精品解析：2026年浙江省宁波市九年级学业水平质量监测数学试题

2026年九年级学业水平质量监测 数学试卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卷规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷I 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 根据中国汽车工业协会的官方数据，2025年全国新能源汽车销量约为16490000辆，其中数字16490000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的蒙古包可以看作是由一个圆锥和一个圆柱组成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 把不等式组中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在广播体操比赛活动中，学校对参赛班级进行了“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面的测评．若本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，“队形编排”要求最低，则根据这个要求，“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面比较合适的权重设计是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，将一块含角的直角三角板 按如图方式放置，其中 ，两点分别落在直线， 上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若点先向右平移再向下平移，则点 可能移动到下列哪个点的位置（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，是反比例函数图象上两点，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在边长为2的菱形 中，对角线交于点， 于点，为 上一点，，延长交于点 ，记， ，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 试题卷II 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：____________． 12. 一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________． 13. 如图，扇形 是某标志的外轮廓图，已知扇形半径，，则扇形的弧长为________ ．（结果保留 ） 14. 已知，则的值为________． 15. 如图，在矩形纸片 中，点，分别在边 ，上，将该纸片沿折叠，点 ，的对应点分别为 ， ，的延长线过点．若， ， ，则 的长为________． 16. 如图，矩形 内接于，连接，是上一点，连接，，与 交于点．若 ，，则的值为________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 在的方格纸中，点 ，，都在格点上，请按下列要求作图． （1）在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． （2）在图2中画出格点，使． 20. 为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效．调查问卷如下： 亲爱的同学： 你好！为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查（均为单选）： 1．你每天的课外阅读时长是（ ） A．30分钟以内 B．30分钟~1小时 C．1小时~2小时 D．2小时及以上 2．你通常进行课外阅读的时间段是（ ） A．早读前 B．午休时段 C．放学后 D．其他时间 （注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值．） 调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图以及阅读时长为“1小时~2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图． （1）扇形统计图中“30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为________度． （2）本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时~2小时”的同学有多少人？并补全条形统计图． （3）若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数． 21. 如图，在中， ， 平分 交于点，点在边上，以 为直径的恰好过点． （1）求证：与相切． （2）当 时，求 的长． 22. 2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． （1）求小明跑步的速度（单位：千米/分）． （2）求图中 的值． （3）两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 23. 已知二次函数（ 为常数）的图象过点． （1）求该二次函数的表达式和顶点坐标． （2）已知，为二次函数图象上两点，其中，． ①当且时，求点 的坐标． ②若与的差的最大值为9，求的值． 24. 如图1，在 中， 为锐角，，．点在边上，，的垂直平分线与 交于点，连接 ． （1）当时，求的长． （2）①当长度发生变化时， 的周长是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出 的周长． ②当 时，求 的长． （3）如图2，与交于点， 与 交于点 ，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业水平质量监测 数学试卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卷规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷I 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：， 实数的倒数是． 2. 根据中国汽车工业协会的官方数据，2025年全国新能源汽车销量约为16490000辆，其中数字16490000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中 ， 为整数， 的值等于原数的整数位数减1． 【详解】解：原数 是8位整数， ∵科学记数法要求 ， ， ∴可得 ，， ∴ 用科学记数法表示为， 故选A． 3. 如图所示的蒙古包可以看作是由一个圆锥和一个圆柱组成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱的主视图是长方形，圆锥的主视图是三角形，求解即可； 【详解】解：根据题意，得主视图为 4. 把不等式组中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，点用实点覆盖，无等号，点用空心圆圈覆盖，解答即可． 本题考查了解不等式组，不等式解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，数轴表示为， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的基本运算法则，分别运用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法法则计算各选项，即可判断正误． 【详解】解：， ∴ A运算错误． ， ∴ B运算错误． ， ∴ C运算正确． ， ∴ D运算错误． 6. 在广播体操比赛活动中，学校对参赛班级进行了“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面的测评．若本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，“队形编排”要求最低，则根据这个要求，“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面比较合适的权重设计是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】权重大小对应测评项目的重要程度，重要性越高，权重越大，根据题干给出的四个项目的重要程度要求，即可判断符合条件的权重设计． 【详解】解：∵本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之， ∴“动作规范”权重最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，“队形编排”权重最低， 观察各选项，只有选项A，，满足权重要求，符合题意． 故选：A． 7. 已知直线，将一块含角的直角三角板 按如图方式放置，其中，两点分别落在直线， 上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质求出，然后求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴． 8. 在平面直角坐标系中，若点先向右平移再向下平移，则点 可能移动到下列哪个点的位置（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，解题思路是根据平移方向确定平移前后横、纵坐标的关系，再结合各选项判断即可． 【详解】解：设平移后点的坐标为，由平移方向可知平移后点的横坐标满足，纵坐标满足． A选项，横坐标，故A选项不符合题意； B选项，横坐标，故B选项不符合题意； C选项，纵坐标 ，故C选项不符合题意； D选项，横坐标，纵坐标，故D选项符合题意． 9. 已知点，是反比例函数图象上两点，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数性质与一元二次不等式的求解，先根据点在反比例函数图象上表示出，再根据列不等式求解即可． 【详解】∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，且，， ∵， ∴， 移项通分得 ，即 ∴， 解得． 10. 如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点， 于点 ，为 上一点，，延长交 于点 ，记， ，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过 作于 ，过作 于 ，先由四边形是矩形，得到，，再证明，得到，证明，得到，证明，得到 ，根据， ，得到，，，再根据，得到． 【详解】解：过 作于 ，过作 于 ， ∵边长为2的菱形， ∴，，， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， 即当的大小发生变化时，代数式的值不变的是． 试题卷II 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】用红球的个数除以球的总个数即可． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果， 所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 13. 如图，扇形 是某标志的外轮廓图，已知扇形半径，，则扇形的弧长为________ ．（结果保留 ） 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，扇形的弧长为． 14. 已知，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先对所求二次根式的被开方数变形，再利用整体代入法代入已知条件，最后计算算术平方根即可得到结果． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形纸片中，点 ，分别在边 ，上，将该纸片沿折叠，点，的对应点分别为 ， ，的延长线过点．若， ， ，则 的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，得，求解即可； 【详解】解：∵矩形，， ， ∴，， 该纸片沿折叠，点，的对应点分别为 ， ，且 ， ∴，， ∵矩形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，矩形内接于，连接 ， 是上一点，连接，，与 交于点．若 ，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得，由圆周角定理得，再由得，则，由平行线的性质得 ，根据垂径定理得，证明，得，，设，则， ，证明，则得，即可求解． 【详解】解：如图，连接 交 于点G，连接 、 ， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在矩形中， ， ∴ ， ∴， ∵，， ， ∴， ∴，， 设，则，， ∵矩形内接于， ∴ 、 交于点O，且为直径， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据求解即可； 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 方程两边同乘，得， 解得， 经检验：是原方程的解． 19. 在的方格纸中，点，， 都在格点上，请按下列要求作图． （1）在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． （2）在图2中画出格点 ，使． 【答案】（1）如图，点D即为所求；（画一个点即可） （2）如图，点E即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，求解即可． （2）构造平行四边形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效．调查问卷如下： 亲爱的同学： 你好！为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查（均为单选）： 1．你每天的课外阅读时长是（ ） A．30分钟以内 B．30分钟~1小时 C．1小时~2小时 D．2小时及以上 2．你通常进行课外阅读的时间段是（ ） A．早读前 B．午休时段 C．放学后 D．其他时间 （注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值．） 调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图以及阅读时长为“1小时~2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图． （1）扇形统计图中“30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为________度． （2）本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时~2小时”的同学有多少人？并补全条形统计图． （3）若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数． 【答案】（1） （2）人， 补全图形如下： （3）675人 【解析】 【分析】（1）用360度乘以所占百分比计算即可； （2）先计算该项目的人数，再补图即可； （3）用样本估计总体的思想计算即可； 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： （人）， 阅读时长为“1小时~2小时”的同学人数为 （人）； 【小问3详解】 解： （人） 答：该校每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数为675人． 21. 如图，在中， ， 平分 交 于点，点 在边 上，以 为直径的恰好过点． （1）求证： 与相切． （2）当 时，求 的长． 【答案】（1） 解：如图，连接， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可； （2）利用解直角三角形求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ，． ， ， ． 22. 2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． （1）求小明跑步的速度（单位：千米/分）． （2）求图中 的值． （3）两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 【答案】（1）千米/分 （2）126 （3）出发时，两人相距最远为 【解析】 【分析】（1）根据速度的定义求解即可； （2）设对应的函数表达式 ，待定系数法求解即可； （3）根据题意，分，， ， ，求解即可； 【小问1详解】 解：小明跑步的速度为千米/分． 【小问2详解】 解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米， 故此时小聪跑的路程为（千米）， 故图象经过点， 设对应的函数表达式 ， 由题意得图象过点， ， 解得． 对应的函数表达式 ． 令， 解得． 的值为126． 【小问3详解】 解：当时，根据题意，得， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为 ， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到60，故最大值小于5千米即； 小明跑完最后所需的时间为． 当时，根据题意，得小明跑的路程表达式为， 小聪跑的路程表达式为 ， 故， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变； 小聪跑的路程表达式为 ， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到94，故最大值小于千米即； ， 当时，他们之间相距最远，且为千米． 23. 已知二次函数（ 为常数）的图象过点． （1）求该二次函数的表达式和顶点坐标． （2）已知，为二次函数图象上两点，其中，． ①当且时，求点 的坐标． ②若与的差的最大值为9，求的值． 【答案】（1）， （2）①点 坐标为，② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，配方法求解即可； （2）①，当时，，分类求解． ②分和 时，求解． 【小问1详解】 解： 二次函数的图象过点， ， 解得， 该二次函数的表达式为． ， 图象的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：（2）①， 当时，， 当时，取得最大值0， 当时，， 当时，取得最大值3， ， 又， 与同时取得最大值． 点 坐标为． ②情况一：当时， ， 当 时，取得最小值为． ， 当时，取得最大值为． ， 又的最大值为9， 该情况不成立． 情况二：当 时， ， 当 时，取得最小值为． ， 时，取得最大值为， 的最大值为9． ， 解得（舍）或． 综上所述：． 24. 如图1，在 中， 为锐角，，．点在边 上，， 的垂直平分线与 交于点 ，连接 ． （1）当时，求的长． （2）①当长度发生变化时， 的周长是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出 的周长． ②当 时，求 的长． （3）如图2，与交于点， 与 交于点 ，当时，求的值． 【答案】（1） （2）① 的周长为20；② （3） 【解析】 【分析】（1）在的条件下，由，结合得；再通过勾股定理即可求解． （2）①由直线垂直平分 ，得；再由，根据等角对等边得．将 的周长转化为，而，故周长恒为20，不随变化；②作，由 得 ，则 ，，故．设，，则；结合周长为20列方程，解得，故． （3）延长 交于 ，作．由垂直平分线性质得、，证得，结合得．再证，结合与勾股定理，求得． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：① 的周长不发生变化．理由如下： 垂直平分 ， ， ， ， ， 的周长为20； ②如图，作， ， ， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． 设，， ， ， 的周长为20， ， 解得：， ； 【小问3详解】 解：如图，延长 与交于点 ，作， 垂直平分 ， ，， ，， ． ，， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ． ， ，． ， ． 【点睛】本题以垂直平分线的轴对称性为核心，结合等腰三角形的边相等性质进行线段转化，通过构造辅助线，利用全等、相似及三角函数，将动态问题转化为固定关系求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $