河南省周口市2025-2026学年度下学期高二年级期中考试数学试卷

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 % 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第三册第七 欧 章7.2。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.若定义域为R的函数f(x)的导函数为f'(x),则Iim f(-4+△x)-f(-4) A◆0 △x 毅 Af'(-4) B.f'(4) C.f'(-2) D.f'(2) 2.已知函数f(x)=2e*一3ax的极值点为0，则a= 国 A.0 B号 c号 n号 3.在数列(an}中，a1=0,an十an+1=2n一1，则a2o26= A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 薰 4.从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为 A32 B.33 C.34 D.36 5.已知过原点0的直线1与函数f(x)=x3-3x一16的图象相切，则1的斜率为 A.7 B.8 C.9 D.10 6.某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为 1cm,曲线AC,BD均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为 21cm- B ◆ 9cm 郭 D 图1 图2 A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm 7.某人工智能实验室有6名研究员，将他们分配到3个不同的人工智能科研项目，若每名研究 员只能加人1个项目，且每个项目至少需要1名研究员，则不同的分配方案数为 A540 B.600 C.480 D.720 【高二数学第1页（共4页）】 ·B1· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫App 8.已知平面内的两个动点P,Q连线的中点在圆M:(x一3)2+(y一2)2=4上，A是直线l:3x 十4y一2=0上的一个动点，且|PQ1=2√2，则A户·A的最小值为 A.9 B.7 C.-3 D.-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分， 9.甲、乙两个箱子中各装有5个球，其中甲箱中有4个红球、1个白球，乙箱中有3个红球、2个 白球.第一次从甲箱中随机摸出1个球，放人乙箱，第二次从乙箱中随机摸出1个球，放人甲 箱，则 A第一次摸出红球的概率为号 且第一次摸出白球的概率为号 C,在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为号 D,在第一-次摸出白球的条件下，第二次摸出红球的概率为号 10.已知首项为3的数列(an)的前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn一1，则 A.(Sn一1)是等比数列 B.S1o0>2100 C.(an)是等比数列 an+】 D.{a,+1-ta,+-D}的前n项和小于1 11.已知函数f(x)=2ae*ln(W√1十x2十x)一e“+1,则下列结论正确的是 Af(x)是奇函数 B.存在a,使得f(x)只有1个零点 C.存在a,使得f(x)恰有3个零点 D.存在a,使得f(x)恰有5个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知公差为1的等差数列(an)的前n项和为Sm,且S,=42,则a1=▲ 3,已知F是双曲线C:气-1(@>0,6>0)的右焦点，关于原点对称的两点P,Q均在0 上，且|QF|一|PF|=36,则C的离心率为▲ 14.如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不 同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有▲种， 【高二数学第2页（共4页）】 ·B1· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立 执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为0.1，B机器人成功的概率为 0.8,失败的概率为0.2. (1)若从A,B两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器 人成功的概率； (2)若A,B机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为X,求X的分 布列. 16.(15分) 已知函数/(x)=了x3-ax2+1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若存在x∈[0，十)，使得f(x)≤-2成立，求a的取值范围. 17.(15分) 已知（一4+32）7=a0十a1x十a2x2++a7x7, (1)证明：a1十a2十…十a7=47-1. (2)求log(|ao|+|a1|+|a2|+…+|a,|)的值 (3)证明：a1一2a2+3a3一4a1+5a5一6a6+7a7能被147整除 【高二数学第3页（共4页）】 ·B1· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分) 知椭圆C+1@>b>0)的左有焦点分别为F1,F2,A是C上位于第一象限的 点，|AF|+|AF2|=8,点B(0,一2√3)在C上，M,N分别为C的左、右顶点， (1)求C的方程. (2)设0为坐标原点，直线1：y=kx+(k<)与C交于P(x1y),Q(x2y2)(x,<x) 两点，将坐标平面沿y轴翻折成一个直二面角，如图所示. (i)当t=2时，在翻折前，线段PQ的中点为H(一1，yo),求翻折后t=2时二面角 F1-QN-O的余弦值； (i)若1=0，翻折后，∠P0Q-气求△P0Q的面积 19.(17分) 若数列(an}满足an十am+2=kan+1,则称{an为“k-拟等差数列”；若数列(an》满足anam+2= a+1一t,则称{an}为“t-拟等比数列”. (1)若数列(an)既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且a4=0,求{an)的通项公式. (2)已知b1=1,b2=2,b3=一5，数列{bn)是“L-拟等比数列”，{bn)的前n项和为Sm. (1)证明：存在k,使得{bn)是“k-拟等差数列” （证明含号<+h 【高二数学第4页（共4页）】 ·B1· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 高二数学参考答案 1.A lim f-4+△x)-f-2=f'(-4. Ar 2.Ce)=2g-a,因为了0)=2-3a=0,所以a=号经检验，当a=号时，：)的极值点 为0. 3.B由a1十a2=1,得a2=1.由a2十a3=3,得a3=2.由a3十a4=5,得a4=3.依次类推，a2o26 =2025. 4.B从三棱台的9条棱中选2条的选法种数为C号=36，在三棱台中，共有3对棱平行，所以所 求的选法种数为36一3=33. 5.Cf(x)-3x2-3,设切点的横坐标为m,则3m-3=, 得m3=一8，则1=一2， m3-3m-16=km, 所以1的斜率为3×（一2）2一3=9. 6.C如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标 y 系，则该抛物线的方程为22=10y.设B(xB,yB),D(xD, w易得z=号20=号，则-0=六×[（号）》°- (号）门=9，所以该豌的高度为9+1=10cm 7.A将6个人分成3个组，每组至少1个人，则分组方案有2,2,2或者1,1,4或者1,2,3三 英，放不同的分配方案数为+器+CG)A8=50 8.D取PQ的中点0，则A户.A点=(Aò+O驴)·(A0+O)=Aò2-O驴2=Aδ2-2.圆心 M到L的距离为3X3+4X2-2=3,此时1AM取得最小值，且最小值为3，Aò取得最小 5 值，且最小值为3-2=1.故A节·A反的最小值为12一2=一1. 9.ABD用事件A1,A2分别表示第一次摸出红球、白球，用事件B1,B2分别表示第二次摸出 PAPAJA-C45台X9 P(A)4 3 5 P(A2B1)5大U 1 61 P(BA2)= P(A2） =2,C错误，D正确。 5 10.ABD由Sm+1=2Sm一1，得Sm+1一1=2(Sm一1).因为S1一1=2，所以{Sm一1}是首项为 2,公比为2的等比数列，A正确.由S,一1=2×2-1，得Sm=2”十1，所以S10=210+1> 3,n=1, 210,B正确.当n≥2时，an=Sm一Sm-1=2"十1-(2”-1十1)=2”-，则an= 所 2"-1,n≥2， 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 ·B1· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP an+l 以(a,)不是等比数列，C错误.设{a1-8,+-}的前n项和为T,因为 aa4万2-D2-D=占2与所以T.=1-专+号-月 an+l 2” y +叶22二121二<1,0正跪 11.BC因为f(一x)≠一f(x),所以f(x)不是奇函数，A错误. 令f(z)=0,得aln1+x2+x)-2c-=0.设函数g(z y=2 m(） =alnW1十云+x)-《e二，易得g()的定义域为R,g0) n(x） =0.因为g(x)十g(-x)=0,所以g(x)为奇函数.g(x)= -e十e-.当a≤1，且x>0时，E<1,te 5 V1+z >1,得g(x)<0,得g(x)在(0，十∞)上单调递减，所以g(x)在R上只有1个零点，B正 确令g(z)=0,得=alh(十7+x)设函数m(x)=2,n(x) ec中+≥)=e7存知圆当a=1时得mc 与n(x)为反函数，m'(0)=n'(0)=1,此时m(x)与n(x)的图象在原点O处的切线均为直 线y=.当a>1时，an'(0)=a>m'(0)=1,此时g（2)在(0，十∞)上有1个零点，所以 g(x)在R上有3个零点，C正确.f(x)不可能有5个零点，D借误 123由S=1a,+7誉×1=42，得a1=3. 13.①3 3 设C的左焦点为F,连接PF,QF,(图略).易得IQF|=|PF,|,则|QF|一|PF|= 1PR,-PF1=2a=30,得名-号，所以C的离心率为J1+(名丁-四 14.13020因为两端都涂红色，所以中间4个方格也可以涂红色. 当中间4个方格中有2个方格涂红色时，涂红色的位置有3种选择，剩下的有5×5×5×4 种选择，所以有5×5×5×4×3=1500种涂色方法. 当中间4个方格中只有1个方格涂红色时，涂红色的位置有4种选择，剩下的有5×5×4×4 4种选择，所以有5×5×4×4×4×4=6400种涂色方法。 当中间4个方格都不涂红色时，有5×45=5120种涂色方法. 综上，不同的涂色方法共有1500+6400+5120=13020种 15.僻：(1)用事件A1,A2分别表示选用A,B型号的机器人独立执行高难度动作，用事件C表 示机器人成功，则P(A1)=0.5,P(A2)=0.5,P(C引A1)=0.9,P(C引A2)=0.8,…3分 由全概率公式得P(C)=P(A1)P(C引A1)十P(A2)P(C引A2)=0.85.…6分 (2)由题意得X的取值可能为0,1,2.…7分 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 ·B1· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP P(X=0)=0.1X0.2=0.02,…8分 P(X=1)=0.9×0.2+0.1×0.8=0.26, 0t00000900t●000●000… 10分 P(X=2)=0.9×0.8=0.72, 12分 X的分布列为 X 0 1 2 P 0.02 0.26 0.72 0…00000000t0000000000000000000000000000000000000004●……13 16.解：(1)f(x)=x2-2a.x=x(x-2a).…1分 当a=0时，f'(x)=x2≥0，则f(x)在R上单调递增 …3分 当a<0时，令f'(x)>0,得x<2a或x>0,令f'(x)<0,得2a<x<0, …4分 所以f(x)在（一o∞，2a),(0,十o∞）上单调递增，在(2a,0)上单调递减.…5分 当a>0时，令f'(x)>0,得x<0或x>2a,令f'(x)<0,得0<x<2a,…6分 所以f(x)在（一∞，0），(2a,十∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减.…7分 (2)当a≤0时，f(x)在[0，十∞)上单调递增，…8分 则f(x）)m=f0)=1>-子，不符合题意.… 10分 7 当a>0时，f(x)m=f(2a)=-a3+1≤二2，m 13分 解得Q≥号。 …14分 故a的取值范图为[号，十o∞）.…15分 17.(1)证明：令x=0,得a0=(-4)7=-4?,…2分 令x=1,得a0十a1十a2十…十a7=(-1)7=-1,…4分 所以a1十a2十…十a,=-1-(-4)=47-1.…5分 (2)解：因为ao|+|a1|+|a2|+…+|a,1为(4十3x)7的展开式各项系数之和，…7分 所以|ao|+|a1|十|a2|+…+|a,|=(4十3X1)7=77,…9分 所以log2(|ao|+la1|+|a2|+…+|a7l)=7.… 10分 (3)证明：由(-4+3x)7=a0十a1x十a2x2+…+a7x7, 得[(-4+3x)7]'=(a0十a1x十a2x2+…十az2)', 即7(-4十3x)6X3=a1十2a2x十3a3x2+…十+7a7z6,…12分 令x=-1,得a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7=7X(-7)6X3=147X75,…14分 因为147×75能被147整除，所以a1一2a2十3a3一4a1十5a5一6a6十7a7能被147整除.… …15分 18.獬：（1)由题意得2Q=8,即Q=4,…1分 因为点B(0,一2√3)在C上，所以b=2√5，…2分 故C的方程为后+=1 +y2 …3分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 ·B1· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP (y=kx+2, 21)依陋意得H色士，士) 2,田6+以 得(3+4k2)x2+16kx一32=0， 4分 16k 所以21十x2= 34经2==2，……5分 解得及=分或A=受（合去）， 将及=号代人(3十42)2+16x-32=0,解得x=-4或x=2,…6分 P(一4,0)，Q(2,3),翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系， 则F1(0,0,2),Q(2,3,0),N(4,0,0),F1=(2,3,-2),F1N=(4,0,-2).…7分 m·F1夜=2x十3y-2z=0, 设平面F1QN的法向量为m=(x,y,z),则 令x=3,得m= m·F1N=4x-2z=0, (3,2,6). …9分 易得平面OQN的一个法向量为n=(0,0,1).…10分 设二面角F,-QN-O的平面角为0，由图可知0为锐角， cos0=m·nl= 6 1mln|√/9+4+36 气，所以二面角F,-QN-0的余弦值为号.…11分 6 6 y=kx, 48 （)油3+=1，得(3+4)x2-48=0,得x1z2=一3+4h2y1%=2x1x2, 6+12=1, 翻折后，P(0,y1,-x1),Q(z2y2,0),O币=(0，y1,一x1),0=(x2y2,0), 则1O1=√+y好=√2+11x1l,1O1=√x经+y=√2+I1x2l,…12分 cos∠P0Q= 0泸.0攻 0ò+-年=-分， yiy2 k2 …13分 獬得2=1.… …14分 S%m=号1o1d1sin∠P00=号2+11z,l·-24y5 2 7 17分 19.（1)解：因为{an}是“2-拟等差数列”，所以an十am+2=2an+1,则{an)是等差数列，设{an)的公 差为，…1分 又{an}是“4-拟等比数列”，所以anam+2=a员+1一4， 即(ant1-d)(an+1十d)=a7+1-4,即d2=4,d=士2。…2分 当d=2时，由a4=0,得a1=a4-3d=-6,an=a1十(n一1)d=21-8;…3分 当d=-2时，由a4=0,得a1=a4-3d=6,an=a1十(n-1)d=8-2n.…4分 (2)证明：(1)由“-拟等比数列”的定义，取n=1,得b1b3=b3一t,即1×（一5）=22一t,得1 =9,所以bnbn+2=b7+1一9.…5分 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 ·B1 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP bbn+2=b员+1-9， 由 …6分 bn+1bn+3=b号+2-9 可得bbn+2-bn+1bn+3=b员+1-b层+2， 即6+e(b.+bt2)=b+1(6t1+b+3),即，+bat2=bat1+b起 bn+l 6n+2 …7分 bm十bn+2)是常数列，=1二=一2，即bn十bn+2=一2bm+1,即(bn》 b+1 W一2-拟等差数列”.…8分 （i)由bn十b+2=一2bn+1,得bn+2十bn+1=一(b+1十bn),可知(bn+1十bn)是等比数列，首 项为b1十b2=3,公比为一1，故bn+1十bn=3·(一1)”-1.…9分 当n为奇数时，S,=6+(b2十b)+…+(b,n1十b,)=1-3.”21,三=-8+5 2’n -2+2 当n为偶数时，S。=6,十02)+0：+b)+…+(6=十6，)=3·名，号3 21 …10分 所以当n为奇数时含号=-+(1+号+…+片》： …11分 当n为偶数时，2号-（1+号+…+n马) …12分 设f(x)=x-lnx-1,则f(x)=1-1=-1 当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)≥∫(1)=0，即x一1≥lnx,当且仅当x=1时，等号成立.…13分 取x=贺吊其中kN,则有一欢子>h益即子<h装告即中< 2 2 号n器当，则哈+号+…+2<n8-ln1+ln5-lh3++ln(2+1）-lh2k- 1)]=ln(2k+1).… …15分 当n为奇数时，2号=-名+(1+号++片)<-是+(1+n)<号+nm …16分 当m为偶数时，含号=1+写+…+号)<引1+21(m-1]<号+nn 综上，2<号+n …17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】 ·B1· C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP