精品解析：北京市中关村中学2025-2026学年高一第二学期期中调研数学试卷

北京市中关村中学2025－2026学年第二学期期中调研 高一数学 2026.04 本试卷共5页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将答题卡交回. 第一部分 基础应用 一、选择题.本部分共12道小题，每题4分，共48分.在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项. 1. 已知，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标的求法：终点坐标减去始点坐标，列出方程组求出点的坐标． 【详解】解：设则 ，解得，即； 故选：C． 2. 若一扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形所在圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】设该扇形所在圆的半径为，则. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A选项，当时，即可判断；对于B选项，通过不等式的性质判断即可； 对于C选项，通过特殊值法判断即可；对于D选项，通过作差法判断即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，当，时，，故C错误； 对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确. 故选：D. 4. 某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 【答案】B 【解析】 【详解】由频率分布直方图的性质可得，， 解得. 这些同学物理成绩大于等于80分的人数为. 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合函数图象“左加右减”的平移法则，即可得解. 【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换，解题是注意三角函数名是否一致，平移变换是否是针对自变量 “”而言，属于基础题. 6. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】根据平面向量平行的坐标性质，若，， 则，代入，得：， 即，解得或， 判断充分必要性：若，一定能推出，充分性成立； 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此是的充分而不必要条件. 7. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理得，再两边平方可求得，可求得的值． 【详解】，是关于的一元二次方程的两根， 则，即， ， 则， ，则． 故选：D． 8. 已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】换元转化令，由指数函数性质得，原函数可转化为二次函数： 恒成立等价于对任意恒成立， 分离参数求范围对（）移项得：对任意恒成立， 因此只需， 对有： 当且仅当即时取等号，因此， 即，故的取值范围是. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像结合正弦函数的性质求出和，代入选项逐一验证. 【详解】由图像可知函数过点，且该点是函数下降段的零点， 因此满足：， 又函数图像过点，所以， 结合，可得，（唯一符合条件的解）， 即函数为： 正弦函数的对称轴满足角度等于， 因此：， 当时，得到一条对称轴，对应选项A， 代入B得：， 代入C得：， 代入D得：， 函数值都不为，因此都不是对称轴. 10. 在中，是的重心，点满足，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，借助平面向量线性运算法则计算可得，即可得点为线段上靠近点的四等分点，从而可得. 【详解】由，则， 即，取中点，即有， 故点为线段上靠近点的四等分点，故. 11. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A. B. 秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D. 当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 12. 对于非零向量，，定义运算“*”：，其中为，的夹角．有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设的夹角为，的夹角为，的夹角为，按照题目所定义的新运算逐项判断正误. 【详解】设的夹角为，的夹角为，的夹角为． 因为，，由得，故A不正确； ，，不一定共线，故B不正确； ，故C正确； 若，且不共线，则，，故D不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查向量的数量积知识迁移，属于中档题. 二、填空题.本大题共4道小题，每题5分，共20分. 13. 已知，则＝______. 【答案】 【解析】 【详解】已知，则， 故. 14. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则＝______. 【答案】 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，表示出各个向量的坐标，根据共线列出等量关系，从而求出参数. 【详解】解：如下图，将，，平移至相同起点，且，，， 并建立平面直角坐标系， 设每个单元格长为，则，，，又， 则，所以， 解得，因此. 15. 已知向量，若共线，且，则向量的坐标可以是______（写出一个即可） 【答案】或 【解析】 【详解】， 因为 与 共线，所以存在实数 ，使得 ， ，解得 ， 当 时, ；当 时, ． 16. 为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据图中事件的关系，结合独立事件的判定判断各项的正误即可. 【详解】对于①，由题图知，为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，①不正确； 对于②，由图得，则，，则有，所以图中事件相互独立，②正确； 对于③，设图中的小的长方形的面积为，由，，， 所以，则题图中事件相互独立，③正确. 三、解答题.本大题共3道小题，共32分. 17. 已知角的终边经过点，且为第二象限角. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义求参数；（2）首先根据诱导公式化简，然后分子分母同时除以，然后代入求解. 【小问1详解】 因为角的终边经过点， 所以，， 为第二象限角，，所以. 【小问2详解】 角的终边经过点，， . 18. 已知函数. （1）求出函数的周期和图象的对称中心； （2）若，求的取值范围； （3）求函数的单调递增区间. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式直接计算周期，并通过令相位角等于解出对称中心的横坐标； （2）根据给定的自变量范围确定相位角的取值范围，结合正弦函数在对应区间上的单调性分析最值，从而得到函数的值域； （3）通过函数平移变换得到新函数的解析式，再令相位角落在正弦函数的单调递增区间内，解不等式得出单调递增区间. 【小问1详解】 周期，由题可得：，因此周期， 正弦函数的对称中心满足，令， 解得，因此图象的对称中心为： 【小问2详解】 时的取值范围由，可得， 当时，， 因此：. 【小问3详解】 ， 正弦函数的单调递增区间满足， 代入得：， 解得：， 因此的单调递增区间为： 19. 已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下 （1）求的解析式： （2）若在区间上的最大值为，求m的最小值； （3）已知，若，使得 ，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据五点法的取值特点，结合表格数据确定最大值、最小值、周期，然后代入坐标计算可得解析式； （2）求得，根据该区间内有最大值点求解即可； （3）转化为，然后参变分离，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由表格数据可知，的最大值为，最小值为，所以，得， 又，所以，所以 因为，即， 所以，得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 当时，， 因为在区间上的最大值为，所以， 解得，即的最小值为. 【小问3详解】 ， 则，成立， 等价于使得， 因为，所以， 所以，得， 所以，使得，即. 记，由对勾函数性质可知，在单调递增， 所以，所以 所以，即的取值范围为. 第二部分综合应用 四、填空题.本大题共4道小题，每题5分，共20分. 20. 以原点O及点为顶点作一个等边，则向量的坐标为______. 【答案】或 【解析】 【分析】设，根据模长相等和夹角公式列方程组求出点坐标，然后可得的坐标. 【详解】设，则， 因为为等边三角形，所以，即， 化简得，解得或， 所以，或 21. 若常数m使方程在区间上恰有三个解，且，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性与对称性，分析直线与正弦曲线在给定区间上恰有三个交点时的位置关系，确定三个解分别关于对称轴和周期平移的表达式,将三个解代入给定的等比条件建立方程，解出其中一个解的具体值，再代回正弦函数得到的值. 【详解】的周期为，在区间上，直线与恰有三个交点， 对应，根据正弦函数的对称性：若， 且，则与关于对称轴对称， 因此： 又由正弦函数的周期性，第三个解（相差一个周期，函数值相等，且符合区间要求）， 已知，将，，代入得： 展开化简：，， ，验证三个解均在区间内， 且满足，符合题意，因此. 22. 函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先证明为奇函数，并确定为增函数，去掉函数符号列不等式求解. 【详解】由题定义域为R， ， 故为奇函数，则等价于， 又当时，函数单调递增，函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，又为奇函数， 所以函数在定义域上单调递增， 所以，解得. 即不等式的解集为 23. 已知函数，给出下列四个结论： ①的最小正周期是； ②的一条对称轴方程为； ③存在实数，使得对任意，都存在且，满足； ④若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则. 其中所有正确结论的序号是______.（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】作出的图象，根据图象可以逐一判断前①②④个选项，对于③利用对勾函数的性质和余弦函数的值域进行求解. 【详解】的图象如下： 对于①，的最小正周期是，①正确； 对于②，的一条对称轴方程为，②正确； 对于③，时，单调递增，且，对任意，， 由对勾函数性质可知在上单调递增，故， 由单调性可知存在实数a，使得对任意，只有一个，满足，③错误； 对于④，画出图象，与在上有5个交点， 这5个交点即为函数在区间上有5个零点， 从小到大依次记为， 且，关于对称，，关于对称，，关于对称，，关于对称， 则，，，， 故，④正确. 五、解答题.本大题共2道小题，共30分. 24. 在研究行星围绕恒星转动时（假设行星做匀速圆周运动），可以采用数学方法研究其运动状态.设恒星位置为O，某一时刻（设为初始时刻，即）行星A所在位置为.以O为原点，为x轴正方向，为单位长度建立平面直角坐标系，如图所示.将行星A公转半周所用的时间记作1个时间单位.将t时刻该行星的位置坐标记作. （1）写出的表达式； （2）已知另有一行星B也围绕该恒星匀速转动，且公转半径与行星A不同，将其位置坐标记作. （i）若行星B的初始时刻也在x轴正半轴上，已知两行星分别与恒星连成的线段在相等时间内扫过的面积相同，且两行星距离最大值为3.求行星B的公转半径，以及使得两行星距离最远时的时刻t的取值集合； （ii）若行星B的公转半径为2，且两行星的距离恒为.求的表达式，并证明以行星A作为参照物时，行星B做匀速圆周运动.（参考公式：） 【答案】（1） （2）（i）行星B的公转半径为2，时刻t的取值集合为； （ii）或，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出角速度，即可求解； （2）（i）设行星B的公转半径为，角速度为，利用扇形面积公式求得，则，利用两点距离公式得，，进而利用余弦函数性质求出时刻t的取值集合； （ii）易知，由两行星的距离恒为可知，又，得或，可得的表达式，利用向量的坐标运算求得以行星A作为参照物时，行星B的做半径为的匀速圆周运动. 【小问1详解】 由题意，时刻该行星的位置坐标为，公转周期为2个时间单位， 所以角速度，所以t时刻该行星的位置坐标为. 【小问2详解】 （i）设行星B的公转半径为，角速度为， 由在相等时间内扫过的面积相同可知，，所以， 行星B的初始时刻也在x轴正半轴上，所以， 所以两行星距离 ， 显然当时，最大，此时的最大值为， 由题意，所以，， 此时，即， 即时刻t的取值集合为； （ii）设行星B的角速度为，则， 由两行星的距离恒为可知 ， 所以恒成立，所以为常数，故，所以， 又，所以或， 所以或； 以行星A作为参照物时，行星B的相对位置为， 或， 所以，所以以行星A作为参照物时，行星B做半径为的匀速圆周运动. 25. 如图所示，三行三列的数表A中，第i行第j列的数记作.若存在一组不全为零的实数使得均有 ，则称数表A是“L关联”的；若存在一组不全为零的实数使得均有 ，则称数表A是“R关联”的. （1）若对均有 ，请写出这个数表；判断其是否是“R关联”的，并说明理由； （2）若 ，求证该数表一定是“L关联”的； （3）求证：数表A是“L关联”的，当且仅当其是“R关联”的. 【答案】（1）该数表一定是“R关联”的，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“R关联”的定义判断即可； （2）根据“L关联”证明； （3）由“L关联”和“R关联”的定义及线性运算性质证明. 【小问1详解】 该数表是“R关联”的. 根据对均有 ，得 ； . 假设存在一组不全为零的实数使得均有 ， 则， ∴取可使方程组成立，即存在一组不全为零的实数使得均有 ， ∴该数表是“R关联”的. 【小问2详解】 若 ，则任意均使得均有 ， 取，可得对均有 . 因此，该数表一定是“L关联”的. 【小问3详解】 若数表A是“L关联”的，则一定存在一组不全为零的实数使得均有，假设， ， ，得④， ，得⑤， ，得（*） 所以数表A是“L关联”的（*）成立； 若数表A是“R关联”的，则一定存在一组不全为零的实数使得均有，假设 ，得⑨， ，得⑩， ，得（*） 所以数表A是“R关联”的（*）成立. 综上所述，“数表A是“L关联”的”与“数表A是“R关联”的”的充要条件相同，所以数表A是“L关联”的，当且仅当其是“R关联”的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市中关村中学2025－2026学年第二学期期中调研 高一数学 2026.04 本试卷共5页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将答题卡交回. 第一部分 基础应用 一、选择题.本部分共12道小题，每题4分，共48分.在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项. 1. 已知，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若一扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形所在圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，是的重心，点满足，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A. B. 秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D. 当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 12. 对于非零向量，，定义运算“*”：，其中为，的夹角．有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 二、填空题.本大题共4道小题，每题5分，共20分. 13. 已知，则＝______. 14. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则＝______. 15. 已知向量，若共线，且，则向量的坐标可以是______（写出一个即可） 16. 为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 三、解答题.本大题共3道小题，共32分. 17. 已知角的终边经过点，且为第二象限角. （1）求的值； （2）若，求的值. 18. 已知函数. （1）求出函数的周期和图象的对称中心； （2）若，求的取值范围； （3）求函数的单调递增区间. 19. 已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下 （1）求的解析式： （2）若在区间上的最大值为，求m的最小值； （3）已知，若，使得 ，求的取值范围. 第二部分综合应用 四、填空题.本大题共4道小题，每题5分，共20分. 20. 以原点O及点为顶点作一个等边，则向量的坐标为______. 21. 若常数m使方程在区间上恰有三个解，且，则实数的值为______. 22. 函数，则不等式的解集为______. 23. 已知函数，给出下列四个结论： ①的最小正周期是； ②的一条对称轴方程为； ③存在实数，使得对任意，都存在且，满足； ④若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则. 其中所有正确结论的序号是______.（写出所有正确结论的序号） 五、解答题.本大题共2道小题，共30分. 24. 在研究行星围绕恒星转动时（假设行星做匀速圆周运动），可以采用数学方法研究其运动状态.设恒星位置为O，某一时刻（设为初始时刻，即）行星A所在位置为.以O为原点，为x轴正方向，为单位长度建立平面直角坐标系，如图所示.将行星A公转半周所用的时间记作1个时间单位.将t时刻该行星的位置坐标记作. （1）写出的表达式； （2）已知另有一行星B也围绕该恒星匀速转动，且公转半径与行星A不同，将其位置坐标记作. （i）若行星B的初始时刻也在x轴正半轴上，已知两行星分别与恒星连成的线段在相等时间内扫过的面积相同，且两行星距离最大值为3.求行星B的公转半径，以及使得两行星距离最远时的时刻t的取值集合； （ii）若行星B的公转半径为2，且两行星的距离恒为.求的表达式，并证明以行星A作为参照物时，行星B做匀速圆周运动.（参考公式：） 25. 如图所示，三行三列的数表A中，第i行第j列的数记作.若存在一组不全为零的实数使得均有 ，则称数表A是“L关联”的；若存在一组不全为零的实数使得均有 ，则称数表A是“R关联”的. （1）若对均有 ，请写出这个数表；判断其是否是“R关联”的，并说明理由； （2）若 ，求证该数表一定是“L关联”的； （3）求证：数表A是“L关联”的，当且仅当其是“R关联”的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $