专题04 一次函数与几何综合（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题04 一次函数与几何综合 题型一：点的坐标与距离的关系 题型二：图形的面积问题 题型三：特殊图形的存在性问题 题型四：常见的图形关系：平行（平移）、垂直（旋转）、平分角（翻折）、全等 题型01 点的坐标与距离的关系 点的坐标与距离的关系是函数与几何综合的核心，点的横坐标的绝对值等于点到y轴距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴距离。函数与几何的综合题，关键就要能进行坐标与距离的等价转换. 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和、、，…分别在直线和x轴上，，，，… 都是等腰直角三角形，其中，…为其直角顶点，如果点，那么的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ ，解得， ∴ 直线解析式为 ∵ 是等腰直角三角形，为直角顶点， ∴ 的横坐标（为），验证成立，且的横坐标为，即 ∵ 是等腰直角三角形，为直角顶点， ∴ 的横坐标的横坐标，即 又∵ 在直线上， ∴ ， 化简得，解得. 同理，的横坐标为，的横坐标， 代入直线解析式得， 化简得，解得. 归纳规律：纵坐标，纵坐标，纵坐标， 故纵坐标. ∴ 的纵坐标. 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，正方形的一边在x轴的正半轴上，顶点A、E在直线上，如果正方形边长是，那么点F的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，得到的长，进而求出点坐标，求出的长，进而求出点坐标，再根据正方形的性质，求出点坐标即可. 【详解】解：∵正方形，且正方形边长是， ∴，， ∴， ∵顶点A、E在直线上， ∴时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴，即. 3．（24-25八年级下·上海·期中）已知点在直线上，点到点的距离和到直线的距离相等，则点的坐标为_____． 【答案】或 【分析】本题考查两点之间的距离公式，设，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设， ∴到的距离为，到直线的距离为， ∵到的距离和到直线的距离相等， ∴， 整理得， 解得或， ∴或， 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，为轴上一动点，值最小时，点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据在函数上，得到，于是点；在函数上，得，于是点，确定点关于x轴的对称点坐标为，连接交x轴于点P，此时的交点P就是值最小时的位置，利用待定系数法确定解析式，计算与x轴的交点即可． 【详解】解：∵在函数上， ∴， ∴点； ∵在函数上， ∴， ∴点， ∴点关于x轴的对称点坐标为，连接交x轴于点P，此时的交点P就是值最小时的位置， 设直线的解析式，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 当得， 解得． 故点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象过点的意义，待定系数法求解析式，轴对称求线段和最小，图象与x轴的交点，熟练掌握待定系数法，线段和最小确定是解题的关键． 题型02 图形的面积问题 在坐标系中求图形的面积核心是把问题转化成横平线与竖直线上线段长的问题，所以本质上还是转化为点的坐标问题. 1．（25-26八年级上·上海·期末）如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，注意分情况讨论是解决本题的关键． （1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可； （2）过点作轴，垂足为，则是在边上的高，，根据三角形面积公式求出的长，可得Q点坐标； 【详解】（1）解：与关于原点对称， ， 过点， ， ， ， ∵点C的坐标为，直线轴， 当时，， ， ， ． （2）解：过点作轴，垂足为，则是在边上的高，， ∴， ， ， ∴在轴上存在两个点满足条件， 即：或． 2．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标交点的计算方法，待定系数求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据题意可求出的面积，由此可确定的面积，如图所示，过点作轴于点，根据三角形面积的计算方法即可求解； （3）根据题意，先求出所在直线的解析式，设，则，图形结合，分类讨论：①，；②，；③，；根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴直线的表达式为。 （2）解：解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴，即， 解得，，即点的纵坐标为6， ∵点是一次函数的图象在轴上方的一点， ∴，解得， ∴点的坐标为． （3）解：存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或，理由如下： 已知，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在线段上，轴， ∴设，则点N的纵坐标为， 把代入函数，得 ，解得：， ∴， ∴。 分三种情况讨论： ①如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴点，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ②如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ③如图所示，，，即是等腰直角三角形，过点作于点， ∴是的中点，且， 又∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 3．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，且，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)若的面积为5，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解以及三角形面积与点坐标的关系，解题的关键是利用三角形面积公式求出点坐标，再结合待定系数法求直线解析式，最后根据面积求点坐标． （1）先根据、坐标求出长度，再结合三角形面积公式求出长度，确定坐标，最后用待定系数法求直线解析式； （2）设，根据三角形面积公式列出关于纵坐标的方程，求解点的坐标． 【详解】（1）解：∵，点， ， ， ， ， ∵点在轴负半轴上， ， 设直线的解析式是， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵的面积为5， 解得或， ∴点的坐标为或． 4．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A、，直线，交于点C，点C的横坐标为2． (1)点D的坐标为_________；直线的解析式为_________． (2)在直线上有一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标． (3)点M在直线，点N在y轴上，若点M、N、A、C构成平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）令，求出点坐标，令，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出，设点，作轴交于点，则，分点在点上方和点在点下方，两种情况进行讨论求解即可； （3）分为对称轴，为对称轴，为对角线三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，则：，当时，则：， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得：，解得：， ∴； （2）∵， ∴时，， ∴， ∵， ∴； 设点，作轴交于点，则， 当点在点上方时，则：， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在点下方时，则：， ∴， 解得：， ∴； 综上：或； （3）∵在轴上， ∴， ∵，， 当点M、N、A、C构成平行四边形时，分三种情况： ①当为对称轴时，，解得：， ∴， ∴； ②当为对称轴时，，解得：， ∴， ∴，此时，重合，不符合题意；舍去； ③当为对角线时，，解得：， ∴； ∴； 综上：或． 5．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点是直线上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点坐标为 (2)点 (3)或或或 【分析】（1）结合平移的性质以及截距的定义得，因为点在轴上，故把代入进行求解，即可作答． （2）设点坐标为,结合的面积为6,进行列式计算，即可作答． （3）先理解题意，设，因为以、为顶点的四边形是菱形，且，，故要进行分类讨论，过程中运用由一组邻边相等的平行四边形是菱形的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． ∴， ∴； 令则， 解得， ∴点坐标为 （2）解：依题意，设点坐标为, 的面积为6, , ∴， ∴， 即或， 或， 点是线段上的点， , 点； （3）解：存在，过程如下： 在（2）条件下，点是直线上的点， ∴设 ∵以、为顶点的四边形是菱形，且，， ∴当为对角线时， 则 整理得 ∴ 即点的坐标为 ∵四边形是菱形 ∴ 即， ∴， ∴， 整理得， ， ∴点的坐标为； ∵以、为顶点的四边形是菱形，且，， ∴当为对角线时， 则 ， 整理得， ∴， 即点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴， ∴， 整理得， ∴（舍去） ∴ 此时； ∴当为对角线时， 则 ， 整理得， ∴， 即点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴， 当时，则，， 即， 当时，则， 即； 综上：或或或 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合，菱形的性质，勾股定理，一次函数的图象性质，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点和点，点和点分别在线段和轴正半轴上，点在第一象限内，且四边形是菱形．    (1)求的值和点坐标； (2)设直线与菱形的边交于点． ①当是的中点时，判断的形状，并说明理由； ②如果四边形是直角梯形，求菱形的边长． 【答案】(1) (2)①等腰三角形，见解析；② 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定 和性质； （1）将代入计算得出，令，得出B点坐标即可； （2）①根据题意再结合菱形的性质证出，得到，求出即可得出结论；②根据直角梯形的性质求出，设，则，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， 令，， ∴； （2）解：   四边形为菱形 是的中点， ∴， ∵ 在和中， ∵ ∴ 为等腰三角形   四边形是直角梯形 只能 设，则 解得：， ． 7．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数于点（点在点下方），连接得的面积为．    (1)求的值； (2)求反比例函数解析式； (3)在直线上是否存在一点，使得是直角三角形？若有，请求出点的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将代入求解即可； （2）设点B的横坐标为，根据的面积为得到，求出，设反比例函数解析式为，代入点B坐标求解即可； （3）设，根据题意分和两种情况，分别根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数经过点， ∴ ∴； （2）解：∵轴，的面积为 ∴设点B的横坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ 设反比例函数解析式为 将代入得， ∴ ∴反比例函数解析式为； （3）解：∵点C在直线上 ∴设 如图所示，当时，即    ∵轴， ∴轴 ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴ 整理得， 解得或（舍去） ∴． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数，反比例函数和几何综合题，待定系数法求解析式，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，有反比例函数的图像上有一点坐标为，点也在第一象限，已知． (1)求反比例函数解析式； (2)求的面积； (3)求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数解析式、三角形全等，正确判定全等三角形是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）证明，得到点，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 则函数的表达式为：； （2）解：由题意得，为等腰直角三角形， 则的面积； （3）解：过点作轴于点，交过点和轴的平行线于点， ，， ， ，， 则， 则，， 则点， 设直线的表达式为：， 则，则， 故直线的表达式为：． 题型03 特殊图形的存在性问题 当特殊图形的存在性主要包括等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四边形的存在性问题，本质上是把问题先转化成距离的问题再转化成点的坐标的问题. 1．（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知直线的解析式为与x轴交于点A与y轴交于点B，直线过点A且与垂直交y轴于点C． (1)求出直线的解析式． (2)点D在直线上，平面内是否存在点E使四边形是菱形，若存在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式 (2)存在， 【分析】题目主要考查一次函数的相关性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据一次函数的解析式得出，确定，得出，，再由含30度角的直角三角形的性质确定，得出，设直线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据菱形的性质得出垂直平分，确定点D、E在直线上，然后代入，确定，再由菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解： 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线过点A且与垂直交y轴于点C， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线的解析式， 将点A、C代入得：， 解得：， ∴直线的解析式； （2）由（1）得，， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴点D、E在线段的垂直平分线上，即点D、E在直线上， 将代入得：， ∴， ∵点D、E关于对称， ∴ ． 2．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)填空：如果点在轴上，是以为腰的等腰三角形，那么点的坐标是______； (2)已知点在双曲线上，联结，如果，求点的坐标． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先求得、，结合题意，可知存在种情况：①当时，利用等腰三角形的性质，即可求解点坐标；②当时，设，利用两点距离坐标公式构建，解方程，即可求解点坐标； （2）过点作交于点，过点作轴于点，利用一线三垂直的模型证得，求得点的坐标，设直线的函数解析式为，通过待定系数法，将点和点的坐标代入求得直线解析式为，联立方程组，即可求得直线与双曲线的交点，即点的坐标． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令时，；令时，， ，． 点在轴上，是以为腰的等腰三角形， 存在种情况： ①如图，当时， ， ； ②如图，当时， 设， ，， ，解得：， ； 综上所述，如果点在轴上，是以为腰的等腰三角形，那么点的坐标是或． （2）解：如图，过点作交于点，过点作轴于点， ，， ，， ，， 在中，， ， 轴， ， 在和中， ， ， 由（1）得：，， ，， ， ． 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组， 解得：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，等腰三角形的性质，坐标系中两点之间的距离公式，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 3．（24-25八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点轴交于点，点在射线上（不与点重合），点在轴上（点在点左侧），四边形是正方形． (1)当点的横坐标为时，求直线的表达式； (2)当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由； (3)点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，在，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意，先求出、，再由正方形性质得到，最后由待定系数法列方程组求解即可得到答案； （2）由（1）的求解过程，同理求解即可得到，将代入验证即可得到答案； （3）由（2）中知，根据四边形是等腰梯形，分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：直线，点在直线上，点的横坐标为， ，即， ， 当时，则，解得，即， 四边形是正方形， ， , 设直线的表达式为， 将、代入得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：在，理由如下： 由（1）知，直线的表达式为， 当点在射线上运动时，设点的横坐标为， ， 则， 四边形是正方形， ，则, 将代入，得， 即此时，在（1）中的直线上； （3）解：如图所示： 由（2）知，， 根据题意，分两种情况： 当时， 直线， 当时，，即， 设直线，将代入得， 直线， 当时，则，解得， ， 如果四边形是等腰梯形，则， ，即， 解得或， 当时，、， 、， 四边形是平行四边形（舍去）； 当时，、， 、， 四边形是等腰梯形，此时； 当时，则点与点重合， 如果四边形是等腰梯形，则， 过点作轴，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与四边形综合，涉及一次函数图象与性质、正方形性质、待定系数法确定函数表达式、等腰梯形定义、两点之间距离公式等知识．数形结合，灵活运用一次函数图象与性质是解决问题的关键． 4．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，已知直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，，直线在y轴上的截距为2，直线与直线交于点P． (1)求直线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，有一点F，使得四边形是直角梯形，求点F的坐标． (3)若点C在y轴负半轴上，点M在直线上，点N在直线上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点C的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先求得，根据四边形是直角梯形，可得或，分两种情况分别求出点F的坐标即可； （3）分两种情况：①当为菱形对角线时，②当为菱形边时，分别利用菱形性质求得点C的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线在y轴上的截距为2， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：联立得：， 解得：， ∴， ∵四边形是直角梯形， ∴或， 当时，如图1， 则， ∴； 当时，如图2， 则，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴； 综上，点F的坐标为或； （3）解：设，，，又， ∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，设菱形的中心为点K， ∴分两种情况： ①当为菱形对角线时，，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； ②当为菱形边时，，，，如图2，过点M作轴于点G， 则，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上，点C的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，直角梯形的性质，两直线的交点坐标的求法，菱形的性质，用方程的思想和分类讨论思想解决问题是解本题的关键． 5．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，直线经过点和点，将向上平移个单位得到，且经过点．    (1)求直线的表达式和的值； (2)连接，将沿直线平移到，边与轴相交于点（如图），小明说：“我发现边上存在点，在平移的过程中可以使得四边形为菱形”．你觉得小明的发现是否正确？如果正确，求点的坐标；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)，6 (2) 【分析】本题考查了一元函数的综合应用，菱形的性质，勾股定理等知识，解题是关键是： （1）根据待定系数法求直线的表达式，然后求出直线与y轴的交点坐标，再根据平移的规律求m 的值即可； （2）同（1）可求直线的表达式为，若四边形为菱形，则，，，根据平移的性质和平行四边形的判定可得出四边形是平行四边形，则，进而得出为的中点，根据中点坐标公式求出，设，根据两点间距离公式得出，则可求出或，则或，然后分类讨论，求出的表达式，与直线的表达式联立方程组求解，即可求出F的坐标． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把和代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴与y轴交于， ∵向上平移个单位得到，且经过点 ∴； （2）解：同（1）可求直线的表达式为， 如图，    若四边形为菱形， 则，，， ∵平移， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即为的中点， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或， ∴或， 当时， ∵， ∴设的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴设的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴ 此时，故不符题意，舍去； 综上，． 6．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)正确，直线过定点 【分析】（1）①将点代入，求出m的值，进而得到直线的表达式，联立直线、的表达式，即可求出的坐标；②根据四边形是等腰梯形，且，得到点在平行于直线过点B的直线上，且，求出直线的解析式，设，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）根据题意得到直线的表达式为：，求出，联立直线、的表达式，求出，如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到，根据点落在与直线平行的直线上，求出直线的解析式为：，当时，，即可得出直线过定点． 【详解】（1）解：①将点代入，则， ， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， ②如图， 四边形是等腰梯形，且， 点在平行于直线过点B的直线上，且， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 由图形可得， ， ， 解得：或， 当时，，此时，， ， 四边形是平行四边形， ， 则四边形不是梯形，故舍去， 当，， 同理：，， ，与不平行， 四边形是等腰梯形， 故，则； （2）解：根据题意：直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， 如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， 则，， ， 由旋转的旋转得：，， ， ， ， ， ， 点落在与直线平行的直线上， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 直线过定点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，旋转的性质，需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，两条直线平行及交点等相关知识，属新定义型题目． 题型四：常见的图形关系：平行（平移）、垂直（旋转）、平分角（翻折）、全等. 1．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求点和点的坐标以及的长； (2)求点和点的坐标； (3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1),， (2), (3)或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）令，求出；令，求出；继而求出； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）存在；由，可得，可求出，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ； 令，则， ； ，， ； （2）解：由折叠的性质可知，，， 则， ； 设， 则，， ， 解得：， ； （3）解：轴上存在一点，使得，理由如下： ， ， 解得：， 点的坐标为或． 2．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)点或 【分析】（1）先根据已知条件求得，，再利用待定系数法求解的函数解析式即可； （2）设直线交轴于点，先求得，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分两种情况：当点P在点E的左侧时和当点P在点E的右侧时，分别画出对应图形，利用数形结合思想，结合等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，由得， ∴，,， ∵， ∴，则， ∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵函数的图象经过点C、D， ∴，解得， ∴； （2）解：解：设直线交轴于点， 当时，，则， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：根据题意，分两种情况： 当点P在点E的左侧时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则点P为直线和直线的交点， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当点P在点E的右侧时，如图， ∵，，， ∴， 过点E作交于F，则， ∴， ∴， 设， 由得， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 由可设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形的外角性质、两点坐标距离公式、两直线的交点问题等知识，涉及知识点多，综合性强，熟练掌握待定系数法，添加平行线构造等腰三角形以及分类讨论是解答的关键． 3．（24-25八年级下·上海松江·月考）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B两点（如图），平分，交x轴于点E． (1)求的周长； (2)求点E的坐标和直线的表达式； (3)过点B作，垂足为F，交y轴于点G，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交x轴于点”改变为“点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作，垂足为F．设，，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)24 (2)， (3)是等腰三角形，证明见解析. (4) 【分析】（1）分别求出，，从而求出，即可求周长； （2）过点E作EG⊥AB交于G，根据角平分线的性质可得，在中，，求得，则，再由待定系数法求直线的解析式即可； （3）根据，平分，可知是等腰三角形，则，F是的中点，从而求出，再求，，能判断是等腰三角形； （4）勾股定理求出，再由，求出． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长； （2）解：过点E作交于G， ∵是的平分线，， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵，平分， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 4．（24-25八年级下·上海·期中）如图，四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标是，点坐标是，矩形沿直线翻折点落在边上的处，、分别在、上，且点的坐标是． (1)求点坐标； (2)求直线的解析式； (3)点在直线上，轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形?若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)点N的坐标为或． 【分析】（1）先根据点B，F的坐标，求出，，进而求出，根据勾股定理求出，即可得出结论； （2）求出，进而求出，得出点E坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （3）分两种情况利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程组求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ， ∵B点坐标是，F点的坐标是． ∴，，， ∴， ∵矩形沿直线翻折点A落在边上的G处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵矩形沿直线翻折点A落在边上的G处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 把点． 代入解析式中，得， ∴， ∴直线的解析式：； （3）解：由（1）知，直线的解析式：， 根据题意设点，， ∵以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当为平行四边形的边时， Ⅰ、当和是对角线时，和互相平分， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； Ⅱ、当与是对角线时， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； ②当为对角线时，即：与互相平分， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 即：满足条件的点N的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，平行四边形的性质建立方程组求解是解本题的关键． 5．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点D的坐标为②存在， 【分析】（1）理解题意，令时，则，即，令时，则，即，再证明四边形是矩形，则，运用勾股定理得，即可作答． （2）①理解题意，设，则，，根据勾股定理得，代入数值进行计算，即可得点D的坐标； ②把点D的坐标代入反比例函数，求出，再求出点F的坐标为，因为四边形是以为底的等腰梯形，得，设直线的解析式为，把，分别代入，，因为设直线的解析式为，计算化简得直线的解析式为，设，结合点F的坐标为，得，运用公式法进行解方程， 进行下一步分析，当时，则不平行，此时四边形为等腰梯形，再求出．即可作答． 【详解】（1）解：∵与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴令时，则，解得，即， 令时，则，即， ∵过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， ∵折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ∴， 设， 则，， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． ②存在，过程如下： 经过点D的双曲线与线段交于点F，且点D的坐标为． ∴， ∴， ∴， 点F的纵坐标等于点B的纵坐标，即， 把代入， 得， ∴， ∴点F的坐标为， ∵四边形是以为底的等腰梯形， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， ∵，且点在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线的解析式为， 即直线与直线重合， 设， ∵，且点D的坐标为． ∴， ∵点F的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴或， 当时，则， ∵， 此时四边形为平行四边形，不符合题意，故舍去， 当时，则不平行， 即， 此时四边形为等腰梯形，符合题意， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，等腰梯形的定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，折叠性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半轴上，． (1)求一次函数的解析式及点与点的坐标； (2)如果四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标； (3)将直线绕着点逆时针旋转45°后与轴交于点，求点坐标． 【答案】(1)；； (2)或 (3) 【分析】（1）把的坐标代入即可求得的值，求得函数的解析式，然后即可求得，的坐标，从而得到的长，进而求得的长，则点的坐标即可求得； （2）分两种情况，当且时，当且时，画出图形，求出结果即可； （3）过点A作，交于点E，过点E作轴于点F，证明，得出，，求出，待定系数法求出直线的解析式为，最后求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 则一次函数的解析式是：． 在中，令，则．则点的坐标是：； ， ， 的坐标是：； （2）解：当且时，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ， ． ∴点的坐标是：． 当且时，如图所示： ∵，的解析式为，， ∴直线的解析式为：， 设点， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点D的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或； （3）解：过点A作，交于点E，过点E作轴于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要是一次函数与几何图形综合，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，两点间距离公式，正确作出辅助线，注意分类讨论，是解题关键． 7．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)已知点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②以为对角线作菱形，当点在直线上且菱形的面积为8时，求的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）将点代入求出，得出，再将代入即可求解； （2）①根据题意可得，，表示出，再根据，列方程求解即可； ②根据题意可得轴，根据菱形的性质得出，则轴，根据，，，得出，，，根据，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 则， 将代入得：，解得：， 因此，直线的表达式为：． （2）解：①根据题意可得，， 则， 若， 则，即或， 解得：或． ②如图，根据题意可得轴， ∵以为对角线作菱形， ∴， ∴轴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， 解得：方程无解， 综上，． 【点睛】该题考查了一次函数的几何综合，一次函数解析式求解，菱形的性质，解一元二次方程等知识点，解题的关键是数形结合． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数与几何综合 题型一：点的坐标与距离的关系 题型二：图形的面积问题 题型三：特殊图形的存在性问题 题型四：常见的图形关系：平行（平移）、垂直（旋转）、平分角（翻折）、全等 题型01 点的坐标与距离的关系 点的坐标与距离的关系是函数与几何综合的核心，点的横坐标的绝对值等于点到y轴距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴距离。函数与几何的综合题，关键就要能进行坐标与距离的等价转换. 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和、、，…分别在直线和x轴上，，，，… 都是等腰直角三角形，其中，…为其直角顶点，如果点，那么的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，正方形的一边在x轴的正半轴上，顶点A、E在直线上，如果正方形边长是，那么点F的坐标是___________． 3．（24-25八年级下·上海·期中）已知点在直线上，点到点的距离和到直线的距离相等，则点的坐标为_____． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，为轴上一动点，值最小时，点的坐标为________． 题型02 图形的面积问题 在坐标系中求图形的面积核心是把问题转化成横平线与竖直线上线段长的问题，所以本质上还是转化为点的坐标问题. 1．（25-26八年级上·上海·期末）如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标． 2．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 3．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，且，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)若的面积为5，求点的坐标． 4．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A、，直线，交于点C，点C的横坐标为2． (1)点D的坐标为_________；直线的解析式为_________． (2)在直线上有一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标． (3)点M在直线，点N在y轴上，若点M、N、A、C构成平行四边形，直接写出点M的坐标． 5．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且截距为分别与轴、轴交于点和点． (1)求直线的解析式和点的坐标： (2)如果点是线段上的点，且的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点是直线上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点和点，点和点分别在线段和轴正半轴上，点在第一象限内，且四边形是菱形．    (1)求的值和点坐标； (2)设直线与菱形的边交于点． ①当是的中点时，判断的形状，并说明理由； ②如果四边形是直角梯形，求菱形的边长． 7．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数于点（点在点下方），连接得的面积为．    (1)求的值； (2)求反比例函数解析式； (3)在直线上是否存在一点，使得是直角三角形？若有，请求出点的坐标；若没有，请说明理由． 8．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，有反比例函数的图像上有一点坐标为，点也在第一象限，已知． (1)求反比例函数解析式； (2)求的面积； (3)求直线的函数解析式． 题型03 特殊图形的存在性问题 当特殊图形的存在性主要包括等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四边形的存在性问题，本质上是把问题先转化成距离的问题再转化成点的坐标的问题. 1．（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知直线的解析式为与x轴交于点A与y轴交于点B，直线过点A且与垂直交y轴于点C． (1)求出直线的解析式． (2)点D在直线上，平面内是否存在点E使四边形是菱形，若存在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)填空：如果点在轴上，是以为腰的等腰三角形，那么点的坐标是______； (2)已知点在双曲线上，联结，如果，求点的坐标． 3．（24-25八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点轴交于点，点在射线上（不与点重合），点在轴上（点在点左侧），四边形是正方形． (1)当点的横坐标为时，求直线的表达式； (2)当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由； (3)点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标． 4．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，已知直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，，直线在y轴上的截距为2，直线与直线交于点P． (1)求直线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，有一点F，使得四边形是直角梯形，求点F的坐标． (3)若点C在y轴负半轴上，点M在直线上，点N在直线上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由． 5．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，直线经过点和点，将向上平移个单位得到，且经过点．    (1)求直线的表达式和的值； (2)连接，将沿直线平移到，边与轴相交于点（如图），小明说：“我发现边上存在点，在平移的过程中可以使得四边形为菱形”．你觉得小明的发现是否正确？如果正确，求点的坐标；如果不正确，请说明理由． 6．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 题型四：常见的图形关系：平行（平移）、垂直（旋转）、平分角（翻折）、全等. 1．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求点和点的坐标以及的长； (2)求点和点的坐标； (3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．（24-25八年级下·上海松江·月考）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B两点（如图），平分，交x轴于点E． (1)求的周长； (2)求点E的坐标和直线的表达式； (3)过点B作，垂足为F，交y轴于点G，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交x轴于点”改变为“点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作，垂足为F．设，，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 4．（24-25八年级下·上海·期中）如图，四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标是，点坐标是，矩形沿直线翻折点落在边上的处，、分别在、上，且点的坐标是． (1)求点坐标； (2)求直线的解析式； (3)点在直线上，轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形?若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半轴上，． (1)求一次函数的解析式及点与点的坐标； (2)如果四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标； (3)将直线绕着点逆时针旋转45°后与轴交于点，求点坐标． 7．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)已知点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②以为对角线作菱形，当点在直线上且菱形的面积为8时，求的值． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $