秒增加10米（斜率 ）。解析式为： 。 （2） 令 ， ，解得 。需要 49秒. 6．（25-26八年级下·上海·月考）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． (1)请用一次函数分别表示与与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 【答案】(1)； (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式和时x的取值范围，再分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：设， 将，和，代入，得， 解得， ． 设， 将，和，代入，得， 解得， ． （2）解：8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由如下： 由题意得，． 当时，则，解得， 当时，则，解得， 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 题型03 根据图像性质解决实际问题 根据图像性质解决实际问题要注意： · 分清横、纵坐标的实际含义。 · 抓起点、交点、拐点、端点，理解实际意义。 · 折线图要分段分析、分段列式。 · 注意自变量实际取值范围，图像多为线段。 1．（24-25八年级下·上海·月考）某公司打算与出租车公司签订租车合同．每月行驶千米时，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，与之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是（  ） A．千米时，两家公司的租车费用相同； B．千米时，甲公司的租车费用为元； C．千米时，甲公司的费用比乙公司低； D．千米时，两公司的租车费用相差150元． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象看两个函数的交点所对应的自变量的取值是多少即可解答，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【详解】解：根据图象可知：相交于，当时，的图象在的图象上方，当时，的图象在的图象上方， A、每月行驶1500千米时，两家公司的租车费用相同，正确，故选项不符合题意； B、设关于的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ， ∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为（元）， ∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为150元，正确，故选项不符合题意； C、每月行驶超过1500千米时，租用甲公司的费用比乙公司低，故选项不符合题意； D、设关于的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ， ∴每月行驶3000千米时， ， ， （元）， ∴租用乙公司的租车费用比甲公司多100元，故选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·上海·模拟预测）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，F拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象读取相关信息，一次函数的应用，求函数解析式，观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题． 【详解】解：A、由图得，当石块下降时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意； B、设，代入，得，故B不符合题意； C、将，代入，，，故C不符合题意； D、将时，代入，得，，故D符合题意， 故选：D． 3．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用（元）是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是____________千克． 【答案】 【分析】由图，已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李，即，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少． 【详解】解：设一次函数， 当时，，当时，， ∴, 解得：, ∴函数关系式为； 当时，， 所以， 故旅客最多可免费携带千克行李． 4．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①25辆；②为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：①在中，当时，则，解得， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②当时，解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 5．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）小敏上午8∶00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程（单位：）和所经过的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市停留了多长时间？ (2)请写出与的函数关系式； (3)小敏几点几分返回到家？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据观察横坐标，可得去超市的时间，根据观察纵坐标，可得去超市的路程，根据路程与时间的关系，可得答案；在超市逗留的时间即路程不变化所对应的时间段； （2）分类讨论：①当时，②当时，③设返回家时，逐个分析求解即可； （3）求出返回家时的函数解析式，当时，求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：速度为：（米/分） 逗留的时间为：． （2）解：①由（1）可知，当时，y与x的函数解析式为， ②当时，； ③设返回家时，y与x的函数解析式为，把分别代入，得 ， 解得 ∴函数解析式为， 当时，， 解得， 综上所述，． （3）解：由（2）可知，当时，， ∴返回到家的时间为． 6．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，表示某电动车厂一天的销售收入与销售量x之间的关系；表示该电动车厂一天的销售成本与销售量x之间的关系． (1)求出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)求出销售成本与销售量之间的函数关系式； (3)当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利（利润收入成本）？ 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （3）由题意可知，当时工厂获利，然后解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设， ∵过点， ∴， 解得， ∴． ∴销售收入与销售量之间的函数关系式为． （2）解：设， ∵过点和 ∴， 解得， ∴销售成本与销售量之间的函数关系式． （3）解：由题意可知，当时工厂获利， 即， 解得， ∴当一天的销售量超过4辆时，工厂才能获利． 7．（24-25八年级下·上海·月考）年前月，陕西省新能源汽车产量已达万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程； (2)求当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量． 【答案】(1)5千米 (2)千瓦时 【分析】本题考查了一次函数的应用解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据图象信息蓄电池剩余电量为千瓦时，汽车已行驶了千米，据此计算即可； （2）根据待定系数法求出一次函数解析式，将代入解析式计算出y值即可． 【详解】（1）解：由图象可知，蓄电池剩余电量为千瓦时，汽车已行驶了千米， 1千瓦时用电量能行驶的路程为（千米）． 答：汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程为5千米． （2）解：当时，设，把点，代入得： ， 解得， ∴， 当时，． 答：当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量为千瓦时． 8．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 【答案】(1) (2)6分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 设线段的表达式为：， 把，代入得： ， 解得：， 即线段的表达式为：， （2）解：线段可知：甲的速度为：（米/分）， 乙的步行速度为：（米/分）， 在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为：（米）， 与终点的距离为：（米）， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：（分）， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：（分），（分）， 答：乙比甲早6分钟到达终点． 9．（24-25八年级下·上海静安·期末）从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟：高峰时段（时和时），相邻班次间隔时间t（分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可以近似看成是t关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图像如图所示）， (1)请分别将每天时三个时段，相邻班次的间隔时间t（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析式填入表内． 时段 峰段 t（分钟）关于x（时）的函数解析式 时 高峰段 时 非高峰段 时 高峰段 (2)游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午7~12时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由． 【答案】(1)，， (2)当时，选择地铁：当时，两种皆可：当时，选择出租 【分析】本题考查了一次函数的应用，截图的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出非高峰时段地铁出行为20分钟分钟，再求出高峰时段7~10时地铁出行和出租车用时相等对应的时刻，最后分情况讨论结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解∶ 时 设， 把，代入，得， 解得， ∴； 当时，； 当时， 设设， 把，代入，得， 解得， ∴； （2）解：非高峰时段地铁出行：分钟分钟 高峰时段7~10时，当地铁出行的时间与出租车的时间相等时， 则， 解得， 综上，当时，选择地铁：当时，两种皆可：当时，选择出租． 10．（24-25八年级下·上海·月考）甲乙两人先后由地沿同一路线前往地，甲先出发，一小时后乙再出发，半小时后在离地12千米处乙追上甲，此时两人正好到达的中点．然后两人各自保持原速不变，先后到达地．若甲由地出发的行驶时间为小时，甲、乙离开地的距离为千米和千米，函数图象如图所示． (1)请直接写出甲的速度是 千米/小时； (2)请直接写出和关于的函数关系式，并写出定义域； (3)乙到达地后立即从原路返回地．过程中，他离开地的距离（千米）关于（小时）的函数图象如图所示．请直接写出乙在返回途中与甲相遇时， 小时． 【答案】(1)8 (2)，定义域为；，定义域为 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式． （1）根据“速度＝路程÷时间”即可算出甲车的速度； （2）设乙车离A地的距离y与时间x的函数关系式，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法即可求出函数关系式，分别求出定义域即可； （3）根据题意得到（千米）关于x（小时）的函数解析式为：，关于x的函数关系式为：，解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：甲的速度千米/小时； 故答案为：8； （2）解：：设，把点代入得到， ， ∴， 由题意可得，（小时），即； 设， 把代入得， ， ∴ ， ∴； 由题意可得，（小时），即； （3）解：当时，， 设（千米）关于x（小时）的函数解析式为：， ∴ ， ∴ ， ∴（千米）关于x（小时）的函数解析式为：， ∵关于x的函数关系式为：， 解 得， ， ∴乙在返回途中与甲相遇时，小时． 故答案为：． 题型04 根据函数增减性解决实际问题 当一道题中的两个变量呈一次函数关系时，且题干含“最值、最优方案、费用最少、利润最大”等词汇时，常用一次函数的增减型解决问题，此类题目要注意： · 自变量有有限取值范围，不是无限取值； · 依靠k的正负判断增减，进而确定最值位置。 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【答案】(1)(且x为整数) (2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式； （2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵租用甲种客车x辆， ∴租用乙种客车辆， 由题意得，总费用为 (且x为整数)； （2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元， ∴， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴x的取值为2或3， ∵中， ∴y随x增大而增大， ∴当时，总费用最低， ∴租甲种客车2辆，乙种客车辆． 2．（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）依据题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）依据题意，先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）由题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双， ∴， 又∵， ∴， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为：（元），此时B型皮鞋为：（双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 3．（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 【答案】(1)款的进货单价为元，款的进货单价为元 (2)款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元 【分析】（）设款的进货单价为元，则款的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设款购进个，总利润为元，可得，再根据题意由不等式求得，进而根据一次函数的性质即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设款的进货单价为元，则款的进货单价为元， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：款的进货单价为元，款的进货单价为元； （2）解：设款购进个，总利润为元， 由题意得，， ∵款的数量不小于款的一半， ∴， 解得， ∵， ∴当取最小值时，取最大值， ∵为整数， ∴的最小值为， 即款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元． 4．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【答案】(1)方案1：；方案2： (2)工厂采用方案1时利润最大，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用和方案设计问题． （1）每件产品出厂价为50，共x件，则总收入为：，成本费为，产生的污水总量为，按方案一处理污水应花费：，按方案二处理应花费：．根据利润=总收入-总支出即可得到y与x的关系； （2）根据（1）中得到的x与y的关系，将代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润最多． （3）根据（1）中得到的x与y的关系，列不等式即可求解. 【详解】（1）按方案1处理污水时，． 按方案2处理污水时，； （2）当时，； ． 因为， 所以工厂采用方案1时所获利润更大． （3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多； 当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同； 当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多． 5．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． (1)用含x的代数式表示y，则___________；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，___________； 【优化决策】 (2)为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 【答案】(1)； (2)为使每日净收益W最大，处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨 【分析】（1）根据小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨可得；然后根据处理可回收垃圾每吨收益50元，处理厨余垃圾每吨收益30元可表示出W； （2）根据题意求出自变量x的取值，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∵每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨， ∴； ∵处理可回收垃圾每吨收益50元，处理厨余垃圾每吨收益30元 ∴； （2）解：根据题意，x应满足， 解得． ∵，， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， ∴为使每日净收益W最大，应处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益650元． 6．（24-25八年级下·上海虹口·期末）根据以下素材，完成任务： 制定订餐方案 素材一 某店家有两种午餐套餐，套餐价格如下表所示： 套餐类别 套 套 套餐单价 元 元 素材二 某学校八年级组织活动需要订购午餐，已知1班人数比2班多5人，如果1班全部选套，2班全部选套，那么这两个班级都花费1400元． 素材三 “六一”儿童节，店家搞促销，套餐满30份及以上打9折． 问题解决 任务一 求的值和1班的人数． 任务二 “六一”促销期间，设1班有人选择套餐，全班订餐总费用为元，当该班选择套餐人数不少于30人时，求与的函数关系式． 任务三 求“六一”促销期间1班订餐的最低总费用． 【答案】任务一：a的值为35，1班的人数是40人； 任务二：； 任务三：“六一”促销期间1班订餐的最低总费用为1260元． 【分析】本题考查一次函数的应用和方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 任务一：设1班的人数为x人，由1班全部选A套，2班全部选B套，这两个班级都花费1400元，可得，即可解得答案； 任务二：根据题意得， 任务三：结合任务二，根据一次函数性质可得答案． 【详解】解：任务一：设1班的人数为x人，则2班的人数为人， ∵1班全部选A套，2班全部选B套，这两个班级都花费1400元， ∴， 由②得：③， 把①代入③整理得：④， 把④代入①得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴a的值为35，1班的人数是40人； 任务二：根据题意得， ∴y与x的函数关系式为； 任务三：在中，y随x的增大而减小， ∴当时，y取最小值， ∴“六一”促销期间1班订餐的最低总费用为1260元． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $